1-5 척도불변 가측집합(1)

1-5 척도불변 가측집합(1)

\(E\)가 르베그 가측집합일 때 모든 \(a>0\)에 대해 \(aE\)는 르베그 가측이고 식 \(\lambda(aE)=a\lambda(E)\)가 성립한다. 그러나 위너측도는 이 성질을 만족하지 않는다. 

위너공간에서 척도불변성에 대한 이론을 전개하는데 필요한 정리가 있다. 

구간 \([a,\,b]\)의 분할 \(a=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{k}=b\)을 \(\Pi\)라고 하자. \(x\in C_{0}([a,\,b])\)에 대해 \(S_{\Pi}\)를 다음과 같이 정의하자.$$S_{\Pi}(x)=\sum_{j=1}^{k}{\{x(t_{j})-x(t_{j-1})\}^{2}}$$여기서 \(\Pi\)는 구간 \([a,\,b]\)를 \(k\)개의 부분구간으로 균등하게 분할한 구간이고 \(S_{k}(x)\)대신 \(S_{\Pi}(x)\)로 나타내겠다. 

거의 모든 위너곡선 \(x\in C_{0}([a,\,b])\)에 대해 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{2^{n}}(x)}=b-a\)이나 이 식을 만족하지 않는 위너곡선이 존재한다. 립쉬츠 조건(Lipschitz condition)을 만족하는 위너곡선 \(x\)에 대해서$$\begin{align*}&\sum_{j=1}^{2^{n}}{\left\{x\left(a+\frac{j(b-a)}{2^{n}}\right)-x\left(a+\frac{(j-1)(b-a)}{2^{n}}\right)\right\}^{2}}\\&\leq\sum_{j=1}^{2^{n}}{\left\{\frac{K(b-a)}{2^{n}}\right\}^{2}}=\frac{K^{2}(b-a)^{2}}{2^{n}}\end{align*}$$이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{K^{2}(b-a)^{2}}{2^{n}}}=0\)이므로 립쉬츠조건을 만족하는 위너곡선에 대해서는 \(S_{\Pi}(x)=0\)이다. 

정리 1.41 \(a.e.\,x\in C_{0}([a,\,b])\)에 대해 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{\Pi}(x)}=b-a\)이다. 

증명: 편의를 위해 \([a,\,b]=[0,\,1]\)이라 하고 다음의 등식이 성립함을 보이자.$$I_{k}=\|S_{k}-1\|_{2}^{2}=\frac{2}{k}$$여기서 \(\|\,\|_{2}\)는 \(L_{2}(C_{0}([a,\,b]))\)에서의 노름이다.    

\(k\in\mathbb{N}\)에 대해 \(\displaystyle t_{j}=\frac{j}{k}\), \(\displaystyle S_{k}(x)=\sum_{j=1}^{k}{\{x(t_{j})-x(t_{j-1})\}^{2}}\)라 하자. 그러면$$\begin{align*}I_{k}&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{\{S_{k}(x)-1\}^{2}d\mathfrak{m}(x)}\\&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{\{S_{k}(x)\}^{2}d\mathfrak{m}(x)}-2\int_{C_{0}([a,\,b])}{S_{k}(x)d\mathfrak{m}(x)+1}\end{align*}$$이고 \(\displaystyle t_{j}-t_{j-1}=\frac{1}{k}\)이므로$$\begin{align*}\int_{C_{0}([a,\,b])}{\{S_{k}(x)\}^{2}d\mathfrak{m}(x)}&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{\left\{\sum_{j=1}^{k}{\{x(t_{j})-x(t_{j-1})\}^{2}}\right\}^{2}d\mathfrak{m}(x)}\\&=\left(\frac{2\pi}{k}\right)^{-\frac{k}{2}}\int_{\mathbb{R}^{k}}{\left\{\sum_{j=1}^{k}{(u_{j}-u_{j-1})^{2}}\right\}^{2}e^{\displaystyle\tiny-\sum_{j=1}^{k}{\frac{k(u_{j}-u_{j-1})^{2}}{2}}}du_{1}\cdots du_{k}}\end{align*}$$여기서 \(u_{0}=0\)이고 \(v_{j}\)를 다음과 같이 정의하면$$v_{j}=(u_{j}-u_{j-1})\sqrt{k},\,j=1,\,...,\,k$$\(v_{j}\)의 야코비안은 \(k^{-\frac{k}{2}}\)이고, 위 식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\begin{align*}&\int_{C_{0}([a,\,b])}{\{S_{k}(x)\}^{2}d\mathfrak{m}(x)}\\&=\frac{1}{k^{2}(2\pi)^{\frac{k}{2}}}\int_{\mathbb{R}^{k}}{\left\{\sum_{j=1}^{k}{v_{j}^{2}}\right\}e^{\displaystyle\tiny-\sum_{j=1}^{k}{\frac{v_{j}^{2}}{2}}}dv_{1}\cdots dv_{k}}\\&\vdots\\&=\frac{2}{k}-1\end{align*}$$(중간 계산결과는 생략) 

