2-4 팰리-위너-지그문드 적분(2: 카메룬-마틴 변환정리의 확장)

2-4 팰리-위너-지그문드 적분(2: 카메룬-마틴 변환정리의 확장)

보조정리 2.18 $n\in\mathbb{N}$에 대해 $\varphi_{n}\in C([a,\,b])\cap BV([a,\,b])$, $\varphi\in L_{2}([a,\,b])$라 하자. $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $\|\varphi_{n}-\varphi\|\,\rightarrow\,0$이면, 임의의 $\lambda\in\mathbb{R}$에 대해 $e^{\lambda\int_{a}^{b}{\varphi_{n}(t)dx(t)}}$는 $L_{2}(C_{0}([a,\,b]))$에서 수렴한다.

증명: 수열 $e^{\lambda\int_{a}^{b}{\varphi_{n}(t)dx(t)}}$가 $L_{2}(C_{0}([a,\,b]))$에서 코시수열임을 보이자. 정리 2.6에 의해 다음의 등식을 얻고 $$\begin{align*}&\int_{C_{0}([a,\,b])}{\{e^{\lambda\int_{a}^{b}{\varphi_{n}(t)dx(t)}}-e^{\lambda\int_{a}^{b}{\varphi_{k}(t)dx(t)}}\}^{2}d\mathfrak{m}(x)}\\&=e^{\frac{1}{2}\|2\lambda\varphi_{n}\|_{2}^{2}}-2e^{\frac{1}{2}\|\lambda(\varphi_{n}+\varphi_{k})\|_{2}^{2}}+e^{\frac{1}{2}\|2\lambda\varphi_{k}\|_{2}^{2}}\end{align*}$$ $\|\varphi_{n}\|_{2}\,\rightarrow\,\|\varphi\|_{2}$이므로 위 식의 우변은 $n,\,k\,\rightarrow\,\infty$일 때 0으로 수렴한다.

정리 2.19 $\varphi_{2}\in L_{2}([a,\,b])$이고 $\displaystyle x_{0}(t)=\int_{a}^{t}{\varphi(s)ds}$라 하자(따라서 $x_{0}$는 절대연속이고 $x_{0}'(t)=\varphi(t)$). 평행변환 $L:C_{0}([a,\,b])\,\rightarrow\,C_{0}([a,\,b])$을 $(Lx)(t)=x(t)+x_{0}(t)$라 하자. 그러면 $F(x)$가 위너가측이면, $F(x+x_{0})$도 위너가측이고, 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(y)d\mathfrak{m}(y)}=e^{-\frac{1}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x+x_{0})e^{-\int_{a}^{b}{\varphi(t)\tilde{d}x(t)}}d\mathfrak{m}(x)}$$ 증명:

(1) $F$가 유계이고 연속인 경우 $\{e_{k}\}$를 $L_{2}([a,\,b])$에서 완비 정규집합, $e_{k}\in C([a,\,b])\cap BV([a,\,b])$라 하자. $n\in\mathbb{N}$에 대해 $$\varphi_{n}(t)=\sum_{k=1}^{n}{\langle\varphi,\,e_{k}\rangle e_{k}(t)}$$ 로 놓으면 $\varphi_{n}\in C([a,\,b])\cap BV([a,\,b])$이고 $\|\varphi_{n}-\varphi\|_{2}\,\rightarrow\,0$이다. 

