0-1. 기초 이론들

0-1. 기초 이론들

정의 0.1 다음의 조건들을 만족하는 집합 \(X\)의 부분집합들을 모은 집합족 \(\mathcal{F}\)를 대수(algebra)라고 한다.

(1) \(A,\,B\in\mathcal{F}\)이면, \(A\cup B\in\mathcal{F}\)

(2) \(A\in\mathcal{F}\)이면, \(A^{c}\in\mathcal{F}\)

(3) \(\emptyset,\,X\in\mathcal{F}\)

정의 0.2 다음의 조건들을 만족하는 집합 \(X\)의 부분집합들을 모은 집합족 \(\mathcal{D}\)를 반대수(semi-algebra)라고 한다.

(1) \(A,\,B\in\mathcal{D}\)이면, \(A\cap B\in\mathcal{D}\)

(2) \(A\in\mathcal{D}\)이면, \(A^{c}\)를 서로소인 \(\mathcal{D}\)의 원소들의 유한합집합으로 나타내어진다.

(3) \(\phi,\,X\in\mathcal{D}\)

\(\mathcal{D}\)가 반대수일 때 서로소인 \(\mathcal{D}\)의 원소들의 모든 유한합들의 집합은 대수이고, 이 대수를 \(\mathcal{D}\)에 의해 생성된(generated) 대수라고 한다.   

정의 0.3 \(\mathcal{D}\)가 반대수일 때 다음의 조건들을 만족하는 집합합수 \(\mu:\mathcal{D}\,\rightarrow\,[0,\,\infty]\)를 측도(measure)라고 한다.

(1) \(\mu(\emptyset)=0\) 

(2) \(A_{i}\in\mathcal{D}\)들이 서로소이고, \(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}}\in\mathcal{D}\)이면, 다음의 등식이 성립한다.$$\mu\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}}\right)=\sum_{i=1}^{\infty}{\mu(A_{i})}$$반대수 \(\mathcal{D}\)에서 정의된 측도는 \(\mathcal{D}\)에 의해 생성되는 대수에서의 측도로 확장될 수 있다. 

정리 0.4 \(\mathcal{D}\)를 반대수, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{D}\)에 의해 생성된 대수, \(\mu:\mathcal{D}\,\rightarrow\,[0,\,\infty]\)를 측도라 하자. 임의의 \(E\in\mathcal{F}\)에 대해 다음과 같이 나타내고$$E=\bigcup_{i=1}^{n}{A_{i}}\,(A_{i}\in\mathcal{D}\text{'s are disjoint})$$\(\mu\)를 다음과 같이 정의하면 \(\mu\)는 \(\mathcal{F}\)에서의 측도이다.$$\mu(E)=\sum_{i=1}^{n}{\mu(E_{i})}$$정의 0.5 \(\mu\)를 대수 \(\mathcal{F}\)에서의 측도라고 하자. 임의의 \(E\subset X\)에 대해 다음과 같이 정의된 \(\mu^{*}\)를 \(\mu\)의 외측도(outer measure)라고 하고$$\mu^{*}(E)=\inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}{\mu(F_{i})}\,|\,F_{i}\in\mathcal{F},\,E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{F_{i}}\right\}$$다음과 같이 정의된 \(\mu_{*}\)를 \(\mu\)의 내측도(inner measure)라고 한다.$$\mu_{*}(E)=\sup\{\mu(A)-\mu^{*}(A-E)\,|\,A\in\mathcal{F},\,\mu^{*}(A-E)<\infty\}$$정리 0.6 \(\mu\)를 대수 \(\mathcal{F}\)에서의 측도이고 \(\mu(X)<\infty\)라고 하면, 다음이 성립하고$$\mu_{*}(E)=\mu(X)-\mu^{*}(X-E)$$만약 \(\mathcal{F}\)가 \(\sigma-\)대수이면, 다음이 성립한다.$$\mu_{*}(E)=\sup\{\mu(A)\,|\,A\in\mathcal{F},\,A\subset E\}$$정리 0.7 \(\mathcal{D}\)를 \(X\)의 부분집합들의 반대수, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{D}\)에 의해 생성된 대수라 하자. \(\mu\)를 \(\mathcal{D}\)에서의 측도라고 하면, \(\mu\)는 \(\mathcal{F}\)로 확장되고, \(E\subset X\)에 대해 다음이 성립한다.$$\begin{align*}\mu^{*}(E)&=\inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}{\mu(F_{i})}\,|\,F_{i}\in\mathcal{F},\,E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{F_{i}}\right\}\\&=\inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}{\mu(E_{i})}\,|\,E_{i}\in\mathcal{D},\,E\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\right\}\end{align*}$$정의 0.8 \(\mu^{*}\)를 외측도라고 하자. 임의의 \(A\subset X\)에 대해 다음의 식을 만족하는 집합 \(E\subset X\)를 \(\mu^{*}-\)가측(measurable)이라고 한다.$$\mu^{*}(A)=\mu^{*}(A\cap E)+\mu^{*}(A\cap E^{c})$$정리 0.9 \(\mu\)를 대수 \(\mathcal{F}\)에서의 측도라고 하자. \(\mathcal{B}^{*}\)를 모든 \(\mu^{*}-\)가측집합들을 모은 집합족이라고 하면 \(\sigma-\)대수가 되고 \(\sigma(\mathcal{F})\subset\mathcal{B}^{*}\)이며 \(\mu^{*}\)는 \(\mathcal{B}^{*}\)에서의 완비측도(complete measure)이다.