\(\displaystyle I_{k}=\frac{2}{k}\)이므로 \(S_{k}\)는 1로 \(L_{2}\)수렴한다. 일반적으로 \(L_{2}\)수렴한다고 해서 a.e.수렴한다고 할 수 없으나 충분히 빠른 \(L_{2}\)수렴은 a.e.수렴하므로 빠르게 \(L_{2}\)수렴하는 부분수열을 찾는다. 즉, \(\{S_{k}\}\)의 부분수열 \(\{S_{2^{n}}\}\)을 생각하자. 그러면 \(\displaystyle\|S_{2^{n}}-1\|_{2}^{2}=\frac{2}{2^{n}}\)이고,$$E_{n}=\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,|S_{2^{n}}(x)-1|\geq2^{-\frac{n}{3}}\}$$이라고 하면 부등식 \(\mathfrak{m}(E_{n})\leq2^{-\frac{n}{3}+1}\)이 성립하는데 만약 이 부등식이 성립하지 않으면$$\begin{align*}\int_{C_{0}([a,\,b])}{|S_{2^{n}}(x)-1|^{2}d\mathfrak{m}(x)}&\geq\int_{E_{n}}{|S_{2^{n}}(x)-1|^{2}d\mathfrak{m}(x)}\\&>2^{-\frac{2n}{3}}\cdot2^{-\frac{n}{3}+1}=2^{-n+1}\end{align*}$$이고 이것은 식 \(\displaystyle\|S_{2^{n}}-1\|_{2}^{2}=\frac{2}{2^{n}}\)에 모순이다.

\(\displaystyle F_{n}=\bigcup_{k=n}^{\infty}{E_{k}}\)라고 하면 부등식 \(\mathfrak{m}(E_{n})\leq2^{-\frac{n}{3}+1}\)에 의해$$\begin{align*}\mathfrak{m}(F_{n})&\leq\sum_{k=n}^{\infty}{\mathfrak{m}(E_{k})}\leq\sum_{k=n}^{\infty}{2^{-\frac{k}{3}+1}}\\&=\frac{2}{2^{\frac{n}{3}}}\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{(\sqrt[3]{2})^{k}}}=\frac{K}{2^{\frac{n}{3}}}\end{align*}$$이다(\(K\)는 아랫 줄의 수렴하는 급수의 합이다).

이제 \(x\in C_{0}([a,\,b])-F_{n}=\bigcap_{k=n}^{\infty}{E_{k}^{c}}\)에 대해 \(E_{n}\)의 정의로부터 \(k=n,\,n+1,\,...\)에 대해 \(|S_{2^{k}}(x)-1|<2^{-\frac{k}{3}}\)이고 따라서 \(n\)이 존재해서 \(x\notin F_{n}\)이면, \(\displaystyle\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{S_{2^{k}}(x)}=1\)이므로 \(\displaystyle\mathfrak{m}\left(\bigcap_{k=1}^{\infty}{F_{k}}\right)=0\)이 됨을 보이면 된다. \(F_{n}\)의 정의에 의해 모든 \(n\)에 대해$$\mathfrak{m}\left(\bigcap_{k=1}^{\infty}{F_{k}}\right)\leq\mathfrak{m}(F_{n})\leq\frac{K}{2^{\frac{n}{3}}}$$이므로 \(\displaystyle\mathfrak{m}\left(\bigcap_{k=1}^{\infty}{F_{k}}\right)=0\)이다.

