1-3 위너적분(2)

1-3 위너적분(2)

$X=\{X(t,\,\cdot)\,|\,t\in D\}$를 확률과정이라고 하자. $X$의 평균함수 $m(t)$와 공분산함수 $v(s,\,t)$는 다음과 같이 정의한다. $$\begin{align*}m(t)&=E(X(t,\,\cdot))\\v(s,\,t)&=E(\{X(s,\,\cdot)-E(X(s,\,\cdot))\}\{X(t,\,\cdot)-E(X(t,\,\cdot))\})\end{align*}$$ 정의 1.21 다음과 같이 정의되는 함수 $W:[a,\,b]\times C_{0}([a,\,b])\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 위너과정(Wiener process)이라고 하고, 모든 $(t,\,x)\in[a,\,b]\times C_{0}([a,\,b])$에 대해 다음과 같이 나타낸다. $$W(t,\,x)=x(t)$$ 따라서 위너과정의 표본공간(sample space)과 표본함수(sample function)들의 공간은 일치한다. 

성질 1.22 위너과정 $W$는 다음의 조건들을 만족하는 연속확률과정이다. 

(1) 모든 $t\in[a,\,b]$에 대해 $m(t)=0$이다. 

(2) 모든 $t\in[a,\,b]$에 대해 $\text{Var}(W(t,\,\cdot))=t-a$이다.

(3) 모든 $s,\,t\in[a,\,b]$에 대해 $v(s,\,t)=\min\{s,\,t\}-a$이다.

증명: 

(1): 등식 $\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}{x(t)d\mathfrak{m}(x)}=0$으로부터 성립한다.  

(2): 등식 $\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}{\{x(t)\}^{2}d\mathfrak{m}(x)}=t-a$로부터 성립한다.  

(3): 등식 $\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}{x(t_{1})x(t_{2})d\mathfrak{m}(x)}=\min\{t_{1},\,t_{2}\}-a$로부터 성립한다. 

$X$, $Y$가 위상공간, $\mathcal{B}(X)$, $\mathcal{B}(Y)$, $\mathcal{B}(X\times Y)$를 각각 $X$, $Y$, $X\times Y$의 보렐 $\sigma-$대수라 하고, $\mathcal{B}(X)\otimes\mathcal{B}(Y)$를 다음과 같이 정의한다. $$\mathcal{B}(X)\otimes\mathcal{B}(Y)=\sigma(\{E\times F\,|\,E\in\mathcal{B}(X),\,F\in\mathcal{B}(Y)\})$$ 보조정리 1.23 $X,\,Y$를 위상공간이라고 하면 $\mathcal{B}(X)\otimes\mathcal{B}(Y)\subset\mathcal{B}(X\times Y)$이다. 

증명: $\pi_{1}:X\times Y\,\rightarrow\,X$, $\pi_{2}:X\times Y\,\rightarrow\,Y$라 하자. 그러면 $\pi_{1},\,\pi_{2}$는 연속함수이므로 보렐 가측함수이다.

$E\in\mathcal{B}(X)$, $F\in\mathcal{B}(Y)$라 하자. 그러면 $$\pi_{1}^{-1}[E]=E\times Y,\,\pi_{2}^{-1}[E]=X\times F\in\mathcal{B}(X\times Y)$$ 이고, $\mathcal{B}(X)\otimes\mathcal{B}(Y)$는 $E\times F$를 포함하는 가장 작은 $\sigma-$대수이므로 결론이 성립한다. 

보조정리 1.24 $X,\,Y$가 제2가산 위상공간이라고 하면 $\mathcal{B}(X)\otimes\mathcal{B}(Y)=\mathcal{B}(X\times Y)$이다. 

증명: $\{U_{1},\,U_{2},\,...\}$, $\{V_{1},\,V_{2},\,...\}$를 각각 $X$와 $Y$의 가산기저라 하자. 그러면 $\{U_{i}\times V_{j}\,|\,i,\,j=1,\,2,\,...\}$는 $X\times Y$의 적위상의 기저이고 따라서 다음이 성립한다. $$\begin{align*}\mathcal{B}(X\times Y)&=\sigma(\{G\,|\,G\subset X\times Y\,\text{open}\})\\&\subset\sigma(\{U_{i}\times V_{j}\,|\,i,\,j=1,\,2\,...\})\\&\subset\sigma(\{E\times F\,|\,E\in\mathcal{B}(X),\,F\in\mathcal{B}(Y)\})\\&=\mathcal{B}(X)\otimes\mathcal{B}(Y)\end{align*}$$ 여기서 위의 첫 포함관계는 $\{U_{i}\times V_{j}\,|\,i,\,j=1,\,2,\,...\}$가 $X\times Y$가 적위상의 기저이므로 임의의 열린부분집합 $G$는 $U_{i}\times V_{j}$들의 가산합집합으로 표현된다는 사실로부터 성립하고, 보조정리 2.18과 위의 결과로부터 결론이 성립한다. 

