2-6 완비 정규직교집합(1)

2-6 완비 정규직교집합(1)

\(n=0,\,1,\,2,\,...\)에 대해$$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}\frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{-x^{2}}$$로 정의된 \(H_{n}\)을 \(n\)차 에르미트 다항식(Hermite polynomial)이라고 한다. 이때 다음이 성립한다.$$H_{0}(x)=1,\,H_{1}(x)=2x,\,H_{2}(x)=-2+4x^{2}$$성질 2.37

(1) \(n=0,\,1,\,2,\,...\)에 대해서 다음의 식이 성립한다.$$H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-H_{n}'(x)$$(2) \(H_{n}(x)\)는 최고차항의 계수가 \(2^{n}\)인 \(n\)차 다항식이다.

증명:

(1) \(\varphi(x)=e^{-x^{2}}\)로 놓으면 \(H_{n}(x)\)의 정의에 의해$$\varphi^{(n)}(x)=(-1)^{n}e^{-x^{2}}H_{n}(x)$$이고, 위 식을 미분하면$$\varphi^{(n+1)}(x)=(-1)^{n}\{e^{-x^{2}}H_{n}'(x)-2xe^{-x^{2}}H_{n}(x)\}$$이며, 또한$$\varphi^{(n+1)}(x)=(-1)^{n+1}e^{-x^{2}}H_{n+1}(x)$$이다. \(\varphi^{(n+1)}(x)\)에 대해서 얻은 두 식들을 비교하면 원하는 결과를 얻는다.

(2) 수학적 귀납법으로 증명한다.

성질 2.38

(1) \(n\)이 짝수이면, \(H_{n}(x)\)의 모든 홀수차 항의 계수는 0이고 따라서 \(H_{n}(-x)=H_{n}(x)\)이다.

(2) \(n\)이 홀수이면, \(H_{n}(x)\)의 모든 짝수차 항의 계수는 0이고 따라서 \(H_{n}(-x)=-H_{n}(x)\)이다.

증명: 성질 2.37의 (1)과 수학적 귀납법으로 증명한다.

정리 2.39 \(m,\,n\geq0\)일 때 다음의 등식이 성립한다.$$I=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^{2}}H_{n}(x)H_{m}(x)dx}=\begin{cases}0&\,(n\neq m)\\2^{n}n!\sqrt{\pi}&\,(n=m)\end{cases}$$증명: \(m\leq n\)이라 하자. 식 \(\varphi^{(n)}=(-1)^{n}e^{-x^{2}}H_{n}(x)\)를 이용하고 부분적분은 \(m\)번 해 다음의 식을 얻는다.$$\begin{align*}I&=(-1)^{n}\int_{-\infty}^{\infty}{H_{m}(x)\varphi^{(n)}x)dx}\\&=(-1)^{n}\left\{[H_{m}(x)\varphi^{(n-1)}(x)]_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}{H_{m}'(x)\varphi^{(n-1)}(x)dx}\right\}\\&=(-1)^{n+m}\int_{-\infty}^{\infty}{H_{m}^{(m)}\varphi^{(n-m)}(x)dx}\end{align*}$$\(n>m\)이면 부분적분을 한번 더 사용해 \(I=0\)을 얻는다. \(n=m\)이면 다음의 등식을 얻는다.$$I=(-1)^{2n}\int_{-\infty}^{\infty}{2^{n}n!e^{-x^{2}}dx}=2^{n}n!\sqrt{\pi}$$정의 2.40 \(n=0,\,1,\,2,\,...\)일 때 \(n\)차 에르미트 함수 \(h_{n}(x)\)를$$h_{n}(x)=H_{n}(x)e^{-\frac{1}{2}x^{2}}$$로 정의하고$$\psi_{n}=(2^{n}n!\sqrt{\pi})^{-\frac{1}{2}}h_{n}(x)$$를 정규화된(normalized) \(n\)차 에르미트 함수라고 한다. 

정리 2.41 \(\{\psi_{n}(x)\}\)는 \(L_{2}(\mathbb{R})\)에서 정규직교집합이다.

증명: 정리 2.39에 의해 성립한다.

