1-2 위너적분(1)

1-2 위너적분(1)

여기서 \(\vec{t}=(t_{1},\,...,\,t_{n})\)는 \(a<t_{1}<\cdots<t_{n}<b\)를 만족하는 고정된 벡터이다. 임의의 \(E\subset\mathbb{R}^{n}\)에 대해$$J_{\vec{t}}(E)=\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,(x(t_{1}),\,...,\,x(t_{n}))\in E\}$$라 하자. 고정된 \(\vec{t}\)에 대해 \(J_{\vec{t}}(E)\)는 유일하게 결정된다. 

함수 \(P_{\vec{t}}:C_{0}([a,\,b])\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{n}\)를 다음과 같이 정의하자.$$P_{\vec{t}}(x)=(x(t_{1}),\,...,\,x(t_{n}))$$그러면 임의의 \(E\subset\mathbb{R}^{n}\)에 대해 다음이 성립한다.$$J_{\vec{t}}(E)=P^{-1}_{\vec{t}}(E)$$정리 1.12 \(J_{\vec{t}}(B)=P_{\vec{t}}^{-1}[B]\in\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]))\)일 필요충분조건은 \(B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\)이다. 

증명:

(\(\Leftarrow\)): \(P_{\vec{t}}\)는 연속이고 성질 1.8의 (c)에 의해 보렐 가측이다. 따라서 임의의 보렐 가측집합 \(B\subset\mathbb{R}^{n}\)에 대해 \(J_{\vec{t}}(B)=P_{\vec{t}}^{-1}[B]\in\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]))\)이다. 

(\(\Rightarrow\)): 함수 \(H_{\vec{t}}:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,C_{0}([a,\,b])\)를 다음과 같이 정의하자.$$H_{\vec{t}}(x_{1},\,...,\,x_{n})(s)=\begin{cases}\displaystyle x_{j}+\frac{x_{j+1}-x_{j}}{t_{j+1}-t_{j}}(s-t_{j})&\,(t_{j}\leq s\leq t_{j+1})\\x_{n}&\,(t_{n}\leq s\leq b)\end{cases}(j=0,\,...,\,n-1,\,x_{0}=0)$$즉, \(H_{\vec{t}}(x_{1},\,...,\,x_{n})\)은 꼭짓점이 \((a,\,0)\), \((t_{1},\,x_{1}),\,...,\,(t_{n},\,x_{n})\), \((b,\,x_{n})\)인 부분구간 직선함수이고, 연속함수이므로 \(H_{\vec{t}}^{-1}[P_{\vec{t}}^{-1}[B]]\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\)이다. 다음이 성립함을 보이면 증명은 끝난다.$$H_{\vec{t}}^{-1}[P_{\vec{t}}^{-1}[B]]=B$$\((x_{1},\,...,\,x_{n})\in H_{\vec{t}}^{-1}[P_{\vec{t}}^{-1}[B]]\)라 하자. 그러면 \(H_{\vec{t}}(x_{1},\,...,\,x_{n})\in P_{\vec{t}}^{-1}[B]\)이고 따라서 다음이 성립한다.$$P_{\vec{t}}(H_{\vec{t}}(x_{1},\,...,\,x_{n})(t_{1}),\,...,\,H_{\vec{t}}(x_{1},\,...,\,x_{n})(t_{n}))\in B$$그런데$$(x_{1},\,...,\,x_{n})=(H_{\vec{t}}(x_{1},\,...,\,x_{n})(t_{1}),\,...,\,H_{\vec{t}}(x_{1},\,...,\,x_{n}))$$이므로 \((x_{1},\,...,\,x_{n})\in B\)이다. 역으로 \((x_{1},\,...,\,x_{n})\in B\)라 하자. 그러면 \(H_{\vec{t}}(x_{1},\,...,\,x_{n})\in P_{\vec{t}}^{-1}[B]\)가 성립한다. 

*\(\mathcal{L}(\mathbb{R}^{n})\)를 르베그 가측집합들의 \(\sigma-\)대수, \(\lambda\)를 \(\mathcal{L}(\mathbb{R}^{n})\)에서의 르베그 측도라고 하겠다. 

