1-3 위너적분(2)

1-3 위너적분(2)

\(X=\{X(t,\,\cdot)\,|\,t\in D\}\)를 확률과정이라고 하자. \(X\)의 평균함수 \(m(t)\)와 공분산함수 \(v(s,\,t)\)는 다음과 같이 정의한다.$$\begin{align*}m(t)&=E(X(t,\,\cdot))\\v(s,\,t)&=E(\{X(s,\,\cdot)-E(X(s,\,\cdot))\}\{X(t,\,\cdot)-E(X(t,\,\cdot))\})\end{align*}$$정의 1.21 다음과 같이 정의되는 함수 \(W:[a,\,b]\times C_{0}([a,\,b])\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 위너과정(Wiener process)이라고 하고, 모든 \((t,\,x)\in[a,\,b]\times C_{0}([a,\,b])\)에 대해 다음과 같이 나타낸다.$$W(t,\,x)=x(t)$$따라서 위너과정의 표본공간(sample space)과 표본함수(sample function)들의 공간은 일치한다. 

성질 1.22 위너과정 \(W\)는 다음의 조건들을 만족하는 연속확률과정이다. 

(1) 모든 \(t\in[a,\,b]\)에 대해 \(m(t)=0\)이다. 

(2) 모든 \(t\in[a,\,b]\)에 대해 \(\text{Var}(W(t,\,\cdot))=t-a\)이다.

(3) 모든 \(s,\,t\in[a,\,b]\)에 대해 \(v(s,\,t)=\min\{s,\,t\}-a\)이다.

증명: 

(1): 등식 \(\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}{x(t)d\mathfrak{m}(x)}=0\)으로부터 성립한다.  

(2): 등식 \(\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}{\{x(t)\}^{2}d\mathfrak{m}(x)}=t-a\)로부터 성립한다.  

(3): 등식 \(\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}{x(t_{1})x(t_{2})d\mathfrak{m}(x)}=\min\{t_{1},\,t_{2}\}-a\)로부터 성립한다. 

\(X\), \(Y\)가 위상공간, \(\mathcal{B}(X)\), \(\mathcal{B}(Y)\), \(\mathcal{B}(X\times Y)\)를 각각 \(X\), \(Y\), \(X\times Y\)의 보렐 \(\sigma-\)대수라 하고, \(\mathcal{B}(X)\otimes\mathcal{B}(Y)\)를 다음과 같이 정의한다.$$\mathcal{B}(X)\otimes\mathcal{B}(Y)=\sigma(\{E\times F\,|\,E\in\mathcal{B}(X),\,F\in\mathcal{B}(Y)\})$$보조정리 1.23 \(X,\,Y\)를 위상공간이라고 하면 \(\mathcal{B}(X)\otimes\mathcal{B}(Y)\subset\mathcal{B}(X\times Y)\)이다. 

증명: \(\pi_{1}:X\times Y\,\rightarrow\,X\), \(\pi_{2}:X\times Y\,\rightarrow\,Y\)라 하자. 그러면 \(\pi_{1},\,\pi_{2}\)는 연속함수이므로 보렐 가측함수이다.

\(E\in\mathcal{B}(X)\), \(F\in\mathcal{B}(Y)\)라 하자. 그러면$$\pi_{1}^{-1}[E]=E\times Y,\,\pi_{2}^{-1}[E]=X\times F\in\mathcal{B}(X\times Y)$$이고, \(\mathcal{B}(X)\otimes\mathcal{B}(Y)\)는 \(E\times F\)를 포함하는 가장 작은 \(\sigma-\)대수이므로 결론이 성립한다. 

보조정리 1.24 \(X,\,Y\)가 제2가산 위상공간이라고 하면 \(\mathcal{B}(X)\otimes\mathcal{B}(Y)=\mathcal{B}(X\times Y)\)이다. 

증명: \(\{U_{1},\,U_{2},\,...\}\), \(\{V_{1},\,V_{2},\,...\}\)를 각각 \(X\)와 \(Y\)의 가산기저라 하자. 그러면 \(\{U_{i}\times V_{j}\,|\,i,\,j=1,\,2,\,...\}\)는 \(X\times Y\)의 적위상의 기저이고 따라서 다음이 성립한다.$$\begin{align*}\mathcal{B}(X\times Y)&=\sigma(\{G\,|\,G\subset X\times Y\,\text{open}\})\\&\subset\sigma(\{U_{i}\times V_{j}\,|\,i,\,j=1,\,2\,...\})\\&\subset\sigma(\{E\times F\,|\,E\in\mathcal{B}(X),\,F\in\mathcal{B}(Y)\})\\&=\mathcal{B}(X)\otimes\mathcal{B}(Y)\end{align*}$$여기서 위의 첫 포함관계는 \(\{U_{i}\times V_{j}\,|\,i,\,j=1,\,2,\,...\}\)가 \(X\times Y\)가 적위상의 기저이므로 임의의 열린부분집합 \(G\)는 \(U_{i}\times V_{j}\)들의 가산합집합으로 표현된다는 사실로부터 성립하고, 보조정리 2.18과 위의 결과로부터 결론이 성립한다. 

