1-4 위너곡선의 미분불가능성

1-4 위너곡선의 미분불가능성

1909년 프랑스 물리학자 페랭은 브라운 운동을 하는 입자의 궤적은 접선을 갖지 않는다는 사실을 발견했고, 위너는 이 경로가 거의 모든(a.e.) 점에서 미분가능하지 않다는 사실을 수학적으로 입증했다. 

1872년에 바이어슈트라스는 모든 점에서 연속이나 미분가능하지 않은 함수를 발표했다. 위너곡선은 바이어슈트라스의 예 이외의 미분가능하지 않은 연속곡선의 예이다. 

\(h>0\), \(0<r\leq1\), \(t,\,t'\in[a,\,b]\)일 때$$\begin{align*}&C_{h}^{r}(t,\,t')=\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,|x(t)-x(t')|\leq h|t-t'|^{r}\}\\&C_{h}^{r}(t)=\bigcap_{t'\in[a,\,b]}{C_{h}^{r}(t,\,t')}\\&=\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\forall t'\in[a,\,b],\,|x(t)-x(t')|\leq h|t-t'|^{r}\}\\&C_{h}^{r}=\bigcap_{t\in[a,\,b]}{C_{h}^{r}(t)}\\&=\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\forall t,\,t'\in[a,\,b],\,|x(t)-x(t')|\leq h|t-t'|^{r}\}\end{align*}$$로 정의하자. 

성질 1.32 \(C_{h}^{r}(t,\,t')\), \(C_{h}^{r}(t)\), \(C_{h}^{r}\)은 \(C_{0}([a,\,b])\)의 닫힌 부분집합이고 따라서 보렐집합이다.

증명: \(\{x_{n}\}\)을 \(C_{h}^{r}(t,\,t')\)상의 수열로 \(\|x_{n}-x\|\,\rightarrow\,0\)이라 하자. \(x_{n}\in C_{h}^{r}(t,\,t')\)이므로 \(n=1,\,2,\,...\)에 대해 다음이 성립한다.$$x_{n}(t)-x_{n}(t')\in[-h|t-t'|^{r},\,h|t-t'|^{r}]$$따라서$$x(t)-x(t')=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\{x_{n}(t)-x_{n}(t')\}}\in[-h|t-t'|^{r},\,h|t-t'|^{r}]$$이므로 \(C_{h}^{r}(t,\,t')\)은 닫힌집합이다. 

닫힌집합들의 임의의 교집합은 닫힌집합이므로 \(C_{h}^{r}(t)\), \(C_{h}^{r}\)도 닫힌집합이다. 

성질 1.33 부등식 \(\displaystyle \mathfrak{m}(C_{h}^{r}(t,\,t'))\leq\sqrt{\frac{2}{\pi}}h|t-t'|^{r-\frac{1}{2}}\)이 성립한다.

