1-4 위너곡선의 미분불가능성

1-4 위너곡선의 미분불가능성

1909년 프랑스 물리학자 페랭은 브라운 운동을 하는 입자의 궤적은 접선을 갖지 않는다는 사실을 발견했고, 위너는 이 경로가 거의 모든(a.e.) 점에서 미분가능하지 않다는 사실을 수학적으로 입증했다. 

1872년에 바이어슈트라스는 모든 점에서 연속이나 미분가능하지 않은 함수를 발표했다. 위너곡선은 바이어슈트라스의 예 이외의 미분가능하지 않은 연속곡선의 예이다. 

$h>0$, $0<r\leq1$, $t,\,t'\in[a,\,b]$일 때 $$\begin{align*}&C_{h}^{r}(t,\,t')=\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,|x(t)-x(t')|\leq h|t-t'|^{r}\}\\&C_{h}^{r}(t)=\bigcap_{t'\in[a,\,b]}{C_{h}^{r}(t,\,t')}\\&=\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\forall t'\in[a,\,b],\,|x(t)-x(t')|\leq h|t-t'|^{r}\}\\&C_{h}^{r}=\bigcap_{t\in[a,\,b]}{C_{h}^{r}(t)}\\&=\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\forall t,\,t'\in[a,\,b],\,|x(t)-x(t')|\leq h|t-t'|^{r}\}\end{align*}$$ 로 정의하자. 

성질 1.32 $C_{h}^{r}(t,\,t')$, $C_{h}^{r}(t)$, $C_{h}^{r}$은 $C_{0}([a,\,b])$의 닫힌 부분집합이고 따라서 보렐집합이다.

증명: $\{x_{n}\}$을 $C_{h}^{r}(t,\,t')$상의 수열로 $\|x_{n}-x\|\,\rightarrow\,0$이라 하자. $x_{n}\in C_{h}^{r}(t,\,t')$이므로 $n=1,\,2,\,...$에 대해 다음이 성립한다. $$x_{n}(t)-x_{n}(t')\in[-h|t-t'|^{r},\,h|t-t'|^{r}]$$ 따라서 $$x(t)-x(t')=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\{x_{n}(t)-x_{n}(t')\}}\in[-h|t-t'|^{r},\,h|t-t'|^{r}]$$ 이므로 $C_{h}^{r}(t,\,t')$은 닫힌집합이다. 

닫힌집합들의 임의의 교집합은 닫힌집합이므로 $C_{h}^{r}(t)$, $C_{h}^{r}$도 닫힌집합이다. 

성질 1.33 부등식 $\displaystyle \mathfrak{m}(C_{h}^{r}(t,\,t'))\leq\sqrt{\frac{2}{\pi}}h|t-t'|^{r-\frac{1}{2}}$이 성립한다.

