3-4 가우스 과정에 대한 확률적분

3-4 가우스 과정에 대한 확률적분

여기서는 브라운 운동과정을 포함하는 어떤 가우스 과정에 대한 $L_{2}([a,\,b])$함수들의 확률적분을 정의하고 그 성질을 조사할 것이다.

$(\Omega,\,\mathcal{B},\,P)$와 $[0,\,1]$에서 저으이된 가우스 과정 $X$가 다음의 조건들을 만족한다고 하자.

(3.1) 평균함수 $m(t)=0$

(3.2) 공분산함수 $r(s,\,t)$는 $[0,\,1]\times[0,\,1]$ 

(3.3) $\displaystyle\frac{\partial^{2}r}{\partial s^{2}}$와 $\displaystyle\frac{\partial^{2}r}{\partial t\partial s}$가 존재하고 삼각형 $\triangle_{1}$, $\triangle_{2}$에서 유계이다. $$\begin{align*}\triangle_{1}&=\{(s,\,t)\in[0,\,1]\times[0,\,1]\,|\,s\in(0,\,t),\,t\in(0,\,1)\}\\ \triangle_{2}&=\{(s,\,t)\in[0,\,1]\times[0,\,1]\,|\,s\in(t,\,1),\,t\in(0,\,1)\}\end{align*}$$ (3.4) $\displaystyle\frac{\partial^{2}r}{\partial t\partial s}$는 $\triangle_{1}\cup\triangle_{2}$에서 a.e.연속이다. 

*(3.2)와 (3.3)은 강한 극한정리에서 가정한 조건이고, (3.2)와 (3.3)을 만족하는 가우스 과정을 박스터(Baxter) 과정이라고 한다. 

$C([0,\,1])$를 $[0,\,1]$에서 정의된 연속함수들의 $L_{2}([0,\,1])$에서의 동치류들의 집합이라 하자. 그러면 $C([0,\,1])$은 $L_{2}([0,\,1])$의 조밀한 부분공간이다. 이제 $f\in C([0,\,1])$에 대한 확률적분을 먼저 정의하고 이 정의를 $L_{2}([0,\,1])$로 확장한다.

보조정리 3.19 함수 $r:[0,\,1]\times[0,\,1]\,\rightarrow\,\mathbb{R}$이 조건 (3.2), (3.3), (3.4)를 만족하는 양의 정부호 대칭함수라 하자. $$\alpha(t)=D^{-}(t)-D^{+}(t),\,t\in(0,\,1)\,\left(D^{-}(t)=\lim_{s\,\rightarrow\,t-}{\frac{r(s,\,t)-r(t,\,t)}{s-t}},\,D^{+}(t)=\lim_{s\,\rightarrow\,t+}{\frac{r(s,\,t)-r(t,\,t)}{s-t}}\right)$$ 로 놓고 $[0,\,1]$의 분할 $P$ $$P:0=a_{0}<a_{1}<\cdots<a_{q}=1$$ 에 대해 다음의 기호를 정의하자. $$\begin{align*}\triangle r_{k,\,l}&=r(a_{k},\,a_{l})-r(a_{k-1},\,a_{l})-r(a_{k},\,a_{l-1})+r(a_{k-1},\,a_{l-1})\,(l,\,k=1,\,2,\,...,\,q)\\ S_{0}(P)&=\sum_{k=1}^{q}{\triangle r_{k,\,k}}\\S_{1}(P)&=\sum_{k\neq l}{\triangle r_{k,\,l}}\\S_{2}(P)&=\sum_{k\neq l}{|\triangle r_{k,\,l}|}\\|P|&=\max_{1\leq k\leq q}(a_{k}-a_{k-1})\end{align*}$$ 그러면 모든 $c>0$에 대해 $\eta>0$가 존재해서 다음을 만족한다. $$\begin{align*}&\left|S_{0}(P)-\int_{[0,\,1]}{\alpha(t)d\lambda(t)}\right|<c\\&\left|S_{1}(P)-\int_{[0,\,1]\times[0,\,1]}{\frac{\partial^{2}r}{\partial t\partial s}(s,\,t)d\lambda(s,\,t)}\right|<c\\&\left|S_{2}(P)-\int_{[0,\,1]\times[0,\,1]}{\left|\frac{\partial^{2}r}{\partial t\partial s}(s,\,t)\right|d\lambda(s,\,t)}\right|<c\end{align*}$$ 증명: 생략