정리 1.42 \(\{\Pi_{k}\}\)가 구간 \([a,\,b]\)의 분할들의 열이고, \(\Pi_{1}\subset\Pi_{2}\subset\cdots\), \(k\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(\|\pi_{k}\|\,\rightarrow\,0\)이라 하자. 그러면 a.e. \(x\in C_{0}([a,\,b])\)에 대해 다음의 식이 성립한다.$$\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{S_{\Pi_{k}}(x)}=\lim_{k\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{j=1}^{k}{\{x(t_{j})-x(t_{j-1})\}^{2}}}=b-a$$모든 분할 \(\Pi_{k}\)에 대해 함수 \(x:[a,\,b]\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)의 \(S_{\Pi_{k}}(x)\)가 유계이면, \(x\)는 2차변동(quadratic variation)이라고 한다. \(x\)의 2차 전변동(quadratic total variation)은 다음과 같이 정의한다.$$QV(x)=\sup_{\Pi_{k}}{\{S_{\Pi_{k}}(x)\}}$$정리 1.42의 결과와 대조적으로 다음의 성질이 성립한다.

a.e. \(x\in C_{0}([a,\,b])\)에 대해 \(QV(x)=\infty\)이다.

정의 1.43 \(\sigma>0\)에 대해$$\begin{align*}\Omega_{\sigma}=\left\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{2^{n}}(x)}=\sigma^{2}(b-a)\right\}\\ \mathcal{D}=\left\{x\in C_{0}([a,\,b])\,|\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{2^{n}}(x)}\,\text{does not exist}\right\}\end{align*}$$라 하자. 여기서 \(S_{2^{n}}(x)\)는 다음과 같이 정의된다.$$S_{2^{n}}(x)=\sum_{j=1}^{2^{n}}{\left\{x\left(a+\frac{j(b-a)}{2}\right)-x\left(a+\frac{(j-1)(b-a)}{2}\right)\right\}^{2}}$$정의 1.44 \(C_{0}([a,\,b])\)의 부분집합 \(A\)가 모든 \(\sigma>0\)에 대해 \(\sigma A\in\mathcal{S}_{1}\)일 때 \(A\)를 척도불변 가측집합(scale-invariant measure)이라고 한다. 척도불변 가측집합 \(N\)이 모든 \(\sigma>0\)에 대하여 \(\mathfrak{m}(\sigma N)=0\)이면, \(N\)을 척도불변 영집합(scale-invariant null set)이라고 한다. 

여기서 척도불변 가측집합들의 집합족을 \(\mathcal{S}\), 척도불변 영집합들의 집합을 \(\mathcal{N}\)으로 나타내겠다. 

예: \(E\subset\mathbb{R}^{n}\)가 르베그 가측집합이면, \(J_{\vec{t}}(E)\)는 위너 가측집합이다. 모든 \(\sigma>0\)에 대해 \(\sigma J_{\vec{t}}(E)=J_{\vec{t}}(\sigma E)\)이고 \(\sigma E\)는 르베그 가측이므로 \(J_{\vec{t}}\)는 위너 가측이다. 따라서 \(J_{\vec{t}}(E)\)는 척도불변 가측집합이다. 

어떤 성질 \(P\)가 척도불변 영집합을 제외한 모든 \(x\in C_{0}([a,\,b])\)에 대해 성립하면, \(P\)는 척도불변 거의 모든(s-a.e.) \(x\)에 대해 성립한다고 하고, 이 경우 간단히 "s-a.e.에서 \(P\)는 성립한다"라고 쓴다. 

실수 \(\sigma\neq0\)에 대해 \(T_{\alpha}:C_{0}([a,\,b])\,\rightarrow\,C_{0}([a,\,b])\)를 \(T_{\alpha}(x)=\alpha x\)로 정의하면, \(T\)는 다음의 성질들을 만족한다.

