3-6 조건부기댓값(2)

3-6 조건부기댓값(2)

여기서는 함수 $E(e^{i\langle x,\,y\rangle}Y)$의 역 푸리에 변환으로서 $E(Y|X)$에 대한 반전공식(inversion formula)을 유도할 것이다.

$\mathbb{R}$에서의 분포함수 $F$의 특성함수 $\varphi$가 르베그적분 가능하면 $F$는 절대연속이고, 다음의 등식이 성립한다. $$F'(\xi)=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}{e^{-i\xi\eta}\varphi(\eta)d\lambda(\eta)},\,a.e.\xi\in\mathbb{R}$$ 정리 3.33 (레비-하비랜드 반전정리, Levy-Haviland inversion theorem)

$\mu$를 $(\mathbb{R}^{n},\,\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n}))$에서의 유한 부호측도, $\varphi$를 $\mu$의 특성함수라 하자. 즉, $$\varphi(x)=\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{i\langle y,\,x\rangle}d\mu(y)},\,x\in\mathbb{R}^{n},\,\langle y,\,x\rangle=\sum_{j=1}^{n}{y_{j}x_{j}}$$ 그러면 임의의 $a_{j},\,b_{j}\in\mathbb{R}$, $a_{j}<b_{j},\,j=1,\,2,\,...,\,n$에 대해 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{\mathbb{R}^{n}}{\prod_{j=1}^{n}{\tilde{\chi}_{a_{j},\,b_{j}}}(\xi_{j})d\mu(\xi)}=\lim_{h\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{(2\pi)^{n}}\int_{C_{h}}{\prod_{j=1}^{n}{\left\{\frac{e^{-ib_{j}\eta_{j}}-e^{-ia_{j}\eta_{j}}}{-i\eta_{j}}\right\}}\varphi(\eta)d\lambda(\eta)}}$$ 여기서 $$\begin{align*}C_{h}&=(-h,\,h)\times\cdots\times(-h,\,h)\subset\mathbb{R}^{n},\,h>0\\ \tilde{\chi}_{a_{j},\,b_{j}}(\eta_{j})&=\begin{cases}1&\,\eta_{j}\in(a_{j},\,b_{j})\\0&\,\eta_{j}\in[a_{j},\,b_{j}]^{c}\\ \frac{1}{2}&\,\eta_{j}=a_{j},\,\eta_{j}=b_{j}\end{cases}\end{align*}$$ 증명: 생략

정리 3.34 $(\mathbb{R}^{n},\,\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n}))$에서의 유한측도 $\mu$의 특성함수 $\varphi$가 르베그적분 가능하다고 하자. 그러면 $\mu$는 르베그측도 $\lambda$에 대해 절대연속이고($\mu\ll\lambda$), 라돈-니코딤 도함수는 다음과 같다. $$\frac{d\mu}{d\lambda}(\xi)=\frac{1}{(2\pi)^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-i\langle\xi,\,\eta\rangle}\varphi(\eta)d\lambda(\eta)},\,\xi\in\mathbb{R}^{n}$$ 증명: 레비-하비랜드 반전정리(정리 3.33)의 식을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$(*)\,\int_{\mathbb{R}^{n}}{\prod_{j=1}^{n}{\tilde{\chi}_{a_{j},\,b_{j}}(\xi_{j})}d\mu(\xi)}=\frac{1}{(2\pi)^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\prod_{k=1}^{n}{\left\{\frac{e^{-ib_{j}\eta_{j}}-e^{-ia_{j}\eta_{j}}}{-i\eta_{j}}\right\}\varphi(\eta)d\lambda(\eta)}}$$ $\mu\ll\lambda$를 보이기 위해 $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$, $\lambda(A)=0$이라 하자. $\mathbb{R}^{n}$에서 서로소인 반 열린구간 $(a_{1},\,b_{1}]\times\cdots\times(a_{n},\,b_{n}]$들의 유한합들의 대수를 $\mathcal{U}$라 하자. 그러면 $\mathcal{U}$에 의해 생성되는 $\sigma-$대수는 $\mathbb{R}^{n}$에서의 보렐 $\sigma-$대수 $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$이다. 

