1-6 척도불변 가측집합(2)

1-6 척도불변 가측집합(2) 

정리 1.50

(1) \(E\in\mathcal{S}\)일 필요충분조건은 모든 \(\sigma>0\)에 대해 \(E\cap\Omega_{\sigma}\in\mathcal{S}_{\sigma}\)이다. 

(2) \(N\in\mathcal{N}\)일 필요충분조건은 모든 \(\sigma>0\)에 대해 \(N\cap\Omega_{\sigma}\in\mathcal{N}_{\sigma}\)이다.

증명:

(1): 

(\(\Rightarrow\)): \(E\in\mathcal{S}\)라 하자. 임의의 \(\sigma>0\)에 대해 \(E\in\mathcal{S}_{\sigma}\)이고 \(\Omega_{\sigma}\in\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]))\subset\mathcal{S}_{\sigma}\)이므로 \(E\cap\Omega_{\sigma}\in\mathcal{S}_{\sigma}\)이다.

(\(\Leftarrow\)): 모든 \(\sigma>0\)에 대해 \(E\cap\Omega_{\sigma}\in\mathcal{S}_{\sigma}\)라 하자. 그러면 \(C_{0}([a,\,b])-\Omega_{\sigma}\)는 \(\mathfrak{m}_{\sigma}-\)영집합이고 \(E=(E\cap\Omega_{\sigma})\cup(E\cap\Omega_{\sigma}^{c})\)이므로 \(E\in\mathcal{S}_{\sigma}\)이다.

(2): (1)과 같은 방법으로 증명한다. 

정리 1.51 

(1) \(E\in\mathcal{S}\)일 필요충분조건은 \(\displaystyle E=\left(\bigcup_{\sigma>0}{E_{\sigma}}\right)\cup L\)이고, 여기서 \(E_{\sigma}\subset\Omega_{\sigma}\), \(E_{\sigma}\)는 \(\mathfrak{m}_{\sigma}-\)가측집합, \(L\)은 \(\Omega_{0}\cup\mathcal{D}\)의 임의의 부분집합이고, 또한 모든 \(\sigma>0\)에 대해 \(\mathfrak{m}_{\sigma}(E)=\mathfrak{\sigma}(E_{\sigma})\)이다. 

(2) \(N\in\mathcal{N}\)일 필요충분조건은 \(\displaystyle N=\left(\bigcup_{\sigma>0}{N_{\sigma}}\right)\cup L\)이고, 여기서 \(N_{\sigma}\subset\Omega_{\sigma}\), \(N_{\sigma}\)는 \(\mathfrak{m}_{\sigma}-\)영집합, \(L\)은 \(\Omega_{0}\cup\mathcal{D}\)의 임의의 부분집합이다. 

증명: 

(1)

(\(\Rightarrow\)): \(E\in\mathcal{S}\)라 하고 \(E_{\sigma}=E\cap\Omega_{\sigma}\), \(L=E\cap(\Omega_{0}\cup\mathcal{D})\)라 하자. 그러면 \(\displaystyle C_{0}([a,\,b])=\left(\bigcup_{\sigma\geq0}{\Omega_{\sigma}}\right)\cup\mathcal{D}\)이므로 성질 1.46의 (4)와 정리 1.50으로부터 \(\displaystyle E=\left(\bigcup_{\sigma>0}{E_{\sigma}}\right)\cup L\)이다.  

(\(\Leftarrow\)): \(\displaystyle E=\left(\bigcup_{\sigma>0}{\Omega_{\sigma}}\right)\cup L\)이라 하자. 정리 1.49에 의해 모든 \(\sigma>0\)에 대해 \(E\in\mathcal{S}_{\sigma}\)임을 보이면 된다. 가정에 의해 \(E\cap\Omega_{\sigma}\in\mathcal{S}_{\sigma}\)이고, \(\displaystyle\left(\bigcup_{\sigma\neq\lambda>0}{E_{\lambda}}\right)\cup L\)은 \(\mathfrak{m}_{\sigma}-\)영집합이므로 \(E\in\mathcal{S}_{\sigma}\)이다. 식 \(\mathfrak{m}_{\sigma}(E)=\mathfrak{m}_{\sigma}(E_{\sigma})\)은 성질 1.46의 (3)으로부터 얻어진다. 

(2)

(\(\Rightarrow\)): \(N\in\mathcal{N}\)이라 하자. 그러면 \(N\in\mathcal{S}\)이므로 (1)에 의해 \(\displaystyle N=\left(\bigcup_{\sigma>0}{N_{\sigma}}\right)\cup L\cup\)로 나타내어지고, \(N_{\sigma}\in\mathcal{S}_{\sigma}\), \(L\subset\Omega_{0}\cup\mathcal{D}\) 이다. 이제 모든 \(\sigma>0\)에 대해 \(\mathfrak{m}_{\sigma}(N_{\sigma})=0\)임을 보이면 된다. 그런데 정리 1.50에 의해 \(0=\mathfrak{m}_{\sigma}(N)=\mathfrak{m}_{\sigma}(N_{\sigma})\)이다.

