3-6 조건부기댓값(2)

3-6 조건부기댓값(2)

여기서는 함수 \(E(e^{i\langle x,\,y\rangle}Y)\)의 역 푸리에 변환으로서 \(E(Y|X)\)에 대한 반전공식(inversion formula)을 유도할 것이다.

\(\mathbb{R}\)에서의 분포함수 \(F\)의 특성함수 \(\varphi\)가 르베그적분 가능하면 \(F\)는 절대연속이고, 다음의 등식이 성립한다.$$F'(\xi)=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}{e^{-i\xi\eta}\varphi(\eta)d\lambda(\eta)},\,a.e.\xi\in\mathbb{R}$$정리 3.33 (레비-하비랜드 반전정리, Levy-Haviland inversion theorem)

\(\mu\)를 \((\mathbb{R}^{n},\,\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n}))\)에서의 유한 부호측도, \(\varphi\)를 \(\mu\)의 특성함수라 하자. 즉,$$\varphi(x)=\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{i\langle y,\,x\rangle}d\mu(y)},\,x\in\mathbb{R}^{n},\,\langle y,\,x\rangle=\sum_{j=1}^{n}{y_{j}x_{j}}$$그러면 임의의 \(a_{j},\,b_{j}\in\mathbb{R}\), \(a_{j}<b_{j},\,j=1,\,2,\,...,\,n\)에 대해 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{\mathbb{R}^{n}}{\prod_{j=1}^{n}{\tilde{\chi}_{a_{j},\,b_{j}}}(\xi_{j})d\mu(\xi)}=\lim_{h\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{(2\pi)^{n}}\int_{C_{h}}{\prod_{j=1}^{n}{\left\{\frac{e^{-ib_{j}\eta_{j}}-e^{-ia_{j}\eta_{j}}}{-i\eta_{j}}\right\}}\varphi(\eta)d\lambda(\eta)}}$$여기서$$\begin{align*}C_{h}&=(-h,\,h)\times\cdots\times(-h,\,h)\subset\mathbb{R}^{n},\,h>0\\ \tilde{\chi}_{a_{j},\,b_{j}}(\eta_{j})&=\begin{cases}1&\,\eta_{j}\in(a_{j},\,b_{j})\\0&\,\eta_{j}\in[a_{j},\,b_{j}]^{c}\\ \frac{1}{2}&\,\eta_{j}=a_{j},\,\eta_{j}=b_{j}\end{cases}\end{align*}$$증명: 생략

정리 3.34 \((\mathbb{R}^{n},\,\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n}))\)에서의 유한측도 \(\mu\)의 특성함수 \(\varphi\)가 르베그적분 가능하다고 하자. 그러면 \(\mu\)는 르베그측도 \(\lambda\)에 대해 절대연속이고(\(\mu\ll\lambda\)), 라돈-니코딤 도함수는 다음과 같다.$$\frac{d\mu}{d\lambda}(\xi)=\frac{1}{(2\pi)^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-i\langle\xi,\,\eta\rangle}\varphi(\eta)d\lambda(\eta)},\,\xi\in\mathbb{R}^{n}$$증명: 레비-하비랜드 반전정리(정리 3.33)의 식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$(*)\,\int_{\mathbb{R}^{n}}{\prod_{j=1}^{n}{\tilde{\chi}_{a_{j},\,b_{j}}(\xi_{j})}d\mu(\xi)}=\frac{1}{(2\pi)^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\prod_{k=1}^{n}{\left\{\frac{e^{-ib_{j}\eta_{j}}-e^{-ia_{j}\eta_{j}}}{-i\eta_{j}}\right\}\varphi(\eta)d\lambda(\eta)}}$$\(\mu\ll\lambda\)를 보이기 위해 \(A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\), \(\lambda(A)=0\)이라 하자. \(\mathbb{R}^{n}\)에서 서로소인 반 열린구간 \((a_{1},\,b_{1}]\times\cdots\times(a_{n},\,b_{n}]\)들의 유한합들의 대수를 \(\mathcal{U}\)라 하자. 그러면 \(\mathcal{U}\)에 의해 생성되는 \(\sigma-\)대수는 \(\mathbb{R}^{n}\)에서의 보렐 \(\sigma-\)대수 \(\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\)이다. 

