1-1 위너측도의 건설

1-1 위너측도의 건설

함수공간에서 가장 중요한 역할을 하는 위너측도(Wiener measure)는 브라운운동(Brownian motion)에서 시작된다. 1827년에 영국의 식물학자 브라운(Rober Brown)은 물 속의 꽃가루 입자를 관찰하던 중 아주 작은 입자가 불규칙한 운동을 하는 것을 보았고, 이 불규칙한 운동을 브라운운동이라고 한다. 과학자들은 브라운운동에 대한 다음의 사실을 규명했다. 

1. 브라운운동은 매우 불규칙하고 그 궤적은 접선을 갖지 않는다.

2. 입자들의 운동은 서로 독립적이다. 

3. 입자가 작을수록, 액체의 점도가 낮을수록, 온도가 높을수록 더 활발하다.

4. 입자의 합성과 밀도는 운동에 영향을 미치지 않는다.

5. 운동은 그치지 않고 끊임없이 계속된다. 

아인슈타인(Alber Einstein)은 물리학을 근거로 브라운운동의 수학적 구조를 구명했다.

시간이 0일 때 원점에서 출발한 브라운입자가 시간이 \(t\)일 때 점 \(u\)에 있을 확률밀도를 \(\rho(u,\,t)\)라 하자. 아인슈타인은 다음의 확산방정식(diffusion equation)으로 유도했다.$$\frac{\partial\rho}{\partial t}=D\Delta\rho$$여기서 \(D\)는 확산계수(diffusion coefficient)라고 불리는 양의 상수이다. 이 확산방정식에 대한 해는 다음과 같고$$\rho(u,\,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}e^{-\frac{\|u\|^{2}}{4Dt}}$$따라서 시간이 \(t\)일 때 브라운입자가 입방체 \(E\)안에 있을 확률을 \(P\)라고 하면 다음과 같다.$$P=\int_{E}{\rho(u,\,t)dt}$$1923년 위너(Nobert Wiener)는 중심극한정리와 기본적인 물리학 이론으로부터 얻었다.

브라운운동에 대한 수학적 모델을 단순하게 만들기 위해 브라운입자가 한 방향으로만 움직인다고 가정하고, 확산계수를 정규화하기 위해 \(2D=1\)로 놓고, 입방체 \(E\)를 구간 \([\alpha,\,\beta)\)로 선택한다. 그러면 시간이 0일 때, 원점에서 출발한 브라운입자가 시간이 \(t\)일 때 구간 \([\alpha,\,\beta)\)안에 있을 확률을 \(P\)라고 하면, 다음과 같다.$$P=\int_{\alpha}^{\beta}{\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{u^{2}}{2t}}du}$$\(x=x(t)\)를 시간이 \(t\)일 때 브라운입자의 위치라고 하면, 위의 공식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$P(\{x\,|\,\alpha<x(t)\leq\beta\})=\int_{\alpha}^{\beta}{\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{u^{2}}{2t}}du}$$아인슈타인 공식 \(\displaystyle P=\int_{E}{\rho(u,\,t)du}\)로부터 얻은 위의 공식을 사용해 위너는 함수공간에 측도(위너측도)를 도입하고, 르베그적분 이론과 매우 유사한 위너적분 이론을 개발했다. 

위너측도는 평행변환 불변성(translation invariant)과 척도변환 불변성(scale invariant)을 제외하면 르베그측도와 같은 성질을 갖는다. 즉 위너측도는 평행변환 불변성과 척도변환 불변성을 갖지 않는다. 

정의 1.1 \(C([a,\,b])\)를 구간 \([a,\,b]\)에서 연속인 실함수(real-valued function)들의 집합이라고 하자. 다음의 집합$$C_{0}([a,\,b])=\{x\in C([a,\,b])\,|\,x(a)=0\}$$를 위너공간(Wiener space)이라고 하고, 위너공간의 원소 \(x\in C_{0}([a,\,b])\)를 위너곡선(Wiener path)이라고 한다.

