3-9 파인만-칵 공식

3-9 파인만-칵 공식

정리 3.46 $t\in(0,\,\infty)$일 때, $$X_{t}(x)=x(t),\,Y_{t}(x)=e^{-\int_{0}^{t}{V(x(s))ds}},\,x\in C_{0}([0,\,t])$$ 라 하자. 여기서 $V\geq0$는 다음의 조건을 만족하는 연속함수이다. $$\int_{\mathbb{R}}{V(\xi)e^{-\frac{\xi^{2}}{2t}}d\lambda(\xi)}<\infty,\,\forall t\in(0,\,t)$$ 그러면 $E^{w}(Y_{t}|X_{t})$가 존재해서 다음을 만족한다.

$U:\mathbb{R}\times(0,\,\infty)\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 $$U(\xi,\,t)=E^{w}(Y_{t}|X_{t})\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{\xi^{2}}{2t}}\left(=E^{w}(Y_{t}|X_{t})\frac{dP_{X_{t}}}{d\lambda}\right)$$ 로 정의하면, $U(s,\,t)$는 다음의 적분방정식을 만족한다. $$U(\xi,\,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{\xi^{2}}{2t}}-\int_{[0,\,t]}{\left\{\int_{\mathbb{R}}{V(\eta)\frac{1}{\sqrt{2\pi(t-s)}}e^{-\frac{(\xi-\eta)^{2}}{2(t-s)}}U(\eta,\,s)d\lambda(\eta)}\right\}d\lambda(s)},\,(\xi,\,t)\in\mathbb{R}\times(0,\,\infty)$$ * $V$가 $\mathbb{R}$에서 연속이고 $x$가 $[0,\,t]$에서 연속이므로 $\displaystyle\int_{0}^{t}{V(x(s))ds}$는 $[0,\,t]$에서의 분할들의 수열에 대응하는 리만합들의 수열의 극한으로 나타낼 수 있다. 이때의 분할은 $x$와는 독립적이다. 따라서 $Y_{t}$는 위너가측이고, 그 절댓값이 1보다 작으므로 위너적분 가능하다. 

어떤 $\delta\in(0,\,2)$에 대해 $\xi\,\rightarrow\,\pm\infty$일 때 $V(\xi)=O(e^{\xi^{2-\delta}})$이면, $V$에 대한 이 정리의 가정은 만족된다.

$V$가 이 정리의 가정을 만족할 때, $\varphi$를 다음과 같이 정의하면 $$\varphi(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{V(\xi)e^{-\frac{\xi^{2}}{2t}}d\lambda(\xi)},\,t\in(0,\,\infty)$$ $\varphi\geq0$는 $(0,\,\infty)$에서 연속함수이고, 다음이 성립한다. $$\lim_{t\,\rightarrow\,0}{\varphi(t)}=V(0)$$ $\displaystyle\varphi(0)=\lim_{t\,\rightarrow\,0}{\varphi(t)}$로 정의하면 $\varphi$는 $[0,\,\infty)$에서 연속이다. 

