0-1. 기초 이론들

0-1. 기초 이론들

정의 0.1 다음의 조건들을 만족하는 집합 $X$의 부분집합들을 모은 집합족 $\mathcal{F}$를 대수(algebra)라고 한다.

(1) $A,\,B\in\mathcal{F}$이면, $A\cup B\in\mathcal{F}$

(2) $A\in\mathcal{F}$이면, $A^{c}\in\mathcal{F}$

(3) $\emptyset,\,X\in\mathcal{F}$

정의 0.2 다음의 조건들을 만족하는 집합 $X$의 부분집합들을 모은 집합족 $\mathcal{D}$를 반대수(semi-algebra)라고 한다.

(1) $A,\,B\in\mathcal{D}$이면, $A\cap B\in\mathcal{D}$

(2) $A\in\mathcal{D}$이면, $A^{c}$를 서로소인 $\mathcal{D}$의 원소들의 유한합집합으로 나타내어진다.

(3) $\phi,\,X\in\mathcal{D}$

$\mathcal{D}$가 반대수일 때 서로소인 $\mathcal{D}$의 원소들의 모든 유한합들의 집합은 대수이고, 이 대수를 $\mathcal{D}$에 의해 생성된(generated) 대수라고 한다.   

정의 0.3 $\mathcal{D}$가 반대수일 때 다음의 조건들을 만족하는 집합합수 $\mu:\mathcal{D}\,\rightarrow\,[0,\,\infty]$를 측도(measure)라고 한다.

(1) $\mu(\emptyset)=0$ 

(2) $A_{i}\in\mathcal{D}$들이 서로소이고, $\displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}}\in\mathcal{D}$이면, 다음의 등식이 성립한다. $$\mu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}}\right)=\sum_{i=1}^{\infty}{\mu(A_{i})}$$ 반대수 $\mathcal{D}$에서 정의된 측도는 $\mathcal{D}$에 의해 생성되는 대수에서의 측도로 확장될 수 있다. 

정리 0.4 $\mathcal{D}$를 반대수, $\mathcal{F}$를 $\mathcal{D}$에 의해 생성된 대수, $\mu:\mathcal{D}\,\rightarrow\,[0,\,\infty]$를 측도라 하자. 임의의 $E\in\mathcal{F}$에 대해 다음과 같이 나타내고 $$E=\bigcup_{i=1}^{n}{A_{i}}\,(A_{i}\in\mathcal{D}\text{'s are disjoint})$$ $\mu$를 다음과 같이 정의하면 $\mu$는 $\mathcal{F}$에서의 측도이다. $$\mu(E)=\sum_{i=1}^{n}{\mu(E_{i})}$$ 정의 0.5 $\mu$를 대수 $\mathcal{F}$에서의 측도라고 하자. 임의의 $E\subset X$에 대해 다음과 같이 정의된 $\mu^{*}$를 $\mu$의 외측도(outer measure)라고 하고 $$\mu^{*}(E)=\inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}{\mu(F_{i})}\,|\,F_{i}\in\mathcal{F},\,E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{F_{i}}\right\}$$ 다음과 같이 정의된 $\mu_{*}$를 $\mu$의 내측도(inner measure)라고 한다. $$\mu_{*}(E)=\sup\{\mu(A)-\mu^{*}(A-E)\,|\,A\in\mathcal{F},\,\mu^{*}(A-E)<\infty\}$$ 정리 0.6 $\mu$를 대수 $\mathcal{F}$에서의 측도이고 $\mu(X)<\infty$라고 하면, 다음이 성립하고 $$\mu_{*}(E)=\mu(X)-\mu^{*}(X-E)$$ 만약 $\mathcal{F}$가 $\sigma-$대수이면, 다음이 성립한다. $$\mu_{*}(E)=\sup\{\mu(A)\,|\,A\in\mathcal{F},\,A\subset E\}$$ 정리 0.7 $\mathcal{D}$를 $X$의 부분집합들의 반대수, $\mathcal{F}$를 $\mathcal{D}$에 의해 생성된 대수라 하자. $\mu$를 $\mathcal{D}$에서의 측도라고 하면, $\mu$는 $\mathcal{F}$로 확장되고, $E\subset X$에 대해 다음이 성립한다. $$\begin{align*}\mu^{*}(E)&=\inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}{\mu(F_{i})}\,|\,F_{i}\in\mathcal{F},\,E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{F_{i}}\right\}\\&=\inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}{\mu(E_{i})}\,|\,E_{i}\in\mathcal{D},\,E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\right\}\end{align*}$$ 정의 0.8 $\mu^{*}$를 외측도라고 하자. 임의의 $A\subset X$에 대해 다음의 식을 만족하는 집합 $E\subset X$를 $\mu^{*}-$가측(measurable)이라고 한다. $$\mu^{*}(A)=\mu^{*}(A\cap E)+\mu^{*}(A\cap E^{c})$$ 정리 0.9 $\mu$를 대수 $\mathcal{F}$에서의 측도라고 하자. $\mathcal{B}^{*}$를 모든 $\mu^{*}-$가측집합들을 모은 집합족이라고 하면 $\sigma-$대수가 되고 $\sigma(\mathcal{F})\subset\mathcal{B}^{*}$이며 $\mu^{*}$는 $\mathcal{B}^{*}$에서의 완비측도(complete measure)이다.

