3-4 가우스 과정에 대한 확률적분

3-4 가우스 과정에 대한 확률적분

여기서는 브라운 운동과정을 포함하는 어떤 가우스 과정에 대한 \(L_{2}([a,\,b])\)함수들의 확률적분을 정의하고 그 성질을 조사할 것이다.

\((\Omega,\,\mathcal{B},\,P)\)와 \([0,\,1]\)에서 저으이된 가우스 과정 \(X\)가 다음의 조건들을 만족한다고 하자.

(3.1) 평균함수 \(m(t)=0\)

(3.2) 공분산함수 \(r(s,\,t)\)는 \([0,\,1]\times[0,\,1]\) 

(3.3) \(\displaystyle\frac{\partial^{2}r}{\partial s^{2}}\)와 \(\displaystyle\frac{\partial^{2}r}{\partial t\partial s}\)가 존재하고 삼각형 \(\triangle_{1}\), \(\triangle_{2}\)에서 유계이다.$$\begin{align*}\triangle_{1}&=\{(s,\,t)\in[0,\,1]\times[0,\,1]\,|\,s\in(0,\,t),\,t\in(0,\,1)\}\\ \triangle_{2}&=\{(s,\,t)\in[0,\,1]\times[0,\,1]\,|\,s\in(t,\,1),\,t\in(0,\,1)\}\end{align*}$$(3.4) \(\displaystyle\frac{\partial^{2}r}{\partial t\partial s}\)는 \(\triangle_{1}\cup\triangle_{2}\)에서 a.e.연속이다. 

*(3.2)와 (3.3)은 강한 극한정리에서 가정한 조건이고, (3.2)와 (3.3)을 만족하는 가우스 과정을 박스터(Baxter) 과정이라고 한다. 

\(C([0,\,1])\)를 \([0,\,1]\)에서 정의된 연속함수들의 \(L_{2}([0,\,1])\)에서의 동치류들의 집합이라 하자. 그러면 \(C([0,\,1])\)은 \(L_{2}([0,\,1])\)의 조밀한 부분공간이다. 이제 \(f\in C([0,\,1])\)에 대한 확률적분을 먼저 정의하고 이 정의를 \(L_{2}([0,\,1])\)로 확장한다.

보조정리 3.19 함수 \(r:[0,\,1]\times[0,\,1]\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)이 조건 (3.2), (3.3), (3.4)를 만족하는 양의 정부호 대칭함수라 하자.$$\alpha(t)=D^{-}(t)-D^{+}(t),\,t\in(0,\,1)\,\left(D^{-}(t)=\lim_{s\,\rightarrow\,t-}{\frac{r(s,\,t)-r(t,\,t)}{s-t}},\,D^{+}(t)=\lim_{s\,\rightarrow\,t+}{\frac{r(s,\,t)-r(t,\,t)}{s-t}}\right)$$로 놓고 \([0,\,1]\)의 분할 \(P\)$$P:0=a_{0}<a_{1}<\cdots<a_{q}=1$$에 대해 다음의 기호를 정의하자.$$\begin{align*}\triangle r_{k,\,l}&=r(a_{k},\,a_{l})-r(a_{k-1},\,a_{l})-r(a_{k},\,a_{l-1})+r(a_{k-1},\,a_{l-1})\,(l,\,k=1,\,2,\,...,\,q)\\ S_{0}(P)&=\sum_{k=1}^{q}{\triangle r_{k,\,k}}\\S_{1}(P)&=\sum_{k\neq l}{\triangle r_{k,\,l}}\\S_{2}(P)&=\sum_{k\neq l}{|\triangle r_{k,\,l}|}\\|P|&=\max_{1\leq k\leq q}(a_{k}-a_{k-1})\end{align*}$$그러면 모든 \(c>0\)에 대해 \(\eta>0\)가 존재해서 다음을 만족한다.$$\begin{align*}&\left|S_{0}(P)-\int_{[0,\,1]}{\alpha(t)d\lambda(t)}\right|<c\\&\left|S_{1}(P)-\int_{[0,\,1]\times[0,\,1]}{\frac{\partial^{2}r}{\partial t\partial s}(s,\,t)d\lambda(s,\,t)}\right|<c\\&\left|S_{2}(P)-\int_{[0,\,1]\times[0,\,1]}{\left|\frac{\partial^{2}r}{\partial t\partial s}(s,\,t)\right|d\lambda(s,\,t)}\right|<c\end{align*}$$증명: 생략