증명: $a<t<t'$이라고 하자. $$E=\{(u_{1},\,u_{2})\in\mathbb{R}^{2}\,|\,|u_{1}-u_{2}|\leq h|t-t'|^{r}\}$$ 이라고 하면$\chi_{C_{h}^{r}(t,\,t')}(x)=\chi_{E}(x(t'),\,x(t))$이고 위너적분의 정의에 의해 다음이 성립한다. $$\begin{align*}\mathfrak{m}(C_{h}^{r}(t,\,t'))&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{\chi_{C_{h}^{r}(t,\,t')}(x)d\mathfrak{m}(x)}\\&=\int_{\mathbb{R}^{2}}{\chi_{E}(u_{1},\,u_{2})W_{2}(\vec{t},\,\vec{u})du_{1}du_{2}}\\&=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{2}(t-a)(t'-t)}}\int_{E}{e^{-\frac{u_{1}^{2}}{2(t-a)}-\frac{u_{2}^{2}}{2(t_{2}-t_{1})}}du_{1}du_{2}}\end{align*}$$ $\displaystyle v_{1}=\frac{u_{1}}{\sqrt{t-a}},\,v_{2}=\frac{u_{2}-u_{1}}{\sqrt{t'-t}}$의 야코비안은 $\sqrt{(t-a)(t'-t)}$이고, 집합 $E$를 다음의 집합으로 사상한다. $$B=\{(v_{1},\,v_{2})\,|\,-\infty<v_{1}<\infty,\,-h|t-t'|^{r-\frac{1}{2}}\leq v_{2}\leq h|t-t'|^{r-\frac{1}{2}}\}$$ 따라서 다음의 결과를 얻는다. $$\begin{align*}\mathfrak{m}(C_{h}^{r}(t,\,t'))&=\frac{1}{2\pi}\int_{B}{e^{-\frac{v_{1}^{2}}{2}}e^{-\frac{v_{2}^{2}}{2}}dv_{2}dv_{1}}\\&\leq\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}{e^{-\frac{v_{1}^{2}}{2}}\int_{-h|t'-t|^{r-\frac{1}{2}}}^{h|t'-t|^{r-\frac{1}{2}}}{dv_{2}}dv_{1}}\\&=\sqrt{\frac{2}{\pi}}h|t-t'|^{r-\frac{1}{2}}\end{align*}$$ 성질 1.34 $\displaystyle r>\frac{1}{2}$이면, $\mathfrak{m}(C_{h}^{r}(t))=0$, $\mathfrak{m}(C_{h}^{r})=0$이다. 

증명: $[a,\,b]$상의 수열 $\{t_{k}\}$를 선택해 $t_{k}\neq t$, $t_{k}\,\rightarrow\,t$라 하자. 성질 1.32와 $C_{h}^{r}(t)$의 정의에 의해 모든 $k$에 대해 다음의 부등식이 성립한다. $$\mathfrak{m}(C_{h}^{r}(t))\leq\mathfrak{m}(C_{h}^{r}(t,\,t_{k}))\leq\sqrt{\frac{2}{\pi}}h|t-t_{k}|^{r-\frac{1}{2}}$$ 위 부등식의 우변은 $k\,\rightarrow\,0$일 때 0으로 수렴하므로 따라서 $\mathfrak{m}(C_{h}^{r}(t))=0$이고 $\mathfrak{m}(C_{h}^{r})=0$이다. 

$0<r\leq1$이라 하자. 함수 $x:[a,\,b]\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 다음의 조건을 만족하면, $r$차 횔더연속(hölder continuous)이라고 한다.

모든 $t,\,t'\in[a,\,b]$에 대해 $|x(t)-x(t')|\leq h|t-t'|^{r}$

다음의 성질은 횔더연속인 위너곡선들은 위너공간에서 측도가 0인 집합임을 보여준다. 

성질 1.35 $\displaystyle\frac{1}{2}<r\leq1$이라 하자. $r$차 횔더연속인 위너곡선들의 집합은 $C_{0}([a,\,b])$에서 위너측도가 0인 보렐집합이다. 

증명: 다음의 식과 성질 1.34로부터 성립한다. $$\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,x\,\text{is}\,r-\text{th holder continuous}\}=\bigcup_{h=1}^{\infty}{C_{h}^{r}}$$ 다음의 정리는 $\displaystyle 0<r<\frac{1}{2}$인 경우에는 거의 모든 위너곡선이 $r$차 횔더연속임을 보여준다. 

정리 1.36 $\displaystyle0<r<\frac{1}{2}$일 때, $r$차 횔더연속인 위너곡선들의 집합은 위너측도 1이다. 

증명: 생략 

성질 1.37 $a\leq t\leq b$일 때 $D_{t}=\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,x'(t)\,\text{exists}\}$라고 하면 $\mathfrak{m}(D_{t})=0$이다. $t=a$일 때는 우도함수만, $t=b$일 때는 좌도함수만 생각한다. 