정리 3.20 $X$가 (3.1), (3.2), (3.3), (3.4)를 만족하는 가우스 과정이라고 하자. $P^{n}$을 $[0,\,1]$의 분할 $$0=a_{n,\,0}<a_{n,\,1}<\cdots<a_{m,\,q(n)}=1,\,n\in\mathbb{N}$$ 이라 하고, $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{|P^{n}|}=0$이라 하자. $$\alpha^{n}=\{\alpha_{n,\,k}\in[a_{n,\,k-1},\,a_{n,\,k}]\,|\,k=1,\,2,\,...,\,q(n)\}$$ 이라 하고, $f\in C([0,\,1])$의 리만-스틸체스 합을 모든 $\omega\in\Omega$에 대해 다음과 같이 정의하자. $$S(f,\,P^{n},\,\alpha^{n})(\omega)=\sum_{k=1}^{q(n)}{f(\alpha_{n,\,k})\{X(a_{n,\,k},\,\omega)-X(a_{n,\,k-1},\,\omega)\}}$$ 그러면 $\{S(f,\,P^{n},\,\alpha^{n})\,|\,n\in\mathbb{N}\}$는 $L_{2}(\Omega)$에서 코시수열이다. 이 코시수열이 $L_{2}(\Omega)$에서 수렴하는 극한은 $f$에 의해 결정되고 $\{P^{n}\}$과 $\{\alpha^{n}\}$과는 독립적이다.

증명: 생략

정리 3.21 $f,\,g\in C([0,\,1])$, $a,\,b\in\mathbb{R}$일 때, 다음의 성질들이 성립한다.

(1) $I(af+bg)=aI(f)+bI(g)$ 

(2) $E(I(f))=0$ 

(3) $\displaystyle\langle I(f),\,I(g)\rangle=\int_{[0,\,1]}{f(t)g(t)\alpha(t)d\lambda(t)}+\int_{[0,\,1]\times[0,\,1]}{f(s)g(t)\frac{\partial^{2}r}{\partial t\partial s}d\lambda(s,\,t)}$ 

(4) $\displaystyle\|I(f)\|^{2}=\int_{[0,\,1]}{|f(t)|^{2}\alpha(t)d\lambda(t)}+\int_{[0,\,1]\times[0,\,1]}{f(s)f(t)\frac{\partial^{2}r}{\partial t\partial s}d\lambda(s,\,t)}$ 

(5) $I(f)\,\sim\,N(0,\,\|I(f)\|^{2})$ 

(6) $\{I(f)\,|\,f\in C([0,\,1])\}$은 가우스 과정이다. 

증명: 

(1): $P^{n}$, $\alpha^{n}$을 정리 3.20에서 정의되었다고 하자. 그러면 다음의 결과에 의해 성립한다. $$S(af+bg,\,P^{n},\,\alpha^{n})=aS(f,\,P^{n},\,\alpha^{n})+bS(g,\,P^{n},\,\alpha^{n})$$ (2): 다음의 결과로부터 성립한다. $$\begin{align*}E(S(f,\,P^{n},\,\alpha^{n}))&=\sum_{k=1}^{q(n)}{f(a_{n,\,k})\{E(X(a_{n,\,k}))-E(X(a_{n,\,k-1}))\}}=0\\ E(I(f))&=\langle I(f),\,1\rangle=\langle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S(f,\,P^{n},\,\alpha^{n})},\,1\rangle\\&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\langle S(f,\,P^{n},\,\alpha^{n}),\,1\rangle}\\&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{E(S(f,\,P^{n},\,\alpha^{n}))}\\&=0\end{align*}$$  