(\(\Leftarrow\)): (1)과 가정으로부터 성립한다.

정리 1. 52 임의의 \(\sigma_{0}>0\)에 대하여 \(\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]))\subset\mathcal{S}\subset\mathcal{S}_{\sigma_{0}}\)이고, 이때 등식은 성립하지 않는다.  

증명: 모든 \(\sigma_{0}>0\)에 대해 \(\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]))\subset\mathcal{S}_{\sigma_{0}}\)이므로 정리 1.49에 의해 \(\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]))\subset\mathcal{S}\)이다. 

\(E\subset\mathbb{R}^{n}\)가 르베그 가측집합이나 보렐집합이 아니라고 하자. 그러면 \(J_{\vec{t}}(E)\in\mathcal{S}\)이지만 \(J_{\vec{t}}(E)\)는 보렐집합이 아니므로 \(\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]))\subset\mathcal{S}\)이고, 등호가 성립하지 않는다. 

\(\alpha\neq\lambda>0\)일 때, \(E_{\lambda}\)를 선택해서 \(E_{\lambda}\subset\Omega_{\lambda}\), \(E_{\lambda}\notin\mathcal{S}_{\lambda}\)라 하자. 그러면 \(E_{\lambda}\in\mathcal{S}_{\lambda}\)이나 \(E_{\lambda}\notin\mathcal{S}\)이므로 따라서 \(\mathcal{S}\subset\mathcal{S}_{\sigma_{0}}\)이고 등호가 성립하지 않는다. 이제 이러한 \(E_{\lambda}\)가 존재함을 보이면 된다. \(G\subset\mathbb{R}^{n}\)를 르베그 비가측집합이라고 하면 \(P_{\vec{t}}^{-1}[G]\notin\mathcal{S}_{1}\)이므로 따라서 \(\lambda P_{\vec{t}}^{-1}[G]\notin\lambda\mathcal{S}_{1}=\mathcal{S}_{\lambda}\)이다. 

\(E_{\lambda}=\lambda P_{\vec{t}}^{-1}[G]\cap\Omega_{\lambda}\)라고 하면 \(E_{\lambda}\notin\mathcal{S}_{\lambda}\)이므로 \(E_{\lambda}\notin\mathcal{S}\)이지만 \(E_{\lambda}\cap\Omega_{\sigma_{0}}=\emptyset\)이므로 \(E_{\lambda}\in\mathcal{S}_{\sigma_{0}}\)이다.

성질 1.53 \(f:(0,\,\infty)\,\rightarrow\,[0,\,1]\)을 임의의 함수라 하자. 그러면 각 \(\sigma>0\)에 대해 집합 \(E_{\sigma}\)가 존재해서 \(E_{\sigma}\subset\Omega_{\sigma}\), \(E_{\sigma}\in\mathcal{S}_{\sigma}\)이고, \(\mathfrak{m}_{\sigma}(E_{\sigma})=f(\sigma^{-1})\)이다. 

증명:

(i) \(f(\sigma^{-1})=0\)인 경우는 \(E_{\sigma}=\emptyset\)로 선택한다.

(ii) \(f(\sigma^{-1})\neq0\)인 경우 \(v_{\sigma}\in(-\infty,\,\infty]\)를 선택해서$$\frac{1}{\sqrt{2\pi(b-a)}}\int_{-\infty}^{v_{\sigma}}{e^{-\frac{u^{2}}{2(b-a)}}du}=f(\sigma^{-1})$$라 하고, \(A_{\sigma}=P_{b}^{-1}[(-\infty,\,v_{\sigma})]\)라 하자. 그러면 \(\mathfrak{m}_{1}(A_{\sigma})=f(\sigma^{-1})\)이고, \(F_{\sigma}=A_{\sigma}\cap\Omega_{1}\)이라 하면 다음이 성립한다.$$F_{\sigma}\in\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]))\subset\mathcal{S}_{1},\,\mathfrak{m}_{1}(F_{\sigma})=f(\sigma^{-1})$$\(E_{\sigma}=\sigma F_{\sigma}\)라 하면 \(F_{}\sigma\subset\Omega_{1}\)이므로$$E_{\sigma}\in\sigma\mathcal{S}_{1},\,E_{\sigma}\subset\Omega_{\sigma}$$이고 또한$$\mathfrak{m}_{\sigma}(E_{\sigma})=\mathfrak{m}_{1}(\sigma^{-1}E_{\sigma})=\mathfrak{m}_{1}(F_{\sigma})=f(\sigma^{-1})$$이므로 증명을 완료했다.    