반대수 \(\mathcal{D}\)에 의해 생성되는 대수를 \(\mathcal{F}\)라 하자. \(\sigma(\mathcal{D})\)와 \(\sigma(\mathcal{F})\)를 각각 \(\mathcal{D}\)와 \(\mathcal{F}\)에 의해 생성된 \(\sigma-\)대수라고 하면 \(\sigma(\mathcal{D})=\sigma(\mathcal{F})\)이므로 정리 0.4와 0.9로부터 다음의 정리를 얻는다 .

정리 0.10 \(\mu\)를 반대수 \(\mathcal{D}\)에서의 측도라고 하면 \(\mu\)를 \(\sigma(\mathcal{D})\)에서의 측도로 확장할 수 있다. 

(\(\mu\)가 대수 \(\mathcal{F}\)에서의 측도일 때 정리 0.9에 의해 \(\sigma(\mathcal{F})\)로 확장된 측도는 \(\mu\)가 \(\sigma-\)유한일 때 유일하다)

정리 0.11 \(\mu\)를 대수 \(\mathcal{F}\)에서 \(\sigma-\)유한측도라 하고, \(\mu_{1}\)과 \(\mu_{2}\)를 다음을 만족하는 \(\sigma(\mathcal{F})\)에서의 측도라 하자.$$\mu_{1}(E)=\mu_{2}(E)=\mu(E)\,E\in\mathcal{F}$$그러면 \(\mu_{1}=\mu_{2}\)이다. 

정리 0.12 \(\mu\)를 대수 \(\mathcal{F}\)에서 \(\sigma-\)유한한 측도라고 하자. \(\mathcal{B}^{*}\)를 \(\mu^{*}-\)가측집합들의 \(\sigma-\)대수라 하면 완비측도공간 \((X,\,\mathcal{B}^{*},\,\mu^{*})\)는 측도공간 \((X,\,\sigma(\mathcal{F}),\,\mu^{*})\)를 완비화(complete)해서 얻은 완비측도공간 \((X,\,\overline{\sigma(\mathcal{F})},\,\overline{\mu^{*}})\)와 같다. 

정리 0.13 집합 \(X\)의 부분집합들을 모은 집합족 \(\mathcal{M}\)이 다음의 조건들을 만족하면 \(\mathcal{M}\)을 단조류(monotone class)라고 한다. 

(1) \(E_{i}\subset E_{i+1}\)이면, \(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\in\mathcal{M}\)

(2) \(E_{i+1}\subset E_{i}\)이면, \(\displaystyle\bigcap_{i=1}^{\infty}{E_{i}}\in\mathcal{M}\)

\(\mathcal{F}\)가 대수일 때 \(\sigma-\)대수는 단조류이므로 \(\sigma(\mathcal{F})\)는 \(\mathcal{F}\)를 포함하는 단조류이다. \(\mathcal{M}(\mathcal{F})\)를 \(\mathcal{F}\)에 의해 생성되는 단조류(\(\mathcal{F}\)를 포함하는 가장 작은 단조류)라고 하면 명백히 \(\mathcal{M}(\mathcal{F})\subset\sigma(\mathcal{F})\)이고, 다음의 정리에 의해 이 둘은 같다.

정리 0.14 \(\mathcal{F}\)가 대수이면, \(\sigma(\mathcal{F})=\mathcal{M}(\mathcal{F})\)이다. 

