3-2 브라운 운동과정에 대한 확률적분(1)

3-2 브라운 운동과정에 대한 확률적분(1)

$(\Omega,\,\mathcal{B},\,P)$를 확률공간, $X$를 이 확률공간에서의 확률변수, $$L_{2}(\Omega)=\{X\,|\,X\,\text{random variable},\,E(X^{2})<\infty\}$$ 위와 같이 정의된 $L_{2}(\Omega)$에서의 내적 $\langle X,\,Y\rangle$를 $$\langle X,\,Y\rangle=E(XY),\,X,\,Y\in L_{2}(\Omega)$$ 로 정의하면 $L_{2}(\Omega)$는 힐베르트 공간이고 $L_{2}(\Omega)$의 원소는 $P-a.e.$에서 같은 확률변수들의 동치류이다.

$\|\cdot\|$를 내적과 관련된 힐베르트 노름이라고 하면 다음의 성질들이 성립한다. $$\begin{align*}E(X^{2})&=\langle X,\,X\rangle=\|X\|^{2}\\E(X)&=\langle X,\,1\rangle\\ \text{Cov}(X,\,Y)&=\langle X-E(X),\,Y-E(Y)\rangle\\ \text{Var}(X)&=\|X-E(X)\|^{2}\end{align*}$$ 여기서 $X$와 $Y$의 공분산은 다음과 같이 정의한다. $$\text{Cov}(X,\,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y)))$$ $[a,\,b]$에서 정의되는 계단함수들의 집합을 $S([a,\,b])$라 하자. 그러면 $S([a,\,b])$는 $L_{2}([a,\,b])$의 조밀 선형부분공간이다. 

여기서 확률적분을 다음과 같이 정의하려고 한다.  

먼저 $S([a,\,b])$에서 $L_{2}(\Omega)$로의 거리보존 선형변환으로서 확률적분을 정의하고, 이 정의를 $L_{2}([a,\,b])$로 확장한다. 이와 같은 변환은 존재한다(Introductory Functional Analysis with Applications-Kreyszig, Wiley 책 참고).

정의 3.7 $B(t,\,\omega)$, $(t,\,\omega)\in[a,\,b]\times\Omega$를 브라운 운동과정, $a.e.\,\omega\in\Omega$에 대해 $B(a,\,\cdot)$를 상수라 하자 $f\in S([a,\,b])$일 때 $$f(x)=\sum_{k=1}^{n}{c_{k}\chi_{J_{k}}(x)}$$ 로 정의하자. 여기서 $c_{k}\in\mathbb{R}$, $J_{k}=[t_{k},\,t_{k+1}]$, $a\leq t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{n+1}\leq b$이다. 

브라운 운동과정 $B$에 대한 함수 $f$의 확률적분 $I(f)$는 다음과 같이 정의되는 확률변수이다. $$I(f)(\omega)=\sum_{k=1}^{n}{c_{k}\left\{B(t_{k+1},\,\omega)-B(t_{k},\,\omega)\right\}},\,\omega\in\Omega$$ $I(f)$는 모든 $\omega\in\Omega$에 대해 정의된다.

정리 3.8 $f,\,g\in S([a,\,b])$, $\alpha,\,\beta\in\mathbb{R}$일 때, 다음의 성질들이 성립한다.

(1) $\langle I(f),\,1\rangle=E(I(f))=0$ 

(2) $\langle I(f),\,I(g)\rangle=\text{Cov}(I(f),\,I(g))=\langle f,\,g\rangle$ 

(3) $\|I(f)\|^{2}=\text{Var}(I(f))=\|f\|^{2}$ 

(4) $I(f)\,\sim\,N(0,\,\|f\|^{2})$ 

(5) $I(\alpha f+\beta g)(\omega)=\alpha I(f)(\omega)+\beta I(g)(\omega)$  

증명: 

