1-6 척도불변 가측집합(2)

1-6 척도불변 가측집합(2) 

정리 1.50

(1) $E\in\mathcal{S}$일 필요충분조건은 모든 $\sigma>0$에 대해 $E\cap\Omega_{\sigma}\in\mathcal{S}_{\sigma}$이다. 

(2) $N\in\mathcal{N}$일 필요충분조건은 모든 $\sigma>0$에 대해 $N\cap\Omega_{\sigma}\in\mathcal{N}_{\sigma}$이다.

증명:

(1): 

($\Rightarrow$): $E\in\mathcal{S}$라 하자. 임의의 $\sigma>0$에 대해 $E\in\mathcal{S}_{\sigma}$이고 $\Omega_{\sigma}\in\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]))\subset\mathcal{S}_{\sigma}$이므로 $E\cap\Omega_{\sigma}\in\mathcal{S}_{\sigma}$이다.

($\Leftarrow$): 모든 $\sigma>0$에 대해 $E\cap\Omega_{\sigma}\in\mathcal{S}_{\sigma}$라 하자. 그러면 $C_{0}([a,\,b])-\Omega_{\sigma}$는 $\mathfrak{m}_{\sigma}-$영집합이고 $E=(E\cap\Omega_{\sigma})\cup(E\cap\Omega_{\sigma}^{c})$이므로 $E\in\mathcal{S}_{\sigma}$이다.

(2): (1)과 같은 방법으로 증명한다. 

정리 1.51 

(1) $E\in\mathcal{S}$일 필요충분조건은 $\displaystyle E=\left(\bigcup_{\sigma>0}{E_{\sigma}}\right)\cup L$이고, 여기서 $E_{\sigma}\subset\Omega_{\sigma}$, $E_{\sigma}$는 $\mathfrak{m}_{\sigma}-$가측집합, $L$은 $\Omega_{0}\cup\mathcal{D}$의 임의의 부분집합이고, 또한 모든 $\sigma>0$에 대해 $\mathfrak{m}_{\sigma}(E)=\mathfrak{\sigma}(E_{\sigma})$이다. 

(2) $N\in\mathcal{N}$일 필요충분조건은 $\displaystyle N=\left(\bigcup_{\sigma>0}{N_{\sigma}}\right)\cup L$이고, 여기서 $N_{\sigma}\subset\Omega_{\sigma}$, $N_{\sigma}$는 $\mathfrak{m}_{\sigma}-$영집합, $L$은 $\Omega_{0}\cup\mathcal{D}$의 임의의 부분집합이다. 

증명: 

(1)

($\Rightarrow$): $E\in\mathcal{S}$라 하고 $E_{\sigma}=E\cap\Omega_{\sigma}$, $L=E\cap(\Omega_{0}\cup\mathcal{D})$라 하자. 그러면 $\displaystyle C_{0}([a,\,b])=\left(\bigcup_{\sigma\geq0}{\Omega_{\sigma}}\right)\cup\mathcal{D}$이므로 성질 1.46의 (4)와 정리 1.50으로부터 $\displaystyle E=\left(\bigcup_{\sigma>0}{E_{\sigma}}\right)\cup L$이다.  

($\Leftarrow$): $\displaystyle E=\left(\bigcup_{\sigma>0}{\Omega_{\sigma}}\right)\cup L$이라 하자. 정리 1.49에 의해 모든 $\sigma>0$에 대해 $E\in\mathcal{S}_{\sigma}$임을 보이면 된다. 가정에 의해 $E\cap\Omega_{\sigma}\in\mathcal{S}_{\sigma}$이고, $\displaystyle\left(\bigcup_{\sigma\neq\lambda>0}{E_{\lambda}}\right)\cup L$은 $\mathfrak{m}_{\sigma}-$영집합이므로 $E\in\mathcal{S}_{\sigma}$이다. 식 $\mathfrak{m}_{\sigma}(E)=\mathfrak{m}_{\sigma}(E_{\sigma})$은 성질 1.46의 (3)으로부터 얻어진다. 

(2)

($\Rightarrow$): $N\in\mathcal{N}$이라 하자. 그러면 $N\in\mathcal{S}$이므로 (1)에 의해 $\displaystyle N=\left(\bigcup_{\sigma>0}{N_{\sigma}}\right)\cup L\cup$로 나타내어지고, $N_{\sigma}\in\mathcal{S}_{\sigma}$, $L\subset\Omega_{0}\cup\mathcal{D}$ 이다. 이제 모든 $\sigma>0$에 대해 $\mathfrak{m}_{\sigma}(N_{\sigma})=0$임을 보이면 된다. 그런데 정리 1.50에 의해 $0=\mathfrak{m}_{\sigma}(N)=\mathfrak{m}_{\sigma}(N_{\sigma})$이다.