정리 3.20 \(X\)가 (3.1), (3.2), (3.3), (3.4)를 만족하는 가우스 과정이라고 하자. \(P^{n}\)을 \([0,\,1]\)의 분할$$0=a_{n,\,0}<a_{n,\,1}<\cdots<a_{m,\,q(n)}=1,\,n\in\mathbb{N}$$이라 하고, \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{|P^{n}|}=0\)이라 하자.$$\alpha^{n}=\{\alpha_{n,\,k}\in[a_{n,\,k-1},\,a_{n,\,k}]\,|\,k=1,\,2,\,...,\,q(n)\}$$이라 하고, \(f\in C([0,\,1])\)의 리만-스틸체스 합을 모든 \(\omega\in\Omega\)에 대해 다음과 같이 정의하자.$$S(f,\,P^{n},\,\alpha^{n})(\omega)=\sum_{k=1}^{q(n)}{f(\alpha_{n,\,k})\{X(a_{n,\,k},\,\omega)-X(a_{n,\,k-1},\,\omega)\}}$$그러면 \(\{S(f,\,P^{n},\,\alpha^{n})\,|\,n\in\mathbb{N}\}\)는 \(L_{2}(\Omega)\)에서 코시수열이다. 이 코시수열이 \(L_{2}(\Omega)\)에서 수렴하는 극한은 \(f\)에 의해 결정되고 \(\{P^{n}\}\)과 \(\{\alpha^{n}\}\)과는 독립적이다.

증명: 생략

정리 3.21 \(f,\,g\in C([0,\,1])\), \(a,\,b\in\mathbb{R}\)일 때, 다음의 성질들이 성립한다.

(1) \(I(af+bg)=aI(f)+bI(g)\) 

(2) \(E(I(f))=0\) 

(3) \(\displaystyle\langle I(f),\,I(g)\rangle=\int_{[0,\,1]}{f(t)g(t)\alpha(t)d\lambda(t)}+\int_{[0,\,1]\times[0,\,1]}{f(s)g(t)\frac{\partial^{2}r}{\partial t\partial s}d\lambda(s,\,t)}\) 

(4) \(\displaystyle\|I(f)\|^{2}=\int_{[0,\,1]}{|f(t)|^{2}\alpha(t)d\lambda(t)}+\int_{[0,\,1]\times[0,\,1]}{f(s)f(t)\frac{\partial^{2}r}{\partial t\partial s}d\lambda(s,\,t)}\) 

(5) \(I(f)\,\sim\,N(0,\,\|I(f)\|^{2})\) 

(6) \(\{I(f)\,|\,f\in C([0,\,1])\}\)은 가우스 과정이다. 

증명: 

(1): \(P^{n}\), \(\alpha^{n}\)을 정리 3.20에서 정의되었다고 하자. 그러면 다음의 결과에 의해 성립한다.$$S(af+bg,\,P^{n},\,\alpha^{n})=aS(f,\,P^{n},\,\alpha^{n})+bS(g,\,P^{n},\,\alpha^{n})$$(2): 다음의 결과로부터 성립한다.$$\begin{align*}E(S(f,\,P^{n},\,\alpha^{n}))&=\sum_{k=1}^{q(n)}{f(a_{n,\,k})\{E(X(a_{n,\,k}))-E(X(a_{n,\,k-1}))\}}=0\\ E(I(f))&=\langle I(f),\,1\rangle=\langle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S(f,\,P^{n},\,\alpha^{n})},\,1\rangle\\&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\langle S(f,\,P^{n},\,\alpha^{n}),\,1\rangle}\\&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{E(S(f,\,P^{n},\,\alpha^{n}))}\\&=0\end{align*}$$ 