(1): 다음의 식으로부터 성립한다. $$E(I(f))=\sum_{k=1}^{n}{c_{k}E(B(t_{k+1},\,\cdot)-B(t_{k},\,\cdot))}=0$$ (2) $\displaystyle f=\sum_{k=1}^{n}{c_{k}\chi_{J_{k}}},\,g=\sum_{k=1}^{n}{d_{k}\chi_{J_{k}}}$라 하자. 그러면 다음의 식으로부터 성립한다. $$\begin{align*}\text{Cov}(I(f),\,I(g))&=\langle I(f)-E(I(f)),\,I(g)-E(I(g))\rangle\\&=\langle I(f),\,I(g)\rangle=E(I(f)I(g))\\&=E\left(\sum_{k=1}^{n}{c_{k}\{B(t_{k+1},\,\cdot)-B(t_{k},\,\cdot)\}}\cdot\sum_{k=1}^{n}{d_{k}\{B(t_{k+1},\,\cdot)-B(t_{k},\,\cdot)\}}\right)\\&=E\left(\sum_{k=1}^{n}{c_{k}d_{k}}\{B(t_{k+1},\,\cdot)-B(t_{k},\,\cdot)\}^{2}\right)+E\left(\sum_{j\neq k}{c_{j}d_{k}\{B(t_{j+1},\,\cdot)-B(t_{j},\,\cdot)\}\{B(t_{k+1},\,\cdot)-B(t_{k},\,\cdot)\}}\right)\\&=\sum_{k=1}^{n}{c_{k}d_{k}\text{Var}(B(t_{k+1},\,\cdot)-B(t_{k},\,\cdot))}+\sum_{j\neq k}{c_{j}d_{k}E(\{B(t_{j+1},\,\cdot)-B(t_{j},\,\cdot)\}\{B(t_{k+1},\,\cdot)-B(t_{k},\,\cdot)\})}\\&=\sum_{k=1}^{n}{c_{k}d_{k}(t_{k+1}-t_{k})}\\&=\int_{[a,\,b]}{f(t)g(t)d\lambda(t)}\\&=\langle f(t),\,g(t)\rangle\end{align*}$$ (3): (2)에서 $f=g$인 경우이다.  

(4): $\{B(t,\,\cdot)\,|\,t\in[a,\,b]\}$는 가우스 과정이므로 이 과정에 속하는 확률변수들의 임의의 일차결합의 확률분포는 정규분포이고 따라서 $I(f)$의 확률분포도 정규분포이다. (1)과 (3)에 의해 $$E(I(f))=0,\,\text{Var}(I(f))=\|f\|^{2}$$ 이므로 $I(f)\,\sim\,N(0,\,\|f\|^{2})$이다.   

(5): 다음의 식으로부터 성립한다. $$\begin{align*}I(\alpha f+\beta g)(\omega)&=\sum_{k=1}^{n}{(\alpha c_{k}+\beta d_{k})\{B(t_{k+1},\,\omega)-B(t_{k},\,\omega)\}}\\&=\alpha\sum_{k=1}^{n}{c_{k}\{B(t_{k+1},\,\omega)-B(t_{k},\,\omega)\}}+\beta\sum_{k=1}^{n}{d_{k}\{B(t_{k+1},\,\omega)-B(t_{k},\,\omega)\}}\\&=\alpha I(f)+\beta I(g)\end{align*}$$ $f\in L_{2}([a,\,b])$라 하자. $S([a,\,b])$는 $L_{2}([a,\,b])$에서 조밀하므로 수열 $\{f_{n}\}\subset S([a,\,b])$가 존재해서 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\|f_{n}-f\|}=0$이다. 그러면 정리 3.8의 (5)와 (3)에 의해 다음의 등식이 성립한다. $$\|I(f_{n})-I(f_{m})\|=\|I(f_{n}-f_{m})\|=\|f_{n}-f_{m}\|$$ 따라서 $\{f_{n}\}$이 $L_{2}([a,\,b])$에서 코시수열이면, $\{I(f_{n})\}$은 $L_{2}(\Omega)$에서 코시수열이다. $L_{2}(\Omega)$는 완비이므로 $X\in L_{2}(\Omega)$가 존재해서 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\|I(f_{n})-X\|}=0$이다. 이 $X$를 $f$의 확률적분으로 정의한다.

정의 3.9 앞에서 다룬 $X$를 브라운운동 $B$에 대한 $f$의 확률적분이라 하고 $I(f)$로 나타낸다. 즉 $$I(f)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{I(f_{n})},\,I(f)\in L_{2}(\Omega)$$ 위의 정의에서 수렴은 $L_{2}(\Omega)$노름수렴이다.

정리 3.10 $I(f)$는 수열 $\{f_{n}\}$과는 독립적이다. 따라서 $I(f)$는 잘 정의된다. 

증명: $\{g_{n}\}\subset S([a,\,b])$이고 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\|g_{n}-f\|}=0$이라 하자. 그러면 $$\|I(f_{n})-I(g_{n})\|=\|f_{n}-g_{n}\|\leq\|f_{n}-f\|+\|f-g_{n}\|$$ 이므로 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\|I(f_{n})-I(g_{n})\|}=0$이다.