(1) \(T_{\alpha}\)는 일대일(one-to-one)이고, 위로(onto)의 사상이다. 

(2) \(T_{\alpha}^{-1}=T_{\alpha^{-1}}\)

(3) \(T_{\alpha}\)는 연속함수이고, 따라서 보렐집합을 보렐집합으로 사상한다. 

(4) \(T_{\alpha}\)는 위너 가측성을 보존하지 않는다.(정리 1.41)

\(T_{\alpha}\)에 대한 위의 성질 (3)에 의해 다음에 정의하는 보렐측도 \(\mathfrak{m}_{\alpha}\)는 잘 정의된다.  

정의 1.45 \(\sigma>0\)일 때, 모든 \(B\in\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]))\)에 대해 \(\mathfrak{m}_{\sigma}\)를 \(\mathfrak{m}_{\sigma}(B)=\mathfrak{m}(\sigma B)\)로 정의한다. 즉, \(\mathfrak{m}_{\sigma}\)는 상측도 \(\mathfrak{m}_{\sigma}=\mathfrak{m}\circ\sigma^{-1}\)이다.

성질 1.46 

(1) 각 \(\sigma>0\)에 대해 \(\Omega_{\sigma}\)와 \(\mathcal{D}\)는 보렐가측이다. 

(2) 임의의 \(\sigma_{1},\,\sigma_{2}>0\)에 대해 \(\sigma_{2}\Omega_{\sigma_{1}}=\Omega_{\sigma_{1}\sigma_{2}}\)이고, 특히 \(\sigma>0\)일 때 \(\sigma\Omega_{1}=\Omega_{\sigma}\)이다. 

(3) 모든 \(\sigma>0\)에 대해 \(\mathfrak{m}_{\sigma}(\Omega_{\sigma})=1\)

(4) \(\sigma_{1},\,\sigma_{2}>0,\,\sigma_{1}\neq\sigma_{2}\)이면, 다음이 성립한다.$$\Omega_{\sigma_{1}}\cap\Omega_{\sigma_{2}}=\emptyset,\,C_{0}([a,\,b])=\left(\bigcup_{\sigma\geq0}{\Omega_{\sigma}}\right)\cup\mathcal{D}$$증명: 

(1): \(S_{2^{n}}\)은 연속함수이므로, \(\Omega_{\sigma}\)는 보렐집합이다. 

(2): 정의 1.43으로부터 자명하다.

(3): 정리 1.41에 의해 \(\mathfrak{m}(\Omega_{1})=1\)이고, 상측도의 정의와 (2)에 의해 \(\mathfrak{m}_{\alpha}(\Omega_{\sigma})=1\)이다. 

(4): \(\Omega_{\sigma}\)와 \(\mathcal{D}\)의 정의로부터 성립한다. 

정의 1.47 측도공간 \((C_{0}([a,\,b]),\,\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]),\,\mathfrak{m}_{\sigma})\)를 완비화(complete)해서 얻은 완비측도공간을 \((C_{0}([a,\,b]),\,\mathcal{S}_{\sigma},\,\mathfrak{m}_{\sigma})\), \(\mathfrak{m}_{\sigma}-\)영집합들의 집합족을 \(\mathcal{N}_{\alpha}\)로 나타낸다. 

보렐측도 \(\mathfrak{m}_{\sigma}\)는 \(\Omega_{\sigma}\)에 집중되어 있고, \(C_{0}([a,\,b])-\Omega_{\sigma}\in\mathcal{N}_{\alpha}\)이다. \(\sigma=1\)인 경우, \(\mathcal{S}\)는 위너가측 \(\sigma-\)대수 \(\mathcal{S}_{1}\)와 일치하고, \(\mathfrak{m}_{1}\)은 위너측도 \(\mathfrak{m}\)이다. 여기서 위너측도를 \(\mathfrak{m}_{1}\)로 나타내겠다. 

성질 1.48 \(\sigma>0\)이라 하자.