(3):$$\begin{align*}&\langle I(f),\,I(g)\rangle=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\langle S(f,\,P^{n},\,\alpha^{n}),\,S(g,\,P^{n},\,\alpha^{n})\rangle}\\&P^{n}:0=a_{0}<a_{1}<\cdots<a_{q}=1,\,\alpha_{k}=a_{k},\,l=1,\,2,\,...,\,q\end{align*}$$라 하자. 그러면 다음의 두 등식들이 성립한다.$$\begin{align*}S(f,\,P^{n},\,\alpha^{n})&=\sum_{k=1}^{q}{f(a_{k})\{X(a_{k})-X(a_{k-1})\}}\\S(g,\,P^{n},\,\alpha^{n})&=\sum_{k=1}^{q}{g(a_{k})\{X(a_{k})-X(a_{k-1})\}}\end{align*}$$\(\triangle r_{k,\,l}=\langle X(a_{k})-X(a_{k-1}),\,X(a_{l}-a_{l-1})\rangle\)이므로 다음의 등식이 성립한다.$$\langle S(f,\,P^{n},\,\alpha^{n}),\,S(g,\,P^{n},\,\alpha^{n})\rangle=\sum_{k=1}^{q}{f(a_{k})g(a_{k})\triangle r_{k,\,k}}+\sum_{k\neq l}{f(a_{k})g(a_{l})\triangle r_{k,\,l}}$$\(\triangle r_{k,\,k}\)는 다음과 같고$$\begin{align*}\triangle r_{k,\,k}&=\left\{\frac{\partial r}{\partial s}(a_{k}',\,a_{k})-\frac{\partial r}{\partial s}(a_{k}'',\,a_{k-1})\right\}(a_{k}-a_{k-1})\\&=\{D^{-}(a_{k})-D^{+}(a_{k})+O(a_{k}-a_{k-1})\}(a_{k}-a_{k-1})\\&=\{\alpha(a_{k})+Q(a_{k}-a_{k-1})\}(a_{k}-a_{k-1})\,(a',\,a''\in(a_{k-1},\,a_{k}))\end{align*}$$\(\alpha\)는 \((0,\,1)\)에서 유계이고 연속이고, \(f\)와 \(g\)는 \([0,\,1]\)에서 연속이므로 \(fg\alpha\)는 \([0,\,1]\)에서 르베그적분 가능하고 이상 리만적분 \(\displaystyle\int_{0}^{1}{f(t)g(t)\alpha(t)dt}\)는 르베그적분으로 수렴한다. 따라서 다음의 두 등식들을 얻는다.$$\begin{align*}\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{q}{f(a_{k})g(a_{k})\triangle r_{k,\,k}}}&=\int_{[0,\,1]}{f(t)g(t)\alpha(t)d\lambda(t)}\\ \lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k\neq l}{f(a_{k})g(a_{l})\triangle r_{k,\,l}}}&=\int_{[0,\,1]\times[0,\,1]}{f(s)g(t)\frac{\partial^{2}r}{\partial t\partial s}(s,\,t)d\lambda(s,\,t)}\end{align*}$$따라서 원하는 결과를 얻는다.

(4): (3)에서 \(f=g\)인 경우이다.

(5), (6): 정리 3.12의 (4)와 (6)과 같은 방법으로 증명한다. 