정리 1.2 \(x\in C([a,\,b])\)에 대해 다음과 같이 정의된 \(\|\cdot\|\)는 노름(norm)이고$$\|x\|=\max_{a\leq t\leq b}{|x(t)|}$$\((C([a,\,b]),\,\|\cdot\|)\)는 무한차원 바나흐공간이다. 

*바이어슈트라스 근사정리(Weirestrass approxiation theorem)에 의해 \((C([a,\,b]),\,\|\cdot\|)\)는 가분 바나흐공간(separable Banach space)이고, \(C_{0}([a,\,b])\)는 \(C([a,\,b])\)는 \(C([a,\,b])\)의 닫힌 부분공간(closed subspace)이고 또한 가분 바나흐공간이다. 

정의 1.3 \(X\)가 위상공간일 때, \(X\)의 모든 열린 부분집합에 의해 생성되는 \(\mathcal{B}(X)\)를 \(X\)의 보렐 \(\sigma-\)대수(Borel \(\sigma-\)algebra)라고 하고, 보렐 \(\sigma-\)대수 위에서의 측도를 보렐측도(Borel measure)라고 한다. 

위너 공간의 보렐 \(\sigma-\)대수 \(\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]))\)위에 다음의 성질들을 만족하는 측도를 도입하려고 한다.

1. 0보다 크거나 같은 측도이다.

2. 가산가법적(countably additive) 측도이다. 

3. 0보다 크고 유한한 반지름을 갖는 모든 구(sphere)들의 측도는 0보다 크고 유한하다.

4. 평행변환불변이다.

위의 성질 1~3은 르베그측도와 위너측도가 갖는 성질이고, 4는 르베그측도는 갖지만 위너측도는 갖지 않는 성질이다. 따라서 위너공간의 보렐 \(\sigma-\)대수 \(\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]))\)에서 정의되고 위의 성질 1~4를 모두 만족하는 집합함수는 존재하지 않는다는 결론을 얻는다. 

위너측도의 건설 

위너공간에 측도를 도입하기 위해 앞에서 언급한 아인슈타인 공식을 이용한다. 

\(a<t\leq b\), \(-\infty\leq\alpha<\beta\leq\infty\)라 하자. 그러면 시간이 \(a\)일 때 \(u_{0}\)에서 출발한 정규화 1차원 브라운입자에 대한 아인슈타인공식은 다음과 같다.$$P(\{x\,|\,\alpha<x(t)\leq\beta,\,x(a)=u_{0}\})=\int_{\alpha}^{\beta}{p(u,\,u_{0},\,t-a)du}$$여기서 \(p(u,\,u_{0},\,t-a)\)는 다음과 같고$$p(u,\,u_{0},\,t-a)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{(u-u_{0})^{2}}{2t}}$$위의 식은 평균이 \(u_{0}\)이고 분산이 \(t-a\)인 정규분포를 따르는 확률밀도함수이다. 

