2-4 팰리-위너-지그문드 적분(2: 카메룬-마틴 변환정리의 확장)

2-4 팰리-위너-지그문드 적분(2: 카메룬-마틴 변환정리의 확장)

보조정리 2.18 \(n\in\mathbb{N}\)에 대해 \(\varphi_{n}\in C([a,\,b])\cap BV([a,\,b])\), \(\varphi\in L_{2}([a,\,b])\)라 하자. \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(\|\varphi_{n}-\varphi\|\,\rightarrow\,0\)이면, 임의의 \(\lambda\in\mathbb{R}\)에 대해 \(e^{\lambda\int_{a}^{b}{\varphi_{n}(t)dx(t)}}\)는 \(L_{2}(C_{0}([a,\,b]))\)에서 수렴한다.

증명: 수열 \(e^{\lambda\int_{a}^{b}{\varphi_{n}(t)dx(t)}}\)가 \(L_{2}(C_{0}([a,\,b]))\)에서 코시수열임을 보이자. 정리 2.6에 의해 다음의 등식을 얻고$$\begin{align*}&\int_{C_{0}([a,\,b])}{\{e^{\lambda\int_{a}^{b}{\varphi_{n}(t)dx(t)}}-e^{\lambda\int_{a}^{b}{\varphi_{k}(t)dx(t)}}\}^{2}d\mathfrak{m}(x)}\\&=e^{\frac{1}{2}\|2\lambda\varphi_{n}\|_{2}^{2}}-2e^{\frac{1}{2}\|\lambda(\varphi_{n}+\varphi_{k})\|_{2}^{2}}+e^{\frac{1}{2}\|2\lambda\varphi_{k}\|_{2}^{2}}\end{align*}$$\(\|\varphi_{n}\|_{2}\,\rightarrow\,\|\varphi\|_{2}\)이므로 위 식의 우변은 \(n,\,k\,\rightarrow\,\infty\)일 때 0으로 수렴한다.

정리 2.19 \(\varphi_{2}\in L_{2}([a,\,b])\)이고 \(\displaystyle x_{0}(t)=\int_{a}^{t}{\varphi(s)ds}\)라 하자(따라서 \(x_{0}\)는 절대연속이고 \(x_{0}'(t)=\varphi(t)\)). 평행변환 \(L:C_{0}([a,\,b])\,\rightarrow\,C_{0}([a,\,b])\)을 \((Lx)(t)=x(t)+x_{0}(t)\)라 하자. 그러면 \(F(x)\)가 위너가측이면, \(F(x+x_{0})\)도 위너가측이고, 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(y)d\mathfrak{m}(y)}=e^{-\frac{1}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x+x_{0})e^{-\int_{a}^{b}{\varphi(t)\tilde{d}x(t)}}d\mathfrak{m}(x)}$$증명:

(1) \(F\)가 유계이고 연속인 경우 \(\{e_{k}\}\)를 \(L_{2}([a,\,b])\)에서 완비 정규집합, \(e_{k}\in C([a,\,b])\cap BV([a,\,b])\)라 하자. \(n\in\mathbb{N}\)에 대해$$\varphi_{n}(t)=\sum_{k=1}^{n}{\langle\varphi,\,e_{k}\rangle e_{k}(t)}$$로 놓으면 \(\varphi_{n}\in C([a,\,b])\cap BV([a,\,b])\)이고 \(\|\varphi_{n}-\varphi\|_{2}\,\rightarrow\,0\)이다. 