가분거리공간은 제2가산 위상공간이므로 다음의 따름정리를 얻는다. 

따름정리 1.25 $X,\,Y$가 가분거리공간이면, $\mathcal{B}(X)\otimes\mathcal{B}(Y)=\mathcal{B}(X\times Y)$이다. 

위의 결과를 이용하여 다음의 위너적분을 계산할 수 있다. 

성질 1.26 함수 $F:C_{0}([a,\,b])\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 $\displaystyle F(x)=\|x\|_{2}^{2}=\int_{a}^{b}{\{x(t)\}^{2}dt}$로 정의하면, $F$는 위너적분 가능하고 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}=\frac{1}{2}(b-a)^{2}$$ 증명: 함수 $G:C_{0}([a,\,b])\times[a,\,b]\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 $G(x,\,t)=\{x(t)\}^{2}$으로 정의하면 $G$는 연속함수이므로 $\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b])\times[a,\,b])-$가측이다. $C_{0}([a,\,b])$와 $[a,\,b]$는 가분거리공간이므로 따름정리 1.25에 의해 $\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b])\times[a,\,b])=\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]))\otimes\mathcal{B}([a,\,b])$이고, $G$는 $\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]))\otimes[a,\,b]-$가측이므로 $G$는 위너×르베그 가측이다. 토넬리 정리로부터 다음의 식을 얻는다. $$\begin{align*}\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{\|x\|_{2}^{2}d\mathfrak{m}(x)}\\&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{\left\{\int_{a}^{b}{\{x(t)\}^{2}dt}\right\}d\mathfrak{m}(x)}\\&=\int_{a}^{b}{\left\{\int_{C_{0}([a,\,b])}{\{x(t)\}^{2}d\mathfrak{m}(x)}\right\}dt}\\&=\int_{a}^{b}{(t-a)dt}\\&=\frac{1}{2}(b-a)^{2}\end{align*}$$ 성질 1.27 $\theta:[a,\,b]\times\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 유계 연속함수, $\rho>0$, $\xi>0$, $F:C_{0}([a,\,b])\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 $\displaystyle F(x)=\int_{a}^{b}{\theta(t,\,\rho x(t)+\xi)dt}로 정의하면, \(F$는 위너적분 가능하고 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}=\int_{a}^{b}{\int_{\mathbb{R}}{\theta(t,\,\rho u+\xi)W_{1}(t,\,u)du}dt}$$ 증명: $G(x,\,t)=\theta(t,\,\rho x(t)+\xi)$라고 하면 $\theta$는 연속함수이므로 $G$도 연속함수이고 따라서 $\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]))\otimes\mathcal{B}([a,\,b])-$가츠기고 위너×르베그 가측이다. 토넬리 정리와 위너적분의 정의로부터 다음의 등식을 얻는다. $$\begin{align*}\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{\int_{a}^{b}{\theta(t,\,\rho x(t)+\xi)dt}d\mathfrak{m}(x)}\\&=\int_{a}^{b}{\int_{C_{0}([a,\,b])}{\theta(t,\,\rho x(t)+\xi)d\mathfrak{m}(x)}dt}\\&=\int_{a}^{b}{\int_{\mathbb{R}}{\theta(t,\,\rho u+\xi)W_{1}du}dt}\end{align*}$$ 정리 1.28 

(1) $a\leq t_{1}<t_{2}\leq b$일 때, 확률변수 $X$를 $X(x)=x(t_{2})-x(t_{1})$로 정의하면, $X\,\sim\,N(0,\,t_{2}-t_{1})$이다. 

(2) $a=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}=b$일 때, 확률변수 $X_{j}\,(j=1,\,...,\,n)$를 $X_{j}(x)=x(t_{j})-x(t_{j-1})$로 정의하면 $X_{j}$는 서로 독립이다. 

