1-8 척도불변 가측함수

1-8 척도불변 가측함수

\(C_{0}([a,\,b])\)의 한 척도불변 가측집합에서 정의되고 \(\mathcal{S}-\)가측 실함수들의 집합을 \(\mathcal{F}_{\mathcal{S}}\)라 하고, 같은 방법으로 \(C_{0}([a,\,b])\)의 한 보렐집합에서 정의되고 보렐가측인 실함수들의 집합을 \(\mathcal{F}_{\mathcal{B}}\), \(C_{0}([a,\,b])\)의 한 \(\mathfrak{m}_{\sigma}-\)가측집합 위에서 정의되고 \(\mathcal{S}_{\sigma}-\)가측인 실함수들의 집합을 \(\mathcal{F}_{\mathcal{S}_{\sigma}}(\sigma>0)\)라 하자.

정의 1.73 척도불변 가측집합에서 정의된 함수 \(F\)가 다음의 성질을 만족하면 \(F\)를 척도불변 가측함수라고 한다.

모든 \(\sigma>0\)에 대해 \(F(\sigma x)\)는 위너가측인 함수이다.

위너공간에서 정의된 두 함수 \(F,\,G\)가 \(s-a.e.\)에서 같을 때 \(F\approx G\)로 나타내고 이것은 동치관계이다. 

여기서는 실가함수에 대해서만 다루지만 복소함수에 대해서도 같은 이론을 전개할 수 있다. 

다음의 세 정리(1.74, 1.75, 1.76)는 각각 정리 1.49, 1.52, 1.67로부터 성립한다.

정리 1.74 \(\displaystyle\mathcal{F}_{\mathcal{S}}=\bigcap_{\sigma>0}{\mathcal{F}_{\mathcal{S}_{\sigma}}}\)

정리 1.75 \(F\)를 \(C_{0}([a,\,b])\)의 한 부분집합 \(M\)에서 정의되는 함수라 하자. 주어진 \(\sigma>0\)에 대해 \(\sigma^{-1}M\)에서 정의되는 함수 \(F_{\sigma}\)를 \(F_{\sigma}(x)=F(\sigma x)\)로 정의하자. 그러면 다음의 성질들이 성립한다.

(1) \(F_{\sigma}\in\mathcal{F}_{\mathcal{S}_{\sigma}}\)일 필요충분조건은 \(F\in\mathcal{F}_{\mathcal{S}_{\sigma}}\)이다.

(2) \(F\in\mathcal{F}_{\mathcal{S}}\)일 필요충분조건은 모든 \(\sigma>0\)에 대해 \(F_{\sigma}\in\mathcal{F}_{\mathcal{S}_{1}}\)이다. 즉, \(\mathcal{F}_{\mathcal{S}}\)는 모든 척도불변 가측함수들의 집합족이다.

정리 1.76 각 \(\sigma>0\)에 대해 \(\mathcal{F}_{\mathcal{B}}\subset\mathcal{F}_{\mathcal{S}}\subset\mathcal{F}_{\mathcal{S}_{\sigma}}\)이고, 등호는 성립하지 않는다.

정리 1.77 \(F\)를 \(M\subset C_{0}([a,\,b])\)에서 정의된 함수라 하자. 그러면 \(F\)가 \(s-a.e.\)에서 정의되고 \(F\in\mathcal{F}_{\mathcal{S}}\)일 필요충분조건은 각 \(\sigma>0\)에 대해 함수 \(F^{(\sigma)}=F|_{M\cap\Omega_{\sigma}}\)가 \(\mathfrak{m}_{\sigma}-a.e.\)에서 정의되고 \(\mathcal{F}_{\mathcal{S}_{\sigma}}\)의 원소가 되는 것이다. 