위의 공식을 근거로 다음과 같은 확률측도 \(\mathfrak{m}\)이 \(C_{0}([a,\,b])\)에서 존재함을 보인다.$$a=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}\leq b,\,-\infty\leq\alpha_{j}\leq\beta_{j}\leq\infty\,(j=1,\,...,\,n)$$에 대해$$\begin{align*}&\mathfrak{m}(\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\alpha_{j}<x(t_{j})\leq\beta_{j},\,j=1,\,...,\,n\})\\&=\int_{\alpha_{n}}^{\beta_{n}}\cdots\int_{\alpha_{2}}^{\beta_{2}}\int_{\alpha_{1}}^{\beta_{1}}\frac{1}{\sqrt{2\pi(t_{1}-a)}}e^{-\frac{u_{1}^{2}}{2(t_{1}-a)}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi(t_{2}-t_{1})}}e^{-\frac{(u_{2}-u_{1})^{2}}{2(t_{2}-t_{1})}}\cdot\\&\cdots\frac{1}{\sqrt{2\pi}(t_{n}-t_{n-1})}e^{-\frac{(u_{n}-u_{n-1})^{2}}{2(t_{n}-t_{n-1})}}du_{1}du_{2}\cdots du_{n}\end{align*}$$이고, 다음과 같이 간단하게 나타낼 수 있다.$$\begin{align*}&\mathfrak{m}(\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\alpha_{j}<x(t_{j})\leq\beta_{j},\,j=1,\,...,\,n\})\\&=\int_{\alpha_{n}}^{\beta_{n}}\cdots\int_{\alpha_{1}}^{\beta_{1}}\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}(t_{1}-a)\cdots(t_{n}-t_{n-1})}}e^{\displaystyle\tiny-\sum_{j=1}^{n}{\frac{(u_{j}-u_{j-1})^{2}}{2(t_{j}-t_{j-1})}}}du_{1}\cdots du_{n}\\&=\int_{\alpha_{n}}^{\beta_{n}}{\cdots\int_{\alpha_{1}}^{\beta_{1}}{\prod_{j=1}^{n}{p(u_{j},\,u_{j-1},\,t_{j}-t_{j-1})du_{1}}}\cdots du_{n}}\\&=\int_{\alpha_{n}}^{\beta_{n}}{\cdots\int_{\alpha_{1}}^{\beta_{1}}{W_{n}(\vec{t},\,\vec{u})d\vec{u}}}\end{align*}$$여기서 \(u_{0}=0\), \(\vec{t}=(t_{1},\,...,\,t_{n})\), \(\vec{u}=(u_{1},\,...,\,u_{n})\),$$W_{n}(\vec{t},\,\vec{u})=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}(t_{1}-a)\cdots(t_{n}-t_{n-1})}}e^{\displaystyle\tiny-\sum_{j=1}^{n}{\frac{(u_{j}-u_{j-1})^{2}}{2(t_{j}-t_{j-1})}}}$$이고 \(W_{n}(\vec{t},\,\vec{u})\)를 밀도함수(density function)라고 한다. 

정의 1.4 \(a<t_{1}<\cdots<t_{n}\leq b\), \(-\infty\leq\alpha_{i}\leq\beta_{i}\leq\infty,\,i=1,\,...,\,n\)일 때 다음과 같은 형태의 집합$$I=\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\alpha_{i}<x(t_{i})\leq\beta_{i},\,i=1,\,...,\,n\}$$를 구간(interval)이라고 한다. 모든 구간들의 집합을 \(\mathcal{I}\)로 나타내고, 점 \(t_{i}\)를 \(I\)의 제한점(restriction point), 구간 \((\alpha_{i},\,\beta_{i}]\)를 \(t_{i}\)의 제한구간(restriction interval)이라고 한다. 

정리 1.5 \(C_{0}([a,\,b])\)의 모든 구간들을 모은 집합 \(\mathcal{I}\)는 반대수(semi-algebra)이다. 

증명: 

(a) \(\emptyset=\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,1<x(b)\leq1\}\), \(C_{0}([a,\,b])=\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,-\infty<x(b)\leq\infty\}\)이므로 \(\emptyset,\,C_{0}([a,\,b])\in\mathcal{I}\)이다. 

(b) \(I,\,J\in\mathcal{I}\)라 하자. \(I\cap J\)의 제한점들의 집합은 \(I\)의 제한점들의 집합과 \(J\)의 집합점들의 집합의 합집합이다. \(t_{i}\)가 \(I\)와 \(J\)의 제한점이면, \(t_{i}\)의 \(I\cap J\)에 대한 제한구간은 \(t_{i}\)의 \(I\)에 대한 제한구간과 \(J\)에 대한 제한구간의 교집합이다. \(t_{i}\)가 \(I\)의 제한점이고 \(J\)의 제한점이 아닐 때는 \(t_{i}\)의 \(I\cap J\)에 대한 제한구간은 \(t_{i}\)의 \(I\)에 대한 제한구간과 같으므로 \(I\cap J\in\mathcal{I}\)이다. 