증명: \(a<t<t'\)이라고 하자.$$E=\{(u_{1},\,u_{2})\in\mathbb{R}^{2}\,|\,|u_{1}-u_{2}|\leq h|t-t'|^{r}\}$$이라고 하면\(\chi_{C_{h}^{r}(t,\,t')}(x)=\chi_{E}(x(t'),\,x(t))\)이고 위너적분의 정의에 의해 다음이 성립한다.$$\begin{align*}\mathfrak{m}(C_{h}^{r}(t,\,t'))&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{\chi_{C_{h}^{r}(t,\,t')}(x)d\mathfrak{m}(x)}\\&=\int_{\mathbb{R}^{2}}{\chi_{E}(u_{1},\,u_{2})W_{2}(\vec{t},\,\vec{u})du_{1}du_{2}}\\&=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{2}(t-a)(t'-t)}}\int_{E}{e^{-\frac{u_{1}^{2}}{2(t-a)}-\frac{u_{2}^{2}}{2(t_{2}-t_{1})}}du_{1}du_{2}}\end{align*}$$\(\displaystyle v_{1}=\frac{u_{1}}{\sqrt{t-a}},\,v_{2}=\frac{u_{2}-u_{1}}{\sqrt{t'-t}}\)의 야코비안은 \(\sqrt{(t-a)(t'-t)}\)이고, 집합 \(E\)를 다음의 집합으로 사상한다.$$B=\{(v_{1},\,v_{2})\,|\,-\infty<v_{1}<\infty,\,-h|t-t'|^{r-\frac{1}{2}}\leq v_{2}\leq h|t-t'|^{r-\frac{1}{2}}\}$$따라서 다음의 결과를 얻는다.$$\begin{align*}\mathfrak{m}(C_{h}^{r}(t,\,t'))&=\frac{1}{2\pi}\int_{B}{e^{-\frac{v_{1}^{2}}{2}}e^{-\frac{v_{2}^{2}}{2}}dv_{2}dv_{1}}\\&\leq\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}{e^{-\frac{v_{1}^{2}}{2}}\int_{-h|t'-t|^{r-\frac{1}{2}}}^{h|t'-t|^{r-\frac{1}{2}}}{dv_{2}}dv_{1}}\\&=\sqrt{\frac{2}{\pi}}h|t-t'|^{r-\frac{1}{2}}\end{align*}$$성질 1.34 \(\displaystyle r>\frac{1}{2}\)이면, \(\mathfrak{m}(C_{h}^{r}(t))=0\), \(\mathfrak{m}(C_{h}^{r})=0\)이다. 

증명: \([a,\,b]\)상의 수열 \(\{t_{k}\}\)를 선택해 \(t_{k}\neq t\), \(t_{k}\,\rightarrow\,t\)라 하자. 성질 1.32와 \(C_{h}^{r}(t)\)의 정의에 의해 모든 \(k\)에 대해 다음의 부등식이 성립한다.$$\mathfrak{m}(C_{h}^{r}(t))\leq\mathfrak{m}(C_{h}^{r}(t,\,t_{k}))\leq\sqrt{\frac{2}{\pi}}h|t-t_{k}|^{r-\frac{1}{2}}$$위 부등식의 우변은 \(k\,\rightarrow\,0\)일 때 0으로 수렴하므로 따라서 \(\mathfrak{m}(C_{h}^{r}(t))=0\)이고 \(\mathfrak{m}(C_{h}^{r})=0\)이다. 

\(0<r\leq1\)이라 하자. 함수 \(x:[a,\,b]\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 다음의 조건을 만족하면, \(r\)차 횔더연속(hölder continuous)이라고 한다.

모든 \(t,\,t'\in[a,\,b]\)에 대해 \(|x(t)-x(t')|\leq h|t-t'|^{r}\)

다음의 성질은 횔더연속인 위너곡선들은 위너공간에서 측도가 0인 집합임을 보여준다. 

성질 1.35 \(\displaystyle\frac{1}{2}<r\leq1\)이라 하자. \(r\)차 횔더연속인 위너곡선들의 집합은 \(C_{0}([a,\,b])\)에서 위너측도가 0인 보렐집합이다. 

증명: 다음의 식과 성질 1.34로부터 성립한다.$$\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,x\,\text{is}\,r-\text{th holder continuous}\}=\bigcup_{h=1}^{\infty}{C_{h}^{r}}$$다음의 정리는 \(\displaystyle 0<r<\frac{1}{2}\)인 경우에는 거의 모든 위너곡선이 \(r\)차 횔더연속임을 보여준다. 

정리 1.36 \(\displaystyle0<r<\frac{1}{2}\)일 때, \(r\)차 횔더연속인 위너곡선들의 집합은 위너측도 1이다. 

증명: 생략 

성질 1.37 \(a\leq t\leq b\)일 때 \(D_{t}=\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,x'(t)\,\text{exists}\}\)라고 하면 \(\mathfrak{m}(D_{t})=0\)이다. \(t=a\)일 때는 우도함수만, \(t=b\)일 때는 좌도함수만 생각한다. 