가분거리공간은 제2가산 위상공간이므로 다음의 따름정리를 얻는다. 

따름정리 1.25 \(X,\,Y\)가 가분거리공간이면, \(\mathcal{B}(X)\otimes\mathcal{B}(Y)=\mathcal{B}(X\times Y)\)이다. 

위의 결과를 이용하여 다음의 위너적분을 계산할 수 있다. 

성질 1.26 함수 \(F:C_{0}([a,\,b])\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 \(\displaystyle F(x)=\|x\|_{2}^{2}=\int_{a}^{b}{\{x(t)\}^{2}dt}\)로 정의하면, \(F\)는 위너적분 가능하고 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}=\frac{1}{2}(b-a)^{2}$$증명: 함수 \(G:C_{0}([a,\,b])\times[a,\,b]\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 \(G(x,\,t)=\{x(t)\}^{2}\)으로 정의하면 \(G\)는 연속함수이므로 \(\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b])\times[a,\,b])-\)가측이다. \(C_{0}([a,\,b])\)와 \([a,\,b]\)는 가분거리공간이므로 따름정리 1.25에 의해 \(\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b])\times[a,\,b])=\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]))\otimes\mathcal{B}([a,\,b])\)이고, \(G\)는 \(\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]))\otimes[a,\,b]-\)가측이므로 \(G\)는 위너×르베그 가측이다. 토넬리 정리로부터 다음의 식을 얻는다.$$\begin{align*}\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{\|x\|_{2}^{2}d\mathfrak{m}(x)}\\&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{\left\{\int_{a}^{b}{\{x(t)\}^{2}dt}\right\}d\mathfrak{m}(x)}\\&=\int_{a}^{b}{\left\{\int_{C_{0}([a,\,b])}{\{x(t)\}^{2}d\mathfrak{m}(x)}\right\}dt}\\&=\int_{a}^{b}{(t-a)dt}\\&=\frac{1}{2}(b-a)^{2}\end{align*}$$성질 1.27 \(\theta:[a,\,b]\times\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 유계 연속함수, \(\rho>0\), \(\xi>0\), \(F:C_{0}([a,\,b])\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 \(\displaystyle F(x)=\int_{a}^{b}{\theta(t,\,\rho x(t)+\xi)dt}로 정의하면, \(F\)는 위너적분 가능하고 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}=\int_{a}^{b}{\int_{\mathbb{R}}{\theta(t,\,\rho u+\xi)W_{1}(t,\,u)du}dt}$$증명: \(G(x,\,t)=\theta(t,\,\rho x(t)+\xi)\)라고 하면 \(\theta\)는 연속함수이므로 \(G\)도 연속함수이고 따라서 \(\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]))\otimes\mathcal{B}([a,\,b])-\)가츠기고 위너×르베그 가측이다. 토넬리 정리와 위너적분의 정의로부터 다음의 등식을 얻는다.$$\begin{align*}\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{\int_{a}^{b}{\theta(t,\,\rho x(t)+\xi)dt}d\mathfrak{m}(x)}\\&=\int_{a}^{b}{\int_{C_{0}([a,\,b])}{\theta(t,\,\rho x(t)+\xi)d\mathfrak{m}(x)}dt}\\&=\int_{a}^{b}{\int_{\mathbb{R}}{\theta(t,\,\rho u+\xi)W_{1}du}dt}\end{align*}$$정리 1.28 

(1) \(a\leq t_{1}<t_{2}\leq b\)일 때, 확률변수 \(X\)를 \(X(x)=x(t_{2})-x(t_{1})\)로 정의하면, \(X\,\sim\,N(0,\,t_{2}-t_{1})\)이다. 

(2) \(a=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}=b\)일 때, 확률변수 \(X_{j}\,(j=1,\,...,\,n)\)를 \(X_{j}(x)=x(t_{j})-x(t_{j-1})\)로 정의하면 \(X_{j}\)는 서로 독립이다. 