(3): $$\begin{align*}&\langle I(f),\,I(g)\rangle=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\langle S(f,\,P^{n},\,\alpha^{n}),\,S(g,\,P^{n},\,\alpha^{n})\rangle}\\&P^{n}:0=a_{0}<a_{1}<\cdots<a_{q}=1,\,\alpha_{k}=a_{k},\,l=1,\,2,\,...,\,q\end{align*}$$ 라 하자. 그러면 다음의 두 등식들이 성립한다. $$\begin{align*}S(f,\,P^{n},\,\alpha^{n})&=\sum_{k=1}^{q}{f(a_{k})\{X(a_{k})-X(a_{k-1})\}}\\S(g,\,P^{n},\,\alpha^{n})&=\sum_{k=1}^{q}{g(a_{k})\{X(a_{k})-X(a_{k-1})\}}\end{align*}$$ $\triangle r_{k,\,l}=\langle X(a_{k})-X(a_{k-1}),\,X(a_{l}-a_{l-1})\rangle$이므로 다음의 등식이 성립한다. $$\langle S(f,\,P^{n},\,\alpha^{n}),\,S(g,\,P^{n},\,\alpha^{n})\rangle=\sum_{k=1}^{q}{f(a_{k})g(a_{k})\triangle r_{k,\,k}}+\sum_{k\neq l}{f(a_{k})g(a_{l})\triangle r_{k,\,l}}$$ $\triangle r_{k,\,k}$는 다음과 같고 $$\begin{align*}\triangle r_{k,\,k}&=\left\{\frac{\partial r}{\partial s}(a_{k}',\,a_{k})-\frac{\partial r}{\partial s}(a_{k}'',\,a_{k-1})\right\}(a_{k}-a_{k-1})\\&=\{D^{-}(a_{k})-D^{+}(a_{k})+O(a_{k}-a_{k-1})\}(a_{k}-a_{k-1})\\&=\{\alpha(a_{k})+Q(a_{k}-a_{k-1})\}(a_{k}-a_{k-1})\,(a',\,a''\in(a_{k-1},\,a_{k}))\end{align*}$$ $\alpha$는 $(0,\,1)$에서 유계이고 연속이고, $f$와 $g$는 $[0,\,1]$에서 연속이므로 $fg\alpha$는 $[0,\,1]$에서 르베그적분 가능하고 이상 리만적분 $\displaystyle\int_{0}^{1}{f(t)g(t)\alpha(t)dt}$는 르베그적분으로 수렴한다. 따라서 다음의 두 등식들을 얻는다. $$\begin{align*}\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{q}{f(a_{k})g(a_{k})\triangle r_{k,\,k}}}&=\int_{[0,\,1]}{f(t)g(t)\alpha(t)d\lambda(t)}\\ \lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k\neq l}{f(a_{k})g(a_{l})\triangle r_{k,\,l}}}&=\int_{[0,\,1]\times[0,\,1]}{f(s)g(t)\frac{\partial^{2}r}{\partial t\partial s}(s,\,t)d\lambda(s,\,t)}\end{align*}$$ 따라서 원하는 결과를 얻는다.

(4): (3)에서 $f=g$인 경우이다.

(5), (6): 정리 3.12의 (4)와 (6)과 같은 방법으로 증명한다. 

