2-6 완비 정규직교집합(1)

2-6 완비 정규직교집합(1)

$n=0,\,1,\,2,\,...$에 대해 $$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}\frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{-x^{2}}$$ 로 정의된 $H_{n}$을 $n$차 에르미트 다항식(Hermite polynomial)이라고 한다. 이때 다음이 성립한다. $$H_{0}(x)=1,\,H_{1}(x)=2x,\,H_{2}(x)=-2+4x^{2}$$ 성질 2.37

(1) $n=0,\,1,\,2,\,...$에 대해서 다음의 식이 성립한다. $$H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-H_{n}'(x)$$ (2) $H_{n}(x)$는 최고차항의 계수가 $2^{n}$인 $n$차 다항식이다.

증명:

(1) $\varphi(x)=e^{-x^{2}}$로 놓으면 $H_{n}(x)$의 정의에 의해 $$\varphi^{(n)}(x)=(-1)^{n}e^{-x^{2}}H_{n}(x)$$ 이고, 위 식을 미분하면 $$\varphi^{(n+1)}(x)=(-1)^{n}\{e^{-x^{2}}H_{n}'(x)-2xe^{-x^{2}}H_{n}(x)\}$$ 이며, 또한 $$\varphi^{(n+1)}(x)=(-1)^{n+1}e^{-x^{2}}H_{n+1}(x)$$ 이다. $\varphi^{(n+1)}(x)$에 대해서 얻은 두 식들을 비교하면 원하는 결과를 얻는다.

(2) 수학적 귀납법으로 증명한다.

성질 2.38

(1) $n$이 짝수이면, $H_{n}(x)$의 모든 홀수차 항의 계수는 0이고 따라서 $H_{n}(-x)=H_{n}(x)$이다.

(2) $n$이 홀수이면, $H_{n}(x)$의 모든 짝수차 항의 계수는 0이고 따라서 $H_{n}(-x)=-H_{n}(x)$이다.

증명: 성질 2.37의 (1)과 수학적 귀납법으로 증명한다.

정리 2.39 $m,\,n\geq0$일 때 다음의 등식이 성립한다. $$I=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^{2}}H_{n}(x)H_{m}(x)dx}=\begin{cases}0&\,(n\neq m)\\2^{n}n!\sqrt{\pi}&\,(n=m)\end{cases}$$ 증명: $m\leq n$이라 하자. 식 $\varphi^{(n)}=(-1)^{n}e^{-x^{2}}H_{n}(x)$를 이용하고 부분적분은 $m$번 해 다음의 식을 얻는다. $$\begin{align*}I&=(-1)^{n}\int_{-\infty}^{\infty}{H_{m}(x)\varphi^{(n)}x)dx}\\&=(-1)^{n}\left\{[H_{m}(x)\varphi^{(n-1)}(x)]_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}{H_{m}'(x)\varphi^{(n-1)}(x)dx}\right\}\\&=(-1)^{n+m}\int_{-\infty}^{\infty}{H_{m}^{(m)}\varphi^{(n-m)}(x)dx}\end{align*}$$ $n>m$이면 부분적분을 한번 더 사용해 $I=0$을 얻는다. $n=m$이면 다음의 등식을 얻는다. $$I=(-1)^{2n}\int_{-\infty}^{\infty}{2^{n}n!e^{-x^{2}}dx}=2^{n}n!\sqrt{\pi}$$ 정의 2.40 $n=0,\,1,\,2,\,...$일 때 $n$차 에르미트 함수 $h_{n}(x)$를 $$h_{n}(x)=H_{n}(x)e^{-\frac{1}{2}x^{2}}$$ 로 정의하고 $$\psi_{n}=(2^{n}n!\sqrt{\pi})^{-\frac{1}{2}}h_{n}(x)$$ 를 정규화된(normalized) $n$차 에르미트 함수라고 한다. 

정리 2.41 $\{\psi_{n}(x)\}$는 $L_{2}(\mathbb{R})$에서 정규직교집합이다.

증명: 정리 2.39에 의해 성립한다.