$x_{0,\,n}(t)=\int_{a}^{t}{\varphi_{n}(s)ds}$라 하자. 그러면 카메룬-마틴 변환정리에 의해 $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(y)d\mathfrak{m}(y)}=e^{-\frac{1}{2}\|\varphi_{n}\|_{2}^{2}}\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x+x_{0,\,n})e^{-\int_{a}^{b}{\varphi_{n}(t)dx(t)}}d\mathfrak{m}(x)}$$ 이다. $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $\|x_{0}-x_{0,\,n}\|_{\infty}\,\rightarrow\,0$임을 다음이 식을 이용하여 보일 수 있다. $$\begin{align*}|x_{0}(t)-x_{0,\,n}(t)|&=\left|\int_{a}^{t}{\{\varphi(s)-\varphi_{n}(s)\}ds}\right|\\&\leq\|\varphi-\varphi_{n}\|_{2}\sqrt{t-a}\\&\leq\|\varphi-\varphi_{n}\|_{2}\sqrt{b-a}\end{align*}$$ 따라서 모든 $x\in C_{0}([a,\,b])$에 대해 $F(x+x_{0,\,n})\,\rightarrow\,F(x+x_{0})$이다. $F$가 유계이므로 유계수렴정리로부터 $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{|F(x+x_{0,\,n})-F(x+x_{0})|^{2}d\mathfrak{m}(x)}\,\rightarrow\,0$$ 이다. 보조정리 2.18에 의해 $e^{-\int_{a}^{b}{\varphi_{n}(t)dx(t)}}$는 $L_{2}(C_{0}([a,\,b]))$노름에서 수렴한다. 그런제 P.W.Z적분의 정의에 의해 $a.e.\,x\in C_{0}([a,\,b])$에 대해 $e^{-\int_{a}^{b}{\varphi_{n}(t)dx(t)}}\,\rightarrow\,e^{-\int_{a}^{b}{\varphi(t)\tilde{d}x(t)}}$이므로 $L_{2}(C_{0}([a,\,b]))$에서 $e^{-\int_{a}^{b}{\varphi_{n}(t)dx(t)}}\,\rightarrow\,e^{-\int_{a}^{b}{\varphi(t)\tilde{d}x(t)}}$이다. $L_{2}(C_{0}([a,\,b]))$에서 내적의 연속성에 의해 $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x+x_{0,\,n})e^{-\int_{a}^{b}{\varphi_{n}(t)dx(t)}}d\mathfrak{m}(x)}\,\rightarrow\,\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x+x_{0})e^{-\int_{a}^{b}{\varphi(t)\tilde{d}x(t)}}d\mathfrak{m}(x)}$$ 이고 $\|\varphi_{n}\|_{2}^{2}\,\rightarrow\,\|\varphi\|_{2}^{2}$이므로 $F$가 유계이고 연속인 경우에 대해 이 정리가 성립한다.

(2) 일반적인 경우는 카메룬-마틴 변환정리의 증명방법을 따르면 된다.

따름정리 2.20 $\varphi\in L_{2}([a,\,b])$일 때 $\displaystyle F(x)=e^{-\int_{a}^{b}{\varphi(t)\tilde{d}x(t)}}$는 위너적분 가능하고 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}=e^{\frac{1}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}$$ 따름정리 2.21 $\varphi(t)$, $x_{0}(t)$, $L(x)$가 정리 2.19의 함수일 때 $A\in\mathcal{S}_{1}$이면, $L[A]=A+x_{0}\in\mathcal{S}_{1}$이고 다음의 등식이 성립한다. $$\mathfrak{m}(A+x_{0})=e^{-\frac{1}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}\int_{A}{e^{-\int_{a}^{b}{\varphi(t)\tilde{d}x(t)}}d\mathfrak{m}(x)}$$ 다음의 정리는 따름정리 2.20을 복소수로 확장한 결과이고 정리 2.6의 증명방법을 이용해서 증명한다.

정리 2.22 $\varphi\in L_{2}([a,\,b])$라 하자. 모든 $\lambda\in\mathbb{C}$에 대해 다음의 등식이 성립하고 $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{e^{-\lambda\int_{a}^{b}{\varphi(t)\tilde{d}x(t)}}d\mathfrak{m}(x)}=e^{\frac{\lambda^{2}}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}$$ 특히 임의의 $v\in\mathbb{R}$에 대해 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{e^{iv\int_{a}^{b}{\varphi(t)\tilde{d}x(t)}}}=e^{-\frac{v^{2}}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}$$ 다음의 세 정리들은 정리 2.5, 2.7, 2.8(팰리-위너 정리)의 확장이다. 이들 정리의 증명과 같은 방법으로 증명할 수 있다.