$\epsilon>0$을 임의의 수라 하자. $\mu$는 $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$에서 유한측도이고 $\lambda(A)=0$(유한)이므로 $(\lambda+\mu)(A)$는 유한측도이고 따라서 $B\in\mathcal{U}$가 존재해서 다음이 성립한다. $$(\mu+\lambda)(A\Delta B)<\epsilon$$ 위 부등식으로부터 $\mu(A\Delta B)<\epsilon$이므로 $$(1)\,\mu(A)\leq\mu(B)+\mu(A\Delta B)<\mu(B)+\epsilon$$ 이고, 또한 $\lambda(A\Delta B)<\epsilon$, $\lambda(A)=0$이므로 $$\lambda(B)<\epsilon$$ 이다. $B$는 유한개($m$개)의 서로소인 반 열린구간들의 합집합이므로 $m$개의 열린구간 $B^{(k)},\,k=1,\,2,\,...,\,m$가 존재해서 다음을 만족한다. $$(2)\,B\subset\bigcup_{k=1}^{m}{B^{(k)}},\,\lambda(B)<\sum_{k=1}^{m}{\lambda(B^{(k)})}<\epsilon$$ $B^{(k)}=\zeta^{(k)}+C^{(k)}$라 하자. 여기서 $$\zeta^{(k)}\in\mathbb{R}^{n},\,C^{(k)}=(-h_{1}^{(k)},\,h_{1}^{(k)})\times\cdots\times(-h_{n}^{(k)},\,h_{n}^{(k)})\subset\mathbb{R}^{n}$$ 이다. $C^{(k)}$는 열린구간이고, $\tilde{\chi}_{a_{j},\,b_{j}}$, 앞에서 얻은 식 (*)로부터 다음의 부등식을 얻는다. $$\begin{align*}(\text{#})\,\mu(\zeta^{(k)}+C^{(k)})&\leq\frac{1}{(2\pi)^{n}}{\int_{\mathbb{R}^{n}}{\frac{1}{-i\eta_{j}}\{e^{-i(\zeta_{j}^{(k)}+h_{j}^{(k)}\eta_{j})}-e^{-i(\zeta_{j}^{(k)}-h_{j}^{(k)}\eta_{j})}\}\varphi(\eta)d\lambda(\eta)}}\\&=\frac{\lambda(C^{(k)})}{(2\pi)^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\prod_{j=1}^{n}{\frac{\sin\eta_{j}h_{j}^{(k)}}{\eta_{j}h_{j}^{(k)}}e^{-i\zeta_{j}^{(k)}\eta_{j}}}\varphi(\eta)d\lambda(\eta)}\end{align*}$$ $\eta_{j}\in\mathbb{R}$에 대해 $\displaystyle\left|\frac{\sin\eta_{j}h_{j}^{(k)}}{\eta_{j}h_{j}^{(k)}}\right|\leq1$이고, $\lambda(C^{(k)})=\lambda(B^{(k)})$이므로 다음의 부등식을 얻는다. $$\mu(B^{(k)})=\mu(\zeta^{(k)}+C^{(k)})\leq\frac{\lambda(B^{(k)})}{(2\pi)^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{|\varphi(\eta)|d\lambda(\eta)}$$ 그러면 부등식 (2)에 의해 $$\mu(B)\leq\sum_{k=1}^{m}{\mu(B^{(k)})}\leq\frac{\epsilon}{(2\pi)^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{|\varphi(\eta)|d\lambda(\eta)}$$ 이고 위의 부등식을 부등식 (1)에 대입하면 다음의 부등식을 얻는다. $$\mu(A)<\epsilon\left\{\frac{1}{(2\pi)^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{|\varphi(\eta)|d\lambda(\eta)}+1\right\}$$ $\epsilon$은 임의의 양수이므로 $\mu(A)=0$이다. 따라서 $\mu$는 $\lambda$에 대해 절대연속이다.

이제 라돈-니코딤 도함수를 구하자. $\mu$가 $\lambda$에 대해 절대연속이므로 열린구간 $C^{(k)}$의 경계점들의 집합의 $\mu$측도값은 0이다. 따라서 부등식 (#)에서 $\leq$는 $<$로 대치할 수 있고, 대치한 부등식을 $\zeta+C_{h}$에 적용해 다음의 등식을 얻는다. $$\int_{\zeta+C_{h}}{\frac{d\mu}{d\lambda}(\xi)d\lambda(\xi)}=\mu(\xi+C_{h})=\frac{\lambda(C_{h})}{(2\pi)^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\prod_{j=1}^{n}{\frac{\sin\eta_{j}h}{\eta_{j}h}}e^{-i\zeta_{j}\eta_{j}}\varphi(\eta)d\lambda(\eta)}$$ 위 등식의 양변에 극한 $h\,\rightarrow\,0$을 취하자. 이때 $$\begin{align*}&\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{\lambda(C_{h})}\int_{\zeta+C_{h}}{\frac{d\mu}{d\lambda}(\xi)d\lambda(\xi)}}=\frac{d\mu}{d\lambda}(J),\,\lambda-a.e.\,\zeta\in\mathbb{R}^{n}\\&\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{(2\pi)^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\prod_{j=1}^{n}{\frac{\sin\eta_{j}h}{\eta_{j}h}e^{-i\eta_{j}\zeta_{j}}}\varphi(\eta)d\lambda(\eta)}}=\frac{1}{(2\pi)^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-i\langle\zeta,\,\eta\rangle}\varphi(\eta)d\lambda(\eta)}\end{align*}$$ 이므로 다음의 결과를 얻는다. $$\frac{d\mu}{d\lambda}(\zeta)=\frac{1}{(2\pi)^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-i\langle\zeta,\,\eta\rangle}\varphi(\eta)d\lambda(\eta)},\,\lambda-a.e.\,\zeta\in\mathbb{R}^{n}$$ 성질 3.31과 정리 3.34로부터 다음의 정리(조건부기댓값에 대한 반전정리)를 얻는다.