성질 2.42 $n\in\mathbb{N}$일 때 다음의 등식이 성립한다. $$H_{n+1}(x)-2xH_{n}(x)+2nH_{n-1}(x)=0$$ 증명: $\varphi(x)=e^{-x^{2}}$는 다음의 미분방정식의 해이다. $$\varphi'(x)+2x\varphi(x)=0$$ 위의 미분방정식을 $n$번 미분하고 식 $\varphi^{(n)}(x)=(-1)^{n}e^{-x^{2}}H_{n}(x)$를 적용하면 원하는 결과를 얻는다.

성질 2.43 

(1) $H_{n}'(x)=2nH_{n-1}(x)$

(2) $H_{n+1}(0)=-2nH_{n-1}(0)$ 

(3) $H_{2k+1}(0)=0\,(k=0,\,1,\,2,\,...)$

(4) $H_{2k}(0)=(-1)^{k}2^{k}1\cdot3\cdot5\cdots(2k-1)\,(k=1,\,2,\,...)$

증명:

(1): 성질 2.37과 2.42로부터 성립한다.

(2): 성질 2.42로부터 얻는다.

(3), (4): 성질 2.38과 (1), 수학적 귀납법으로부터 성립한다.

성질 2.44 $n=0,\,1,\,2,\,...$일 때, 함수 $x^{n}$(따라서 $n$차 다항식)은 차수가 $n$보다 크지 않은 에르미트 다항식들의 일차결합으로 나타낼 수 있다.

증명: 성질 2.42와 수학적 귀납법으로부터 다음의 식을 얻는다. $$H_{n+1}(x)=2^{n+1}x^{n+1}+P_{n}(x)$$ 여기서 $P_{n}(x)$는 차수가 $n$보다 크지 않은 다항식이다. 수학적 귀납법에 의해 $P_{n}(x)$는 차수가 $n$보다 크지 않은 에르미트 다항식들의 일차결합이므로 위의 식으로부터 성립한다.

정리 2.45 $\{\psi_{n}\}$은 $L_{2}(\mathbb{R})$에서 완비 정규직교집합이다. 

증명: 모든 $n=0,\,1,\,2,\,...$에 대해 $\displaystyle\int_{\mathbb{R}}{\psi_{n}(x)f(x)dx}=0$이면 $f=0\,a.e.$임을 보이면 된다.

$f\in L_{2}(\mathbb{R})$가 위 적분식을 만족한다고 하자. 그러면 $$\int_{\mathbb{R}}{H_{n}(x)e^{-\frac{1}{2}x^{2}}f(x)dx}=0,\,(n=0,\,1,\,2,\,...)$$ 이고 성질 2.44에 의해 다음의 식이 성립한다. $$\int_{\mathbb{R}}{x^{n}e^{-\frac{1}{2}x^{2}}f(x)dx}=0\,(n=0,\,1,\,2,\,...)$$ $\displaystyle g(x)=e^{-\frac{1}{2}x^{2}}f(x)$라 하면 $g$는 $L_{2}$함수들의 곱이므로 $g\in L_{1}(\mathbb{R})$이다. $z\in\mathbb{C}$에 대해 복소함수 $F(z)$를 다음과 같이 정의하자. $$F(z)=\int_{\mathbb{R}}{e^{izx}e^{-\frac{1}{2}x^{2}}f(x)dx}$$ 모든 $z=p+iq\in\mathbb{C}$에 대해 위의 적분은 존재한다.

$F(z)$는 $g$의 역 푸리에 변환에 $\sqrt{2\pi}$를 곱한 함수이다. $F(z)=0$임을 보이면 역 푸리에 변환의 유일성에 의해 $g=0$이고 따라서 $f=0$이다. 

$F$는 $\mathbb{C}$의 열린 부분집합에서 해석적이므로 모레라의 정리로부터 $F$는 정함수이고, 따라서 $F(z)$를 다음과 같이 급수로 나타낼 수 있다. $$F(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{b_{n}z^{n}}\,\left(z\in\mathbb{C},\,b_{n}=\frac{F^{(n)}(0)}{n!}\right)$$ $F(z)$식을 $z$에 대해 $n$번 미분하면 $$F^{(n)}(z)=\int_{\mathbb{R}}{(ix)^{n}e^{ixz-\frac{1}{2}x^{2}}f(x)dx}$$ 이고 $F^{(n)}(0)=0\,(n=0,\,1,\,2,\,...)$이므로 $F=0$이다. 