정의 0.15 \(X\)를 위상공간, \(\mu\)를 보렐 \(\sigma-\)대수 \(\mathcal{B}(X)\)에서의 측도라 하자. \(A\in\mathcal{B}(X)\)가 다음의 조건을 만족하면 \(A\)를 \(\mu-\)정규집합이라고 한다.$$\begin{align*}\mu(A)&=\sup\{\mu(C)\,|\,C\subset A,\,C\,\text{closed}\}\\&=\inf\{\mu(U)\,|\,A\subset U,\,U\,\text{open}\}\end{align*}$$모든 보렐집합이 \(\mu-\)정규집합이면, \(\mu\)를 정규측도(regular measure)라고 한다. 

정리 0.16 \(X\)가 거리공간이면, 모든 유한 보렐측도는 정규측도이다. 

따름정리 0.17 \(\mu,\,\nu\)가 거리공간 \(X\)에서 보렐측도이고 모든 닫힌집합 \(C\)에 대해 \(\mu(C)=\nu(C)\)이면, \(\mu=\nu\)이다. 

정의 0.18 \(X\)를 위상공간, \(\mathcal{I}\)를 \(\mathcal{B}(X)\)를 포함하는 \(\sigma-\)대수라고 하자. \(\mathcal{I}\)에서의 유한측도 \(\mu\)가 다음의 조건을 만족하면, \(\mu\)를 단단한 측도(tight measure)라고 한다.

:임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 컴팩트집합 \(K_{\epsilon}\subset X\)이 존재해서 \(\mu(X-K_{\epsilon})<\epsilon\)이다. 

정리 0.19 \(X\)를 거리공간, \(\mu\)를 \(\mathcal{B}(X)\)에서 단단한 측도라 하자. 그러면 임의의 \(\epsilon>0\)과 \(E\in\mathcal{B}(X)\)에 대해 컴팩트집합 \(K\)가 존재해서 \(K\subset E\)이고 \(\mu(E-K)<\epsilon\)이다. 

정리 0.20 \(X\)가 완비 가분(separable) 거리공간이면, 보렐 \(\sigma-\)대수 \(\mathcal{B}(X)\)에서 정의되는 임의의 유한 보렐측도는 단단한 측도이다. 

정리 0.21 \(X\)를 완비 가분 거리공간, \(\mu\)를 유한 보렐측도라 하자. 그러면 임의의 보렐집합 \(E\)에 대해 다음이 성립한다.$$\mu(E)=\sup\{\mu(K)\,|\,K\subset E\,\text{compact}\}$$\(X\)를 완비 가분 거리공간이고, 측도공간 \((X,\,\mathcal{B}(X),\,\mu)\)의 완비화 측도공간을 \((X,\,\mathcal{I},\,\overline{\mu})\)라 하자. 임의의 \(E\in\mathcal{I}\)에 대해$$E=G\cup N\,(G\in\mathcal{B}(X),\,\overline{\mu}(N)=0)$$로 나타낼 수 있고, 다음의 식에 의해 \(\overline{\mu}(E)=\mu(G)\)이다.$$\begin{align*}\overline{\mu}(E)=\mu(G)&=\sup\{\mu(K)\,|\,K\subset G,\,K\,\text{compact}\}\\&\leq\sup\{\mu(K)\,|\,K\subset E,\,K\,\text{compact}\}\\&\leq\overline{\mu}(E)\end{align*}$$또한 위의 식으로부터 다음의 정리를 얻는다.