증명: \(\displaystyle D_{t}\subset\bigcup_{h=1}^{\infty}{C_{h}^{1}}(t)\)가 성립함을 보이자. \(x\in D_{t}\)이면, \(\displaystyle\frac{x(t')-x(t)}{t'-t}\)는 \(T-\{t\}\)에서 유계인 함수이다. 따라서 모든 \(t'\in[a,\,b]\)에 대해 \(h>0\)가 존재해서 다음의 부등식이 성립한다.$$|x(t')-x(t)|\leq h|t'-t|$$이 부등식에 의해 \(x\in C_{h}^{1}(t)\)이므로 \(\displaystyle D_{t}\subset\bigcup_{h=1}^{\infty}{C_{h}^{1}(t)}\)이고, 다음의 부등식으로부터 \(\mathfrak{m}(D_{t})=0\)이다.$$\mathfrak{m}(D_{t})\leq\sum_{h=1}^{\infty}{\mathfrak{m}(C_{h}^{1}(t))}=0$$정리 1.38 거의 모든(a.e.) 위너곡선들의 미분가능한 점들의 집합에 대한 르베그측도값은 0이다. 즉$$\mathfrak{m}(\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\lambda(\{t\in[a,\,b]\,|\,x'(t)\,\text{exists}\})=0\})=1$$증명: 함수 \(F:C_{0}([a,\,b])\times[a,\,b]\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 다음과 같이 정의하자.$$F(x,\,t)=\begin{cases}1&\,(x'(t)\,\text{exists})\\0&\,(x'(t)\,\text{not exists})\end{cases}$$여기서 중요한 것은 \(F\)가 가측함수임을 보이는 것이다. 먼저 \(F\)가 가측함수라 가정하고 이 정리를 증명하자. 푸비니 정리에 의해 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{\int_{a}^{b}{F(x,\,t)dt}d\mathfrak{m}(x)}=\int_{a}^{b}{\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x,\,t)d\mathfrak{m}(x)}dt}$$성질 1.37의 \(D_{t}\)를 이용하여 \(F(x,\,t)=\chi_{D_{t}(x)}\)로 나타낼 수 있고, 위 등식과 성질 1.37로부터 다음의 등식을 얻는다.$$\begin{align*}\int_{C_{0}([a,\,b])}{\int_{a}^{b}{F(x,\,t)dt}d\mathfrak{m}(x)}&=\int_{a}^{b}{\int_{C_{0}([a,\,b])}{\chi_{D_{t}}(x)d\mathfrak{m}(x)}dt}\\&=\int_{a}^{b}{\mathfrak{m}(D_{t})dt}\\&=0\end{align*}$$위의 등식은 a.e. \(x\)에 대해 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{F(x,\,t)dt}=0\)임을 보여주고, 이것은 a.e. \(x\)에 대해 \(F(x,\,t)=1\)인 \(t\)들의 집합에 대한 르베그측도가 0임을 보여준다. 즉, a.e. \(x\)에 대해, \(x'(t)\)가 존재하는 \(t\)들의 집합에 대한 르베그측도는 0이다. 따라서 다음의 등식이 성립한다.$$\mathfrak{m}(\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\lambda(\{t\in[a,\,b]\,|\,x'(t)\,\text{exists}\})=0\})=1$$\(F(x,\,t)\)가 가측함수임을 보이자. \(G=\{(x,\,t)\in C_{0}([a,\,b])\times[a,\,b]\,|\,F(x,\,t)\}=1\)이라고 하면 \(G\)가 완비 곱측도(complete product measure) \(\mathfrak{m}\times\lambda\)에 대해 가측이고 \((\mathfrak{m}\times\lambda)(G)=0\)임을 보이면 된다.$$f_{n}(x,\,t)=\frac{x\left(t+\frac{1}{n}\right)-x(t)}{\frac{1}{n}},\,n=1,\,2,\,...$$라 하자. \(b<s\)인 경우는 \(x(s)=x(b)\)로 정의한다. \(f_{n}(x,\,t)\)는 \((x,\,t)\)의 함수로서 연속이므로 \(\mathfrak{m}\times\lambda-\)가측이다.$$G^{*}=\{(x,\,t)\in G_{0}([a,\,b])\times[a,\,b]\,|\,\left|\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f_{n}(x,\,t)}\right|<\infty\}$$라 하면, \(G^{*}\)는 가측함수열들의 극한이 존재하는 점들의 집합이므로 \(G^{*}\)는 가측이다. \(G\subset G^{*}\)이므로 \((\mathfrak{m}\times\lambda)(G^{*})=0\)임을 보이면 된다. \(G^{*}\)의 \(t-\)절단(section)을 \(G_{t}^{*}=\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,(x,\,t)\in G^{*}\}\)라 하면, 푸비니 정리에 의해 \(\displaystyle(\mathfrak{m}\times\lambda)(G^{*})=\int_{a}^{b}{\mathfrak{m}(G_{t}^{*})dt}\)이다. 모든 \(a\leq t<b\)에 대해 \(\mathfrak{m}(G_{t}^{*})=0\)임을 보이면, \((\mathfrak{m}\times\lambda)(G^{*})=0\)이 된다. \(h\in\mathbb{N}\)에 대해$$K_{h}(t)=\left\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\forall n\in\mathbb{N},\,\left|x\left(t+\frac{1}{n}\right)-x(t)\right|\leq\frac{h}{n}\right\}$$라고 하면 \(\displaystyle G_{t}^{*}\subset\bigcup_{h=1}^{\infty}{K_{h}(t)}\)이므로 \(h\in\mathbb{N}\)에 대해 \(\mathfrak{m}(K_{h}(t))=0\)임을 보이자.$$\begin{align*}K_{h}(t)&\subset\bigcap_{n=1}^{\infty}{C_{h}^{1}\left(t,\,t+\frac{1}{n}\right)}\\&=\bigcap_{n=1}^{\infty}{\left\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\left|x\left(t+\frac{1}{n}\right)-x(t)\right|\leq\frac{h}{n}\right\}}\end{align*}$$이고 성질 1.33에 의해$$\mathfrak{m}(K_{h}(t))\leq\mathfrak{m}\left(C_{h}^{1}\left(t,\,t+\frac{1}{n}\right)\right)\leq h\sqrt{\frac{2}{n\pi}}$$이며 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{h\sqrt{\frac{2}{n\pi}}}=0\)이므로 \(\mathfrak{m}(K_{h}(t))=0\)이다. 