반대수 $\mathcal{D}$에 의해 생성되는 대수를 $\mathcal{F}$라 하자. $\sigma(\mathcal{D})$와 $\sigma(\mathcal{F})$를 각각 $\mathcal{D}$와 $\mathcal{F}$에 의해 생성된 $\sigma-$대수라고 하면 $\sigma(\mathcal{D})=\sigma(\mathcal{F})$이므로 정리 0.4와 0.9로부터 다음의 정리를 얻는다 .

정리 0.10 $\mu$를 반대수 $\mathcal{D}$에서의 측도라고 하면 $\mu$를 $\sigma(\mathcal{D})$에서의 측도로 확장할 수 있다. 

($\mu$가 대수 $\mathcal{F}$에서의 측도일 때 정리 0.9에 의해 $\sigma(\mathcal{F})$로 확장된 측도는 $\mu$가 $\sigma-$유한일 때 유일하다)

정리 0.11 $\mu$를 대수 $\mathcal{F}$에서 $\sigma-$유한측도라 하고, $\mu_{1}$과 $\mu_{2}$를 다음을 만족하는 $\sigma(\mathcal{F})$에서의 측도라 하자. $$\mu_{1}(E)=\mu_{2}(E)=\mu(E)\,E\in\mathcal{F}$$ 그러면 $\mu_{1}=\mu_{2}$이다. 

정리 0.12 $\mu$를 대수 $\mathcal{F}$에서 $\sigma-$유한한 측도라고 하자. $\mathcal{B}^{*}$를 $\mu^{*}-$가측집합들의 $\sigma-$대수라 하면 완비측도공간 $(X,\,\mathcal{B}^{*},\,\mu^{*})$는 측도공간 $(X,\,\sigma(\mathcal{F}),\,\mu^{*})$를 완비화(complete)해서 얻은 완비측도공간 $(X,\,\overline{\sigma(\mathcal{F})},\,\overline{\mu^{*}})$와 같다. 

정리 0.13 집합 $X$의 부분집합들을 모은 집합족 $\mathcal{M}$이 다음의 조건들을 만족하면 $\mathcal{M}$을 단조류(monotone class)라고 한다. 

(1) $E_{i}\subset E_{i+1}$이면, $\displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\in\mathcal{M}$

(2) $E_{i+1}\subset E_{i}$이면, $\displaystyle\bigcap_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\in\mathcal{M}$

$\mathcal{F}$가 대수일 때 $\sigma-$대수는 단조류이므로 $\sigma(\mathcal{F})$는 $\mathcal{F}$를 포함하는 단조류이다. $\mathcal{M}(\mathcal{F})$를 $\mathcal{F}$에 의해 생성되는 단조류($\mathcal{F}$를 포함하는 가장 작은 단조류)라고 하면 명백히 $\mathcal{M}(\mathcal{F})\subset\sigma(\mathcal{F})$이고, 다음의 정리에 의해 이 둘은 같다.

정리 0.14 $\mathcal{F}$가 대수이면, $\sigma(\mathcal{F})=\mathcal{M}(\mathcal{F})$이다. 