\(\epsilon>0\)을 임의의 수라 하자. \(\mu\)는 \(\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\)에서 유한측도이고 \(\lambda(A)=0\)(유한)이므로 \((\lambda+\mu)(A)\)는 유한측도이고 따라서 \(B\in\mathcal{U}\)가 존재해서 다음이 성립한다.$$(\mu+\lambda)(A\Delta B)<\epsilon$$위 부등식으로부터 \(\mu(A\Delta B)<\epsilon\)이므로$$(1)\,\mu(A)\leq\mu(B)+\mu(A\Delta B)<\mu(B)+\epsilon$$이고, 또한 \(\lambda(A\Delta B)<\epsilon\), \(\lambda(A)=0\)이므로$$\lambda(B)<\epsilon$$이다. \(B\)는 유한개(\(m\)개)의 서로소인 반 열린구간들의 합집합이므로 \(m\)개의 열린구간 \(B^{(k)},\,k=1,\,2,\,...,\,m\)가 존재해서 다음을 만족한다.$$(2)\,B\subset\bigcup_{k=1}^{m}{B^{(k)}},\,\lambda(B)<\sum_{k=1}^{m}{\lambda(B^{(k)})}<\epsilon$$\(B^{(k)}=\zeta^{(k)}+C^{(k)}\)라 하자. 여기서$$\zeta^{(k)}\in\mathbb{R}^{n},\,C^{(k)}=(-h_{1}^{(k)},\,h_{1}^{(k)})\times\cdots\times(-h_{n}^{(k)},\,h_{n}^{(k)})\subset\mathbb{R}^{n}$$이다. \(C^{(k)}\)는 열린구간이고, \(\tilde{\chi}_{a_{j},\,b_{j}}\), 앞에서 얻은 식 (*)로부터 다음의 부등식을 얻는다.$$\begin{align*}(\text{#})\,\mu(\zeta^{(k)}+C^{(k)})&\leq\frac{1}{(2\pi)^{n}}{\int_{\mathbb{R}^{n}}{\frac{1}{-i\eta_{j}}\{e^{-i(\zeta_{j}^{(k)}+h_{j}^{(k)}\eta_{j})}-e^{-i(\zeta_{j}^{(k)}-h_{j}^{(k)}\eta_{j})}\}\varphi(\eta)d\lambda(\eta)}}\\&=\frac{\lambda(C^{(k)})}{(2\pi)^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\prod_{j=1}^{n}{\frac{\sin\eta_{j}h_{j}^{(k)}}{\eta_{j}h_{j}^{(k)}}e^{-i\zeta_{j}^{(k)}\eta_{j}}}\varphi(\eta)d\lambda(\eta)}\end{align*}$$\(\eta_{j}\in\mathbb{R}\)에 대해 \(\displaystyle\left|\frac{\sin\eta_{j}h_{j}^{(k)}}{\eta_{j}h_{j}^{(k)}}\right|\leq1\)이고, \(\lambda(C^{(k)})=\lambda(B^{(k)})\)이므로 다음의 부등식을 얻는다.$$\mu(B^{(k)})=\mu(\zeta^{(k)}+C^{(k)})\leq\frac{\lambda(B^{(k)})}{(2\pi)^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{|\varphi(\eta)|d\lambda(\eta)}$$그러면 부등식 (2)에 의해 $$\mu(B)\leq\sum_{k=1}^{m}{\mu(B^{(k)})}\leq\frac{\epsilon}{(2\pi)^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{|\varphi(\eta)|d\lambda(\eta)}$$이고 위의 부등식을 부등식 (1)에 대입하면 다음의 부등식을 얻는다.$$\mu(A)<\epsilon\left\{\frac{1}{(2\pi)^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{|\varphi(\eta)|d\lambda(\eta)}+1\right\}$$\(\epsilon\)은 임의의 양수이므로 \(\mu(A)=0\)이다. 따라서 \(\mu\)는 \(\lambda\)에 대해 절대연속이다.

이제 라돈-니코딤 도함수를 구하자. \(\mu\)가 \(\lambda\)에 대해 절대연속이므로 열린구간 \(C^{(k)}\)의 경계점들의 집합의 \(\mu\)측도값은 0이다. 따라서 부등식 (#)에서 \(\leq\)는 \(<\)로 대치할 수 있고, 대치한 부등식을 \(\zeta+C_{h}\)에 적용해 다음의 등식을 얻는다.$$\int_{\zeta+C_{h}}{\frac{d\mu}{d\lambda}(\xi)d\lambda(\xi)}=\mu(\xi+C_{h})=\frac{\lambda(C_{h})}{(2\pi)^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\prod_{j=1}^{n}{\frac{\sin\eta_{j}h}{\eta_{j}h}}e^{-i\zeta_{j}\eta_{j}}\varphi(\eta)d\lambda(\eta)}$$위 등식의 양변에 극한 \(h\,\rightarrow\,0\)을 취하자. 이때$$\begin{align*}&\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{\lambda(C_{h})}\int_{\zeta+C_{h}}{\frac{d\mu}{d\lambda}(\xi)d\lambda(\xi)}}=\frac{d\mu}{d\lambda}(J),\,\lambda-a.e.\,\zeta\in\mathbb{R}^{n}\\&\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{(2\pi)^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\prod_{j=1}^{n}{\frac{\sin\eta_{j}h}{\eta_{j}h}e^{-i\eta_{j}\zeta_{j}}}\varphi(\eta)d\lambda(\eta)}}=\frac{1}{(2\pi)^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-i\langle\zeta,\,\eta\rangle}\varphi(\eta)d\lambda(\eta)}\end{align*}$$이므로 다음의 결과를 얻는다.$$\frac{d\mu}{d\lambda}(\zeta)=\frac{1}{(2\pi)^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-i\langle\zeta,\,\eta\rangle}\varphi(\eta)d\lambda(\eta)},\,\lambda-a.e.\,\zeta\in\mathbb{R}^{n}$$성질 3.31과 정리 3.34로부터 다음의 정리(조건부기댓값에 대한 반전정리)를 얻는다.