정리 1.13 \(B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\)이면, 다음이 성립하고$$\mathfrak{m}(J_{\vec{t}}(B))=\int_{B}{W_{n}(\vec{t},\,\vec{u})d\vec{u}}$$여기서 \(W_{n}(\vec{t},\,\vec{u})\)는 다음과 같이 정의되는 밀도함수이다.$$W_{n}(\vec{t},\,\vec{u})=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}(t_{1}-a)\cdots(t_{n}-t_{n-1})}}e^{\displaystyle\tiny-\sum_{j=1}^{n}{\frac{(u_{j}-u_{j-1})^{2}}{2(t_{j}-t_{j-1})}}}$$증명: 정리 1.12에 의해 \(J_{\vec{t}}(B)\in\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]))\)이므로 \(\mathfrak{m}(J_{\vec{t}}(B))\)는 잘 정의된다. \(E\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^{n})\)에 대해 집합함수 \(\nu\)를 다음과 같이 정의하면$$\nu(E)=\int_{E}{W_{n}(\vec{t},\,\vec{u})d\vec{u}}$$\(\nu\)는 \(\mathcal{L}(\mathbb{R}^{n})\)에서 측도이고 \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}^{n}}{W_{n}(\vec{t},\,\vec{u})d\vec{u}}=1\)이므로 \(\nu\)는 확률측도이며 \(\mathbb{R}^{n}\)에서의 구간 \(I=(\alpha_{1},\,\beta_{1}]\times\cdots\times(\alpha_{n},\,\beta_{n}]\)에 대해 다음이 성립한다.$$\nu(I)=\mathfrak{m}\circ P_{\vec{t}}^{-1}[I]=m(J_{\vec{t}}(I))$$\(\mathbb{R}^{n}\)에서의 구간들은 \(\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\)을 생성하므로 \(\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\)에서 \(\nu=\mathfrak{m}\circ P_{\vec{t}}^{-1}\)이고 따라서 식 \(\displaystyle\mathfrak{m}(J_{\vec{t}}(B))=\int_{B}{W_{n}(\vec{t},\,\vec{u})d\vec{u}}\)가 성립한다. 

이 정리(1.13)에서 정의된 측도 \(\nu\)는 르베그측도 \(\lambda\)와 절대연속이므로 \((\mathbb{R}^{n},\,\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n}),\,\nu)\)를 완비화해서 얻은 완비측도공간은 \(\mathbb{R}^{n}\)에서의 르베그 측도공간과 일치하므로 따라서 \(\nu=\mathfrak{m}\circ P_{\vec{t}}^{-1}\)즉, 임의의 르베그 가측집합 \(E\)에 대해 \(\nu(E)=\mathfrak{m}\circ P_{\vec{t}}^{-1}[E]\)이다.  

정리 1.14 \(E\subset\mathbb{R}^{n}\)라 하자. \(J_{\vec{t}}(E)=P_{\vec{t}}^{-1}[E]\)가 위너 가측일 필요충분조건은 \(E\)가 르베그 가측인 것이다. 이때 각 \(E\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^{n})\)에 대해 \(J_{\vec{t}}(E)\in\mathcal{S}\)이고 다음의 등식이 성립한다.$$\mathfrak{m}(J_{\vec{t}}(E))=\int_{E}{W_{n}(\vec{t},\,\vec{u})d\vec{u}}$$

이 정리의 증명은 복잡해서 생략하겠다. 

따름정리 1.15 

(i) \(\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]))\subset\mathcal{S}_{1}\)이고, 이 둘은 같지 않다.  

(ii) 집합 \(A\subset C_{0}([a,\,b])\)가 존재해서 \(A\notin\mathcal{S}_{1}\)이다. 

증명: 

(i): \(a<t\leq b\)라 하고 \(E\in\mathcal{L}(\mathbb{R})-\mathcal{B}(\mathbb{R})\)를 선택하면, 정리 1.12와 1.14에 의해 \(P_{\vec{t}}^{-1}[E]\in\mathcal{S}_{1}-\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]))\)이다.       

(ii): \(a<t\leq b\)라 하고 \(E\subset\mathbb{R}\)를 르베그 비가측집합이라고 하자. 그러면 1.14에 의해 \(P_{\vec{t}}^{-1}[E]\notin\mathcal{S}_{1}\)이다.

\((C_{0}([a,\,b]),\,\mathcal{S}_{1},\,\mathfrak{m})\)를 위너 측도공간이라고 하자. 여기서 정의된 위너 가측함수 \(F\)의 위너측도에 대한 적분을 \(F\)의 위너적분(Wiener integral)이라 하고 다음과 같이 나타낸다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}$$이 위너적분을 르베그적분으로 나타낼 수 있다.$$a=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}\leq b,\,f:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$$라 하고 함수 \(F:C_{0}([a,\,b])\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 다음과 같이 정의하자.$$F(x)=f(x(t_{1}),\,...,\,x(t_{n}))$$그러면 \(F(x)=f\circ P_{\vec{t}}(x)\)이다. 

정리 1.16 함수 \(f\)가 르베그가측일 필요충분조건은 \(F\)가 위너가측이고, 이 경우 다음의 식이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}=\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(\vec{u})W_{n}(\vec{t},\,\vec{u})d\vec{u}}$$증명:

(\(\Rightarrow\)): \(f\)를 르베그 가측함수라 하자. 정리 1.14에 의해 \(P_{\vec{t}}\)는 위너-르베그 가측(\(\because P_{\vec{t}}:C_{0}([a,\,b])\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{n}\))이고 \(F(x)=f\circ P_{\vec{t}}(x)\)이므로 \(F\)는 위너가측이다.