따름정리 2.46 $f\in L_{2}(\mathbb{R})$일 때 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}\psi_{n}(x)}$이다. 여기서 수렴은 $L_{2}$노름수렴이고, 다음이 성립한다. $$a_{n}=\int_{\mathbb{R}}{f(x)\psi_{n}(x)dx},\,\|f\|_{2}^{2}=\sum_{n=0}^{\infty}{|a_{n}|^{2}}$$ 따름정리 2.47 $\{\psi_{n}\}$은 $L_{p}(\mathbb{R})$, $1\leq p<\infty$의 기본부분집합이다. 즉, $\{\psi_{n}\}$의 생성(span) $\text{span}\{\psi_{n}\}$이 $L_{p}(\mathbb{R})$에서 조밀하다. 

증명: $\{\psi_{n}\}$이 기본부분집합이 아니라고 하자. 그러면 $M=\overline{\text{span}\{\psi_{n}\}}\subset L_{p}(\mathbb{R})$이고 $M\neq L_{p}(\mathbb{R})$이다. 

한-바나흐 정리에 의해 $\displaystyle\theta(\neq0)\in L_{p'}(\mathbb{R})\,\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1\right)$가 존재하고, 모든 $\psi\in M$에 대해 $\theta(\psi)=0$이다. 그러면 정리 2.45의 증명과정에 의해 $\theta=0$이므로 모순이다. 

다음의 성질들은 푸리에 변환에서 잘 알려져있는 성질들이다.

성질 2.48 

(1) $f(x),\,f_{1}(x)=xf(x)\in L_{1}(\mathbb{R})$이라 하자. 그러면 $f$와 $f_{1}$ 의 푸리에 변환은 다음의 성질들을 만족한다. $$\mathcal{F}(f(x))=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-iyx}f(x)dx}$$ 는 미분가능하고 $\displaystyle\mathcal{F}(f_{1}(x))=i\frac{d}{dy}\{\mathcal{F}(f(x))\}$이다.

(2) $f$가 미분가능하고 $f,\,f'\in L_{1}(\mathbb{R})$이면, $\mathcal{F}(f'(x))=iy\mathcal{F}(f(x))$.

성질 2.49 $n=0,\,1,\,2,\,...$에 대해 다음의 등식이 성립한다. $$i^{n+1}\mathcal{F}(h_{n+1}(x))=i^{n}\mathcal{F}(h_{n}(x))-\frac{d}{dy}\{i^{n}\mathcal{F}(h_{n}(x))\}$$ 증명: $h_{n}$의 정의에 의해 다음의 등식을 얻는다. $$h_{n+1}(x)=xh_{n}(x)-h'_{n}(x)$$ 위의 등식의 양변에 푸리에 변환을 취하고 성질 2.48을 적용하면 원하는 결과를 얻는다.

정리 2.50 $h_{n}$은 푸리에 변환의 고유함수이고 고유값은 $(-i)^{n}$이다. 즉, $$\mathcal{F}(h_{n}(x))=(-i)^{n} h_{n}(y)$$ 따라서 $\psi_{n}$도 푸리에 변환의 고유함수이고, 고유값은 $(-1)^{n}$이다.

증명: $\{h_{n}\}$과 $i^{n}\mathcal{F}(h_{n}(x))$은 동일한 순환관계를 가지므로 $i^{0}\mathcal{F}(h_{0}(x))=h_{0}(y)$을 보이면 $i^{n}\mathcal{F}(h_{n}(x))=h_{n}(y)$를 얻을 수 있다. 따라서 식 $\mathcal{F}(h_{0}(x))=h_{0}(y)$가 성립함을 보이면 된다. $h_{0}(x)=H_{0}(x)e^{-\frac{1}{2}x^{2}}=e^{-\frac{1}{2}x^{2}}$이므로 다음의 식에 의해 성립한다. $$\begin{align*}\mathcal{F}(h_{0}(x))&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}{e^{-ixy}e^{-\frac{1}{2}x^{2}}dx}\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}{e^{-\frac{1}{2}(x-iy)^{2}-\frac{1}{2}y^{2}}dx}\\&=e^{-\frac{1}{2}y^{2}}=h_{0}(y)\end{align*}$$  

참고자료:

위너 적분론, 장건수, 민음사