정리 3.35 $Y$, $X$를 각각 $(\Omega,\,\mathcal{B},\,P)$에서 정의된 확률변수와 $n$차원 확률벡터, $E(|Y|)<\infty$라 하자. $X$의 확률분포 $P_{X}$가 르베그측도 $\lambda$에 대해 절대연속($P_{X}\ll\lambda$)이라고 하자. 

$E(e^{i\langle u,\,X\rangle}Y)$가 $u$의 함수로서 $\mathbb{R}^{n}$에서 르베그적분 가능하다고 하면, 주어진 $X$에 대한 $Y$의 조건부기댓값은 다음과 같다. $$E(Y|X)(\xi)\frac{dP_{X}}{d\lambda}(\xi)=\frac{1}{(2\pi)^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-i\langle u,\,\xi\rangle}E(e^{i\langle u,\,X\rangle}Y)d\lambda(u)},\,\xi\in\mathbb{R}^{n}$$ 증명: $Y:\Omega\,\rightarrow\,\mathbb{R}$는 가측함수이므로 주어진 $X$에 대한 $Y$의 정규 조건분포 $P(Y|X)$가 존재한다. 고정된 $u\in\mathbb{R}^{n}$에 대해 $f:\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{C}$를 다음과 같이 정의하자. $$f(\xi,\,\eta)=e^{i\langle u,\,\xi\rangle}\eta,\,\xi\in\mathbb{R}^{n},\,\eta\in\mathbb{R}$$ 그러면 성질 3.29와 3.31의 증명과정으로부터 다음의 식을 얻는다. $$\begin{align*}\,(3)E(e^{i\langle u,\,X\rangle}Y)&=\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{i\langle u,\,\xi\rangle}\int_{\mathbb{R}}{\eta dP(Y|X)(\eta,\,\xi)}dP_{X}(\xi)}\\&=\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{i\langle u,\,\xi\rangle}E(Y|X)(\xi)dP_{X}(\xi)}\end{align*}$$ $F\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$에 대해 집합함수 $\mu$를 다음과 같이 정의하자. $$\mu(F)=\int_{F}{E(Y|X)(\xi)dP_{X}(\xi)}$$ $E(Y|X)$는 $\mathbb{R}^{n}$에서 $P_{X}-$적분가능하므로 $\mu$는 $(\mathbb{R}^{n},\,\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n}))$에서 유한 부호측도이고 $\mu\ll P_{X}$이다. 또한 다음이 성립한다. $$\frac{d\mu}{dP_{X}}=E(Y|X)$$ 식 (3)에 의해 $E(e^{i\langle u,\,X\rangle}Y),\,u\in\mathbb{R}^{n}$은 $\mu$의 특성함수이고, 가정에 의해 이 특성함수는 르베그적분 가능하다. 정리3.34를 $\mu$의 양수부와 음수부에 적용해 다음의 식을 얻고 $$\frac{d\mu}{d\lambda}(\xi)=\frac{1}{(2\pi)^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{i\langle u,\,\xi\rangle}E(e^{i\langle u,\,X\rangle}Y)d\lambda(u)},\,\lambda-a.e.\,\xi\in\mathbb{R}^{n}$$ $\mu$의 정의에 의해 $$\frac{d\mu}{d\lambda}=E(Y|X)(\xi)\frac{dP_{X}}{d\lambda}(\xi),\,\lambda-a.e.\,\xi\in\mathbb{R}^{n}$$ 이므로 원하는 결과를 얻는다.

참고자료:

위너 적분론, 장건수, 민음사