정리 2.23 $x_{0}$가 정리 2.19의 함수일 때, $F(x)$가 위너가측이면, $F(x+x_{0})$도 위너가측이고 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x+x_{0})d\mathfrak{m}(x)}=e^{-\frac{1}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)e^{\int_{a}^{b}{\tilde{d}x(t)}}d\mathfrak{m}(x)}$$ 정리 2.24 $\varphi\in L_{2}([a,\,b])$일 때 $X:C_{0}([a,\,b])\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 $\displaystyle X(x)=\int_{a}^{b}{\varphi(t)\tilde{d}x(t)}$로 정의하자. 그러면 $X\,\sim\,N(0,\,\|\varphi\|_{2}^{2})$이다. $f:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 르베그 가측함수이면, 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{f\left(\int_{a}^{b}{\varphi(t)\tilde{d}x(t)}\right)d\mathfrak{m}(x)}=\frac{1}{\sqrt{2\pi\|\varphi\|_{2}^{2}}}\int_{\mathbb{R}}{f(u)e^{-\frac{u^{2}}{2\|\varphi\|_{2}^{2}}}du}$$ 정리 2.24(팰리-위너-지그문드 정리) $\varphi_{i}\in L_{2}([a,\,b])$, $i=1,\,...,\,n$이고 $\{\varphi_{1},\,...,\,\varphi_{n}\}$이 정규직교집합이라 하자. $\displaystyle X_{j}(x)=\int_{a}^{b}{\varphi_{j}(t)\tilde{d}x(t)}$로 정의하면 $X_{j}$는 서로 독립이고 $X_{j}\,\sim\,N(0,\,1)$이다. $f:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 르베그 가측함수이면, 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{f\left(\int_{a}^{b}{\varphi_{1}(t)\tilde{d}x(t)},\,...,\,\int_{a}^{b}{\varphi_{n}(t)\tilde{d}x(t)}\right)d\mathfrak{m}(x)}=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(\vec{u})e^{-\displaystyle\tiny\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n}{u_{j}^{2}}}d\vec{u}}$$ *(1) 위의 정리의 결과를 이용하여 여러 위너 적분을 계산할 수 있다.

(2) 정리 2.24(팰리-위너-지그문드 정리)를 이용해 위너 적분공식을 유도할 수 있다.

(3) 정리 2.24를 $\{\varphi_{1},\,...,\,\varphi_{n}\}$이 직교집합(orthogonal set)인 경우로 확장할 수 있고, 이 경우 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{f\left(\int_{a}^{b}{\varphi_{1}(t)\tilde{d}x(t)},\,...,\,\int_{a}^{b}{\varphi_{n}(t)\tilde{d}x(t)}\right)d\mathfrak{m}(x)}=\left\{(2\pi)^{n}\prod_{j=1}^{n}{\|\varphi_{j}\|_{2}^{2}}\right\}^{-\frac{1}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(\vec{u})e^{\displaystyle\tiny-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n}{\frac{u_{j}^{2}}{\|\varphi_{j}\|_{2}^{2}}}}d\vec{u}}$$ $\{e_{k}\}$가 $L_{2}([a,\,b])$에서 완비 정규직교집합이고 $e_{k}\in C([a,\,b])\cap BV([a,\,b])$라 하자. $\alpha\in L_{2}([a,\,b])$일 때 $$\begin{align*}Z_{n}(x)&=\int_{a}^{b}{\left\{\sum_{k=1}^{n}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle e_{k}(t)}\right\}dx(t)}\\Z(x)&=\int_{a}^{b}{\alpha(t)\tilde{d}x(t)}\end{align*}$$ 라 하자. 그러면 $a.e.\,x\in C_{0}([a,\,b])$에 대해 $Z_{n}(x)\,\rightarrow\,Z(x)$이다. 이제 $L_{2}(C_{0}([a,\,b]))$에서 $Z_{n}\,\rightarrow\,Z$임을 보이자. $$Z_{n}(x)-Z(x)=\int_{a}^{b}{\left\{\sum_{k=1}^{n}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle e_{k}(t)}-\alpha(t)\right\}\tilde{d}x(t)}$$ 이고 $\displaystyle Z_{n}-Z\,\sim\,N\left(0,\,\left\|\sum_{k=1}^{n}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle e_{k}}-\alpha\right\|_{2}^{2}\right)$이므로 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{|Z_{n}(x)-Z(x)|^{2}d\mathfrak{m}(x)}=\left\|\sum_{k=1}^{n}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle e_{k}}-\alpha\right\|_{2}^{2}\,\rightarrow\,0$$ 이다. 따라서 다음의 정리를 얻는다.

정리 2.25 $\varphi\in L_{2}([a,\,b])$, $e_{k}\in C([a,\,b])\cap BV([a,\,b])$이고 $\{e_{k}\}$는 $L_{2}([a,\,b])$에서 완비 정규직교집합이라 하자. 그러면 $\displaystyle\int_{a}^{b}{\left\{\sum_{k=1}^{n}{\langle\varphi,\,e_{k}\rangle e_{k}(t)}\right\}dx(t)}$는 $x$의 함수로서 $\displaystyle\int_{a}^{b}{\varphi(t)\tilde{d}x(t)}$로 $L_{2}(C_{0}([a,\,b]))$노름수렴한다(물론 a.e.수렴도 한다).

참고자료:

위너 적분론, 장건수, 민음사