증명: 정리 3.42에 의해 $E^{w}(Y_{t}|X_{t})$가 존재해서 이 정리의 결론에서 정의된 $U$가 다음의 등식을 만족한다. $$(1)\,U(\xi,\,t)=\lim_{a\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{2\pi}\int_{(-a,\,a)}{\left(1-\frac{|u|}{2}\right)e^{-iu\xi}E^{w}(e^{-iuX_{t}}Y_{t})d\lambda(u)}},\,(\xi,\,t)\in\mathbb{R}\times(0,\,\infty)$$ 다음의 등식을 $$\frac{d}{ds}e^{-\int_{0}^{s}{V(x(r))dr}}=-e^{-\int_{0}^{s}{V(x(r))dr}}V(x(s))$$ $s\in[0,\,t]$에 대해 적분하면 다음의 등식이 성립한다. $$(2)\,e^{-\int_{0}^{t}{V(x(s))ds}}-1=-\int_{0}^{t}{V(x(s))e^{-\int_{0}^{s}{V(x(r))dr}}ds}$$ 위의 좌변의 첫 항을 $Y_{t}$로 나타내 다음과 같이 나타내자. $$(3)\,Y_{t}(x)=1-\int_{0}^{t}{V(x(s))e^{-\int_{0}^{s}{V(x(r))dr}}ds}$$ 식 (3)을 식 (1)에 대임하면 다음의 식을 얻고 $$(4)\,U(\xi,\,t)=I_{1}(\xi,\,t)-I_{2}(\xi,\,t)$$ 여기서 $$\begin{align*}&(5)\,I_{1}(\xi,\,t)=\lim_{a\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{2\pi}\int_{(-a,\,a)}{\left(1-\frac{|u|}{a}\right)e^{-iu\xi}E^{w}(e^{iux(t)})d\lambda(u)}}\\&(6)\,I_{2}(\xi,\,t)=\lim_{a\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{2\pi}\int_{(-a,\,a)}{\left(1-\frac{|U|}{a}\right)e^{-iu\xi}J(t)d\lambda(u)}}\\&(7)\,J(t)=E^{w}\left(e^{iux(t)}\int_{[0,\,t]}{V(x(s))e^{-\int_{0}^{s}{V(x(r))dr}}d\lambda(s)}\right)\end{align*}$$ $I_{1}$을 계산하자. 위너 적분공식과 적분공식 $\displaystyle\int_{\mathbb{R}}{e^{-(a\xi^{2}+b\xi)}d\lambda(\xi)}=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^{2}}{4a}}\,(a>0,\,b\in\mathbb{C})$에 의해 $$E^{w}(e^{iux(t)})=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{e^{iu\eta}e^{-\frac{\eta^{2}}{2t}}d\lambda(\eta)}=e^{-\frac{u^{2}t}{2}}$$ 이므로 $$\begin{align*}(8)\,I_{1}(\xi,\,t)&=\lim_{a\,\rightarrow\,\infty}{\left\{\frac{1}{2\pi}\int_{(-a,\,a)}{e^{-iu\xi}e^{-\frac{u^{2}t}{2}}d\lambda(u)}-\frac{1}{2\pi}\int_{(-a,\,a)}{\frac{|u|}{a}e^{-iu\xi}e^{-\frac{u^{2}t}{2}}d\lambda(u)}\right\}}\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}{e^{-iu\xi}e^{}d\lambda(u)}-\frac{1}{2\pi}\left\{\lim_{u\,\rightarrow\,\infty}{\left(\frac{|u|}{a}e^{-iu\xi}e^{-\frac{u^{2}t}{2}}\right)}+\lim_{u\,\rightarrow\,-\infty}{\left(\frac{|u|}{a}e^{-iu\xi}e^{-\frac{u^{2}t}{2}}\right)}\right\}\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{\xi^{2}}{2t}}\end{align*}$$ 