(\(\Leftarrow\)): \(F\)가 위너가측이면, 정리 1.14에 의해 \(f\)는 르베그 가측함수이다.

공식에 대한 증명: 변수변환정리(0.23)에 의해$$\begin{align*}\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{f\circ P_{\vec{t}}(x)d\mathfrak{m}(x)}\\&=\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(\vec{u})d(\mathfrak{m}\circ P_{\vec{t}}^{-1})(\vec{u})}\end{align*}$$(\(\vec{u}=(u_{1},\,...,\,u_{n}),\,\vec{t}=(t_{1},\,...,\,t_{n})\))이다. \(\mathcal{L}(\mathbb{R}^{n})\)에서 \(\nu=\mathfrak{m}\circ P_{\vec{t}}^{-1}\)이고, 정리 1.13에 의해 \(W_{n}(\vec{t},\,\vec{u})\)는 르베그측도에 대한 \(\nu\)의 라돈-니코딤 도함수이므로$$\begin{align*}\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(\vec{u})d(\mathfrak{m}\circ P_{\vec{t}}^{-1})(\vec{u})}&=\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(\vec{u})d\nu(\vec{u})}\\&=\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(\vec{u})W_{n}(\vec{t},\,\vec{u})d\vec{u}}\end{align*}$$이다. 그러므로 공식 \(\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}=\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(\vec{u})W_{n}(\vec{t},\,\vec{u})d\vec{u}}\)가 성립한다.

*

(1) 모든 위너 가측함수에 대해 위의 공식이 성립하지 않으나 관심 대상의 함수들에 대해서는 적용가능하다(적분가능하다, 즉 적분값이 유한하다).

(2) 위의 공식은 무한차원인 위너공간에서의 적분을 유한차원인 \(\mathbb{R}^{n}\)에서의 르베그적분으로 나타낸 것이다. 이 공식은 일반적으로 성립하지 않으나 여기서는 함수 \(F\)가 \(n\)개의 제한점에서의 \(x\)의 값에만 의존하기 때문에 성립한다.

성질 1.17 \(a<t\leq b\)일 때 \(F(x)=x(t)\)라 하면, \(F\)는 위너적분 가능하고 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}=0$$증명: \(f(u)=u\)(1차원)라 하면 \(F(x)=f\circ P_{t}(x)=P_{t}(x)\), \(f\)가 르베그 가측, \(f(u)W_{1}(u,\,t)\)가 르베그 적분가능하므로 정리 1.16에 의해 \(F\)는 위너적분 가능하고 다음의 식으로부터 등식이 성립한다.$$\begin{align*}\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}&=\int_{\mathbb{R}}{f(u)W_{1}(t,\,u)du}\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi(t-a)}}\int_{\mathbb{R}}{ue^{-\frac{u^{2}}{2(t-a)}}du}\\&=0\end{align*}$$성질 1.18 \(a<t_{1},\,t_{2}\leq b\)일 때, \(F(x)=x(t_{1})x(t_{2})\)라 하면 \(F\)는 위너적분 가능하고 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}=\min\{t_{1},\,t_{2}\}-a$$증명: \(a<t_{1}<t_{2}\leq b\)라 하자. \(f(u_{1},\,u_{2})=u_{1}u_{2}\)라 하면, \(F(x)=f(x(t_{1}),\,x(t_{2}))=f\circ P_{\vec{t}}(x)\)이다. \(f\)가 르베그 가측이고 \(f(u)W_{2}(\vec{t},\,\vec{u})\)가 르베그 적분가능하므로, 정리 1.16에 의해 \(F\)는 위너적분 가능하고 다음의 식이 성립한다.$$\begin{align*}\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}&=\int_{\mathbb{R}^{2}}{f(\vec{u})W_{2}(\vec{t},\,\vec{u})d\vec{u}}\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi(t_{1}-a)(t_{2}-t_{2})}}\int_{\mathbb{R}^{2}}{u_{1}u_{2}e^{-\frac{u_{1}^{2}}{2(t_{1}-a)}+\frac{(u_{2}-u_{1})^{2}}{2(t_{2}-t_{1})}}du_{1}du_{2}}\end{align*}$$이 적분을 계산하기 위해 \(\displaystyle v_{1}=\frac{u_{1}}{\sqrt{2(t_{1}-a)}}\), \(\displaystyle v_{2}=\frac{u_{2}-u_{1}}{\sqrt{2(t_{2}-t_{1})}}\)라고 하면$$u_{1}=\sqrt{2(t_{1}-a)}v_{1},\,u_{2}=\sqrt{2(t_{2}-t_{1})}v_{2}+\sqrt{2(t_{1}-a)}v_{1}$$이고, 이 변수변환의 야코비안(Jacobian)은$$\left|\begin{matrix}\sqrt{2(t_{1}-a)}&0\\\sqrt{2(t_{1}-a)}&\sqrt{2(t_{2}-t_{1})}\end{matrix}\right|=2\sqrt{(t_{1}-a)(t_{2}-t_{1})}$$이므로 푸비니 정리로부터$$\begin{align*}&\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}\\&=\frac{2\sqrt{(t_{1}-a)(t_{2}-t_{1})}}{\sqrt{(2\pi)^{2}(t_{1}-a)(t_{2}-t_{1})}}\int_{\mathbb{R}^{2}}{\{\sqrt{2(t_{1}-a)}v_{1}\}\{\sqrt{2(t_{2}-t_{1})}v_{2}+\sqrt{2(t_{1}-a)}v_{1}\}e^{-v_{1}^{2}}e^{-v_{2}^{2}}dv_{1}dv_{2}}\\&=\frac{1}{\pi}\int_{\mathbb{R}}{\sqrt{2(t_{1}-a)}v_{1}e^{-v_{1}^{2}}\int_{\mathbb{R}}{\{\sqrt{2(t_{2}-t_{1})}v_{2}+\sqrt{2(t_{1}-a)}v_{1}\}e^{-v_{2}^{2}}dv_{2}}dv_{1}}\\&=\frac{1}{\pi}\int_{\mathbb{R}}{2(t_{1}-a)v_{1}^{2}e^{-v_{1}^{2}}\left\{\int_{\mathbb{R}}{e^{-v_{2}^{2}}dv_{2}}\right\}dv_{1}}\end{align*}$$위의 계산과정에서 함수 \(v_{2}e^{-v_{2}^{2}}\)는 기함수이므로 그 적분의 값은 0이고, 공식 \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}}{v^{2}e^{-v^{2}}dv}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)으로부터 다음의 식을 얻는다.$$\begin{align*}\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}&=\frac{2(t_{1}-a)}{\pi}\int_{\mathbb{R}}{v_{1}^{2}e^{-v_{1}^{2}}(\sqrt{\pi})dv_{1}}\\&=\frac{2(t_{1}-a)}{\sqrt{\pi}}\frac{\sqrt{\pi}}{2}\\&=t_{1}-a\end{align*}$$위와 같은 방법으로 \(a<t_{2}<t_{1}\leq b\)인 경우에 대해서 식 \(\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}=t_{2}-a\)가 성립함을 보일 수 있다. 

