2-2. 카메룬-마틴 변환정리(2)

2-2. 카메룬-마틴 변환정리(2) 

정리 2.7 \(\varphi\in C([a,\,b])\cap BV([a,\,b])\)일 때 \(X:C_{0}([a,\,b])\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 \(\displaystyle X(x)=\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}\)로 정의하자. 그러면 \(X\,\sim\,N(0,\,\|\varphi\|_{2}^{2})\)이다. 

\(f:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 르베그 가측함수이면, 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{f\left(\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}\right)d\mathfrak{m}(x)}=\frac{1}{\sqrt{2\pi\|\varphi\|_{2}^{2}}}\int_{\mathbb{R}}{f(u)e^{-\frac{u^{2}}{2\|\varphi\|_{2}^{2}}}du}\,(1)$$증명: \(X\)는 연속이므로 확률변수이다. \(X\)의 특성함수(푸리에 변환)를 \(\mathcal{F}(X)\)라 하자. 그러면 다음의 식을 얻는다.$$\begin{align*}\mathcal{F}(X)(v)&=E(e^{ivX})\\&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{e^{iv\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}d\mathfrak{m}(x)}\\&=e^{-\frac{1}{2}v^{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}\end{align*}$$그러면 \(X\,\sim\,N(0,\,\|\varphi\|_{2}^{2})\)이고 식 (1)은 기댓값의 정의로부터 성립한다.

정리 2.8 (팰리-위너 정리, Paley-Wiener theorem) \(\varphi_{i}\in C([a,\,b])\cap BV([a,\,b])\,(i=1,\,...,\,n)\), \(\{\varphi_{1},\,...,\,\varphi_{n}\}\)을 정규직교집합이라 하자. 즉$$\int_{a}^{b}{\varphi_{i}(t)\varphi_{j}(t)dt}=\begin{cases}1&\,(i=j)\\0&\,(i\neq j)\end{cases}$$\(\displaystyle X_{j}(x)=\int_{a}^{b}{\varphi_{j}(t)dx(t)}\,(j=1,\,...,\,n)\)로 정의하면 \(X_{j}\)는 서로 독립이고 \(X_{j}\,\sim\,N(0,\,1)\)이다. 

\(f:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 르베그 가측함수이면 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{f\left(\int_{a}^{b}{\varphi_{1}(t)dx(t),\,...,\,\int_{a}^{b}{\varphi_{n}(t)dx(t)}}\right)d\mathfrak{m}(x)}=\frac{1}{(\sqrt{2\pi})^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(\vec{u})e^{\displaystyle\tiny-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n}{u_{j}^{2}}}d\vec{u}}\,(\vec{u}=(u_{1},\,...,\,u_{n}))\,(2)$$증명: \(\|\varphi_{j}\|_{2}=1\)이므로 2.7에 의해 \(X_{j}\,\sim\,N(0,\,1)\)이다. 임의의 상수 \(a_{1},\,...,\,a_{n}\)에 대해 \(Y=a_{1}X_{1}+\cdots+a_{n}X_{n}\)이라 하자. \(X_{i}\)가 서로 독립임을 보이기 위해서 \(\displaystyle Y\,\sim\,N\left(0,\,\sum_{j=1}^{n}{a_{j}^{2}}\right)\)임을 보이면 된다. \(\varphi(t)=a_{1}\varphi_{1}(t)+\cdots+a_{n}\varphi_{n}(t)\)라 하면 \(\displaystyle Y(x)=\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}\)이고 정리 2.7에 의해 \(Y\,\sim\,N(0,\,\|\varphi\|_{2}^{2})\)이다. 그런데$$\begin{align*}\|\varphi\|_{2}^{2}&=\|a_{1}\varphi\|_{2}^{2}+\cdots+\|a_{n}\varphi_{n}\|_{2}^{2}+\sum_{i\neq j}{\int_{a}^{b}{\varphi_{i}(t)\varphi_{j}(t)dt}}\\&=a_{1}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}\end{align*}$$이므로 \(\displaystyle Y\,\sim\,N\left(0,\,\sum_{j=1}^{\infty}{a_{j}^{2}}\right)\)이다. 등식 (2)는 기댓값의 정의로부터 성립한다.

* \(\varphi_{i}\in C([a,\,b])\cap BV([a,\,b])\,(i=1,\,...,\,n)\)이고 \(\{\varphi_{1},\,...,\,\varphi_{n}\}\)이 직교집합인 경우로 정리 2.8을 확장할 수 있다. 이 경우 정리 2.8의 식 (2)는 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{f\left(\int_{a}^{b}{\varphi_{1}(t)dx(t)},\,...,\,\int_{a}^{b}{\varphi_{n}(t)dx(t)}\right)d\mathfrak{m}(x)}=\left\{(2\pi)^{n}\prod_{j=1}^{n}{\|\varphi_{j}\|_{2}^{2}}\right\}^{-\frac{1}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(\vec{u})e^{\displaystyle\tiny-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n}{\frac{u_{j}^{2}}{\|\varphi_{j}\|_{2}^{2}}}}d\vec{u}}$$성질 2.9 \(F:C_{0}([a,\,b])\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 \(\displaystyle F(x)=\left(\int_{a}^{b}{x(t)dt}\right)^{k}\)로 정의하면 \(F\)는 위너적분 가능하고, \(k\)가 홀수이면, \(\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}=0\), \(k\)가 짝수이면 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{\left(\int_{a}^{b}{x(t)dt}\right)^{2n}d\mathfrak{m}(x)}=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\left\{\frac{2(b-a)^{3}}{3}\right\}^{n}\Gamma\left(\frac{2n+1}{2}\right)$$증명: 정리 2.7에 \(\varphi(t)=b-t\)를 적용하고, 공식 (1)을 사용한다. 그러면$$X(x)=\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}=\int_{a}^{b}{x(t)dt},\,\|\varphi\|_{2}^{2}=\frac{1}{3}(b-a)^{3}$$이고 다음의 등식을 얻는다.$$\begin{align*}\int_{C_{0}([a,\,b])}{\left(\int_{a}^{b}{x(t)dt}\right)d\mathfrak{m}(x)}&=\frac{1}{\sqrt{\pi}}(2\|\varphi\|_{2}^{2})^{n}\int_{\mathbb{R}}{u^{2n}e^{-u^{2}}du}\\&=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\left\{\frac{2(b-a)^{3}}{3}\right\}^{n}\Gamma\left(\frac{2n+1}{2}\right)\end{align*}$$정리 2.10 \(K\in C([a,\,b])\cap BV([a,\,b])\)이고 \(T:C_{0}([a,\,b])\,\rightarrow\,C_{0}([a,\,b])\)를$$(Tx)(t)=x(t)+\int_{a}^{t}{K(s)x(s)ds}\,(t\in[a,\,b])$$로 정의하자(\(T\)는 전단사이고, \(T\)와 \(T^{-1}\)는 연속이다). 그러면 다음의 성질들이 성립한다.