\(x_{0,\,n}(t)=\int_{a}^{t}{\varphi_{n}(s)ds}\)라 하자. 그러면 카메룬-마틴 변환정리에 의해$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(y)d\mathfrak{m}(y)}=e^{-\frac{1}{2}\|\varphi_{n}\|_{2}^{2}}\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x+x_{0,\,n})e^{-\int_{a}^{b}{\varphi_{n}(t)dx(t)}}d\mathfrak{m}(x)}$$이다. \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(\|x_{0}-x_{0,\,n}\|_{\infty}\,\rightarrow\,0\)임을 다음이 식을 이용하여 보일 수 있다.$$\begin{align*}|x_{0}(t)-x_{0,\,n}(t)|&=\left|\int_{a}^{t}{\{\varphi(s)-\varphi_{n}(s)\}ds}\right|\\&\leq\|\varphi-\varphi_{n}\|_{2}\sqrt{t-a}\\&\leq\|\varphi-\varphi_{n}\|_{2}\sqrt{b-a}\end{align*}$$따라서 모든 \(x\in C_{0}([a,\,b])\)에 대해 \(F(x+x_{0,\,n})\,\rightarrow\,F(x+x_{0})\)이다. \(F\)가 유계이므로 유계수렴정리로부터$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{|F(x+x_{0,\,n})-F(x+x_{0})|^{2}d\mathfrak{m}(x)}\,\rightarrow\,0$$이다. 보조정리 2.18에 의해 \(e^{-\int_{a}^{b}{\varphi_{n}(t)dx(t)}}\)는 \(L_{2}(C_{0}([a,\,b]))\)노름에서 수렴한다. 그런제 P.W.Z적분의 정의에 의해 \(a.e.\,x\in C_{0}([a,\,b])\)에 대해 \(e^{-\int_{a}^{b}{\varphi_{n}(t)dx(t)}}\,\rightarrow\,e^{-\int_{a}^{b}{\varphi(t)\tilde{d}x(t)}}\)이므로 \(L_{2}(C_{0}([a,\,b]))\)에서 \(e^{-\int_{a}^{b}{\varphi_{n}(t)dx(t)}}\,\rightarrow\,e^{-\int_{a}^{b}{\varphi(t)\tilde{d}x(t)}}\)이다. \(L_{2}(C_{0}([a,\,b]))\)에서 내적의 연속성에 의해$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x+x_{0,\,n})e^{-\int_{a}^{b}{\varphi_{n}(t)dx(t)}}d\mathfrak{m}(x)}\,\rightarrow\,\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x+x_{0})e^{-\int_{a}^{b}{\varphi(t)\tilde{d}x(t)}}d\mathfrak{m}(x)}$$이고 \(\|\varphi_{n}\|_{2}^{2}\,\rightarrow\,\|\varphi\|_{2}^{2}\)이므로 \(F\)가 유계이고 연속인 경우에 대해 이 정리가 성립한다.

(2) 일반적인 경우는 카메룬-마틴 변환정리의 증명방법을 따르면 된다.

따름정리 2.20 \(\varphi\in L_{2}([a,\,b])\)일 때 \(\displaystyle F(x)=e^{-\int_{a}^{b}{\varphi(t)\tilde{d}x(t)}}\)는 위너적분 가능하고 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}=e^{\frac{1}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}$$따름정리 2.21 \(\varphi(t)\), \(x_{0}(t)\), \(L(x)\)가 정리 2.19의 함수일 때 \(A\in\mathcal{S}_{1}\)이면, \(L[A]=A+x_{0}\in\mathcal{S}_{1}\)이고 다음의 등식이 성립한다.$$\mathfrak{m}(A+x_{0})=e^{-\frac{1}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}\int_{A}{e^{-\int_{a}^{b}{\varphi(t)\tilde{d}x(t)}}d\mathfrak{m}(x)}$$다음의 정리는 따름정리 2.20을 복소수로 확장한 결과이고 정리 2.6의 증명방법을 이용해서 증명한다.

정리 2.22 \(\varphi\in L_{2}([a,\,b])\)라 하자. 모든 \(\lambda\in\mathbb{C}\)에 대해 다음의 등식이 성립하고$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{e^{-\lambda\int_{a}^{b}{\varphi(t)\tilde{d}x(t)}}d\mathfrak{m}(x)}=e^{\frac{\lambda^{2}}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}$$특히 임의의 \(v\in\mathbb{R}\)에 대해 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{e^{iv\int_{a}^{b}{\varphi(t)\tilde{d}x(t)}}}=e^{-\frac{v^{2}}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}$$다음의 세 정리들은 정리 2.5, 2.7, 2.8(팰리-위너 정리)의 확장이다. 이들 정리의 증명과 같은 방법으로 증명할 수 있다.