증명: $\displaystyle D_{t}\subset\bigcup_{h=1}^{\infty}{C_{h}^{1}}(t)$가 성립함을 보이자. $x\in D_{t}$이면, $\displaystyle\frac{x(t')-x(t)}{t'-t}$는 $T-\{t\}$에서 유계인 함수이다. 따라서 모든 $t'\in[a,\,b]$에 대해 $h>0$가 존재해서 다음의 부등식이 성립한다. $$|x(t')-x(t)|\leq h|t'-t|$$ 이 부등식에 의해 $x\in C_{h}^{1}(t)$이므로 $\displaystyle D_{t}\subset\bigcup_{h=1}^{\infty}{C_{h}^{1}(t)}$이고, 다음의 부등식으로부터 $\mathfrak{m}(D_{t})=0$이다. $$\mathfrak{m}(D_{t})\leq\sum_{h=1}^{\infty}{\mathfrak{m}(C_{h}^{1}(t))}=0$$ 정리 1.38 거의 모든(a.e.) 위너곡선들의 미분가능한 점들의 집합에 대한 르베그측도값은 0이다. 즉 $$\mathfrak{m}(\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\lambda(\{t\in[a,\,b]\,|\,x'(t)\,\text{exists}\})=0\})=1$$ 증명: 함수 $F:C_{0}([a,\,b])\times[a,\,b]\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 다음과 같이 정의하자. $$F(x,\,t)=\begin{cases}1&\,(x'(t)\,\text{exists})\\0&\,(x'(t)\,\text{not exists})\end{cases}$$ 여기서 중요한 것은 $F$가 가측함수임을 보이는 것이다. 먼저 $F$가 가측함수라 가정하고 이 정리를 증명하자. 푸비니 정리에 의해 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{\int_{a}^{b}{F(x,\,t)dt}d\mathfrak{m}(x)}=\int_{a}^{b}{\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x,\,t)d\mathfrak{m}(x)}dt}$$ 성질 1.37의 $D_{t}$를 이용하여 $F(x,\,t)=\chi_{D_{t}(x)}$로 나타낼 수 있고, 위 등식과 성질 1.37로부터 다음의 등식을 얻는다. $$\begin{align*}\int_{C_{0}([a,\,b])}{\int_{a}^{b}{F(x,\,t)dt}d\mathfrak{m}(x)}&=\int_{a}^{b}{\int_{C_{0}([a,\,b])}{\chi_{D_{t}}(x)d\mathfrak{m}(x)}dt}\\&=\int_{a}^{b}{\mathfrak{m}(D_{t})dt}\\&=0\end{align*}$$ 위의 등식은 a.e. $x$에 대해 $\displaystyle\int_{a}^{b}{F(x,\,t)dt}=0$임을 보여주고, 이것은 a.e. $x$에 대해 $F(x,\,t)=1$인 $t$들의 집합에 대한 르베그측도가 0임을 보여준다. 즉, a.e. $x$에 대해, $x'(t)$가 존재하는 $t$들의 집합에 대한 르베그측도는 0이다. 따라서 다음의 등식이 성립한다. $$\mathfrak{m}(\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\lambda(\{t\in[a,\,b]\,|\,x'(t)\,\text{exists}\})=0\})=1$$ $F(x,\,t)$가 가측함수임을 보이자. $G=\{(x,\,t)\in C_{0}([a,\,b])\times[a,\,b]\,|\,F(x,\,t)\}=1$이라고 하면 $G$가 완비 곱측도(complete product measure) $\mathfrak{m}\times\lambda$에 대해 가측이고 $(\mathfrak{m}\times\lambda)(G)=0$임을 보이면 된다. $$f_{n}(x,\,t)=\frac{x\left(t+\frac{1}{n}\right)-x(t)}{\frac{1}{n}},\,n=1,\,2,\,...$$ 라 하자. $b<s$인 경우는 $x(s)=x(b)$로 정의한다. $f_{n}(x,\,t)$는 $(x,\,t)$의 함수로서 연속이므로 $\mathfrak{m}\times\lambda-$가측이다. $$G^{*}=\{(x,\,t)\in G_{0}([a,\,b])\times[a,\,b]\,|\,\left|\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f_{n}(x,\,t)}\right|<\infty\}$$ 라 하면, $G^{*}$는 가측함수열들의 극한이 존재하는 점들의 집합이므로 $G^{*}$는 가측이다. $G\subset G^{*}$이므로 $(\mathfrak{m}\times\lambda)(G^{*})=0$임을 보이면 된다. $G^{*}$의 $t-$절단(section)을 $G_{t}^{*}=\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,(x,\,t)\in G^{*}\}$라 하면, 푸비니 정리에 의해 $\displaystyle(\mathfrak{m}\times\lambda)(G^{*})=\int_{a}^{b}{\mathfrak{m}(G_{t}^{*})dt}$이다. 모든 $a\leq t<b$에 대해 $\mathfrak{m}(G_{t}^{*})=0$임을 보이면, $(\mathfrak{m}\times\lambda)(G^{*})=0$이 된다. $h\in\mathbb{N}$에 대해 $$K_{h}(t)=\left\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\forall n\in\mathbb{N},\,\left|x\left(t+\frac{1}{n}\right)-x(t)\right|\leq\frac{h}{n}\right\}$$ 라고 하면 $\displaystyle G_{t}^{*}\subset\bigcup_{h=1}^{\infty}{K_{h}(t)}$이므로 $h\in\mathbb{N}$에 대해 $\mathfrak{m}(K_{h}(t))=0$임을 보이자. $$\begin{align*}K_{h}(t)&\subset\bigcap_{n=1}^{\infty}{C_{h}^{1}\left(t,\,t+\frac{1}{n}\right)}\\&=\bigcap_{n=1}^{\infty}{\left\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\left|x\left(t+\frac{1}{n}\right)-x(t)\right|\leq\frac{h}{n}\right\}}\end{align*}$$ 이고 성질 1.33에 의해 $$\mathfrak{m}(K_{h}(t))\leq\mathfrak{m}\left(C_{h}^{1}\left(t,\,t+\frac{1}{n}\right)\right)\leq h\sqrt{\frac{2}{n\pi}}$$ 이며 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{h\sqrt{\frac{2}{n\pi}}}=0$이므로 $\mathfrak{m}(K_{h}(t))=0$이다. 

