1-8 척도불변 가측함수

1-8 척도불변 가측함수

$C_{0}([a,\,b])$의 한 척도불변 가측집합에서 정의되고 $\mathcal{S}-$가측 실함수들의 집합을 $\mathcal{F}_{\mathcal{S}}$라 하고, 같은 방법으로 $C_{0}([a,\,b])$의 한 보렐집합에서 정의되고 보렐가측인 실함수들의 집합을 $\mathcal{F}_{\mathcal{B}}$, $C_{0}([a,\,b])$의 한 $\mathfrak{m}_{\sigma}-$가측집합 위에서 정의되고 $\mathcal{S}_{\sigma}-$가측인 실함수들의 집합을 $\mathcal{F}_{\mathcal{S}_{\sigma}}(\sigma>0)$라 하자.

정의 1.73 척도불변 가측집합에서 정의된 함수 $F$가 다음의 성질을 만족하면 $F$를 척도불변 가측함수라고 한다.

모든 $\sigma>0$에 대해 $F(\sigma x)$는 위너가측인 함수이다.

위너공간에서 정의된 두 함수 $F,\,G$가 $s-a.e.$에서 같을 때 $F\approx G$로 나타내고 이것은 동치관계이다. 

여기서는 실가함수에 대해서만 다루지만 복소함수에 대해서도 같은 이론을 전개할 수 있다. 

다음의 세 정리(1.74, 1.75, 1.76)는 각각 정리 1.49, 1.52, 1.67로부터 성립한다.

정리 1.74 $\displaystyle\mathcal{F}_{\mathcal{S}}=\bigcap_{\sigma>0}{\mathcal{F}_{\mathcal{S}_{\sigma}}}$

정리 1.75 $F$를 $C_{0}([a,\,b])$의 한 부분집합 $M$에서 정의되는 함수라 하자. 주어진 $\sigma>0$에 대해 $\sigma^{-1}M$에서 정의되는 함수 $F_{\sigma}$를 $F_{\sigma}(x)=F(\sigma x)$로 정의하자. 그러면 다음의 성질들이 성립한다.

(1) $F_{\sigma}\in\mathcal{F}_{\mathcal{S}_{\sigma}}$일 필요충분조건은 $F\in\mathcal{F}_{\mathcal{S}_{\sigma}}$이다.

(2) $F\in\mathcal{F}_{\mathcal{S}}$일 필요충분조건은 모든 $\sigma>0$에 대해 $F_{\sigma}\in\mathcal{F}_{\mathcal{S}_{1}}$이다. 즉, $\mathcal{F}_{\mathcal{S}}$는 모든 척도불변 가측함수들의 집합족이다.

정리 1.76 각 $\sigma>0$에 대해 $\mathcal{F}_{\mathcal{B}}\subset\mathcal{F}_{\mathcal{S}}\subset\mathcal{F}_{\mathcal{S}_{\sigma}}$이고, 등호는 성립하지 않는다.

정리 1.77 $F$를 $M\subset C_{0}([a,\,b])$에서 정의된 함수라 하자. 그러면 $F$가 $s-a.e.$에서 정의되고 $F\in\mathcal{F}_{\mathcal{S}}$일 필요충분조건은 각 $\sigma>0$에 대해 함수 $F^{(\sigma)}=F|_{M\cap\Omega_{\sigma}}$가 $\mathfrak{m}_{\sigma}-a.e.$에서 정의되고 $\mathcal{F}_{\mathcal{S}_{\sigma}}$의 원소가 되는 것이다. 

증명: 

$(\Rightarrow)$: $F$가 $s-a.e.$에서 정의되고 $\mathcal{F}_{\mathcal{S}}$의 원소라 하자. $F$는 척도불변 영집합 $N$을 제외한 모든 점에서 정의되고 정리 1.51에 의해 $N$을 $\displaystyle N=\left(\bigcup_{\sigma>0}{N_{\sigma}}\right)\cup L$로 나타낼 수 있다. 여기서 $N_{\sigma}\subset\Omega_{\sigma}$, $\mathfrak{m}_{\sigma}(N_{\sigma})=0$, $L\subset\mathcal{D}\cup\Omega_{0}$이고 따라서 $F^{(\sigma)}$는 $N_{\sigma}$를 제외한 $\Omega_{\sigma}$의 모든 점에서 정의되므로 $F^{(\sigma)}$는 $\mathfrak{m}_{\sigma}-a.e.$에서 정의된다. 

$F\in\mathcal{F}_{\mathcal{S}}$이므로 보렐집합 $\displaystyle B\subset\mathbb{R}$에 대해 $F^{-1}[B]=\mathcal{S}=\bigcap_{\sigma>0}{\mathcal{S}_{\sigma}}$이다. 따라서 $$(F^{(\sigma)})^{-1}[B]=F^{-1}[B]\cap\Omega_{\sigma}\in\mathcal{S}_{\sigma}$$ 이므로 $F^{(\sigma)}\in\mathcal{F}_{\mathcal{S}_{\sigma}}$이다.