증명: 

(1): 임의의 보렐집합 \(B\subset\mathbb{R}\)에 대해 다음의 식이 성립함을 보이면 된다.$$\begin{align*}\mu_{X}(B)&=(\mathfrak{m}\circ X^{-1})[B]=\mathfrak{m}(\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,x(t_{2})-x(t_{1})\in B\})\\&=\int_{B}{\frac{1}{\sqrt{2\pi(t_{2}-t_{1})}}e^{-\frac{u^{2}}{2(t_{2}-t_{1})}}du}\end{align*}$$다음의 식이 성립하고$$\begin{align*}\mu_{X}(B)&=\mathfrak{m}(\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,x(t_{2})-x(t_{1})\in B\})\\&=\mathfrak{m}(\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,(x(t_{1}),\,x(t_{2}))\in E\})\\&=\mathfrak{m}(J_{\vec{t}}(E))\end{align*}$$여기서 \(\vec{t}=(t_{1},\,t_{2})\), \(E=\{(u_{1},\,u_{2})\in\mathbb{R}^{2}\,|\,(x(t_{1}),\,x(t_{2}))\in E\)이다. 정리 1.14로부터 다음의 등식이 성립한다.$$\mathfrak{m}(J_{\vec{t}}(E))=\int_{E}{W_{2}(\vec{t},\,\vec{u})d\vec{u}}\,(\vec{u}=(u_{1},\,u_{2}))$$변수변환 \(v_{1}=u_{1}\), \(v_{2}=u_{2}-u_{1}\)의 야코비안은 1이고 \(E\)를 \(\mathbb{R}\times B\)로 사상한다.$$\begin{align*}\mathfrak{m}(J_{\vec{t}}(E))&=\int_{B}{\int_{\mathbb{R}}{\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{2}(t_{2}-t_{1})(t_{1}-a)}}e^{-\frac{v_{1}^{2}}{2(t_{1}-a)}-\frac{v_{2}^{2}}{2(t_{2}-t_{1})}}dv_{1}}dv_{2}}\\&=\int_{B}{\frac{1}{\sqrt{2\pi(t_{2}-t_{1})}}e^{-\frac{v_{2}^{2}}{2(t_{2}-t_{1})}}dv_{2}}\end{align*}$$이고 위의 식과 \(\mu_{X}(B)\)에 대한 식으로부터 (1)이 성립한다.

(2): 각 \(B_{i}\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\,(i=1,\,...,\,n)\)에 대해 다음의 식이 성립함을 보이면 된다.$$\mu_{(X_{1},\,...,\,X_{n})}\left(\prod_{i=1}^{n}{B_{i}}\right)=(\mu_{X_{1}}\times\cdots\times\mu_{X_{n}})\left(\prod_{i=1}^{n}{B_{i}}\right)$$다음의 식이 성립하고$$\begin{align*}&\mu_{(X_{1},\,...,\,X_{n})}\left(\prod_{i=1}^{n}{B_{i}}\right)\\&=\mathfrak{m}(\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,x(t_{i})-x(t_{i-1})\in B_{i},\,i=1,\,...,\,n\})\\&=\mathfrak{m}(\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,(X(t_{1}),\,...,\,X(t_{n}))\in E\})\\&=\mathfrak{m}(J_{\vec{t}}(E))\end{align*}$$여기서 \(\vec{t}=(t_{1},\,...,\,n)\), \(E=\{(u_{1},\,...,\,u_{n})\in\mathbb{R}^{n}\,|\,u_{i}-u_{i-1}\in B_{i},\,i=1,\,...,\,n\}\) 정리 1.14로부터 다음이 성립하고$$\mathfrak{m}(J_{\vec{t}}(E))=\int_{E}{W_{2}(\vec{t},\,\vec{u})d\vec{u}}\,(\vec{u}=(u_{1},\,u_{2}))$$변수변환 \(v_{i}=u_{i}-u_{i-1}\,(i=1,\,...,\,n)\)는 야코비안이 1이고 \(E\)를 \(B_{1}\times\cdots\times B_{n}\)으로 사상하므로 다음이 성립한다.$$\begin{align*}\mathfrak{m}(J_{\vec{t}}(E))&=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}(t_{1}-t_{0})\cdots(t_{n}-t_{n-1})}}\int_{\Pi B_{i}}{e^{\displaystyle\tiny-\sum_{i=1}^{n}{\frac{v_{i}^{2}}{2(t_{i}-t_{i-1})}}}d\vec{v}}\,(\vec{v}=(v_{1},\,...,\,v_{n}))\\&=\prod_{i=1}^{n}{\mathfrak{m}(\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,x(t_{i})-x(t_{i-1})\in B_{i},\,i=1,\,...,\,n\})}\\&=\left(\prod_{i=1}^{n}{\mu_{X_{i}}}\right)\left(\prod_{i=1}^{n}{B_{i}}\right)\end{align*}$$여기서 위의 두 번째 등식은 \(X_{i}\,\sim\,N(0,\,t_{i}-t_{i-1})\)로부터 얻는다.