정리 3.22 \(X\)를 정리 3.20의 가우스 과정이라고 하자. 모든 \(\omega\in\Omega\)에 대해 \(X(\cdot,\,\omega)\)가 \([0,\,1]\)에서 연속이라고 하면 모든 \(f\in C([0,\,1])\cap BV([0,\,1])\)에 대해 다음의 등식이 성립한다.$$I(f)(\omega)=\int_{0}^{1}{f(t)dX(t,\,\omega)},\,a.e.\,\omega\in\Omega$$증명: \([0,\,1]\)에서 \(f\)가 유계변동이고 \(X(\cdot,\,\omega)\)가 연속이므로 \(I(f)(\omega)\)의 적분은 모든 \(\omega\in\Omega\)에 대해 존재한다. \(\{S(f,\,P^{n},\,\alpha^{n})\}\)이 \(L_{2}(\Omega)\)에서 \(I(f)\)로 수렴하므로, 부분수열 \(\{n_{k}\}\)가 존재해서 다음의 식이 성립한다.$$\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{S(f,\,P^{n_{k}},\,\alpha^{n_{k}})}(\omega)=I(f)(\omega),\,a.e.\,\omega\in\Omega$$그런데 모든 \(\omega\in\Omega\)에 대해 다음의 등식이 성립하므로 정리가 증명되었다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S(f,\,P^{n_{k}},\,\alpha^{n_{k}})}=\int_{0}^{1}{f(t)dX(t,\,\omega)}$$보조정리 3.23 \(f\in L_{2}([0,\,1])\), \(f_{n}\in C([0,\,1])\), \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\|f_{n}-f\|}=0\)이라 하자. 그러면 \(\{I(f_{n})\,|\,n\in\mathbb{N}\}\)은 \(L_{2}(\Omega)\)에서 코시수열이고, 이 수열이 수렴하는 극한은 \(\{f_{n}\}\)과는 독립적이다.

증명: 정리 3.21의 (1)과 (2)에 의해$$\begin{align*}&\|I(f_{m})-I(f_{n})\|^{2}=\|I(f_{m}-f_{n})\|^{2}\\&\leq\int_{[0,\,1]}{|f_{m}(t)-f_{n}(t)|^{2}\alpha(t)d\lambda(t)}+\int_{[0,\,1]\times[0,\,1]}{|f_{m}(s)-f_{n}(s)||f_{m}(t)-f_{n}(t)|\left|\frac{\partial^{2}r}{\partial t\partial s}\right|d\lambda(s,\,t)}\\&\leq A\|f_{m}-f_{n}\|^{2}+B\|f_{m}-f_{n}\|_{1}^{2}\,\left(A=\sup_{t\in[0,\,1]}{|\alpha(t)|},\,B=\sup_{\triangle_{1}\cup\triangle_{2}}{\left|\frac{\partial^{2}r}{\partial t\partial s}(s,\,t)\right|}\right)\end{align*}$$이고 또한 다음이 성립한다.$$\|f_{m}-f_{n}\|_{1}=\int_{[0,\,1]}{|f_{m}(t)-f_{n}(t)|d\lambda(t)}\leq\|f_{m}-f_{n}\|$$따라서 \(\{f_{n}\}\)이 \(L_{2}([0,\,1])\)에서 코시수열이라는 사실로부터 \(\{I(f_{n})\}\)은 \(L_{2}(\Omega)\)에서 코시수열이다.

\(g_{n}\in C([0,\,1])\), \(\|g_{n}-f\|\,\rightarrow\,0\)이라 하자. 그러면 \(\{f_{1},\,g_{1},\,f_{2},\,g_{2},\,...\}\)은 \(C([0,\,1])\)의 원소들의 수열이고 \(f\in L_{2}([0,\,1])\)로 수렴하므로 \(\{I(f_{1}),\,I(g_{1}),\,...\}\)은 \(L_{2}(\Omega)\)에서 코시수열이 된다. \(\{I(f_{n})\}\)과 \(\{I(g_{n})\}\)은 이 코시수열의 부분수열이므로 \(L_{2}(\Omega)\)에서 수렴하고 동일한 극한을 갖는다.

정의 3.24 보조정리 3.23에서 수열 \(\{I(f_{n})\}\)이 \(L_{2}(\Omega)\)로 수렴하는 극한을 \(I(f)\)로 놓고, 이 \(I(f)\)를 가우스 과정 \(X\)에 대한 \(f\in L_{2}([0,\,1])\)의 확률적분이라고 한다.