* \(a<t_{1}<t_{2}<t_{3}\leq b\)일 때$$\begin{align*}I&=\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\alpha_{1}<x(t_{1})\leq\beta_{1},\,\alpha_{2}<x(t_{2})\leq\beta_{2}\}\\J&=\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\gamma_{2}<x(t_{2})\leq\delta_{2},\,\gamma_{3}<x(t_{3})\leq\delta_{3}\}\\&\alpha_{2}<\gamma_{2}<\beta_{2}<\delta_{2}\end{align*}$$라고 하면$$I\cap J=\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\alpha_{1}<x(t_{1})\leq\beta_{1},\,\gamma_{2}<x(t_{2})\leq\beta_{2},\,\gamma_{3}<x(t_{3})\leq\delta_{3}\}$$이므로 \(I\cap J\in\mathcal{I}\)이다.  

(c) \(I\in\mathcal{I}\)라 하고 모든 \(\alpha_{i},\,\beta_{i}\)가 유한하다고 하자. 그러면$$\begin{align*}C_{0}([a,\,b])-I&=\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,-\infty<x(t_{1})\leq\alpha_{1}\}\\&\cup\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\beta_{1}<x(t_{1})\leq\infty\}\\&\cup\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\alpha_{1}<x(t_{1})\leq\beta_{1},\,-\infty<x(t_{2})\leq\alpha_{2}\}\\&\cup\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\alpha_{1}<x(t_{1})\leq\beta_{1},\,\beta_{2}<x(t_{2})\leq\infty\}\\&\cup\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\alpha_{1}<x(t_{1})\leq\beta_{1},\,\alpha_{2}<x(t_{2})\leq\beta_{2},\,-\infty<x(t_{3})\leq\alpha_{3}\}\\&\cup\cdots\cup\cdots\\&\cup\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\alpha_{1}<x(t_{1})\leq\beta_{1},\,...,\,\alpha_{n-1}<x(t_{n-1})\leq\beta_{n-1},\,\beta_{n}<x(t_{n})\leq\infty\}\end{align*}$$이고, 제한구간이 무한인 경우는, 이 구간에 대응되는 위의 두 구간은 한 구간으로 줄어든다.

* \((\alpha_{2},\,\beta_{2}]=(-\infty,\,\beta_{2}]\)인 경우, 대응되는 위의 구간은$$\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\alpha_{1}<x(t_{1})\leq\beta_{1},\,\beta_{2}<x(t_{2})\leq\infty\}$$만 남게 되므로 (c)가 증명된다. 

앞에서 \(\mathfrak{m}\)을 이용해 \(C_{0}([a,\,b])\)에 측도를 도입하는 위너의 방법을 다음과 같다.

1. \(\mathfrak{m}\)은 \(\mathcal{I}\)에서 잘 정의되고(well defined) 가법적이다. 

2. \(\mathfrak{m}\)은 \(\mathcal{I}\)에서 가산가법적(countably additive)이다.  

3. 카라테오도리 확장에 의해 \(\mathcal{I}\)에 의해 생성되는 \(\sigma-\)대수 \(\sigma(\mathcal{I})\)에 측도 \(\mathfrak{m}\)을 도입한다. 

4. \(\sigma(\mathcal{I})=\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]))\)가 성립함을 보인다. 

5. 측도공간 \((C_{0}([a,\,b]),\,\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b])),\,\mathfrak{m})\)을 완비(complete)화 해서 완비측도공간 \((C_{0}([a,\,b]),\,\mathcal{S}_{1},\,\mathfrak{m})\)을 얻는다. 이 완비측도공간을 위너 측도공간이라고 한다.

채프만-콜모고로프 방정식(Chapman-Kolmogorov equation) 