$(\Leftarrow)$: 각 $\sigma>0$에 대해 $F^{(\sigma)}$가 $\mathfrak{m}_{\sigma}-$영집합 $N_{\sigma}\subset\Omega_{\sigma}$를 제외한 모든 곳에서 정의되고 $F^{\sigma}\in\mathcal{F}_{\mathcal{S}_{\sigma}}$라 하자. 그러면 $F$는 척도불변 영집합 $\displaystyle\left(\bigcup_{\sigma>0}{N_{\sigma}}\right)\cup(\mathcal{D}\cup\Omega_{0})$의 어떤 부분집합을 제외한 모든 곳에서 정의되어야 한다. 따라서 $C_{0}([a,\,b])-\mathcal{D}$는 척도불변 영집합이고 $F$는 $s-a.e.$에서 정의된다. $B\subset\mathbb{R}$를 보렐집합이라고 하자. $F^{-1}[B]\in\mathcal{S}$임을 보이기 위해 각 $\sigma>0$에 대해 $F^{-1}[B]\cap\Omega_{\sigma}\in\mathcal{S}_{\sigma}$임을 보이면 된다. 그런데 $F^{-1}[B]\cap\Omega_{\sigma}=(F^{(\sigma)})^{-1}[B]\in\mathcal{S}_{\sigma}$이므로 증명을 완료했다. 

정리 1.78 $a<t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{n}\leq b$, $f:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 $\lambda-a.e.$에서 정의되고 르베그 가측함수라 하자. $F:C_{0}([a,\,b])\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 $$F(x)=f(x_{t_{1}},\,...,\,x(t_{n}))$$ 으로 정의하면 $F$는 $s-a.e.$에서 정의되는 척도불변 가측함수이다.

증명: $f$가 정의되지 않는 점들의 집합을 $E$라 하자. 그러면 $\lambda(E)=0$이고 $F(x)$의 정의에 의해 $F$가 정의되지 않는 집합은 $J_{\vec{t}}(E)$이고 $\mathfrak{m}(J_{\vec{t}}(E))=0$이며 $J_{\vec{t}}(E)$는 척도불변 영집합이므로 $F$는 $s-a.e.$에서 정의된다. 각 $\sigma>0$에 대해 $f(\sigma x)$도 $\lambda-a.e.$에서 정의되고 르베그 가측이므로 $F(\sigma x)$는 위너가측이다. 

$F:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 보렐 가측함수, $\{\sigma_{n}\}$을 $\sigma>0$로 수렴하는 수열이라 하자. 그러면 다음의 르베그적분의 수열은 수렴한다. $$\int_{a}^{b}{F(\sigma_{n}z)dz}\,\rightarrow\,\int_{a}^{b}{F(\sigma z)dz}$$ 그러나 이 성질은 위너적분에서 성립하지 않는다.

$\sigma>0$, $\{\sigma_{n}\}$을 $\sigma$로 수렴하는 수열, $F(x)=1-\chi_{\Omega_{\sigma}}(x)$라 하자. 그러면 $F$는 유계이고 보렐가측이다. $\mathfrak{m}_{1}-a.e.\,x$에 대해 $x\in\Omega_{1}$이고 $\sigma_{n}\in\sigma_{n}\Omega_{1}\subset\Omega_{\sigma_{n}}\subset C_{0}([a,\,b])-\Omega_{\sigma_{n}}$이므로 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대해 $\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(\sigma_{n}x)d\mathfrak{m}_{1}(x)}=1$이나 $\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(\sigma x)d\mathfrak{m}_{1}(x)}=0$이므로 $\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(\sigma_{n}x)d\mathfrak{m}_{1}(x)}\,\not\rightarrow\,\int_{C_{0}}{F(\sigma x)d\mathfrak{m}_{1}(x)}$이다.    

이러한 문제점을 보렐집합 또는 보렐 가측함수로 제한해서 해결할 수 있으나 이것이 만능 해결책은 아니다. $F$가 $s-a.e.$에서 연속이면 위너공간에서도 르베그적분처럼 수렴한다. 즉 $\sigma_{n}\,\rightarrow\,\sigma$일 때 $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(\sigma_{n}x)d\mathfrak{m}_{1}(x)}\,\rightarrow\,\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(\sigma x)d\mathfrak{m}_{1}(x)}$$ 정리 1.79 $F$를 척도불변 가측함수, $p>0$라 하자. 그러면 $s-a.e.\,y$에 대해 $F(px+y)$는 $x$의 함수로서 위너가측이다. 

증명: $p>0$에 대해 다음이 성립함을 보이면 된다. $$\{y\in\Omega_{1}\,|\,F(px+y)\,\text{is function of}\,x\,\text{and not wiener measurable}\}\in\mathcal{N}_{1}$$ $\Omega_{q}=q\Omega_{1}$이므로 $q=1$인 경우에 대해 보이면 충분하다. 

가정에 의해 $F(\sqrt{p^{2}+q^{2}}z)$는 $\mathfrak{m}_{1}-$가측인 $z$의 함수이고, 정리 1.67에 의해 $F(px+qy)$는 $(\mathfrak{m}_{1}\times\mathfrak{m}_{1})-$가측인 $(x,\,y)$의 함수이다. 따라서 $\mathfrak{m}_{1}-a.e.\,y(\in\Omega_{1})$에 대해 $F(px+qy)$는 $\mathfrak{m}_{1}-$가측인 $x$의 함수이다. 따라서 증명을 완료했다. 

정리 1.80 $F$와 $G$를 척도불변 가측함수로 $s-a.e.$에서 같다고 하자. 즉 $F\approx G$. $p,\,q>0$이면, $(\mathfrak{m}_{1}\times\mathfrak{m}_{1})-a.e.\,(x,\,y)$에 대해 $F(px+qy)=G(px+qy)$이다.

증명: 정리 1.67로부터 성립한다. 

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford

위너 적분론, 장건수, 민음사