증명: 

(1): 임의의 보렐집합 $B\subset\mathbb{R}$에 대해 다음의 식이 성립함을 보이면 된다. $$\begin{align*}\mu_{X}(B)&=(\mathfrak{m}\circ X^{-1})[B]=\mathfrak{m}(\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,x(t_{2})-x(t_{1})\in B\})\\&=\int_{B}{\frac{1}{\sqrt{2\pi(t_{2}-t_{1})}}e^{-\frac{u^{2}}{2(t_{2}-t_{1})}}du}\end{align*}$$ 다음의 식이 성립하고 $$\begin{align*}\mu_{X}(B)&=\mathfrak{m}(\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,x(t_{2})-x(t_{1})\in B\})\\&=\mathfrak{m}(\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,(x(t_{1}),\,x(t_{2}))\in E\})\\&=\mathfrak{m}(J_{\vec{t}}(E))\end{align*}$$ 여기서 $\vec{t}=(t_{1},\,t_{2})$, $E=\{(u_{1},\,u_{2})\in\mathbb{R}^{2}\,|\,(x(t_{1}),\,x(t_{2}))\in E$이다. 정리 1.14로부터 다음의 등식이 성립한다. $$\mathfrak{m}(J_{\vec{t}}(E))=\int_{E}{W_{2}(\vec{t},\,\vec{u})d\vec{u}}\,(\vec{u}=(u_{1},\,u_{2}))$$ 변수변환 $v_{1}=u_{1}$, $v_{2}=u_{2}-u_{1}$의 야코비안은 1이고 $E$를 $\mathbb{R}\times B$로 사상한다. $$\begin{align*}\mathfrak{m}(J_{\vec{t}}(E))&=\int_{B}{\int_{\mathbb{R}}{\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{2}(t_{2}-t_{1})(t_{1}-a)}}e^{-\frac{v_{1}^{2}}{2(t_{1}-a)}-\frac{v_{2}^{2}}{2(t_{2}-t_{1})}}dv_{1}}dv_{2}}\\&=\int_{B}{\frac{1}{\sqrt{2\pi(t_{2}-t_{1})}}e^{-\frac{v_{2}^{2}}{2(t_{2}-t_{1})}}dv_{2}}\end{align*}$$ 이고 위의 식과 $\mu_{X}(B)$에 대한 식으로부터 (1)이 성립한다.

(2): 각 $B_{i}\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\,(i=1,\,...,\,n)$에 대해 다음의 식이 성립함을 보이면 된다. $$\mu_{(X_{1},\,...,\,X_{n})}\left(\prod_{i=1}^{n}{B_{i}}\right)=(\mu_{X_{1}}\times\cdots\times\mu_{X_{n}})\left(\prod_{i=1}^{n}{B_{i}}\right)$$ 다음의 식이 성립하고 $$\begin{align*}&\mu_{(X_{1},\,...,\,X_{n})}\left(\prod_{i=1}^{n}{B_{i}}\right)\\&=\mathfrak{m}(\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,x(t_{i})-x(t_{i-1})\in B_{i},\,i=1,\,...,\,n\})\\&=\mathfrak{m}(\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,(X(t_{1}),\,...,\,X(t_{n}))\in E\})\\&=\mathfrak{m}(J_{\vec{t}}(E))\end{align*}$$ 여기서 $\vec{t}=(t_{1},\,...,\,n)$, $E=\{(u_{1},\,...,\,u_{n})\in\mathbb{R}^{n}\,|\,u_{i}-u_{i-1}\in B_{i},\,i=1,\,...,\,n\}$ 정리 1.14로부터 다음이 성립하고 $$\mathfrak{m}(J_{\vec{t}}(E))=\int_{E}{W_{2}(\vec{t},\,\vec{u})d\vec{u}}\,(\vec{u}=(u_{1},\,u_{2}))$$ 변수변환 $v_{i}=u_{i}-u_{i-1}\,(i=1,\,...,\,n)$는 야코비안이 1이고 $E$를 $B_{1}\times\cdots\times B_{n}$으로 사상하므로 다음이 성립한다. $$\begin{align*}\mathfrak{m}(J_{\vec{t}}(E))&=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}(t_{1}-t_{0})\cdots(t_{n}-t_{n-1})}}\int_{\Pi B_{i}}{e^{\displaystyle\tiny-\sum_{i=1}^{n}{\frac{v_{i}^{2}}{2(t_{i}-t_{i-1})}}}d\vec{v}}\,(\vec{v}=(v_{1},\,...,\,v_{n}))\\&=\prod_{i=1}^{n}{\mathfrak{m}(\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,x(t_{i})-x(t_{i-1})\in B_{i},\,i=1,\,...,\,n\})}\\&=\left(\prod_{i=1}^{n}{\mu_{X_{i}}}\right)\left(\prod_{i=1}^{n}{B_{i}}\right)\end{align*}$$ 여기서 위의 두 번째 등식은 $X_{i}\,\sim\,N(0,\,t_{i}-t_{i-1})$로부터 얻는다.