\(r<s<t\), \(\lambda>0\)일 때, 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{-\infty}^{\infty}{\sqrt{\frac{\lambda}{2\pi(t-s)}}e^{-\frac{\lambda(w-v)^{2}}{2(t-s)}}\sqrt{\frac{\lambda}{2\pi(s-r)}}e^{-\frac{\lambda(v-u)^{2}}{2(s-r)}}dv}=\sqrt{\frac{\lambda}{2\pi(t-r)}}e^{-\frac{\lambda(w-u)^{2}}{2(t-r)}}$$증명: 피적분함수에 있는 지수는 \(v\)에 대한 이차함수이고, 이것을 \(v\)에 대한 완전제곱식으로 나타내면 다음과 같다.$$\frac{\lambda(w-v)^{2}}{2(t-s)}+\frac{\lambda(v-u)^{2}}{2(s-r)}=\frac{\lambda(t-r)}{2(t-s)(s-r)}(v-K_{1})^{2}+\lambda K_{2}$$여기서 \(K_{1},\,K_{2}\)는 다음과 같다.$$\begin{align*}K_{1}&=\left(\frac{w}{t-s}+\frac{u}{s-r}\right)\left\{\frac{(t-s)(s-r)}{t-r}\right\}^{2}\\K_{2}&=\frac{w^{2}}{2(t-s)}+\frac{u^{2}}{2(s-r)}-\frac{(t-s)(s-r)}{2(t-r)}\left\{\frac{w}{t-s}+\frac{u}{s-r}\right\}^{2}\end{align*}$$위에서 구한 \(v\)에 대한 완전제곱식과 르베그적분의 평행변환 불변성으로부터 다음의 등식이 성립한다.$$\begin{align*}&\sqrt{\frac{\lambda^{2}}{(2\pi)^{2}(t-s)(s-r)}}e^{-\lambda K_{2}}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-\frac{\lambda(t-r)}{2(t-s)(s-r)}(v-K_{1})^{2}}dv}\\&=\sqrt{\frac{\lambda^{2}}{(2\pi)^{2}(t-s)(s-r)}}e^{-\lambda K_{2}}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-\frac{\lambda(t-r)}{2(t-s)(s-r)}v^{2}}dv}\\&=\sqrt{\frac{\lambda}{2\pi(t-r)}}e^{-\lambda K_{2}}\,\left(\because\,\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-a^{2}v^{2}}dv}=\frac{\sqrt{\pi}}{a}\right)\end{align*}$$\(K_{2}\)를 간단히 나타내면 \(K_{2}=\frac{(w-u)^{2}}{2(t-r)}\)이므로 증명을 완료했다.

\(I\)는 \(t_{j},\,\alpha_{j},\,\beta_{j}\)에 의해 결정되고 \(I\)는 여러가지로 나타내어질 수 있다.$$\begin{align*}I&=\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\alpha_{i}<x(t_{i})\leq\beta_{i},\,i=1,\,...,\,n\}\\J&=\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\alpha_{i}<x(t_{i})\leq\beta_{i},\,i=1,\,...,\,n,\,-\infty<x(s)\leq\infty\}\\K&=\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\alpha_{i}<x(t_{i})\leq\beta_{i},\,i=1,\,...,\,n,\,-\infty<x(s),\,x(r)\leq\infty\}\end{align*}$$위의 \(I,\,J,\,K\)는 모두 같은 구간을 나타내므로 \(I=J=K\)이다. 그러나 \(\mathfrak{m}(I)\)는 유일하게 표현된다. 

정의 1.6 \(I\)를 포함하는 식 중에서 무한제한구간이 없는 식을 \(I\)의 최소표현(minimal representation)이라고 한다. 

정리 1.7 \(m\)은 \(\mathcal{I}\)에서 잘 정의된다.