증명: 

\((\Rightarrow)\): \(F\)가 \(s-a.e.\)에서 정의되고 \(\mathcal{F}_{\mathcal{S}}\)의 원소라 하자. \(F\)는 척도불변 영집합 \(N\)을 제외한 모든 점에서 정의되고 정리 1.51에 의해 \(N\)을 \(\displaystyle N=\left(\bigcup_{\sigma>0}{N_{\sigma}}\right)\cup L\)로 나타낼 수 있다. 여기서 \(N_{\sigma}\subset\Omega_{\sigma}\), \(\mathfrak{m}_{\sigma}(N_{\sigma})=0\), \(L\subset\mathcal{D}\cup\Omega_{0}\)이고 따라서 \(F^{(\sigma)}\)는 \(N_{\sigma}\)를 제외한 \(\Omega_{\sigma}\)의 모든 점에서 정의되므로 \(F^{(\sigma)}\)는 \(\mathfrak{m}_{\sigma}-a.e.\)에서 정의된다. 

\(F\in\mathcal{F}_{\mathcal{S}}\)이므로 보렐집합 \(\displaystyle B\subset\mathbb{R}\)에 대해 \(F^{-1}[B]=\mathcal{S}=\bigcap_{\sigma>0}{\mathcal{S}_{\sigma}}\)이다. 따라서$$(F^{(\sigma)})^{-1}[B]=F^{-1}[B]\cap\Omega_{\sigma}\in\mathcal{S}_{\sigma}$$이므로 \(F^{(\sigma)}\in\mathcal{F}_{\mathcal{S}_{\sigma}}\)이다.

\((\Leftarrow)\): 각 \(\sigma>0\)에 대해 \(F^{(\sigma)}\)가 \(\mathfrak{m}_{\sigma}-\)영집합 \(N_{\sigma}\subset\Omega_{\sigma}\)를 제외한 모든 곳에서 정의되고 \(F^{\sigma}\in\mathcal{F}_{\mathcal{S}_{\sigma}}\)라 하자. 그러면 \(F\)는 척도불변 영집합 \(\displaystyle\left(\bigcup_{\sigma>0}{N_{\sigma}}\right)\cup(\mathcal{D}\cup\Omega_{0})\)의 어떤 부분집합을 제외한 모든 곳에서 정의되어야 한다. 따라서 \(C_{0}([a,\,b])-\mathcal{D}\)는 척도불변 영집합이고 \(F\)는 \(s-a.e.\)에서 정의된다. \(B\subset\mathbb{R}\)를 보렐집합이라고 하자. \(F^{-1}[B]\in\mathcal{S}\)임을 보이기 위해 각 \(\sigma>0\)에 대해 \(F^{-1}[B]\cap\Omega_{\sigma}\in\mathcal{S}_{\sigma}\)임을 보이면 된다. 그런데 \(F^{-1}[B]\cap\Omega_{\sigma}=(F^{(\sigma)})^{-1}[B]\in\mathcal{S}_{\sigma}\)이므로 증명을 완료했다. 

정리 1.78 \(a<t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{n}\leq b\), \(f:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 \(\lambda-a.e.\)에서 정의되고 르베그 가측함수라 하자. \(F:C_{0}([a,\,b])\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를$$F(x)=f(x_{t_{1}},\,...,\,x(t_{n}))$$으로 정의하면 \(F\)는 \(s-a.e.\)에서 정의되는 척도불변 가측함수이다.

증명: \(f\)가 정의되지 않는 점들의 집합을 \(E\)라 하자. 그러면 \(\lambda(E)=0\)이고 \(F(x)\)의 정의에 의해 \(F\)가 정의되지 않는 집합은 \(J_{\vec{t}}(E)\)이고 \(\mathfrak{m}(J_{\vec{t}}(E))=0\)이며 \(J_{\vec{t}}(E)\)는 척도불변 영집합이므로 \(F\)는 \(s-a.e.\)에서 정의된다. 각 \(\sigma>0\)에 대해 \(f(\sigma x)\)도 \(\lambda-a.e.\)에서 정의되고 르베그 가측이므로 \(F(\sigma x)\)는 위너가측이다. 

