3-2 브라운 운동과정에 대한 확률적분(1)

3-2 브라운 운동과정에 대한 확률적분(1)

\((\Omega,\,\mathcal{B},\,P)\)를 확률공간, \(X\)를 이 확률공간에서의 확률변수,$$L_{2}(\Omega)=\{X\,|\,X\,\text{random variable},\,E(X^{2})<\infty\}$$위와 같이 정의된 \(L_{2}(\Omega)\)에서의 내적 \(\langle X,\,Y\rangle\)를$$\langle X,\,Y\rangle=E(XY),\,X,\,Y\in L_{2}(\Omega)$$로 정의하면 \(L_{2}(\Omega)\)는 힐베르트 공간이고 \(L_{2}(\Omega)\)의 원소는 \(P-a.e.\)에서 같은 확률변수들의 동치류이다.

\(\|\cdot\|\)를 내적과 관련된 힐베르트 노름이라고 하면 다음의 성질들이 성립한다.$$\begin{align*}E(X^{2})&=\langle X,\,X\rangle=\|X\|^{2}\\E(X)&=\langle X,\,1\rangle\\ \text{Cov}(X,\,Y)&=\langle X-E(X),\,Y-E(Y)\rangle\\ \text{Var}(X)&=\|X-E(X)\|^{2}\end{align*}$$여기서 \(X\)와 \(Y\)의 공분산은 다음과 같이 정의한다.$$\text{Cov}(X,\,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y)))$$\([a,\,b]\)에서 정의되는 계단함수들의 집합을 \(S([a,\,b])\)라 하자. 그러면 \(S([a,\,b])\)는 \(L_{2}([a,\,b])\)의 조밀 선형부분공간이다. 

여기서 확률적분을 다음과 같이 정의하려고 한다.  

먼저 \(S([a,\,b])\)에서 \(L_{2}(\Omega)\)로의 거리보존 선형변환으로서 확률적분을 정의하고, 이 정의를 \(L_{2}([a,\,b])\)로 확장한다. 이와 같은 변환은 존재한다(Introductory Functional Analysis with Applications-Kreyszig, Wiley 책 참고).

정의 3.7 \(B(t,\,\omega)\), \((t,\,\omega)\in[a,\,b]\times\Omega\)를 브라운 운동과정, \(a.e.\,\omega\in\Omega\)에 대해 \(B(a,\,\cdot)\)를 상수라 하자 \(f\in S([a,\,b])\)일 때$$f(x)=\sum_{k=1}^{n}{c_{k}\chi_{J_{k}}(x)}$$로 정의하자. 여기서 \(c_{k}\in\mathbb{R}\), \(J_{k}=[t_{k},\,t_{k+1}]\), \(a\leq t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{n+1}\leq b\)이다. 

브라운 운동과정 \(B\)에 대한 함수 \(f\)의 확률적분 \(I(f)\)는 다음과 같이 정의되는 확률변수이다.$$I(f)(\omega)=\sum_{k=1}^{n}{c_{k}\left\{B(t_{k+1},\,\omega)-B(t_{k},\,\omega)\right\}},\,\omega\in\Omega$$\(I(f)\)는 모든 \(\omega\in\Omega\)에 대해 정의된다.

정리 3.8 \(f,\,g\in S([a,\,b])\), \(\alpha,\,\beta\in\mathbb{R}\)일 때, 다음의 성질들이 성립한다.

(1) \(\langle I(f),\,1\rangle=E(I(f))=0\) 

(2) \(\langle I(f),\,I(g)\rangle=\text{Cov}(I(f),\,I(g))=\langle f,\,g\rangle\) 

(3) \(\|I(f)\|^{2}=\text{Var}(I(f))=\|f\|^{2}\) 

(4) \(I(f)\,\sim\,N(0,\,\|f\|^{2})\) 

(5) \(I(\alpha f+\beta g)(\omega)=\alpha I(f)(\omega)+\beta I(g)(\omega)\)  

증명: 