따름정리 1.54 \(f:(0,\,\infty)\,\rightarrow\,[0,\,1]\)를 임의의 함수라 하자. 그러면 모든 \(\sigma>0\)에 대해 집합 \(E\in\mathcal{S}\)가 존재해서 \(\mathfrak{m}_{1}(\sigma E)=f(\sigma)\)이다. 

증명: 성질 1.53에 의해 각 \(\sigma>0\)에 대해 집합 \(E_{\sigma}\)를 선택해 \(E_{\sigma}\in\mathcal{S}_{\sigma}\), \(E_{\sigma}\subset\Omega_{\sigma}\), \(\mathfrak{m}_{\sigma}(E_{\sigma})=f(\sigma^{-1})\)이라고 할 수 있다. \(\displaystyle E=\bigcup_{\sigma>0}{E_{\sigma}}\)라 하면 정리 1.51에 의해 \(E\in\mathcal{S}\)이고, 성질 1.48의 (3)과 정리 1.51의 (1)에 의해 다음의 결과를 얻는다.$$\mathfrak{m}_{1}(\sigma E)=\mathfrak{m}_{\sigma^{-1}}(E)=\mathfrak{m}_{\sigma^{-1}}(E_{\sigma^{-1}})=f(\sigma)$$정리 1.55 모든 \(\sigma>0,\,\sigma\neq1\)에 대해 집합 \(H\)가 존재해서 \(\sigma H\)는 위너 가측이지만 \(H\)는 위너 비가측이다. 따라서 \(T_{\sigma}(x)=\sigma x\)로 정의되는 척도변환함수 \(T_{\sigma}\)는 위너 가측성을 보존하지 않는다.  

증명: \(M\)을 임의의 위너 비가측집합, \(H=M\cap\Omega_{1}\)이라 하자. 그러면 \(M=H\cup(M\cap\Omega_{1}^{c})\)이고 \(M\cap\Omega_{1}^{c}\)는 위너 영집합이므로 \(H\)는 \(\Omega_{1}\)의 위너 비가측 부분집합이다. 모든 \(\sigma(0<\sigma\neq1)\)에 대해 \(\sigma H\subset\sigma\Omega_{1}=\Omega_{\sigma}\)이므로 \(\sigma H\)는 위너 영집합이고 따라서 위너가측이다. 

\(G=\sigma^{-1}H\,(\sigma>0,\,\sigma\neq1)\)라 하면 \(G\)는 위너가측이나 \(T_{\sigma}[G]=\sigma G\)는 위너 비가측이다. 따라서 척도변환함수 \(T_{\sigma}\)는 위너 가측성을 보존하지 않는다. 

따름정리 1.56  \(\sigma_{0}>0\)를 주어진 실수라 하자. 모든 \(\sigma_{0}(0<\sigma_{0}\neq1)\)에 대해 \(H\)가 존재해서 \(\sigma_{0}H\in\mathcal{S}_{\sigma_{0}}\)이나 \(H\notin\mathcal{S}_{\sigma_{0}}\)이다. 

증명: \(H=M\cap\Omega_{\sigma_{0}}\)으로 놓고 정리 1.55의 증명방법을 따른다. 

정리 1.57 

(1) \(A\in\mathcal{S}_{1}\)일 필요충분조건은 \(-A\in\mathcal{S}_{1}\)이고, 이때 \(\mathfrak{m}_{1}(A)=\mathfrak{m}_{1}(-A)\)이다. 

(2) \(F(x):C_{0}([a,\,b])\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 위너가측일 필요충분조건은 \(F(-x)\)가 위너가측이고, 이 경우 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(-x)d\mathfrak{m}_{1}(x)}=\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)d\mathfrak{m}_{1}(x)}$$증명:

(1): \(T_{-1}\)은 연속함수이므로, \(B\)가 보렐집합이면, \(T_{-1}[B]=-B\)도 보렐집합이다. 보렐측도 \(\mu\)를 \(\mu(B)=\mathfrak{m}_{1}(B)\)로 정의하자. 변수변환을 이용해 \(\mu\)가 구간들의 집합족 \(\mathcal{I}\)에서 \(\mathfrak{m}_{1}\)과 같음을 보일 수 있고, 따라서 \(\mu\)는 보렐집합 \(\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]))\)에서 \(\mathfrak{m}_{1}\)과 같다. 따라서 \(\mu\)와 \(\mathfrak{m}_{1}\)은 같은 완비 측도공간을 갖는다. \(A\in\mathcal{S}_{1}\)이면, \(A=B\cup N\)이고 여기서 \(B\)는 보렐집합, \(N\)은 보렐 영집합의 부분집합이다. 그러면 다음의 등식이 성립한다.$$\mathfrak{m}_{1}(A)=\mathfrak{m}_{1}(B)=\mu(B)=\mu(B\cup N)=\mu(A)=\mathfrak{m}_{1}(-A)$$(2) \(F\)가 \(A\)의 특성함수, \(F(x)=\chi_{A}(x)\)인 경우 (1)에 의해 증명된다. \(F\)가 단순함수인 경우, 음이 아닌 가측함수, 일반적인 함수의 경우는 '음이 아닌 가측함수로 수렴하는 단순함수열이 존재하는 정리'를 이용해 보일 수 있다.