따름정리 1. 29 위너과정 \(X(t,\,x)=x(t)\)는 브라운 운동과정이다. 

성질 1.30 \(a\leq t_{1}<t_{2}\leq b\)라 하자. 

(1) \(p\)가 홀수일 때 다음의 등식을 얻는다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{\{x(t_{2})-x(t_{1})\}^{p}d\mathfrak{m}(x)}=0$$(2) \(p\)가 짝수일 때 다음의 등식을 얻는다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{|x(t_{2})-x(t_{1})|^{p}d\mathfrak{m}(x)}=\sqrt{\frac{2^{p}}{\pi}(t_{2}-t_{1})^{p}}\Gamma\left(\frac{p+1}{2}\right)$$증명: \(X(x)=x(t_{2})-x(t_{1})\)라 하자. 정리 1.28에 의해 \(X\,\sim\,N(0,\,t_{2}-t_{1})\)이다. 

(1): \(p\)가 홀수인 경우는 다음의 등식으로부터 성립한다.$$\begin{align*}\int_{C_{0}([a,\,b])}{\{X(x)\}^{p}d\mathfrak{m}(x)}&=\int_{\mathbb{R}}{u^{p}d\mu_{X}(x)}\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi(t_{2}-t_{1})}}\int_{\mathbb{R}}{u^{p}e^{\frac{u^{2}}{2(t_{2}-t_{1})}}du}\end{align*}$$(2) \(p\)가 짝수인 경우는 다음의 등식으로부터 성립한다.$$\begin{align*}\int_{C_{0}([a,\,b])}{|X(x)|^{p}d\mathfrak{m}(x)}&=\int_{\mathbb{R}}{|u|^{p}d\mu_{X}(x)}\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi(t_{2}-t_{1})}}\int_{\mathbb{R}}{|u|^{p}e^{-\frac{u^{2}}{2(t_{2}-t_{1})}}du}\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi(t_{2}-t_{1})}}2\int_{0}^{\infty}{u^{p}e^{-\frac{u^{2}}{2(t_{2}-t_{1})}}du}\\&=\sqrt{\frac{2}{\pi}(t_{2}-t_{1})^{p}}\int_{0}^{\infty}{v^{p}e^{-\frac{v^{2}}{2}}dv}\\&=\sqrt{\frac{2^{p}}{\pi}(t_{2}-t_{1})^{p}}\Gamma\left(\frac{p+1}{2}\right)\end{align*}$$성질 1.31 \(a\leq t\leq b\)라 하자. 

(1) \(p\)가 홀수이면 다음의 등식을 얻는다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{\left(\int_{a}^{b}{\{x(t)\}^{p}dt}\right)d\mathfrak{m}(x)}=0$$(2) \(p\)가 짝수이면 다음의 등식을 얻는다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{\left(\int_{a}^{b}{|x(t)|^{p}dt}\right)d\mathfrak{m}(x)}=\sqrt{\frac{2^{p+2}}{\pi}}\frac{1}{p+2}\Gamma\left(\frac{p+1}{2}\right)(b-a)^{\frac{p}{2}+1}$$증명: 푸비니 정리와 성질 1.30에 의해

(1): \(p\)가 홀수일 때 다음의 등식을 얻는다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{\left(\int_{a}^{b}{\{x(t)\}^{p}dt}\right)d\mathfrak{m}(x)}=\int_{a}^{b}{\left(\int_{C_{0}([a,\,b])}{\{x(t)\}^{p}d\mathfrak{m}(x)}\right)dt}=0$$(2): \(p\)가 짝수일 때 다음의 등식을 얻는다.$$\begin{align*}\int_{C_{0}([a,\,b])}{\left\{\int_{a}^{b}{|x(t)|^{p}dt}\right\}d\mathfrak{m}(x)}&=\int_{a}^{b}{\left\{\int_{C_{0}([a,\,b])}{|x(t)|^{p}d\mathfrak{m}(x)}\right\}dt}\\&=\sqrt{\frac{2^{p}}{\pi}}\Gamma\left(\frac{p+1}{2}\right)\int_{a}^{b}{(t-a)^{\frac{p}{2}}dt}\\&=\sqrt{\frac{2^{p+2}}{\pi}}\Gamma\left(\frac{p+1}{2}\right)\frac{1}{p+2}(b-a)^{\frac{p}{2}+1}\end{align*}$$

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford

위너 적분론, 장건수, 민음사