$[a,\,b]$에서 유계변동인 함수들의 집합을 $BV([a,\,b])$라 하자. 위의 정리로부터 유계변동인 함수들에 대한 다음의 정리를 얻는다. 

따름정리 1.39 유계변동인 위너곡선들의 집합은 위너측도 0이다. 즉 $\mathfrak{m}(C_{0}([a,\,b])\cap BV([a,\,b]))=0$

증명: $x$가 $[a,\,b]$에서 유계변동이면, a.e. $t$에 대해 $x'(t)$가 존재한다. 즉 $$x\notin\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\lambda(\{t\in[a,\,b]\,|\,x'(t)\,\text{exists}\})=0\}$$ 이므로 정리 1.38에 의해 $\mathfrak{m}(C_{0}([a,\,b])\cap BV([a,\,b]))=0$이다. 

$x\in C_{0}([a,\,b])$일 때 $Z(x)=\{t\in[a,\,b]\,|\,x(t)=0\}$를 $x$의 영집합(zero set)이라고 한다. 

다음의 정리는 정리 1.38과 같은 방법으로 증명한다. 

정리 1.40 a.e. 위너곡선들의 영집합에 대한 르베그측도는 0이다. 즉 $\mathfrak{m}(\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\lambda(Z(x))=0\})=1$

$x$의 영집합 $Z(x)$에 대해 다음의 성질이 성립한다.

거의 모든 $x\in C_{0}([a,\,b])$에 대해 $Z(x)$는 완전집합(prefect set), 즉 조밀한 닫힌집합이므로 $Z(x)$는 비가산집합이지만 $Z(x)$의 르베그측도는 0이다. 

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford

위너 적분론, 장건수, 민음사