집합 \(\Omega_{\sigma}\,(\sigma\geq0)\)와 \(\mathcal{D}\)는 구간 \([a,\,b]\)의 분할들의 수열에 따라 결정된다. 만약 \(\Pi=\{\Pi_{1},\,\Pi_{2},\,...\}\)가 \(\Pi_{1}\subset\Pi_{2}\subset\cdots\)이고 \(\|\Pi_{n}\|\,\rightarrow\,0\)인 또다른 분할들의 수열,$$\begin{align*}\Omega_{\sigma}^{\Pi}&=\left\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{\Pi_{n}}(x)}=\sigma^{2}(b-a)\right\}\\ \mathcal{D}^{\Pi}&=\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}S_{\Pi_{n}}(x)\,\text{does not exists}\}\end{align*}$$라 하자. 정리 1.41에 의해 이제까지 다룬 척도불변에 관한 결과들은 분할에 관계된 부분의 기호만 바꾸면, 그대로 새로운 분할들의 수열 \(\Pi\)에 대해서도 성립한다. 다만 \(\mathcal{S}_{\sigma}\), \(\mathfrak{m}_{\sigma}\), \(\mathcal{S}\), \(\mathcal{N}\)은 분할들의 수열과는 독립적이다. 

\(E\in\mathcal{S}\)일 때, 이 두 분할들의 수열에 대한 정리 1.51의 결과를 다음과 같이 나타내자.$$E=\left(\bigcup_{\sigma>0}{E_{\sigma}}\right)\cup L=\left(\bigcup_{\sigma>0}{E_{\sigma}^{\Pi}}\right)\cup L^{\Pi}$$여기서 \(E_{\sigma}^{\Pi}=E\cap\Omega_{\sigma}^{\Pi}\), \(L^{\Pi}=E\cap(\Omega_{0}^{\Pi}\cup D)\)이다.

정리 1.58 \(E\in\mathcal{S}\)라 하고, \(\displaystyle E=\left(\bigcup_{\sigma>0}{E_{\sigma}^{\Pi}}\right)\cup L^{\Pi}\)라 하자. 그러면 다음의 집합은 척도불변 영집합이다.$$\left(\bigcup_{\sigma>0}{E_{\sigma}\Delta E_{\sigma}^{\Pi}}\right)\cup(L\Delta L^{\Pi})$$증명: 모든 \(\sigma>0\)에 대해 다음이 성립한다.$$\begin{align*}\mathfrak{m}_{\sigma}(E_{\sigma}-E_{\sigma}^{\Pi})&=\mathfrak{m}_{\sigma}((E\cap\Omega_{\sigma})-(E\cap\Omega_{\sigma}^{\Pi}))\\&=\mathfrak{m}_{\sigma}(E\cap(\Omega_{\sigma}-\Omega_{\sigma}^{\Pi}))\\&\leq\mathfrak{m}_{\sigma}(\Omega_{\sigma}-\Omega_{\sigma}^{\Pi})\\&\leq\mathfrak{m}_{\sigma}(C_{0}([a,\,b])-\Omega_{\sigma}^{\Pi})=0\end{align*}$$정리 1.51에 의해 집합 \(\displaystyle\bigcup_{\sigma>0}{(E_{\sigma}-E_{\sigma}^{\Pi})\cup(L-L^{\Pi})}\)는 척도불변 영집합이다. 같은 방법으로 \(\displaystyle\bigcup_{\sigma>0}{(E_{\sigma}^{\Pi}-E_{\sigma})\cup(L^{\Pi}-L)}\)도 척도불변 영집합이고 다음이 성립한다.$$\begin{align*}&\bigcup_{\sigma>0}{(E_{\sigma}\Delta E^{\Pi})\cup(L\Delta L^{\Pi})}\\&=\left\{\bigcup_{\sigma>0}{(E_{\sigma}-E_{\sigma}^{\Pi})\cup(L-L^{\Pi})}\right\}\cup\left\{\bigcup_{\sigma>0}{(E_{\sigma}^{\Pi})\cup(L^{\Pi}-L)}\right\}\end{align*}$$

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford

위너 적분론, 장건수, 민음사