(1) \(T\)는 위너가측이다.

(2) \(A\in\mathcal{S}_{1}\)이면 다음의 등식이 성립한다.$$\mathfrak{m}(A)=\int_{T^{-1}A}{J[K,\,x]d\mathfrak{m}(x)},\,\mathfrak{m}(TA)=\int_{A}{J[K,\,x]d\mathfrak{m}(x)}$$여기서 \(J[K,\,x]\)는 다음과 같이 정의된다.$$J[K,\,x]=e^{\frac{1}{2}\int_{a}^{b}{K(t)dt}-\frac{1}{2}\int_{a}^{b}{K(t)d\{x(t)\}^{2}}-\frac{1}{2}\int_{a}^{b}{\{K(t)x(t)\}^{2}dt}}$$(3) \(F\)가 위너가측 함수이면, 다음의 두 등식들이 성립한다.$$\begin{align*}\int_{A}{F(y)d\mathfrak{m}(y)}&=\int_{T^{-1}A}{F(Tx)J[K,\,x]d\mathfrak{m}(x)}\\ \int_{TA}{F(y)d\mathfrak{m}(y)}&=\int_{A}{F(Tx)J[K,\,x]d\mathfrak{m}(x)}\end{align*}$$증명: 생략

정리 2.11 \(\displaystyle-\frac{\pi}{2(b-a)}<c<\frac{\pi}{2(b-a)}\)에 대하여 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{e^{\frac{c^{2}}{2}\int_{a}^{b}{\{x(t)\}^{2}dt}}d\mathfrak{m}(x)}=\left\{\cos(b-a)c\right\}^{-\frac{1}{2}}$$증명: 편의상 \([a,\,b]=[0,\,1]\)인 경우로 한정해서 증명하겠다. 

\(\displaystyle-\frac{\pi}{2}<c<\frac{\pi}{2}\)일 때, \(K(t)=c\tan(t-1)c\,(0\leq t\leq1)\)로 놓으면 \(K\in C([0,\,1])\cap BV([0,\,1])\)이다. 변환$$(Tx)(t)=x(t)+\int_{0}^{t}{c\tan(s-1)cx(s)ds}$$와 \(F(y)=1\)을 정리 2.10에 적용하면 다음의 등식을 얻는다.$$\int_{C_{0}([0,\,1])}{e^{-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{K(t)d\{x(t)\}^{2}}-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{\{K(t)x(t)\}^{2}dt}}d\mathfrak{m}(x)}=e^{-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{K(t)dt}}\,(3)$$그러면$$\begin{align*}e^{-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{K(t)dt}}&=e^{-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{c\tan(t-1)cdt}}\\&=e^{\left[\frac{1}{2}\log\cos c(t-1)\right]_{0}^{1}}\\&=(\cos\xi)^{-\frac{1}{2}}\end{align*}$$이고$$\begin{align*}\int_{0}^{1}{K(t)d\{x(t)\}^{2}}&=\left[K(t)\{x(t)\}^{2}\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}{\{x(t)\}^{2}dK(t)}\\&=-c^{2}\int_{0}^{1}{\{x(t)\}^{2}\sec^{2}(t-1)cdt}\\ \int_{0}^{1}{\{K(t)x(t)\}^{2}dt}&=c^{2}\int_{0}^{1}{\{x(t)\}^{2}\{\sec^{2}(t-1)c\}dt}-c^{2}\int_{0}^{1}{\{x(t)\}^{2}dt}\end{align*}$$이므로 이들 식들을 식 (3)에 대입하면 증명이 끝난다. 

정리 2.11은 \(c\)가 복소수\(\displaystyle\left(\text{Re}c^{2}<\frac{\pi^{2}}{4(b-a)^{2}}\right)\)인 경우에도 성립한다.

다음의 정리는 일반적인 위너 적분공식이고, 이 정리의 증명은 생략하겠다.

정리 2.12 \(F:(0,\,\infty)\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 르베그 가측함수라 하자. 그러면 다음의 등식이 성립한다.$$\begin{align*}\int_{C_{0}([a,\,b])}{F\left(\int_{a}^{b}{\{x(t)\}^{2}dt}\right)d\mathfrak{m}(x)}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{\infty}{F\left(\frac{2(b-a)^{2}}{s^{2}}\right)\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n}\frac{1\cdot3\cdots(2n-1)(4n+1)}{2\cdot4\cdots(2n)}e^{-\left(n+\frac{1}{4}\right)^{2}s^{2}}}ds}\end{align*}$$

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford

위너 적분론, 장건수, 민음사