\(F:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 보렐 가측함수, \(\{\sigma_{n}\}\)을 \(\sigma>0\)로 수렴하는 수열이라 하자. 그러면 다음의 르베그적분의 수열은 수렴한다.$$\int_{a}^{b}{F(\sigma_{n}z)dz}\,\rightarrow\,\int_{a}^{b}{F(\sigma z)dz}$$그러나 이 성질은 위너적분에서 성립하지 않는다.

\(\sigma>0\), \(\{\sigma_{n}\}\)을 \(\sigma\)로 수렴하는 수열, \(F(x)=1-\chi_{\Omega_{\sigma}}(x)\)라 하자. 그러면 \(F\)는 유계이고 보렐가측이다. \(\mathfrak{m}_{1}-a.e.\,x\)에 대해 \(x\in\Omega_{1}\)이고 \(\sigma_{n}\in\sigma_{n}\Omega_{1}\subset\Omega_{\sigma_{n}}\subset C_{0}([a,\,b])-\Omega_{\sigma_{n}}\)이므로 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대해 \(\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(\sigma_{n}x)d\mathfrak{m}_{1}(x)}=1\)이나 \(\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(\sigma x)d\mathfrak{m}_{1}(x)}=0\)이므로 \(\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(\sigma_{n}x)d\mathfrak{m}_{1}(x)}\,\not\rightarrow\,\int_{C_{0}}{F(\sigma x)d\mathfrak{m}_{1}(x)}\)이다.    

이러한 문제점을 보렐집합 또는 보렐 가측함수로 제한해서 해결할 수 있으나 이것이 만능 해결책은 아니다. \(F\)가 \(s-a.e.\)에서 연속이면 위너공간에서도 르베그적분처럼 수렴한다. 즉 \(\sigma_{n}\,\rightarrow\,\sigma\)일 때$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(\sigma_{n}x)d\mathfrak{m}_{1}(x)}\,\rightarrow\,\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(\sigma x)d\mathfrak{m}_{1}(x)}$$정리 1.79 \(F\)를 척도불변 가측함수, \(p>0\)라 하자. 그러면 \(s-a.e.\,y\)에 대해 \(F(px+y)\)는 \(x\)의 함수로서 위너가측이다. 

증명: \(p>0\)에 대해 다음이 성립함을 보이면 된다.$$\{y\in\Omega_{1}\,|\,F(px+y)\,\text{is function of}\,x\,\text{and not wiener measurable}\}\in\mathcal{N}_{1}$$\(\Omega_{q}=q\Omega_{1}\)이므로 \(q=1\)인 경우에 대해 보이면 충분하다. 

가정에 의해 \(F(\sqrt{p^{2}+q^{2}}z)\)는 \(\mathfrak{m}_{1}-\)가측인 \(z\)의 함수이고, 정리 1.67에 의해 \(F(px+qy)\)는 \((\mathfrak{m}_{1}\times\mathfrak{m}_{1})-\)가측인 \((x,\,y)\)의 함수이다. 따라서 \(\mathfrak{m}_{1}-a.e.\,y(\in\Omega_{1})\)에 대해 \(F(px+qy)\)는 \(\mathfrak{m}_{1}-\)가측인 \(x\)의 함수이다. 따라서 증명을 완료했다. 

정리 1.80 \(F\)와 \(G\)를 척도불변 가측함수로 \(s-a.e.\)에서 같다고 하자. 즉 \(F\approx G\). \(p,\,q>0\)이면, \((\mathfrak{m}_{1}\times\mathfrak{m}_{1})-a.e.\,(x,\,y)\)에 대해 \(F(px+qy)=G(px+qy)\)이다.

증명: 정리 1.67로부터 성립한다. 

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford

위너 적분론, 장건수, 민음사