성질 2.42 \(n\in\mathbb{N}\)일 때 다음의 등식이 성립한다.$$H_{n+1}(x)-2xH_{n}(x)+2nH_{n-1}(x)=0$$증명: \(\varphi(x)=e^{-x^{2}}\)는 다음의 미분방정식의 해이다.$$\varphi'(x)+2x\varphi(x)=0$$위의 미분방정식을 \(n\)번 미분하고 식 \(\varphi^{(n)}(x)=(-1)^{n}e^{-x^{2}}H_{n}(x)\)를 적용하면 원하는 결과를 얻는다.

성질 2.43 

(1) \(H_{n}'(x)=2nH_{n-1}(x)\)

(2) \(H_{n+1}(0)=-2nH_{n-1}(0)\) 

(3) \(H_{2k+1}(0)=0\,(k=0,\,1,\,2,\,...)\)

(4) \(H_{2k}(0)=(-1)^{k}2^{k}1\cdot3\cdot5\cdots(2k-1)\,(k=1,\,2,\,...)\)

증명:

(1): 성질 2.37과 2.42로부터 성립한다.

(2): 성질 2.42로부터 얻는다.

(3), (4): 성질 2.38과 (1), 수학적 귀납법으로부터 성립한다.

성질 2.44 \(n=0,\,1,\,2,\,...\)일 때, 함수 \(x^{n}\)(따라서 \(n\)차 다항식)은 차수가 \(n\)보다 크지 않은 에르미트 다항식들의 일차결합으로 나타낼 수 있다.

증명: 성질 2.42와 수학적 귀납법으로부터 다음의 식을 얻는다.$$H_{n+1}(x)=2^{n+1}x^{n+1}+P_{n}(x)$$여기서 \(P_{n}(x)\)는 차수가 \(n\)보다 크지 않은 다항식이다. 수학적 귀납법에 의해 \(P_{n}(x)\)는 차수가 \(n\)보다 크지 않은 에르미트 다항식들의 일차결합이므로 위의 식으로부터 성립한다.

정리 2.45 \(\{\psi_{n}\}\)은 \(L_{2}(\mathbb{R})\)에서 완비 정규직교집합이다. 

증명: 모든 \(n=0,\,1,\,2,\,...\)에 대해 \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}}{\psi_{n}(x)f(x)dx}=0\)이면 \(f=0\,a.e.\)임을 보이면 된다.

\(f\in L_{2}(\mathbb{R})\)가 위 적분식을 만족한다고 하자. 그러면$$\int_{\mathbb{R}}{H_{n}(x)e^{-\frac{1}{2}x^{2}}f(x)dx}=0,\,(n=0,\,1,\,2,\,...)$$이고 성질 2.44에 의해 다음의 식이 성립한다.$$\int_{\mathbb{R}}{x^{n}e^{-\frac{1}{2}x^{2}}f(x)dx}=0\,(n=0,\,1,\,2,\,...)$$\(\displaystyle g(x)=e^{-\frac{1}{2}x^{2}}f(x)\)라 하면 \(g\)는 \(L_{2}\)함수들의 곱이므로 \(g\in L_{1}(\mathbb{R})\)이다. \(z\in\mathbb{C}\)에 대해 복소함수 \(F(z)\)를 다음과 같이 정의하자.$$F(z)=\int_{\mathbb{R}}{e^{izx}e^{-\frac{1}{2}x^{2}}f(x)dx}$$모든 \(z=p+iq\in\mathbb{C}\)에 대해 위의 적분은 존재한다.

\(F(z)\)는 \(g\)의 역 푸리에 변환에 \(\sqrt{2\pi}\)를 곱한 함수이다. \(F(z)=0\)임을 보이면 역 푸리에 변환의 유일성에 의해 \(g=0\)이고 따라서 \(f=0\)이다. 

\(F\)는 \(\mathbb{C}\)의 열린 부분집합에서 해석적이므로 모레라의 정리로부터 \(F\)는 정함수이고, 따라서 \(F(z)\)를 다음과 같이 급수로 나타낼 수 있다.$$F(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{b_{n}z^{n}}\,\left(z\in\mathbb{C},\,b_{n}=\frac{F^{(n)}(0)}{n!}\right)$$\(F(z)\)식을 \(z\)에 대해 \(n\)번 미분하면$$F^{(n)}(z)=\int_{\mathbb{R}}{(ix)^{n}e^{ixz-\frac{1}{2}x^{2}}f(x)dx}$$이고 \(F^{(n)}(0)=0\,(n=0,\,1,\,2,\,...)\)이므로 \(F=0\)이다. 