보조정리 3.11 $L_{2}(\Omega)$에서 $X_{n}\,\rightarrow\,X$, $Y_{n}\,\rightarrow\,Y$이면, $\langle X_{n},\,Y_{n}\rangle\,\rightarrow\,\langle X,\,Y\rangle$이다.     

증명: 슈바르츠 부등식에 의해 $$\begin{align*}\|\langle X,\,Y\rangle\|&\leq\|X\|\cdot\|Y\|\\ \|\langle X_{n},\,Y_{n}\rangle-\langle X,\,Y\rangle\|&\leq\|\langle X_{n},\,Y_{n}-Y\rangle\|+\|\langle X_{n}-X,\,Y\rangle\|\\&\leq\|X_{n}\|\|Y_{n}-Y\|+\|X_{n}-X\|\|Y\|\end{align*}$$ 이고, $X_{n}$이 유계이므로 위의 부등식의 우변은 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 0으로 수렴한다.  

정리 3.12 $f,\,g\in L_{2}([a,\,b])$, $\alpha,\,\beta\in\mathbb{R}$이라 하자. 그러면 정리 3.8의 (1), (2), (3), (4)가 성립한다. 또한 다음의 두 성질들도 성립한다.

(5) $I(\alpha f+\beta g)(\omega)=\alpha I(f)(\omega)+\beta I(g)(\omega)\,a.e.\,\omega\in\Omega$

(6) $\{I(f)\,|\,f\in L_{2}([a,\,b])\}$는 가우스 과정이다. 

증명: 

(1): 보조정리 3.11과 정리 3.8의 (1)에 의해 다음의 결과를 얻는다. $$E(I(f))=\langle I(f),\,1\rangle=\langle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{I(f_{n})},\,1\rangle=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\langle I(f_{n}),\,1\rangle}=0$$ (2): $f_{n},\,g_{n}\in S([a,\,b])$이고 $L_{2}(\Omega)$에서 다음과 같이 노름수렴한다고 하자. $$f=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f_{n}},\,g=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{g_{n}}$$ 그러면 보조정리 3.11과 정리 3.8의 (2)에 의해 다음의 결과를 얻는다. $$\begin{align*}\text{Cov}(I(f),\,I(g))&=\langle I(f),\,I(g)\rangle\\&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\langle I(f_{n}),\,I(g_{n})\rangle}\\&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\langle f_{n},\,g_{n}\rangle}\\&=\langle f,\,g\rangle\end{align*}$$ (3): (2)에서 $f=g$인 경우이다. 

(4), (6): $L_{2}(\Omega)$에서 $I(f_{n})\,\rightarrow\,I(f)$(노름수렴)이므로 $I(f_{n})\,\rightarrow\,I(f)$는 확률수렴이다. $\{I(f_{n})\,|\,f_{n}\in S([a,\,b])\}$는 가우스과정 $\{B(t,\,\cdot)\,|\,t\in[a,\,b]\}$의 확률변수들의 일차결합들의 집합이므로 가우스과정이다. 그러면 $\{I(f)\,|\,f\in L_{2}([a,\,b])\}$는 가우스과정 $\{I(f_{n})\,|\,f_{n}\in S([a,\,b])\}$의 확률변수들의 확률수렴극한들의 집합이므로 $\{I(f)\,|\,f\in L_{2}([a,\,b])\}$는 가우스과정이다. 따라서 $I(f)$의 확률분포는 정규분포이다.

(1)과 (3)에 의해 $I(f)\,\sim\,N(0,\,\|f\|^{2})$이다. 

(5): $f,\,g,\,f_{n},\,g_{n}$을 (2)에서의 증명과 같다고 하자. 그러면 $\alpha,\,\beta\in\mathbb{R}$에 대해 $\alpha f_{n}+\beta g_{n}\in S([a,\,b])$이고 $$\|\alpha f_{n}+\beta g_{n}\|\leq|\alpha|\|f_{n}-f\|+|\beta|\|g_{n}-g\|\,\rightarrow\,0$$ 따라서 다음의 결과를 얻는다(수렴은 노름수렴). $$\begin{align*}I(\alpha f+\beta g)&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{I(\alpha f_{n}+\beta g_{n})}\\&=\alpha\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{I(f_{n})}+\beta\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{I(g_{n})}\\&=\alpha I(f)+\beta I(g)\end{align*}$$

참고자료:

위너 적분론, 장건수, 민음사