정리 3.22 $X$를 정리 3.20의 가우스 과정이라고 하자. 모든 $\omega\in\Omega$에 대해 $X(\cdot,\,\omega)$가 $[0,\,1]$에서 연속이라고 하면 모든 $f\in C([0,\,1])\cap BV([0,\,1])$에 대해 다음의 등식이 성립한다. $$I(f)(\omega)=\int_{0}^{1}{f(t)dX(t,\,\omega)},\,a.e.\,\omega\in\Omega$$ 증명: $[0,\,1]$에서 $f$가 유계변동이고 $X(\cdot,\,\omega)$가 연속이므로 $I(f)(\omega)$의 적분은 모든 $\omega\in\Omega$에 대해 존재한다. $\{S(f,\,P^{n},\,\alpha^{n})\}$이 $L_{2}(\Omega)$에서 $I(f)$로 수렴하므로, 부분수열 $\{n_{k}\}$가 존재해서 다음의 식이 성립한다. $$\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{S(f,\,P^{n_{k}},\,\alpha^{n_{k}})}(\omega)=I(f)(\omega),\,a.e.\,\omega\in\Omega$$ 그런데 모든 $\omega\in\Omega$에 대해 다음의 등식이 성립하므로 정리가 증명되었다. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S(f,\,P^{n_{k}},\,\alpha^{n_{k}})}=\int_{0}^{1}{f(t)dX(t,\,\omega)}$$ 보조정리 3.23 $f\in L_{2}([0,\,1])$, $f_{n}\in C([0,\,1])$, $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\|f_{n}-f\|}=0$이라 하자. 그러면 $\{I(f_{n})\,|\,n\in\mathbb{N}\}$은 $L_{2}(\Omega)$에서 코시수열이고, 이 수열이 수렴하는 극한은 $\{f_{n}\}$과는 독립적이다.

증명: 정리 3.21의 (1)과 (2)에 의해 $$\begin{align*}&\|I(f_{m})-I(f_{n})\|^{2}=\|I(f_{m}-f_{n})\|^{2}\\&\leq\int_{[0,\,1]}{|f_{m}(t)-f_{n}(t)|^{2}\alpha(t)d\lambda(t)}+\int_{[0,\,1]\times[0,\,1]}{|f_{m}(s)-f_{n}(s)||f_{m}(t)-f_{n}(t)|\left|\frac{\partial^{2}r}{\partial t\partial s}\right|d\lambda(s,\,t)}\\&\leq A\|f_{m}-f_{n}\|^{2}+B\|f_{m}-f_{n}\|_{1}^{2}\,\left(A=\sup_{t\in[0,\,1]}{|\alpha(t)|},\,B=\sup_{\triangle_{1}\cup\triangle_{2}}{\left|\frac{\partial^{2}r}{\partial t\partial s}(s,\,t)\right|}\right)\end{align*}$$ 이고 또한 다음이 성립한다. $$\|f_{m}-f_{n}\|_{1}=\int_{[0,\,1]}{|f_{m}(t)-f_{n}(t)|d\lambda(t)}\leq\|f_{m}-f_{n}\|$$ 따라서 $\{f_{n}\}$이 $L_{2}([0,\,1])$에서 코시수열이라는 사실로부터 $\{I(f_{n})\}$은 $L_{2}(\Omega)$에서 코시수열이다.

$g_{n}\in C([0,\,1])$, $\|g_{n}-f\|\,\rightarrow\,0$이라 하자. 그러면 $\{f_{1},\,g_{1},\,f_{2},\,g_{2},\,...\}$은 $C([0,\,1])$의 원소들의 수열이고 $f\in L_{2}([0,\,1])$로 수렴하므로 $\{I(f_{1}),\,I(g_{1}),\,...\}$은 $L_{2}(\Omega)$에서 코시수열이 된다. $\{I(f_{n})\}$과 $\{I(g_{n})\}$은 이 코시수열의 부분수열이므로 $L_{2}(\Omega)$에서 수렴하고 동일한 극한을 갖는다.

정의 3.24 보조정리 3.23에서 수열 $\{I(f_{n})\}$이 $L_{2}(\Omega)$로 수렴하는 극한을 $I(f)$로 놓고, 이 $I(f)$를 가우스 과정 $X$에 대한 $f\in L_{2}([0,\,1])$의 확률적분이라고 한다.