(1): 다음의 식으로부터 성립한다.$$E(I(f))=\sum_{k=1}^{n}{c_{k}E(B(t_{k+1},\,\cdot)-B(t_{k},\,\cdot))}=0$$(2) \(\displaystyle f=\sum_{k=1}^{n}{c_{k}\chi_{J_{k}}},\,g=\sum_{k=1}^{n}{d_{k}\chi_{J_{k}}}\)라 하자. 그러면 다음의 식으로부터 성립한다.$$\begin{align*}\text{Cov}(I(f),\,I(g))&=\langle I(f)-E(I(f)),\,I(g)-E(I(g))\rangle\\&=\langle I(f),\,I(g)\rangle=E(I(f)I(g))\\&=E\left(\sum_{k=1}^{n}{c_{k}\{B(t_{k+1},\,\cdot)-B(t_{k},\,\cdot)\}}\cdot\sum_{k=1}^{n}{d_{k}\{B(t_{k+1},\,\cdot)-B(t_{k},\,\cdot)\}}\right)\\&=E\left(\sum_{k=1}^{n}{c_{k}d_{k}}\{B(t_{k+1},\,\cdot)-B(t_{k},\,\cdot)\}^{2}\right)+E\left(\sum_{j\neq k}{c_{j}d_{k}\{B(t_{j+1},\,\cdot)-B(t_{j},\,\cdot)\}\{B(t_{k+1},\,\cdot)-B(t_{k},\,\cdot)\}}\right)\\&=\sum_{k=1}^{n}{c_{k}d_{k}\text{Var}(B(t_{k+1},\,\cdot)-B(t_{k},\,\cdot))}+\sum_{j\neq k}{c_{j}d_{k}E(\{B(t_{j+1},\,\cdot)-B(t_{j},\,\cdot)\}\{B(t_{k+1},\,\cdot)-B(t_{k},\,\cdot)\})}\\&=\sum_{k=1}^{n}{c_{k}d_{k}(t_{k+1}-t_{k})}\\&=\int_{[a,\,b]}{f(t)g(t)d\lambda(t)}\\&=\langle f(t),\,g(t)\rangle\end{align*}$$(3): (2)에서 \(f=g\)인 경우이다.  

(4): \(\{B(t,\,\cdot)\,|\,t\in[a,\,b]\}\)는 가우스 과정이므로 이 과정에 속하는 확률변수들의 임의의 일차결합의 확률분포는 정규분포이고 따라서 \(I(f)\)의 확률분포도 정규분포이다. (1)과 (3)에 의해$$E(I(f))=0,\,\text{Var}(I(f))=\|f\|^{2}$$이므로 \(I(f)\,\sim\,N(0,\,\|f\|^{2})\)이다.   

(5): 다음의 식으로부터 성립한다.$$\begin{align*}I(\alpha f+\beta g)(\omega)&=\sum_{k=1}^{n}{(\alpha c_{k}+\beta d_{k})\{B(t_{k+1},\,\omega)-B(t_{k},\,\omega)\}}\\&=\alpha\sum_{k=1}^{n}{c_{k}\{B(t_{k+1},\,\omega)-B(t_{k},\,\omega)\}}+\beta\sum_{k=1}^{n}{d_{k}\{B(t_{k+1},\,\omega)-B(t_{k},\,\omega)\}}\\&=\alpha I(f)+\beta I(g)\end{align*}$$\(f\in L_{2}([a,\,b])\)라 하자. \(S([a,\,b])\)는 \(L_{2}([a,\,b])\)에서 조밀하므로 수열 \(\{f_{n}\}\subset S([a,\,b])\)가 존재해서 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\|f_{n}-f\|}=0\)이다. 그러면 정리 3.8의 (5)와 (3)에 의해 다음의 등식이 성립한다.$$\|I(f_{n})-I(f_{m})\|=\|I(f_{n}-f_{m})\|=\|f_{n}-f_{m}\|$$따라서 \(\{f_{n}\}\)이 \(L_{2}([a,\,b])\)에서 코시수열이면, \(\{I(f_{n})\}\)은 \(L_{2}(\Omega)\)에서 코시수열이다. \(L_{2}(\Omega)\)는 완비이므로 \(X\in L_{2}(\Omega)\)가 존재해서 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\|I(f_{n})-X\|}=0\)이다. 이 \(X\)를 \(f\)의 확률적분으로 정의한다.

정의 3.9 앞에서 다룬 \(X\)를 브라운운동 \(B\)에 대한 \(f\)의 확률적분이라 하고 \(I(f)\)로 나타낸다. 즉$$I(f)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{I(f_{n})},\,I(f)\in L_{2}(\Omega)$$위의 정의에서 수렴은 \(L_{2}(\Omega)\)노름수렴이다.

정리 3.10 \(I(f)\)는 수열 \(\{f_{n}\}\)과는 독립적이다. 따라서 \(I(f)\)는 잘 정의된다. 

증명: \(\{g_{n}\}\subset S([a,\,b])\)이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\|g_{n}-f\|}=0\)이라 하자. 그러면$$\|I(f_{n})-I(g_{n})\|=\|f_{n}-g_{n}\|\leq\|f_{n}-f\|+\|f-g_{n}\|$$이므로 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\|I(f_{n})-I(g_{n})\|}=0\)이다.