정리 2.23 \(x_{0}\)가 정리 2.19의 함수일 때, \(F(x)\)가 위너가측이면, \(F(x+x_{0})\)도 위너가측이고 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x+x_{0})d\mathfrak{m}(x)}=e^{-\frac{1}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)e^{\int_{a}^{b}{\tilde{d}x(t)}}d\mathfrak{m}(x)}$$정리 2.24 \(\varphi\in L_{2}([a,\,b])\)일 때 \(X:C_{0}([a,\,b])\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 \(\displaystyle X(x)=\int_{a}^{b}{\varphi(t)\tilde{d}x(t)}\)로 정의하자. 그러면 \(X\,\sim\,N(0,\,\|\varphi\|_{2}^{2})\)이다. \(f:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 르베그 가측함수이면, 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{f\left(\int_{a}^{b}{\varphi(t)\tilde{d}x(t)}\right)d\mathfrak{m}(x)}=\frac{1}{\sqrt{2\pi\|\varphi\|_{2}^{2}}}\int_{\mathbb{R}}{f(u)e^{-\frac{u^{2}}{2\|\varphi\|_{2}^{2}}}du}$$정리 2.24(팰리-위너-지그문드 정리) \(\varphi_{i}\in L_{2}([a,\,b])\), \(i=1,\,...,\,n\)이고 \(\{\varphi_{1},\,...,\,\varphi_{n}\}\)이 정규직교집합이라 하자. \(\displaystyle X_{j}(x)=\int_{a}^{b}{\varphi_{j}(t)\tilde{d}x(t)}\)로 정의하면 \(X_{j}\)는 서로 독립이고 \(X_{j}\,\sim\,N(0,\,1)\)이다. \(f:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 르베그 가측함수이면, 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{f\left(\int_{a}^{b}{\varphi_{1}(t)\tilde{d}x(t)},\,...,\,\int_{a}^{b}{\varphi_{n}(t)\tilde{d}x(t)}\right)d\mathfrak{m}(x)}=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(\vec{u})e^{-\displaystyle\tiny\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n}{u_{j}^{2}}}d\vec{u}}$$*(1) 위의 정리의 결과를 이용하여 여러 위너 적분을 계산할 수 있다.

(2) 정리 2.24(팰리-위너-지그문드 정리)를 이용해 위너 적분공식을 유도할 수 있다.

(3) 정리 2.24를 \(\{\varphi_{1},\,...,\,\varphi_{n}\}\)이 직교집합(orthogonal set)인 경우로 확장할 수 있고, 이 경우 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{f\left(\int_{a}^{b}{\varphi_{1}(t)\tilde{d}x(t)},\,...,\,\int_{a}^{b}{\varphi_{n}(t)\tilde{d}x(t)}\right)d\mathfrak{m}(x)}=\left\{(2\pi)^{n}\prod_{j=1}^{n}{\|\varphi_{j}\|_{2}^{2}}\right\}^{-\frac{1}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(\vec{u})e^{\displaystyle\tiny-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n}{\frac{u_{j}^{2}}{\|\varphi_{j}\|_{2}^{2}}}}d\vec{u}}$$\(\{e_{k}\}\)가 \(L_{2}([a,\,b])\)에서 완비 정규직교집합이고 \(e_{k}\in C([a,\,b])\cap BV([a,\,b])\)라 하자. \(\alpha\in L_{2}([a,\,b])\)일 때$$\begin{align*}Z_{n}(x)&=\int_{a}^{b}{\left\{\sum_{k=1}^{n}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle e_{k}(t)}\right\}dx(t)}\\Z(x)&=\int_{a}^{b}{\alpha(t)\tilde{d}x(t)}\end{align*}$$라 하자. 그러면 \(a.e.\,x\in C_{0}([a,\,b])\)에 대해 \(Z_{n}(x)\,\rightarrow\,Z(x)\)이다. 이제 \(L_{2}(C_{0}([a,\,b]))\)에서 \(Z_{n}\,\rightarrow\,Z\)임을 보이자.$$Z_{n}(x)-Z(x)=\int_{a}^{b}{\left\{\sum_{k=1}^{n}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle e_{k}(t)}-\alpha(t)\right\}\tilde{d}x(t)}$$이고 \(\displaystyle Z_{n}-Z\,\sim\,N\left(0,\,\left\|\sum_{k=1}^{n}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle e_{k}}-\alpha\right\|_{2}^{2}\right)\)이므로 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{|Z_{n}(x)-Z(x)|^{2}d\mathfrak{m}(x)}=\left\|\sum_{k=1}^{n}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle e_{k}}-\alpha\right\|_{2}^{2}\,\rightarrow\,0$$이다. 따라서 다음의 정리를 얻는다.

정리 2.25 \(\varphi\in L_{2}([a,\,b])\), \(e_{k}\in C([a,\,b])\cap BV([a,\,b])\)이고 \(\{e_{k}\}\)는 \(L_{2}([a,\,b])\)에서 완비 정규직교집합이라 하자. 그러면 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{\left\{\sum_{k=1}^{n}{\langle\varphi,\,e_{k}\rangle e_{k}(t)}\right\}dx(t)}\)는 \(x\)의 함수로서 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{\varphi(t)\tilde{d}x(t)}\)로 \(L_{2}(C_{0}([a,\,b]))\)노름수렴한다(물론 a.e.수렴도 한다).

참고자료:

위너 적분론, 장건수, 민음사