증명: \(I\)의 최소표시인 \(\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\alpha_{i}<x(t_{i})\leq\beta_{i},\,i=1,\,...,\,n\}\)에 제한점을 하나 추가했을 때, 두 구간의 위너측도가 같음을 보이자. 임의의 유한개의 제한점이 추가된 경우도 같은 방법으로 보이면 된다. 다음의 구간표현에서 \(t_{k}<s<t_{k+1}\)이라고 하자.$$J=\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\alpha_{i}<x(t_{i})\leq\beta_{i},\,i=1,\,...,\,n,\,-\infty<x(s)\leq\infty\}$$그러면$$\begin{align*}\mathfrak{m}(I)&=\int_{\alpha_{n}}^{\beta_{n}}\cdots\int_{\alpha_{k+1}}^{\beta_{k+1}}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{\alpha_{k}}^{\beta_{k}}\cdots\int_{\alpha_{1}}^{\beta_{1}}\frac{1}{\sqrt{2\pi(t_{1}-a)}}e^{-\frac{u_{1}^{2}}{2(t_{1}-a)}}\cdots\frac{1}{\sqrt{2\pi(t_{k}-t_{k-1})}}e^{-\frac{(u_{k}-u_{k-1})^{2}}{2(t_{k}-t_{k-1})}}\\&\frac{1}{\sqrt{2\pi(s-t_{k})}}e^{-\frac{(v-u_{k})^{2}}{2(s-t_{k})}}\frac{1}{\sqrt{2\pi(t_{k+1}-s)}}e^{-\frac{(u_{k+1}-v)^{2}}{2(t_{k+1}-s)}}\cdots\frac{1}{\sqrt{2\pi(t_{n}-t_{n-1})}}e^{-\frac{(u_{n}-u_{n-1})^{2}}{2(t_{n}-t_{n-1})}}\\&du_{1}\cdots du_{k}dvdu_{k+1}\cdots du_{n}\end{align*}$$위의 피적분함수는 0보다 크므로 푸비니정리를 적용해 적분의 순서를 바꾸어 \(v\)에 대해 먼저 계산하면 되고, 그 다음으로 채프만-콜모고로프 방정식에 의해 \(\mathfrak{m}(I)=\mathfrak{m}(J)\)이다. 

다음의 성질은 앞으로 자주 이용하게 될 성질들이다. 

성질 1.8 

(a) 함수 \(F:C_{0}([a,\,b])\times[a,\,b]\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 \(F(x,\,t)=x(t)\)로 정의하면 \(F\)는 적위상공간 \(C_{0}([a,\,b])\times[a,\,b]\)에서 연속이다.  

(b) \(X,\,Y\)가 집합이고 \(\mathcal{E}\)를 \(X\)의 부분집합들의 한 \(\sigma-\)대수라 하자. 함수 \(f:X\,\rightarrow\,Y\)에 대해$$\mathcal{A}=\{B\subset Y\,|\,f^{-1}[B]\in\mathcal{E}\}$$로 놓으면 \(\mathcal{A}\)는 \(Y\)의 부분집합들의 한 \(\sigma-\)대수이다.  

(c) \(X,\,Y\)가 위상공간이고 \(f:X\,\rightarrow\,Y\)가 연속이라 하자. 그러면 \(f\)는 보렐가측이다. 즉 모든 \(B\in\mathcal{B}(Y)\)에 대해 \(f^{-1}[B]\in\mathcal{B}(X)\)이다.    

정리 1.9 

(a) \(\mathfrak{m}(C_{0}([a,\,b]))=1\) 

(b) \(I(\neq\emptyset)\in\mathcal{I}\)이면, \(\mathfrak{m}(I)>0\)  

(c) \(\mathfrak{m}\)은 \(\mathcal{I}\)에서 유한가법적(finite additive)이다.  

증명: 

(a) \(C_{0}([a,\,b])=\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,-\infty<x(t_{1})\leq\infty\}\)라 하면 \(\mathfrak{m}\)의 정의에 의해 \(\mathfrak{m}(C_{0}([a,\,b]))=1\)이다.  

(b) \(I(\neq\emptyset)\in\mathcal{I}\)이면, \(j=1,\,2\)에 대해 \(\alpha_{j}<\beta_{j}\)이므로 \(\mathfrak{m}(I)>0\)이다. 