정리 3.35 \(Y\), \(X\)를 각각 \((\Omega,\,\mathcal{B},\,P)\)에서 정의된 확률변수와 \(n\)차원 확률벡터, \(E(|Y|)<\infty\)라 하자. \(X\)의 확률분포 \(P_{X}\)가 르베그측도 \(\lambda\)에 대해 절대연속(\(P_{X}\ll\lambda\))이라고 하자. 

\(E(e^{i\langle u,\,X\rangle}Y)\)가 \(u\)의 함수로서 \(\mathbb{R}^{n}\)에서 르베그적분 가능하다고 하면, 주어진 \(X\)에 대한 \(Y\)의 조건부기댓값은 다음과 같다.$$E(Y|X)(\xi)\frac{dP_{X}}{d\lambda}(\xi)=\frac{1}{(2\pi)^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-i\langle u,\,\xi\rangle}E(e^{i\langle u,\,X\rangle}Y)d\lambda(u)},\,\xi\in\mathbb{R}^{n}$$증명: \(Y:\Omega\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)는 가측함수이므로 주어진 \(X\)에 대한 \(Y\)의 정규 조건분포 \(P(Y|X)\)가 존재한다. 고정된 \(u\in\mathbb{R}^{n}\)에 대해 \(f:\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{C}\)를 다음과 같이 정의하자.$$f(\xi,\,\eta)=e^{i\langle u,\,\xi\rangle}\eta,\,\xi\in\mathbb{R}^{n},\,\eta\in\mathbb{R}$$그러면 성질 3.29와 3.31의 증명과정으로부터 다음의 식을 얻는다.$$\begin{align*}\,(3)E(e^{i\langle u,\,X\rangle}Y)&=\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{i\langle u,\,\xi\rangle}\int_{\mathbb{R}}{\eta dP(Y|X)(\eta,\,\xi)}dP_{X}(\xi)}\\&=\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{i\langle u,\,\xi\rangle}E(Y|X)(\xi)dP_{X}(\xi)}\end{align*}$$\(F\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\)에 대해 집합함수 \(\mu\)를 다음과 같이 정의하자.$$\mu(F)=\int_{F}{E(Y|X)(\xi)dP_{X}(\xi)}$$\(E(Y|X)\)는 \(\mathbb{R}^{n}\)에서 \(P_{X}-\)적분가능하므로 \(\mu\)는 \((\mathbb{R}^{n},\,\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n}))\)에서 유한 부호측도이고 \(\mu\ll P_{X}\)이다. 또한 다음이 성립한다.$$\frac{d\mu}{dP_{X}}=E(Y|X)$$식 (3)에 의해 \(E(e^{i\langle u,\,X\rangle}Y),\,u\in\mathbb{R}^{n}\)은 \(\mu\)의 특성함수이고, 가정에 의해 이 특성함수는 르베그적분 가능하다. 정리3.34를 \(\mu\)의 양수부와 음수부에 적용해 다음의 식을 얻고$$\frac{d\mu}{d\lambda}(\xi)=\frac{1}{(2\pi)^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{i\langle u,\,\xi\rangle}E(e^{i\langle u,\,X\rangle}Y)d\lambda(u)},\,\lambda-a.e.\,\xi\in\mathbb{R}^{n}$$\(\mu\)의 정의에 의해$$\frac{d\mu}{d\lambda}=E(Y|X)(\xi)\frac{dP_{X}}{d\lambda}(\xi),\,\lambda-a.e.\,\xi\in\mathbb{R}^{n}$$이므로 원하는 결과를 얻는다.

참고자료:

위너 적분론, 장건수, 민음사