이다. $J(t)$에 대한 식(식 (7))에서 위너적분과 르베그적분의 순서를 바꾸기 위해 다음의 사실을 이용한다. $$|e^{iux(t)}V(x(s))e^{-\int_{0}^{s}{V(x(r))dr}}|\leq V(x(s)),\,(s,\,x)\in[0,\,t]\times C_{0}([0,\,t])$$ 위의 사실과 위너 적분공식, 적분공식 $\displaystyle\int_{\mathbb{R}}{e^{-(a\xi^{2}+b\xi)}d\lambda(\xi)}=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^{2}}{4a}}\,(a>0,\,b\in\mathbb{C})$, 이 정리의 증명 위의 $\varphi$에 대한 사실로부터 다음의 식을 얻는다. $$\begin{align*}\int_{[0,\,t]}{E^{w}(V(x(s)))d\lambda(s)}&=\int_{[0,\,t]}{\frac{1}{\sqrt{2\pi s}}\left\{\int_{\mathbb{R}}{V(r)e^{-\frac{r^{2}}{2s}}d\lambda(r)}\right\}d\lambda(s)}\\&=\int_{[0,\,t]}{\varphi(s)d\lambda(s)}<\infty\end{align*}$$ 따라서 푸비니 정리로부터 다음의 등식을 얻는다. $$(9)\,J(t)=\int_{[0,\,t]}{E^{w}\left(e^{iux(t)}V(x(s))e^{-\int_{0}^{s}{V(x(r))dr}}\right)d\lambda(s)}$$ $e^{iux(t)}$를 다음과 같이 나타내자. $$e^{iux(t)}=e^{iu\{x(t)-x(s)\}}e^{iux(s)}$$ 위너 적분공식과 적분공식 $\displaystyle\int_{\mathbb{R}}{e^{-(a\xi^{2}+b\xi)}d\lambda(\xi)}=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^{2}}{4a}}\,(a>0,\,b\in\mathbb{C})$으로부터 다음의 등식을 얻는다. $$(10)\,E^{w}(e^{iu\{x(t)-x(s)\}})=e^{-\frac{u^{2}}{2}(t-s)}$$ 각 $r\in(0,\,s]$에 대해 $\{x(t)-x(s),\,x(r)\}$은 위너 측도공간에서 서로 독립인 확률변수라는 사실과 식 (10)에 의해 식 (9)는 다음과 같다. $$(11)\,J(t)=\int_{[0,\,t]}{e^{-\frac{u^{2}}{2}(t-s)}E^{w}\left(e^{iux(s)}V(x(s))e^{-\int_{0}^{s}{V(x(r))dr}}\right)d\lambda(s)}$$ 보조정리 3.37을 식 (11)의 위너적분에 적용하고 $X_{t}$, $Y_{t}$, 결론의 $U(\xi,\,t)$의 정의를 이용해 다음의 식을 얻는다. $$\begin{align*}(12)\,J(t)&=\int_{[0,\,t]}{e^{-\frac{u^{2}}{2}(t-s)}\left\{\int_{\mathbb{R}}{e^{iu\eta}V(\eta)E(Y_{s}|X_{s})(\eta)dP_{X_{s}}(\eta)}\right\}d\lambda(s)}\\&=\int_{[0,\,t]}{e^{-\frac{u^{2}}{2}(t-s)}\left\{\int_{\mathbb{R}}{e^{iu\eta}V(\eta)U(\eta,\,s)d\lambda(\eta)}\right\}d\lambda(s)}\end{align*}$$ 식 (12)를 식 (1)에 대입해서 얻는 $I_{2}$에 대한 식에서 세 적분($\mathbb{R}$에서 $d\lambda(\eta)$에 대한 적분, $[0,\,t]$에서 $d\lambda(s)$에 대한 적분, $(-a,\,a)$에서 $d\lambda(u)$에 대한 적분)의 순서를 바꾸어서 $I_{2}$를 계산한다.