정리 3.25 \(f\in L_{2}([0,\,1])\)의 확률적분 \(I(f)\)는 정리 3.21의 (1), (2), (3), (4), (5)를 만족한다. 또한 다음의 성질도 성립한다.

(6) \(\{I(f)\,|\,f\in L_{2}([0,\,1])\}\)은 가우스 과정이다. 

증명:

(1): \(f_{n},\,g_{n}\in C([0,\,1])\)이고 \(\|f_{n}-f\|\,\rightarrow\,0\), \(\|g_{n}-g\|\,\rightarrow\,0\)이라 하자. 그러면$$\|(af_{n}+bg_{n})-(af+bg)\|\,\rightarrow\,0$$이므로 (1)이 성립한다.

(2): 다음의 등식으로부터 성립한다.$$E(I(f))=\langle I(f),\,1\rangle=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\langle I(f_{n}),\,1\rangle}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{E(I(f_{n}))}=0$$(3): \(\displaystyle\langle I(f),\,I(g)\rangle=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\langle I(f_{n}),\,I(g_{n})\rangle}\)이고, \(C([0,\,1])\)에서 성립하므로 \(L_{2}([0,\,1])\)에서 성립함을 보이기 위해 다음의 식이 성립함을 보이면 된다.$$\begin{align*}&\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left\{\int_{[0,\,1]}{f_{n}(t)g_{n}(t)\alpha(t)d\lambda(t)}+\int_{[0,\,1]\times[0,\,1]}{f_{n}(s)g_{n}(t)\frac{\partial^{2}r}{\partial t\partial s}d\lambda(s,\,t)}\right\}}\\&=\int_{[0,\,1]}{f(t)g(t)\alpha(t)d\lambda(t)}+\int_{[0,\,1]\times[0,\,1]}{f(s)g(t)\frac{\partial^{2}r}{\partial s\partial t}d\lambda(s,\,t)}\end{align*}$$보조정리 3.23의 증명과정에서의 \(A,\,B\), \(\|\cdot\|_{1}\)에 대해 다음의 식을 얻고,$$\begin{align*}&\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left|\int_{[0,\,1]}{f_{n}(t)g_{n}(t)\alpha(t)d\lambda(t)}-\int_{[0,\,1]}{f(t)g(t)\alpha(t)d\lambda(t)}\right|}\\&\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{A\int_{[0,\,1]}{\{|g_{n}(t)||f_{n}(t)-f(t)|+|f(t)||g_{n}(t)-g(t)|\}d\lambda(t)}}\\&\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{A\{\|g_{n}\|\|f_{n}-f\|+\|f\|\|g_{n}-g\|\}}=0\end{align*}$$같은 방법으로 다음의 식을 얻는다.$$\begin{align*}&\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left|\int_{[0,\,1]\times[0,\,1]}{f_{n}(s)g_{n}(t)\frac{\partial^{2}r}{\partial t\partial s}d\lambda(s,\,t)}\right|}-\int_{[0,\,1]\times[0,\,1]}{f(s)g(s)\frac{\partial^{2}r}{\partial t\partial s}d\lambda(s,\,t)}\\&\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{B\int_{[0,\,1]\times[0,\,1]}{\{|g_{n}(t)||f_{n}(s)-f(s)|+|f(s)||g_{n}(t)-g(t)|\}d\lambda(s,\,t)}}\\&\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{B\{\|g_{n}\|_{1}\|f_{n}-f\|_{1}+\|f\|_{1}\|g_{n}-g\|_{1}\}}=0\end{align*}$$이렇게 해서 (3)을 증명했다.

(4): (3)에서 \(f=g\)인 경우이다.

(5), (6): 정리 3.21의 (4)와 (6)의 증명과 같은 방법으로 얻는다.

참고자료:

위너 적분론, 장건수, 민음사