정리 3.25 $f\in L_{2}([0,\,1])$의 확률적분 $I(f)$는 정리 3.21의 (1), (2), (3), (4), (5)를 만족한다. 또한 다음의 성질도 성립한다.

(6) $\{I(f)\,|\,f\in L_{2}([0,\,1])\}$은 가우스 과정이다. 

증명:

(1): $f_{n},\,g_{n}\in C([0,\,1])$이고 $\|f_{n}-f\|\,\rightarrow\,0$, $\|g_{n}-g\|\,\rightarrow\,0$이라 하자. 그러면 $$\|(af_{n}+bg_{n})-(af+bg)\|\,\rightarrow\,0$$ 이므로 (1)이 성립한다.

(2): 다음의 등식으로부터 성립한다. $$E(I(f))=\langle I(f),\,1\rangle=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\langle I(f_{n}),\,1\rangle}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{E(I(f_{n}))}=0$$ (3): $\displaystyle\langle I(f),\,I(g)\rangle=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\langle I(f_{n}),\,I(g_{n})\rangle}$이고, $C([0,\,1])$에서 성립하므로 $L_{2}([0,\,1])$에서 성립함을 보이기 위해 다음의 식이 성립함을 보이면 된다. $$\begin{align*}&\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left\{\int_{[0,\,1]}{f_{n}(t)g_{n}(t)\alpha(t)d\lambda(t)}+\int_{[0,\,1]\times[0,\,1]}{f_{n}(s)g_{n}(t)\frac{\partial^{2}r}{\partial t\partial s}d\lambda(s,\,t)}\right\}}\\&=\int_{[0,\,1]}{f(t)g(t)\alpha(t)d\lambda(t)}+\int_{[0,\,1]\times[0,\,1]}{f(s)g(t)\frac{\partial^{2}r}{\partial s\partial t}d\lambda(s,\,t)}\end{align*}$$ 보조정리 3.23의 증명과정에서의 $A,\,B$, $\|\cdot\|_{1}$에 대해 다음의 식을 얻고, $$\begin{align*}&\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left|\int_{[0,\,1]}{f_{n}(t)g_{n}(t)\alpha(t)d\lambda(t)}-\int_{[0,\,1]}{f(t)g(t)\alpha(t)d\lambda(t)}\right|}\\&\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{A\int_{[0,\,1]}{\{|g_{n}(t)||f_{n}(t)-f(t)|+|f(t)||g_{n}(t)-g(t)|\}d\lambda(t)}}\\&\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{A\{\|g_{n}\|\|f_{n}-f\|+\|f\|\|g_{n}-g\|\}}=0\end{align*}$$ 같은 방법으로 다음의 식을 얻는다. $$\begin{align*}&\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left|\int_{[0,\,1]\times[0,\,1]}{f_{n}(s)g_{n}(t)\frac{\partial^{2}r}{\partial t\partial s}d\lambda(s,\,t)}\right|}-\int_{[0,\,1]\times[0,\,1]}{f(s)g(s)\frac{\partial^{2}r}{\partial t\partial s}d\lambda(s,\,t)}\\&\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{B\int_{[0,\,1]\times[0,\,1]}{\{|g_{n}(t)||f_{n}(s)-f(s)|+|f(s)||g_{n}(t)-g(t)|\}d\lambda(s,\,t)}}\\&\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{B\{\|g_{n}\|_{1}\|f_{n}-f\|_{1}+\|f\|_{1}\|g_{n}-g\|_{1}\}}=0\end{align*}$$ 이렇게 해서 (3)을 증명했다.

(4): (3)에서 $f=g$인 경우이다.

(5), (6): 정리 3.21의 (4)와 (6)의 증명과 같은 방법으로 얻는다.

참고자료:

위너 적분론, 장건수, 민음사