($\Leftarrow$): (1)과 가정으로부터 성립한다.

정리 1. 52 임의의 $\sigma_{0}>0$에 대하여 $\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]))\subset\mathcal{S}\subset\mathcal{S}_{\sigma_{0}}$이고, 이때 등식은 성립하지 않는다.  

증명: 모든 $\sigma_{0}>0$에 대해 $\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]))\subset\mathcal{S}_{\sigma_{0}}$이므로 정리 1.49에 의해 $\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]))\subset\mathcal{S}$이다. 

$E\subset\mathbb{R}^{n}$가 르베그 가측집합이나 보렐집합이 아니라고 하자. 그러면 $J_{\vec{t}}(E)\in\mathcal{S}$이지만 $J_{\vec{t}}(E)$는 보렐집합이 아니므로 $\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]))\subset\mathcal{S}$이고, 등호가 성립하지 않는다. 

$\alpha\neq\lambda>0$일 때, $E_{\lambda}$를 선택해서 $E_{\lambda}\subset\Omega_{\lambda}$, $E_{\lambda}\notin\mathcal{S}_{\lambda}$라 하자. 그러면 $E_{\lambda}\in\mathcal{S}_{\lambda}$이나 $E_{\lambda}\notin\mathcal{S}$이므로 따라서 $\mathcal{S}\subset\mathcal{S}_{\sigma_{0}}$이고 등호가 성립하지 않는다. 이제 이러한 $E_{\lambda}$가 존재함을 보이면 된다. $G\subset\mathbb{R}^{n}$를 르베그 비가측집합이라고 하면 $P_{\vec{t}}^{-1}[G]\notin\mathcal{S}_{1}$이므로 따라서 $\lambda P_{\vec{t}}^{-1}[G]\notin\lambda\mathcal{S}_{1}=\mathcal{S}_{\lambda}$이다. 

$E_{\lambda}=\lambda P_{\vec{t}}^{-1}[G]\cap\Omega_{\lambda}$라고 하면 $E_{\lambda}\notin\mathcal{S}_{\lambda}$이므로 $E_{\lambda}\notin\mathcal{S}$이지만 $E_{\lambda}\cap\Omega_{\sigma_{0}}=\emptyset$이므로 $E_{\lambda}\in\mathcal{S}_{\sigma_{0}}$이다.

성질 1.53 $f:(0,\,\infty)\,\rightarrow\,[0,\,1]$을 임의의 함수라 하자. 그러면 각 $\sigma>0$에 대해 집합 $E_{\sigma}$가 존재해서 $E_{\sigma}\subset\Omega_{\sigma}$, $E_{\sigma}\in\mathcal{S}_{\sigma}$이고, $\mathfrak{m}_{\sigma}(E_{\sigma})=f(\sigma^{-1})$이다. 

증명:

(i) $f(\sigma^{-1})=0$인 경우는 $E_{\sigma}=\emptyset$로 선택한다.

(ii) $f(\sigma^{-1})\neq0$인 경우 $v_{\sigma}\in(-\infty,\,\infty]$를 선택해서 $$\frac{1}{\sqrt{2\pi(b-a)}}\int_{-\infty}^{v_{\sigma}}{e^{-\frac{u^{2}}{2(b-a)}}du}=f(\sigma^{-1})$$ 라 하고, $A_{\sigma}=P_{b}^{-1}[(-\infty,\,v_{\sigma})]$라 하자. 그러면 $\mathfrak{m}_{1}(A_{\sigma})=f(\sigma^{-1})$이고, $F_{\sigma}=A_{\sigma}\cap\Omega_{1}$이라 하면 다음이 성립한다. $$F_{\sigma}\in\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]))\subset\mathcal{S}_{1},\,\mathfrak{m}_{1}(F_{\sigma})=f(\sigma^{-1})$$ $E_{\sigma}=\sigma F_{\sigma}$라 하면 $F_{}\sigma\subset\Omega_{1}$이므로 $$E_{\sigma}\in\sigma\mathcal{S}_{1},\,E_{\sigma}\subset\Omega_{\sigma}$$ 이고 또한 $$\mathfrak{m}_{\sigma}(E_{\sigma})=\mathfrak{m}_{1}(\sigma^{-1}E_{\sigma})=\mathfrak{m}_{1}(F_{\sigma})=f(\sigma^{-1})$$ 이므로 증명을 완료했다.    