(1) \(N\in\mathcal{N}_{\sigma}\)일 필요충분조건은 \(\sigma^{-1}N\in\mathcal{N}_{\sigma}\)이다. 즉 \(\mathcal{N}_{\sigma}=\sigma\mathcal{N}\).

(2) \(E\in\mathcal{S}_{\sigma}\)일 필요충분조건은 \(\sigma^{-1}E\in\mathcal{S}_{1}\), 즉 \(\mathcal{S}=\alpha\mathcal{S}\).

(3) \(E\in\mathcal{S}_{\sigma}\)에 대해 \(\mathfrak{m}_{\sigma}(E)=\mathfrak{m}_{1}(\sigma^{-1}E)\).

증명:

(1): \(N\in\mathcal{N}_{\sigma}\)라 하자. 그러면 \(\mathfrak{m}_{\sigma}-\)영 보렐집합 \(M\)이 존재해서 \(N\subset M\)이다. 따라서$$\mathfrak{m}_{1}(\sigma^{-1}M)=\mathfrak{m}_{\sigma}(M)=0$$이므로 \(\sigma^{-1}M\)은 \(\mathfrak{m}_{1}-\)영 보렐집합이 되고 \(\sigma^{-1}N\subset\sigma^{-1}M\)이므로 \(\sigma^{-1}N\in\mathcal{N}_{1}\)이다. 같은 방법으로 역이 성립함을 보일 수 있다. 

(2): \(E\in\mathcal{S}_{\sigma}\)라 하자. 그러면 보렐집합 \(B\)와 \(\mathfrak{m}_{\sigma}-\)영집합 \(N\)이 존재해서 \(E=B\cup N\)이다. (1)에 의해 \(\sigma^{-1}N\in\mathcal{N}_{1}\)이고 \(\sigma^{-1}E=(\sigma^{-1}B)\cup(\sigma^{-1}N)\)이므로 \(\sigma^{-1}E\in\mathcal{S}_{1}\)이다. 같은 방법으로 역이 성립함을 보일 수 있다.

(3): \(E\in\mathcal{S}_{\alpha}\)이면, 보렐집합 \(B\)와 \(\mathfrak{m}_{\sigma}-\)영집합 \(N\)을 이용하여 \(E=B\cup N\)로 나타낼 수 있다. 그러면 다음이 성립한다.$$\begin{align*}\mathfrak{m}_{\sigma}(E)&=\mathfrak{m}_{\sigma}(B\cup N)=\mathfrak{m}_{\sigma}(B)=\mathfrak{m}_{1}(\sigma^{-1}B)\\&=\mathfrak{m}_{1}(\sigma^{-1}B\cup\sigma^{-1}N)=\mathfrak{m}_{1}(\sigma^{-1}E)\end{align*}$$정리 1.49

(1) \(\displaystyle\mathcal{S}=\bigcap_{\sigma>0}{\mathcal{S}_{\sigma}}\)이고 따라서 \(\mathcal{S}\)는 \(\sigma-\)대수이다.    

(2) \(\displaystyle\mathcal{N}=\bigcap_{\sigma>0}{\mathcal{N}_{\sigma}}\)

증명: 

(1): \(A\in\mathcal{S}\)이면, 모든 \(\sigma>0\)에 대해 \(\sigma^{-1}A\in\mathcal{S}_{1}\)이고 따라서 \(A\in\sigma\mathcal{S}_{1}=\mathcal{S}_{\alpha}\)이다. 그러므로 \(\displaystyle\mathcal{S}\subset\bigcap_{\sigma>0}{\mathcal{S}_{\sigma}}\)이고 같은 방법으로 \(\displaystyle\bigcap_{\sigma>0}{\mathcal{S}_{\sigma}}\subset\mathcal{S}\)임을 보일 수 있고, 따라서 \(\displaystyle\mathcal{S}=\bigcap_{\sigma>0}{\mathcal{S}_{\sigma}}\)이고, \(\sigma-\)대수이다.

(2): (1)과 같은 방법으로 증명한다.        

참고자료:

The Feynman's Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford

위너 적분론, 장건수, 민음사