\(a<t\leq b\)일 때, 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{\{x(t)\}^{2}d\mathfrak{m}(x)}=t-a$$이 식이 성립함을 보이기 위해 \(f(u)=u^{2}\)라고 하면$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{\{x(t)\}^{2}d\mathfrak{m}(x)}=\int_{\mathbb{R}}{f(u)W_{1}(t,\,u)du}=\frac{1}{\sqrt{2\pi(t-a)}}\int_{\mathbb{R}}{u^{2}e^{-\frac{u^{2}}{2(t-a)}}du}$$이고 적분공식 \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}}{v^{2}e^{-a^{2}v^{2}}dv}=\frac{\sqrt{\pi}}{2a^{3}}\)으로부터 등식 \(\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}{\{x(t)\}^{2}d\mathfrak{m}(x)}=t-a\)가 성립함을 알 수 있다.

다음의 성질들도 앞의 성질들의 증명방법을 이용해 성립함을 보일 수 있다.

성질 1.19 \(a<t\leq b\), \(F(x)=\{x(t)\}^{n}\)이라 하자. 그러면 \(F\)는 위너적분 가능하고 \(n=0,\,1,\,...\)에 대해 다음이 성립한다.$$\begin{align*}\int_{C_{0}([a,\,b])}{\{x(t)\}^{2n}d\mathfrak{m}(x)}&=1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)(t-a)\\ \int_{C_{0}([a,\,b])}{\{x(t)\}^{2n+1}d\mathfrak{m}(x)}&=0\end{align*}$$맨 위의 식이 성립함을 보이기 위해서 \(f(u)=u^{2n}\)라 놓고 적분공식 \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}}{v^{2n}e^{-a^{2}v^{2}}dv}=\frac{(2n-1)(2n-3)\cdots5\cdot3\cdot1\sqrt{\pi}}{2^{n}a^{2n+1}}\)를 이용한다.

성질 1.20 \(a<t_{1}<t_{2}<t_{3}\leq b\)이고 \(F(x)=x(t_{1})x(t_{2})x(t_{3})\)이라고 하면, \(F\)는 위너적분 가능하고 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}=0$$일반적으로 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{x(t_{1})x(t_{2})\cdots x(t_{2n+1})d\mathfrak{m}(x)}=0$$

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford

위너 적분론, 장건수, 민음사