따름정리 1.54 $f:(0,\,\infty)\,\rightarrow\,[0,\,1]$를 임의의 함수라 하자. 그러면 모든 $\sigma>0$에 대해 집합 $E\in\mathcal{S}$가 존재해서 $\mathfrak{m}_{1}(\sigma E)=f(\sigma)$이다. 

증명: 성질 1.53에 의해 각 $\sigma>0$에 대해 집합 $E_{\sigma}$를 선택해 $E_{\sigma}\in\mathcal{S}_{\sigma}$, $E_{\sigma}\subset\Omega_{\sigma}$, $\mathfrak{m}_{\sigma}(E_{\sigma})=f(\sigma^{-1})$이라고 할 수 있다. $\displaystyle E=\bigcup_{\sigma>0}{E_{\sigma}}$라 하면 정리 1.51에 의해 $E\in\mathcal{S}$이고, 성질 1.48의 (3)과 정리 1.51의 (1)에 의해 다음의 결과를 얻는다. $$\mathfrak{m}_{1}(\sigma E)=\mathfrak{m}_{\sigma^{-1}}(E)=\mathfrak{m}_{\sigma^{-1}}(E_{\sigma^{-1}})=f(\sigma)$$ 정리 1.55 모든 $\sigma>0,\,\sigma\neq1$에 대해 집합 $H$가 존재해서 $\sigma H$는 위너 가측이지만 $H$는 위너 비가측이다. 따라서 $T_{\sigma}(x)=\sigma x$로 정의되는 척도변환함수 $T_{\sigma}$는 위너 가측성을 보존하지 않는다.  

증명: $M$을 임의의 위너 비가측집합, $H=M\cap\Omega_{1}$이라 하자. 그러면 $M=H\cup(M\cap\Omega_{1}^{c})$이고 $M\cap\Omega_{1}^{c}$는 위너 영집합이므로 $H$는 $\Omega_{1}$의 위너 비가측 부분집합이다. 모든 $\sigma(0<\sigma\neq1)$에 대해 $\sigma H\subset\sigma\Omega_{1}=\Omega_{\sigma}$이므로 $\sigma H$는 위너 영집합이고 따라서 위너가측이다. 

$G=\sigma^{-1}H\,(\sigma>0,\,\sigma\neq1)$라 하면 $G$는 위너가측이나 $T_{\sigma}[G]=\sigma G$는 위너 비가측이다. 따라서 척도변환함수 $T_{\sigma}$는 위너 가측성을 보존하지 않는다. 

따름정리 1.56  $\sigma_{0}>0$를 주어진 실수라 하자. 모든 $\sigma_{0}(0<\sigma_{0}\neq1)$에 대해 $H$가 존재해서 $\sigma_{0}H\in\mathcal{S}_{\sigma_{0}}$이나 $H\notin\mathcal{S}_{\sigma_{0}}$이다. 

증명: $H=M\cap\Omega_{\sigma_{0}}$으로 놓고 정리 1.55의 증명방법을 따른다. 

정리 1.57 

(1) $A\in\mathcal{S}_{1}$일 필요충분조건은 $-A\in\mathcal{S}_{1}$이고, 이때 $\mathfrak{m}_{1}(A)=\mathfrak{m}_{1}(-A)$이다. 

(2) $F(x):C_{0}([a,\,b])\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 위너가측일 필요충분조건은 $F(-x)$가 위너가측이고, 이 경우 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(-x)d\mathfrak{m}_{1}(x)}=\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)d\mathfrak{m}_{1}(x)}$$ 증명:

(1): $T_{-1}$은 연속함수이므로, $B$가 보렐집합이면, $T_{-1}[B]=-B$도 보렐집합이다. 보렐측도 $\mu$를 $\mu(B)=\mathfrak{m}_{1}(B)$로 정의하자. 변수변환을 이용해 $\mu$가 구간들의 집합족 $\mathcal{I}$에서 $\mathfrak{m}_{1}$과 같음을 보일 수 있고, 따라서 $\mu$는 보렐집합 $\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]))$에서 $\mathfrak{m}_{1}$과 같다. 따라서 $\mu$와 $\mathfrak{m}_{1}$은 같은 완비 측도공간을 갖는다. $A\in\mathcal{S}_{1}$이면, $A=B\cup N$이고 여기서 $B$는 보렐집합, $N$은 보렐 영집합의 부분집합이다. 그러면 다음의 등식이 성립한다. $$\mathfrak{m}_{1}(A)=\mathfrak{m}_{1}(B)=\mu(B)=\mu(B\cup N)=\mu(A)=\mathfrak{m}_{1}(-A)$$ (2) $F$가 $A$의 특성함수, $F(x)=\chi_{A}(x)$인 경우 (1)에 의해 증명된다. $F$가 단순함수인 경우, 음이 아닌 가측함수, 일반적인 함수의 경우는 '음이 아닌 가측함수로 수렴하는 단순함수열이 존재하는 정리'를 이용해 보일 수 있다.