정의 0.15 $X$를 위상공간, $\mu$를 보렐 $\sigma-$대수 $\mathcal{B}(X)$에서의 측도라 하자. $A\in\mathcal{B}(X)$가 다음의 조건을 만족하면 $A$를 $\mu-$정규집합이라고 한다. $$\begin{align*}\mu(A)&=\sup\{\mu(C)\,|\,C\subset A,\,C\,\text{closed}\}\\&=\inf\{\mu(U)\,|\,A\subset U,\,U\,\text{open}\}\end{align*}$$ 모든 보렐집합이 $\mu-$정규집합이면, $\mu$를 정규측도(regular measure)라고 한다. 

정리 0.16 $X$가 거리공간이면, 모든 유한 보렐측도는 정규측도이다. 

따름정리 0.17 $\mu,\,\nu$가 거리공간 $X$에서 보렐측도이고 모든 닫힌집합 $C$에 대해 $\mu(C)=\nu(C)$이면, $\mu=\nu$이다. 

정의 0.18 $X$를 위상공간, $\mathcal{I}$를 $\mathcal{B}(X)$를 포함하는 $\sigma-$대수라고 하자. $\mathcal{I}$에서의 유한측도 $\mu$가 다음의 조건을 만족하면, $\mu$를 단단한 측도(tight measure)라고 한다.

:임의의 $\epsilon>0$에 대해 컴팩트집합 $K_{\epsilon}\subset X$이 존재해서 $\mu(X-K_{\epsilon})<\epsilon$이다. 

정리 0.19 $X$를 거리공간, $\mu$를 $\mathcal{B}(X)$에서 단단한 측도라 하자. 그러면 임의의 $\epsilon>0$과 $E\in\mathcal{B}(X)$에 대해 컴팩트집합 $K$가 존재해서 $K\subset E$이고 $\mu(E-K)<\epsilon$이다. 

정리 0.20 $X$가 완비 가분(separable) 거리공간이면, 보렐 $\sigma-$대수 $\mathcal{B}(X)$에서 정의되는 임의의 유한 보렐측도는 단단한 측도이다. 

정리 0.21 $X$를 완비 가분 거리공간, $\mu$를 유한 보렐측도라 하자. 그러면 임의의 보렐집합 $E$에 대해 다음이 성립한다. $$\mu(E)=\sup\{\mu(K)\,|\,K\subset E\,\text{compact}\}$$ $X$를 완비 가분 거리공간이고, 측도공간 $(X,\,\mathcal{B}(X),\,\mu)$의 완비화 측도공간을 $(X,\,\mathcal{I},\,\overline{\mu})$라 하자. 임의의 $E\in\mathcal{I}$에 대해 $$E=G\cup N\,(G\in\mathcal{B}(X),\,\overline{\mu}(N)=0)$$ 로 나타낼 수 있고, 다음의 식에 의해 $\overline{\mu}(E)=\mu(G)$이다. $$\begin{align*}\overline{\mu}(E)=\mu(G)&=\sup\{\mu(K)\,|\,K\subset G,\,K\,\text{compact}\}\\&\leq\sup\{\mu(K)\,|\,K\subset E,\,K\,\text{compact}\}\\&\leq\overline{\mu}(E)\end{align*}$$ 또한 위의 식으로부터 다음의 정리를 얻는다.