보조정리 3.11 \(L_{2}(\Omega)\)에서 \(X_{n}\,\rightarrow\,X\), \(Y_{n}\,\rightarrow\,Y\)이면, \(\langle X_{n},\,Y_{n}\rangle\,\rightarrow\,\langle X,\,Y\rangle\)이다.     

증명: 슈바르츠 부등식에 의해$$\begin{align*}\|\langle X,\,Y\rangle\|&\leq\|X\|\cdot\|Y\|\\ \|\langle X_{n},\,Y_{n}\rangle-\langle X,\,Y\rangle\|&\leq\|\langle X_{n},\,Y_{n}-Y\rangle\|+\|\langle X_{n}-X,\,Y\rangle\|\\&\leq\|X_{n}\|\|Y_{n}-Y\|+\|X_{n}-X\|\|Y\|\end{align*}$$이고, \(X_{n}\)이 유계이므로 위의 부등식의 우변은 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 0으로 수렴한다.  

정리 3.12 \(f,\,g\in L_{2}([a,\,b])\), \(\alpha,\,\beta\in\mathbb{R}\)이라 하자. 그러면 정리 3.8의 (1), (2), (3), (4)가 성립한다. 또한 다음의 두 성질들도 성립한다.

(5) \(I(\alpha f+\beta g)(\omega)=\alpha I(f)(\omega)+\beta I(g)(\omega)\,a.e.\,\omega\in\Omega\)

(6) \(\{I(f)\,|\,f\in L_{2}([a,\,b])\}\)는 가우스 과정이다. 

증명: 

(1): 보조정리 3.11과 정리 3.8의 (1)에 의해 다음의 결과를 얻는다.$$E(I(f))=\langle I(f),\,1\rangle=\langle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{I(f_{n})},\,1\rangle=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\langle I(f_{n}),\,1\rangle}=0$$(2): \(f_{n},\,g_{n}\in S([a,\,b])\)이고 \(L_{2}(\Omega)\)에서 다음과 같이 노름수렴한다고 하자.$$f=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f_{n}},\,g=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{g_{n}}$$그러면 보조정리 3.11과 정리 3.8의 (2)에 의해 다음의 결과를 얻는다.$$\begin{align*}\text{Cov}(I(f),\,I(g))&=\langle I(f),\,I(g)\rangle\\&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\langle I(f_{n}),\,I(g_{n})\rangle}\\&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\langle f_{n},\,g_{n}\rangle}\\&=\langle f,\,g\rangle\end{align*}$$(3): (2)에서 \(f=g\)인 경우이다. 

(4), (6): \(L_{2}(\Omega)\)에서 \(I(f_{n})\,\rightarrow\,I(f)\)(노름수렴)이므로 \(I(f_{n})\,\rightarrow\,I(f)\)는 확률수렴이다. \(\{I(f_{n})\,|\,f_{n}\in S([a,\,b])\}\)는 가우스과정 \(\{B(t,\,\cdot)\,|\,t\in[a,\,b]\}\)의 확률변수들의 일차결합들의 집합이므로 가우스과정이다. 그러면 \(\{I(f)\,|\,f\in L_{2}([a,\,b])\}\)는 가우스과정 \(\{I(f_{n})\,|\,f_{n}\in S([a,\,b])\}\)의 확률변수들의 확률수렴극한들의 집합이므로 \(\{I(f)\,|\,f\in L_{2}([a,\,b])\}\)는 가우스과정이다. 따라서 \(I(f)\)의 확률분포는 정규분포이다.

(1)과 (3)에 의해 \(I(f)\,\sim\,N(0,\,\|f\|^{2})\)이다. 

(5): \(f,\,g,\,f_{n},\,g_{n}\)을 (2)에서의 증명과 같다고 하자. 그러면 \(\alpha,\,\beta\in\mathbb{R}\)에 대해 \(\alpha f_{n}+\beta g_{n}\in S([a,\,b])\)이고$$\|\alpha f_{n}+\beta g_{n}\|\leq|\alpha|\|f_{n}-f\|+|\beta|\|g_{n}-g\|\,\rightarrow\,0$$따라서 다음의 결과를 얻는다(수렴은 노름수렴).$$\begin{align*}I(\alpha f+\beta g)&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{I(\alpha f_{n}+\beta g_{n})}\\&=\alpha\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{I(f_{n})}+\beta\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{I(g_{n})}\\&=\alpha I(f)+\beta I(g)\end{align*}$$

참고자료:

위너 적분론, 장건수, 민음사