집합 $\Omega_{\sigma}\,(\sigma\geq0)$와 $\mathcal{D}$는 구간 $[a,\,b]$의 분할들의 수열에 따라 결정된다. 만약 $\Pi=\{\Pi_{1},\,\Pi_{2},\,...\}$가 $\Pi_{1}\subset\Pi_{2}\subset\cdots$이고 $\|\Pi_{n}\|\,\rightarrow\,0$인 또다른 분할들의 수열, $$\begin{align*}\Omega_{\sigma}^{\Pi}&=\left\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{\Pi_{n}}(x)}=\sigma^{2}(b-a)\right\}\\ \mathcal{D}^{\Pi}&=\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}S_{\Pi_{n}}(x)\,\text{does not exists}\}\end{align*}$$ 라 하자. 정리 1.41에 의해 이제까지 다룬 척도불변에 관한 결과들은 분할에 관계된 부분의 기호만 바꾸면, 그대로 새로운 분할들의 수열 $\Pi$에 대해서도 성립한다. 다만 $\mathcal{S}_{\sigma}$, $\mathfrak{m}_{\sigma}$, $\mathcal{S}$, $\mathcal{N}$은 분할들의 수열과는 독립적이다. 

$E\in\mathcal{S}$일 때, 이 두 분할들의 수열에 대한 정리 1.51의 결과를 다음과 같이 나타내자. $$E=\left(\bigcup_{\sigma>0}{E_{\sigma}}\right)\cup L=\left(\bigcup_{\sigma>0}{E_{\sigma}^{\Pi}}\right)\cup L^{\Pi}$$ 여기서 $E_{\sigma}^{\Pi}=E\cap\Omega_{\sigma}^{\Pi}$, $L^{\Pi}=E\cap(\Omega_{0}^{\Pi}\cup D)$이다.

정리 1.58 $E\in\mathcal{S}$라 하고, $\displaystyle E=\left(\bigcup_{\sigma>0}{E_{\sigma}^{\Pi}}\right)\cup L^{\Pi}$라 하자. 그러면 다음의 집합은 척도불변 영집합이다. $$\left(\bigcup_{\sigma>0}{E_{\sigma}\Delta E_{\sigma}^{\Pi}}\right)\cup(L\Delta L^{\Pi})$$ 증명: 모든 $\sigma>0$에 대해 다음이 성립한다. $$\begin{align*}\mathfrak{m}_{\sigma}(E_{\sigma}-E_{\sigma}^{\Pi})&=\mathfrak{m}_{\sigma}((E\cap\Omega_{\sigma})-(E\cap\Omega_{\sigma}^{\Pi}))\\&=\mathfrak{m}_{\sigma}(E\cap(\Omega_{\sigma}-\Omega_{\sigma}^{\Pi}))\\&\leq\mathfrak{m}_{\sigma}(\Omega_{\sigma}-\Omega_{\sigma}^{\Pi})\\&\leq\mathfrak{m}_{\sigma}(C_{0}([a,\,b])-\Omega_{\sigma}^{\Pi})=0\end{align*}$$ 정리 1.51에 의해 집합 $\displaystyle\bigcup_{\sigma>0}{(E_{\sigma}-E_{\sigma}^{\Pi})\cup(L-L^{\Pi})}$는 척도불변 영집합이다. 같은 방법으로 $\displaystyle\bigcup_{\sigma>0}{(E_{\sigma}^{\Pi}-E_{\sigma})\cup(L^{\Pi}-L)}$도 척도불변 영집합이고 다음이 성립한다. $$\begin{align*}&\bigcup_{\sigma>0}{(E_{\sigma}\Delta E^{\Pi})\cup(L\Delta L^{\Pi})}\\&=\left\{\bigcup_{\sigma>0}{(E_{\sigma}-E_{\sigma}^{\Pi})\cup(L-L^{\Pi})}\right\}\cup\left\{\bigcup_{\sigma>0}{(E_{\sigma}^{\Pi})\cup(L^{\Pi}-L)}\right\}\end{align*}$$

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford

위너 적분론, 장건수, 민음사