정리 0.22 $X$를 완비 가분 거리공간, $(X,\,\mathcal{I},\,\mu)$를 $(X,\,\mathcal{B}(X),\,\mu)$의 완비화라 하자. 그러면 임의의 $E\in\mathcal{I}$에 대해 다음이 성립한다. $$\mu(E)=\sup\{\mu(K)\,|\,K\subset E\,\text{compact}\}$$ $(X,\,\mathcal{A},\,\mu)$를 측도공간, $(Y,\,\mathcal{E})$를 가측공간, $g:X\,\rightarrow\,Y$를 $\mathcal{A}-\mathcal{E}$가측함수라 하자. 모든 $E\in\mathcal{E}$에 대해 집합함수 $\mu\circ g^{-1}$를 다음과 같이 정의하면 이 집합함수는 측도이고, $\mu$의 상측도(image measure)라고 한다. $$(\mu\circ g^{-1})[E]=\mu(g^{-1}[E])$$ 실수 $\mathbb{R}$에 $\{-\infty,\,\infty\}$를 추가한 수의 집합을 확장 실수계(extended real number system)라 하고, 다음과 같이 나타낸다. $$\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty,\,\infty\}$$ 정리 0.23(변수변환정리) $(X,\,\mathcal{A},\,\mu)$를 측도공간, $(Y,\,\mathcal{E})$를 가측공간, $g:X\,\rightarrow\,Y$를 $\mathcal{A}-\mathcal{E}$가측함수, $f:Y\,\rightarrow\,\overline{\mathbb{R}}$를 $\mathcal{E}-$가측함수라 하자. 그러면 $f$가 상측도 $\mu\circ g^{-1}$에 대해 적분가능할 필요충분조건은 $f\circ g$가 $\mu-$적분가능한 것이고, 이 경우 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{Y}{f(y)d(\mu\circ g^{-1})(y)}=\int_{X}{f(g(x))d\mu(x)}$$ 다음의 적분공식들은 위너적분, 파인만적분에서 자주 사용되는 등식이다. $$\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-a^{2}v^{2}}dv}&=\frac{\sqrt{\pi}}{a}\\ \int_{-\infty}^{\infty}{v^{2}e^{-a^{2}v^{2}}dv}&=\frac{\sqrt{\pi}}{2a^{3}}\\ \int_{-\infty}^{\infty}{v^{4}e^{-a^{2}v^{2}}dv}&=\frac{3\sqrt{\pi}}{2^{2}a^{5}}\\ \int_{-\infty}^{\infty}{v^{2k}e^{-a^{2}v^{2}}dv}&=\frac{(2k-1)!!\sqrt{\pi}}{2^{k}a^{2k+1}}\,(k\in\mathbb{N})\end{align*}$$ 여기서 다음이 성립한다. $$\begin{align*}(2k-1)!!&=(2k-1)(2k-3)(2k-5)\cdots5\cdot3\cdot1\\&\int_{-\infty}^{\infty}{v^{2k+1}e^{-a^{2}v^{2}}dv}=0\,(k\in\mathbb{N}\cup\{0\})\end{align*}$$ $f$가 가측함수일 때 다음과 같이 정의된 함수 $g$를 $f$의 절단(truncation)이라고 한다. $$g(x)=\begin{cases}f(x)&\,(r_{1}<|f(x)|\leq r_{2})\\0&\,(\text{otherwise})\end{cases}$$ $(M,\,\mathcal{M},\,\mu)$, $(N,\,\mathcal{N},\,\nu)$를 측도공간, $D$, $E$를 각각 $M$, $N$위에서 정의된 가측함수들의 선형공간이라 하자. $T:D\,\rightarrow\,E$를 다음의 조건들을 만족하는 작용소라고 하고

(i) $D$는 유한측도를 갖는 집합 위에서 정의된 모든 특성함수들을 포함한다.  

(ii) $f\in D$이고 $g$가 $f$의 절단이면, $g\in D$이다.  

모든 $f\in D\cap L_{p}(M)$에 대해 다음의 식을 만족하는 상수 $k>0$가 존재하면 $$\left(\int_{N}{|T(f)|^{q}d\nu}\right)^{\frac{1}{q}}=\|T(f)\|_{q}\leq k\|f\|_{p}=k\left(\int_{M}{|f|^{p}d\mu}\right)^{\frac{1}{p}}$$ $T$를 $(p,\,q)-$형이라고 한다. 위의 부등식을 만족하는 $k$중 가장 작은 $k$를 $T$의 $(p,\,q)-$노름이라고 한다. 

리즈 볼록성 정리(Riesz convexity theorem) $i=0,\,1$일 때 선형작용소 $T$가 $(p_{i},\,q_{i})-$형이고, $(p_{i},\,q_{i})-$노름 $k_{i}$를 갖는다고 하자. $0\leq t\leq 1$에 대해 $$\frac{1}{p_{t}}=\frac{1-t}{p_{0}}+\frac{t}{p_{1}},\,\frac{1}{q_{t}}=\frac{1-t}{q_{0}}+\frac{t}{q_{1}}$$ 라고 하면, $T$는 $(p_{t},\,q_{t})-$형이고 $(p_{t},\,q_{t})-$노름 $k_{t}$는 다음의 부등식을 만족한다. $$k_{t}\leq k_{0}^{1-t}k_{1}^{t}$$ ($p_{0},\,p_{1},\,q_{0},\,q_{1}$이 $\infty$(무한대)인 경우는 $\displaystyle\frac{1}{\infty}=0$으로 정의한다)

참고자료:

위너 적분론, 장건수, 민음사