따름정리 1. 29 위너과정 $X(t,\,x)=x(t)$는 브라운 운동과정이다. 

성질 1.30 $a\leq t_{1}<t_{2}\leq b$라 하자. 

(1) $p$가 홀수일 때 다음의 등식을 얻는다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{\{x(t_{2})-x(t_{1})\}^{p}d\mathfrak{m}(x)}=0$$ (2) $p$가 짝수일 때 다음의 등식을 얻는다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{|x(t_{2})-x(t_{1})|^{p}d\mathfrak{m}(x)}=\sqrt{\frac{2^{p}}{\pi}(t_{2}-t_{1})^{p}}\Gamma\left(\frac{p+1}{2}\right)$$ 증명: $X(x)=x(t_{2})-x(t_{1})$라 하자. 정리 1.28에 의해 $X\,\sim\,N(0,\,t_{2}-t_{1})$이다. 

(1): $p$가 홀수인 경우는 다음의 등식으로부터 성립한다. $$\begin{align*}\int_{C_{0}([a,\,b])}{\{X(x)\}^{p}d\mathfrak{m}(x)}&=\int_{\mathbb{R}}{u^{p}d\mu_{X}(x)}\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi(t_{2}-t_{1})}}\int_{\mathbb{R}}{u^{p}e^{\frac{u^{2}}{2(t_{2}-t_{1})}}du}\end{align*}$$ (2) $p$가 짝수인 경우는 다음의 등식으로부터 성립한다. $$\begin{align*}\int_{C_{0}([a,\,b])}{|X(x)|^{p}d\mathfrak{m}(x)}&=\int_{\mathbb{R}}{|u|^{p}d\mu_{X}(x)}\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi(t_{2}-t_{1})}}\int_{\mathbb{R}}{|u|^{p}e^{-\frac{u^{2}}{2(t_{2}-t_{1})}}du}\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi(t_{2}-t_{1})}}2\int_{0}^{\infty}{u^{p}e^{-\frac{u^{2}}{2(t_{2}-t_{1})}}du}\\&=\sqrt{\frac{2}{\pi}(t_{2}-t_{1})^{p}}\int_{0}^{\infty}{v^{p}e^{-\frac{v^{2}}{2}}dv}\\&=\sqrt{\frac{2^{p}}{\pi}(t_{2}-t_{1})^{p}}\Gamma\left(\frac{p+1}{2}\right)\end{align*}$$ 성질 1.31 $a\leq t\leq b$라 하자. 

(1) $p$가 홀수이면 다음의 등식을 얻는다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{\left(\int_{a}^{b}{\{x(t)\}^{p}dt}\right)d\mathfrak{m}(x)}=0$$ (2) $p$가 짝수이면 다음의 등식을 얻는다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{\left(\int_{a}^{b}{|x(t)|^{p}dt}\right)d\mathfrak{m}(x)}=\sqrt{\frac{2^{p+2}}{\pi}}\frac{1}{p+2}\Gamma\left(\frac{p+1}{2}\right)(b-a)^{\frac{p}{2}+1}$$ 증명: 푸비니 정리와 성질 1.30에 의해

(1): $p$가 홀수일 때 다음의 등식을 얻는다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{\left(\int_{a}^{b}{\{x(t)\}^{p}dt}\right)d\mathfrak{m}(x)}=\int_{a}^{b}{\left(\int_{C_{0}([a,\,b])}{\{x(t)\}^{p}d\mathfrak{m}(x)}\right)dt}=0$$ (2): $p$가 짝수일 때 다음의 등식을 얻는다. $$\begin{align*}\int_{C_{0}([a,\,b])}{\left\{\int_{a}^{b}{|x(t)|^{p}dt}\right\}d\mathfrak{m}(x)}&=\int_{a}^{b}{\left\{\int_{C_{0}([a,\,b])}{|x(t)|^{p}d\mathfrak{m}(x)}\right\}dt}\\&=\sqrt{\frac{2^{p}}{\pi}}\Gamma\left(\frac{p+1}{2}\right)\int_{a}^{b}{(t-a)^{\frac{p}{2}}dt}\\&=\sqrt{\frac{2^{p+2}}{\pi}}\Gamma\left(\frac{p+1}{2}\right)\frac{1}{p+2}(b-a)^{\frac{p}{2}+1}\end{align*}$$

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford

위너 적분론, 장건수, 민음사