$(\eta,\,s,\,u)\in\mathbb{R}\times[0,\,t]\times(-a,\,a)$에 대해 다음의 부등식이 성립한다. $$(13)\,\left|\left(1-\frac{|u|}{a}\right)e^{-iu\xi}e^{iu\eta}V(\eta)U(\eta,\,s)e^{-\frac{u^{2}}{2}(t-s)}\right|\leq V(\eta)U(\eta,\,s)e^{-\frac{u^{2}}{2}(t-s)}$$ 위너 적분공식과 $\varphi(t)$의 정의, 보조정리 3.37과 이 정리의 결론의 $U(\xi,\,t)$의 정의를 사용해 다음의 식을 얻는다. $$\begin{align*}\int_{\mathbb{R}}{V(\eta)U(\eta,\,s)d\lambda(\eta)}&=E^{w}\left(V(x(s))e^{-\int_{0}^{s}{V(x(r))dr}}\right)\\&\leq E^{w}(V(x(s)))\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi s}}\int_{\mathbb{R}}{V(r)e^{-\frac{r^{2}}{2s}}d\lambda(r)}\\&=\varphi(s)\end{align*}$$ $\varphi$가 $[0,\,\infty)$에서 연속이므로 다음이 성립한다. $$\begin{align*}&A=\int_{[0,\,t]}{\varphi(s)e^{\frac{u^{2}s}{2}}d\lambda(s)}<\infty\\&\int_{[0,\,t]}{\varphi(s)e^{-\frac{u^{2}}{2}(t-s)}d\lambda(s)}=Ae^{-\frac{u^{2}t}{2}}\end{align*}$$ 따라서 $$\int_{\mathbb{R}}{Ae^{-\frac{u^{2}t}{2}}d\lambda(u)}<\infty$$ 이므로 푸비니 정리를 적용할 수 있다. $$(14)\,I_{2}(\xi,\,t)=\lim_{a\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{2\pi}\int_{[0,\,t]}{\left\{\int_{\mathbb{R}}{V(\eta)U(\eta,\,s)\left(\int_{\mathbb{R}}{\chi_{(-a,\,b)}(u)\left(1-\frac{|u|}{a}\right)e^{-iu(\xi-\eta)}e^{-\frac{u^{2}}{2}(t-s)}d\lambda(u)}\right)d\lambda(\eta)}\right\}d\lambda(s)}}$$ $a>0$에 대해 식 (14)의 피적분함수는 부등식 (13)에 의해 유계이고, 다음의 함수는 $\mathbb{R}\times[0,\,t]\times\mathbb{R}$에서 적분가능하다. $$V(\eta)U(\eta,\,s)e^{-\frac{u^{2}}{2}(t-s)},\,(\eta,\,s,\,u)\in\mathbb{R}\times[0,\,t]\times\mathbb{R}$$ 지배수렴정리에 의해 다음의 식을 얻는다. $$\begin{align*}(15)\,I_{2}(\xi,\,t)&=\frac{1}{2\pi}\int_{[0,\,t]}{\left\{\int_{\mathbb{R}}{V(\eta)U(\eta,\,s)\left(\int_{\mathbb{R}}{e^{iu(\xi-\eta)}e^{-\frac{u^{2}}{2}(t-s)}d\lambda(u)}\right)d\lambda(\eta)}\right\}d\lambda(s)}\\&=\int_{[0,\,t]}{\left\{\int_{\mathbb{R}}{V(\eta)U(\eta,\,s)\frac{1}{\sqrt{2\pi(t-s)}}e^{-\frac{(\xi-\eta)^{2}}{2(t-s)}}d\lambda(\eta)}\right\}d\lambda(s)}\end{align*}$$ 식 (8)과 식 (15)를 식 (4)에 대입하면 $U(\xi,\,t)$에 대한 적분방정식을 얻는다.

*$U(\xi,\,t)$에 대한 적분방정식으로부터 다음의 편미분방정식을 유도할 수 있고, $$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}U}{\partial\xi^{2}}-V(\xi)U(\xi,\,t),\,(\xi,\,t)\in\mathbb{R}\times(0,\,\infty)$$ 다음의 경계조건으로부터 $$\int_{a}^{b}{U(\xi,\,t)d\xi}=E^{w}\left(e^{-\int_{0}^{t}{V(x(s))ds}}\right),\,a<x(t)<b,\,(a,\,b)\subset\mathbb{R}$$ $U$는 임의의 $\epsilon>0$에 대해 다음의 초기조건을 만족한다. $$\lim_{t\,\rightarrow\,0}{\int_{-\epsilon}^{\epsilon}{U(\xi,\,t)d\xi}}=1$$ 위의 초기조건을 갖는 편미분방정식의 해는 다음과 같고 $$U(\xi,\,t)=E^{w}\left(e^{-\int_{0}^{t}{V(x(s))ds}}\delta(x(t)-\xi)\right)$$ 위의 식을 파인만-칵 공식(Feynman-Kac formula)이라고 한다.    

참고자료:

위너 적분론, 장건수, 민음사

https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.pjm/1102905371