(c) \(I,\,J,\,I\cup J\in\mathcal{I}\), \(I\cap J=\emptyset\)라 하자. \(\mathfrak{m}(I\cup J)=\mathfrak{m}(I)+\mathfrak{m}(J)\)가 성립함을 보이면 된다. \(I\)와 \(J\)의 제한점이 \(a<t_{1}<\cdots<t_{n}<b\)로 동일하다고 하자(그렇지 않다면 제한점을 추가한다).$$\begin{align*}I&=\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\alpha_{i}<x(t_{i})\leq\beta_{i},\,i=1,\,...,\,n\}\\J&=\{x\in C_{0}([a,,b])\|\,\gamma_{i}<x(t_{i})\leq\delta_{i},\,i=1,\,...,\,n\}\end{align*}$$이라 하면 \(I\cap J=\emptyset\)이므로$$\prod_{i=1}^{n}{(\alpha_{i},\,\beta_{i}]}\cap\prod_{i=1}^{n}{(\gamma_{i},\,\delta_{i}]}=\emptyset$$이고 따라서$$I\cup J=\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,(x(t_{1}),\,...,\,x(t_{n}))\}\in\prod_{i=1}^{n}{(\alpha_{i},\,\beta_{i}]}\cup\prod_{i=1}^{n}{(\gamma_{i},\,\delta_{i}]}$$이고$$\begin{align*}\mathfrak{m}(I)&=\int_{\Pi(\alpha_{i},\,\beta_{i}]\cup\Pi(\gamma_{i},\,\delta_{i}]}{W_{n}(\vec{t},\,\vec{u})d\vec{u}}\\&=\int_{\Pi(\alpha_{i},\,\beta_{i}]}{W_{n}(\vec{t},\,\vec{u})d\vec{u}}+\int_{\Pi(\gamma_{i},\,\delta_{i}]}{W_{n}(\vec{t},\,\vec{u})d\vec{u}}\\&=\mathfrak{m}(I)+\mathfrak{m}(J)\end{align*}$$\(\mathfrak{m}\)은 가산가법적이지만 이에 대한 증명은 복잡해서 생략한다. 그러면 카라테오도리 확장정리에 의해 \(\mathcal{I}\)에 의해 생성된 \(\sigma-\)대수 \(\sigma(\mathcal{I})\)에서 가산가법적인 측도로 확장할 수 있다. \(\mathfrak{m}\)의 외측도를 \(\mathfrak{m}^{*}\)라고 하고 \(\mathfrak{m}^{*}-\)가측집합들을 모은 집합족을 \(\mathcal{S}_{1}\)이라 하자. 그러면 \(\mathcal{S}\)는 \(\sigma-\)대수이고 \(\sigma(\mathcal{I})\subset\mathcal{S}\)이고 \(\mathfrak{m}^{*}\)는 \(\mathcal{S}_{1}\)에서 완비이다. 이 완비 측도공간 \((C_{0}([a,\,b]),\,\mathcal{S}_{1},\,\mathfrak{m}^{*})\)는 측도공간 \((C_{0}([a,\,b]),\,\sigma(\mathcal{I}),\,\mathfrak{m})\)을 완비화 해서 얻는 완비측도공간 \((C_{0}([a,\,b]),\,\overline{\sigma(\mathcal{I})},\,\overline{\mathfrak{m}})\)과 일치하고 \(\mathfrak{m}^{*}\)를 \(\mathfrak{m}\)으로 나타내겠다.  

정의 1.10 \((C_{0}([a,\,b]),\,\mathcal{S}_{1},\,\mathfrak{m})\)을 위너 측도공간(Wiener measure space)이라 하고, \(\mathfrak{m}\)을 위너측도(Wiener measure), \(\mathcal{S}_{1}\)의 원소를 위너 가측집합(Wiener measurable set)이라고 한다. 

정리 1.11 \(\sigma(\mathcal{I})=\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]))\)

증명: 생략

            

정리 1.11에 의해 위너 측도공간 \((C_{0}([a,\,b]),\,\mathcal{S}_{1},\,\mathfrak{m})\)은 보렐 측도공간 \((C_{0}([a,\,b]),\,\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b])),\,\mathfrak{m})\)을 완비화해서 얻은 완비측도공간과 같다. 

* 

(1) 정리 1.9의 (a)에 의해 위너 측도공간은 확률공간이다.

(2) \(A\in\mathcal{S}_{1}\), \(\mathfrak{m}(A)=0\)이면, \(A\)의 임의의 부분집합 \(E\)에 대해 \(E\in\mathcal{S}\)이고 \(\mathfrak{m}(E)=0\)이다.  

(3) \(\mathcal{S}_{1}\)는 \(B\cup N\)의 형태의 원소들로 구성되고 여기서 \(B\)는 보렐집합, \(N\subset N_{0}\), \(N_{0}\)은 영 보렐집합(null Borel set)이다. 

참고자료: 

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford

위너 적분론, 장건수, 민음사