정리 0.22 \(X\)를 완비 가분 거리공간, \((X,\,\mathcal{I},\,\mu)\)를 \((X,\,\mathcal{B}(X),\,\mu)\)의 완비화라 하자. 그러면 임의의 \(E\in\mathcal{I}\)에 대해 다음이 성립한다.$$\mu(E)=\sup\{\mu(K)\,|\,K\subset E\,\text{compact}\}$$\((X,\,\mathcal{A},\,\mu)\)를 측도공간, \((Y,\,\mathcal{E})\)를 가측공간, \(g:X\,\rightarrow\,Y\)를 \(\mathcal{A}-\mathcal{E}\)가측함수라 하자. 모든 \(E\in\mathcal{E}\)에 대해 집합함수 \(\mu\circ g^{-1}\)를 다음과 같이 정의하면 이 집합함수는 측도이고, \(\mu\)의 상측도(image measure)라고 한다.$$(\mu\circ g^{-1})[E]=\mu(g^{-1}[E])$$실수 \(\mathbb{R}\)에 \(\{-\infty,\,\infty\}\)를 추가한 수의 집합을 확장 실수계(extended real number system)라 하고, 다음과 같이 나타낸다.$$\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty,\,\infty\}$$정리 0.23(변수변환정리) \((X,\,\mathcal{A},\,\mu)\)를 측도공간, \((Y,\,\mathcal{E})\)를 가측공간, \(g:X\,\rightarrow\,Y\)를 \(\mathcal{A}-\mathcal{E}\)가측함수, \(f:Y\,\rightarrow\,\overline{\mathbb{R}}\)를 \(\mathcal{E}-\)가측함수라 하자. 그러면 \(f\)가 상측도 \(\mu\circ g^{-1}\)에 대해 적분가능할 필요충분조건은 \(f\circ g\)가 \(\mu-\)적분가능한 것이고, 이 경우 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{Y}{f(y)d(\mu\circ g^{-1})(y)}=\int_{X}{f(g(x))d\mu(x)}$$다음의 적분공식들은 위너적분, 파인만적분에서 자주 사용되는 등식이다.$$\begin{align*}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-a^{2}v^{2}}dv}&=\frac{\sqrt{\pi}}{a}\\ \int_{-\infty}^{\infty}{v^{2}e^{-a^{2}v^{2}}dv}&=\frac{\sqrt{\pi}}{2a^{3}}\\ \int_{-\infty}^{\infty}{v^{4}e^{-a^{2}v^{2}}dv}&=\frac{3\sqrt{\pi}}{2^{2}a^{5}}\\ \int_{-\infty}^{\infty}{v^{2k}e^{-a^{2}v^{2}}dv}&=\frac{(2k-1)!!\sqrt{\pi}}{2^{k}a^{2k+1}}\,(k\in\mathbb{N})\end{align*}$$여기서 다음이 성립한다.$$\begin{align*}(2k-1)!!&=(2k-1)(2k-3)(2k-5)\cdots5\cdot3\cdot1\\&\int_{-\infty}^{\infty}{v^{2k+1}e^{-a^{2}v^{2}}dv}=0\,(k\in\mathbb{N}\cup\{0\})\end{align*}$$\(f\)가 가측함수일 때 다음과 같이 정의된 함수 \(g\)를 \(f\)의 절단(truncation)이라고 한다.$$g(x)=\begin{cases}f(x)&\,(r_{1}<|f(x)|\leq r_{2})\\0&\,(\text{otherwise})\end{cases}$$\((M,\,\mathcal{M},\,\mu)\), \((N,\,\mathcal{N},\,\nu)\)를 측도공간, \(D\), \(E\)를 각각 \(M\), \(N\)위에서 정의된 가측함수들의 선형공간이라 하자. \(T:D\,\rightarrow\,E\)를 다음의 조건들을 만족하는 작용소라고 하고

(i) \(D\)는 유한측도를 갖는 집합 위에서 정의된 모든 특성함수들을 포함한다.  

(ii) \(f\in D\)이고 \(g\)가 \(f\)의 절단이면, \(g\in D\)이다.  

모든 \(f\in D\cap L_{p}(M)\)에 대해 다음의 식을 만족하는 상수 \(k>0\)가 존재하면$$\left(\int_{N}{|T(f)|^{q}d\nu}\right)^{\frac{1}{q}}=\|T(f)\|_{q}\leq k\|f\|_{p}=k\left(\int_{M}{|f|^{p}d\mu}\right)^{\frac{1}{p}}$$\(T\)를 \((p,\,q)-\)형이라고 한다. 위의 부등식을 만족하는 \(k\)중 가장 작은 \(k\)를 \(T\)의 \((p,\,q)-\)노름이라고 한다. 

리즈 볼록성 정리(Riesz convexity theorem) \(i=0,\,1\)일 때 선형작용소 \(T\)가 \((p_{i},\,q_{i})-\)형이고, \((p_{i},\,q_{i})-\)노름 \(k_{i}\)를 갖는다고 하자. \(0\leq t\leq 1\)에 대해$$\frac{1}{p_{t}}=\frac{1-t}{p_{0}}+\frac{t}{p_{1}},\,\frac{1}{q_{t}}=\frac{1-t}{q_{0}}+\frac{t}{q_{1}}$$라고 하면, \(T\)는 \((p_{t},\,q_{t})-\)형이고 \((p_{t},\,q_{t})-\)노름 \(k_{t}\)는 다음의 부등식을 만족한다.$$k_{t}\leq k_{0}^{1-t}k_{1}^{t}$$(\(p_{0},\,p_{1},\,q_{0},\,q_{1}\)이 \(\infty\)(무한대)인 경우는 \(\displaystyle\frac{1}{\infty}=0\)으로 정의한다)

참고자료:

위너 적분론, 장건수, 민음사