\([a,\,b]\)에서 유계변동인 함수들의 집합을 \(BV([a,\,b])\)라 하자. 위의 정리로부터 유계변동인 함수들에 대한 다음의 정리를 얻는다. 

따름정리 1.39 유계변동인 위너곡선들의 집합은 위너측도 0이다. 즉 \(\mathfrak{m}(C_{0}([a,\,b])\cap BV([a,\,b]))=0\)

증명: \(x\)가 \([a,\,b]\)에서 유계변동이면, a.e. \(t\)에 대해 \(x'(t)\)가 존재한다. 즉$$x\notin\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\lambda(\{t\in[a,\,b]\,|\,x'(t)\,\text{exists}\})=0\}$$이므로 정리 1.38에 의해 \(\mathfrak{m}(C_{0}([a,\,b])\cap BV([a,\,b]))=0\)이다. 

\(x\in C_{0}([a,\,b])\)일 때 \(Z(x)=\{t\in[a,\,b]\,|\,x(t)=0\}\)를 \(x\)의 영집합(zero set)이라고 한다. 

다음의 정리는 정리 1.38과 같은 방법으로 증명한다. 

정리 1.40 a.e. 위너곡선들의 영집합에 대한 르베그측도는 0이다. 즉 \(\mathfrak{m}(\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\lambda(Z(x))=0\})=1\)

\(x\)의 영집합 \(Z(x)\)에 대해 다음의 성질이 성립한다.

거의 모든 \(x\in C_{0}([a,\,b])\)에 대해 \(Z(x)\)는 완전집합(prefect set), 즉 조밀한 닫힌집합이므로 \(Z(x)\)는 비가산집합이지만 \(Z(x)\)의 르베그측도는 0이다. 

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford

위너 적분론, 장건수, 민음사