따름정리 2.46 \(f\in L_{2}(\mathbb{R})\)일 때 \(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}\psi_{n}(x)}\)이다. 여기서 수렴은 \(L_{2}\)노름수렴이고, 다음이 성립한다.$$a_{n}=\int_{\mathbb{R}}{f(x)\psi_{n}(x)dx},\,\|f\|_{2}^{2}=\sum_{n=0}^{\infty}{|a_{n}|^{2}}$$따름정리 2.47 \(\{\psi_{n}\}\)은 \(L_{p}(\mathbb{R})\), \(1\leq p<\infty\)의 기본부분집합이다. 즉, \(\{\psi_{n}\}\)의 생성(span) \(\text{span}\{\psi_{n}\}\)이 \(L_{p}(\mathbb{R})\)에서 조밀하다. 

증명: \(\{\psi_{n}\}\)이 기본부분집합이 아니라고 하자. 그러면 \(M=\overline{\text{span}\{\psi_{n}\}}\subset L_{p}(\mathbb{R})\)이고 \(M\neq L_{p}(\mathbb{R})\)이다. 

한-바나흐 정리에 의해 \(\displaystyle\theta(\neq0)\in L_{p'}(\mathbb{R})\,\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1\right)\)가 존재하고, 모든 \(\psi\in M\)에 대해 \(\theta(\psi)=0\)이다. 그러면 정리 2.45의 증명과정에 의해 \(\theta=0\)이므로 모순이다. 

다음의 성질들은 푸리에 변환에서 잘 알려져있는 성질들이다.

성질 2.48 

(1) \(f(x),\,f_{1}(x)=xf(x)\in L_{1}(\mathbb{R})\)이라 하자. 그러면 \(f\)와 \(f_{1}\) 의 푸리에 변환은 다음의 성질들을 만족한다.$$\mathcal{F}(f(x))=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-iyx}f(x)dx}$$는 미분가능하고 \(\displaystyle\mathcal{F}(f_{1}(x))=i\frac{d}{dy}\{\mathcal{F}(f(x))\}\)이다.

(2) \(f\)가 미분가능하고 \(f,\,f'\in L_{1}(\mathbb{R})\)이면, \(\mathcal{F}(f'(x))=iy\mathcal{F}(f(x))\).

성질 2.49 \(n=0,\,1,\,2,\,...\)에 대해 다음의 등식이 성립한다.$$i^{n+1}\mathcal{F}(h_{n+1}(x))=i^{n}\mathcal{F}(h_{n}(x))-\frac{d}{dy}\{i^{n}\mathcal{F}(h_{n}(x))\}$$증명: \(h_{n}\)의 정의에 의해 다음의 등식을 얻는다.$$h_{n+1}(x)=xh_{n}(x)-h'_{n}(x)$$위의 등식의 양변에 푸리에 변환을 취하고 성질 2.48을 적용하면 원하는 결과를 얻는다.

정리 2.50 \(h_{n}\)은 푸리에 변환의 고유함수이고 고유값은 \((-i)^{n}\)이다. 즉,$$\mathcal{F}(h_{n}(x))=(-i)^{n} h_{n}(y)$$따라서 \(\psi_{n}\)도 푸리에 변환의 고유함수이고, 고유값은 \((-1)^{n}\)이다.

증명: \(\{h_{n}\}\)과 \(i^{n}\mathcal{F}(h_{n}(x))\)은 동일한 순환관계를 가지므로 \(i^{0}\mathcal{F}(h_{0}(x))=h_{0}(y)\)을 보이면 \(i^{n}\mathcal{F}(h_{n}(x))=h_{n}(y)\)를 얻을 수 있다. 따라서 식 \(\mathcal{F}(h_{0}(x))=h_{0}(y)\)가 성립함을 보이면 된다. \(h_{0}(x)=H_{0}(x)e^{-\frac{1}{2}x^{2}}=e^{-\frac{1}{2}x^{2}}\)이므로 다음의 식에 의해 성립한다.$$\begin{align*}\mathcal{F}(h_{0}(x))&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}{e^{-ixy}e^{-\frac{1}{2}x^{2}}dx}\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}{e^{-\frac{1}{2}(x-iy)^{2}-\frac{1}{2}y^{2}}dx}\\&=e^{-\frac{1}{2}y^{2}}=h_{0}(y)\end{align*}$$ 

참고자료:

위너 적분론, 장건수, 민음사