1-7 회전변환

1-7 회전변환

$r_{\theta}:\mathbb{R}^{2}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{2}$를 $\mathbb{R}^{2}$에서의 벡터를 각 $\theta$만큼 회전하는 선형변환이라고 하자. 즉 $(U,\,V)=r_{\theta}(u,\,v)$라고 하면 $$\begin{align*}U&=u\cos\theta-v\sin\theta\\V&=u\sin\theta+v\cos\theta\end{align*}$$ 이고 $r_{\theta}^{-1}$는 $-\theta$만큼 회전하는 변환 $r_{-\theta}$이다. 즉, $(u,\,v)=r_{\theta}^{-1}(U,\,V)$이면 $$\begin{align*}u&=U\cos\theta+V\sin\theta\\v&=-U\sin\theta+V\cos\theta\end{align*}$$ 이다. $r_{\theta}$와 $r_{\theta}^{-1}$는 $\mathbb{R}^{2}$에서 거리, 내적, 르베그측도(르베그 가측성)를 보존한다.  

정의 1.59 $R_{\theta}:C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])\,\rightarrow\,C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])$를 다음과 같이 정의한다. $$(X,\,Y)=R_{\theta}(x,\,y)$$ 이것은 모든 $t\in[a,\,b]$에 대해 $(X(t),\,Y(t))=r_{\theta}(x(t),\,y(t))$인 변환으로 정의한다. 즉 $$\begin{align*}X(t)&=x(t)\cos\theta-y(t)\sin\theta\\Y(t)&=x(t)\sin\theta+y(t)\cos\theta\end{align*}$$ 성질 1.60 

(1) $R$은 전단사이고, 연속인 선형변환이다.

(2) $R_{\theta}^{-1}=R_{-\theta}$이므로 $R_{\theta}^{-1}(X,\,Y)=(x,\,y)$이면, 다음이 성립한다. $$\begin{align*}x(t)&=X(t)\cos\theta+Y(t)\sin\theta\\y(t)&=-X(t)\sin\theta+Y(t)\cos\theta\end{align*}$$ (3) $R_{\theta}^{-1}$는 전단사이고 연속인 선형변환이다. 

(4) 위너 적공간 $C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])$에서의 노름을 $$\|(x,\,y)\|=\sup_{t\in[a,\,b]}{\sqrt{\{x(t)\}^{2}+\{y(t)\}^{2}}}$$ 로 정의하면, $R_{\theta}$는 등거리이다. 

증명: 생략 

$R_{\theta}$와 $R_{\theta}^{-1}$는 연속이므로 보렐집합을 보렐집합으로 사상한다. 따라서 $(\mathfrak{m}\times\mathfrak{m})\circ R_{\theta}$와 $(\mathfrak{m}\times\mathfrak{m})\circ R_{\theta}^{-1}$는 $C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])$에서 보렐측도이다. 

정리 1.61 $C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])$의 모든 보렐집합 $B$에 대해 $(\mathfrak{m}\times\mathfrak{m})(B)=(\mathfrak{m}\times\mathfrak{m})\circ R_{\theta}^{-1}(B)$이다. 

증명: 생략

따름정리 1.62 

(1) $N$이 $C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])$의 영 보렐집합이면, $R_{\theta}^{-1}(N)$도 영 보렐집합이다. 

(2) $R_{\theta}$는 $\sigma-$대수 $\overline{\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b]))}=\overline{\mathcal{S}_{1}\times\mathcal{S}_{1}}$(완비화)에 대해 가측이다. 

(3) 모든 $A\in\overline{\mathcal{S}_{1}\times\mathcal{S}_{1}}$에 대해 $(\mathfrak{m}\times\mathfrak{m})(A)=(\mathfrak{m}\times\mathfrak{m})\circ R_{\theta}^{-1}(A)$이다. 

다음의 정리는 푸리에-파인만 변환(Fourier-Feynman transform)이론에서 유용하게 사용되는 정리이다. 또한 이 정리를 이용해서, 거의 모든 평행변환이 위너 가측성을 보존하지 않음을 보일 수 있다. 

정리 1.63 $F(x,\,y)$가 $(C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b]),\,\overline{\mathcal{S}_{1}\times\mathcal{S}_{1}})$에서 가측일 필요충분조건은 $F(R_{\theta}(x,\,y))$가 $(C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b]),\,\overline{\mathcal{S}_{1}\times\mathcal{S}_{1}})$에서 가측이고, 이 경우 다음의 등식이 성립한다. $$\begin{align*}&\int_{C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])}{F(x,\,y)d(\mathfrak{m}\times\mathfrak{m})x,\,y)}=\\&\int_{C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])}{F(R_{\theta}(x,\,y))d(\mathfrak{m}\times\mathfrak{m})(x,\,y)}=\\&\int_{C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])}{F(x\cos\theta-y\sin\theta,\,x\sin\theta+y\cos\theta)d(\mathfrak{m}\times\mathfrak{m})(x,\,y)}\end{align*}$$ 증명: 따름정리 1.62의 (2)에 의해 $R_{\theta}$가 가측이므로 $F\circ R_{\theta}$는 가측이고, 따름정리 1.62의 (3)과 변수변환정리에 의해 적분식이 성립한다.  

따름정리 1.64 $\theta\in\mathbb{R}$이라 하자. $f$가 $C_{0}([a,\,b])$에서 위너가측일 필요충분조건은 $f(x\sin\theta+y\cos\theta)$가 $C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])$에서 가측인 것이다. 이때 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{f(y)d\mathfrak{m}(y)}=\int_{C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])}{f(x\sin\theta+y\cos\theta)d(\mathfrak{m}\times\mathfrak{m})(x,\,y)}$$ 증명: $F(x,\,y)=f(y)$로 놓고 정리 1.63을 적용한다. 

따름정리 1.65 $p,\,q\in\mathbb{R}$이라 하자. 그러면 $f(\sqrt{p^{2}+q^{2}}z)$가 $z$의 함수로서 위너가측일 필요충분조건은 $f(px+qy)$가 $(x,\,y)$의 함수로서 $C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])$에서 가측인 것이다. 이때 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{f(\sqrt{p^{2}+q^{2}}z)d\mathfrak{m}(z)}=\int_{C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])}{f(px+qy)d(\mathfrak{m}\times\mathfrak{m})(x,\,y)}$$ 증명: $\displaystyle\sin\theta=\frac{p}{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}$, $\displaystyle\cos\theta=\frac{q}{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}$, $h(z)=\sqrt{p^{2}+q^{2}}$로 놓고 함수 $f\circ h$를 따름정리 1.64에 적용한다. 

정리 1.66 $\theta$를 $[a,\,b]$에서 유계변동인 함수라 하고 변환 $T_{\theta}:C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])\,\rightarrow\,C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])$를 다음과 같이 정의하자. $$\begin{align*}X(t)&=\int_{a}^{t}{\cos\theta(s)dx(s)}-\int_{a}^{t}{\sin\theta(s)dy(s)}\\Y(t)&=\int_{a}^{t}{\sin\theta(s)dx(s)}+\int_{a}^{t}{\cos\theta(s)dy(s)}\end{align*}$$ $F(x,\,y)$를 $C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])$에서 적분가능한 함수라 하자. 그러면 $T_{\theta}$는 측도가능성과 측도를 보존하고 다음의 등식이 성립한다. $$\begin{align*}&\int_{C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])}{F(x,\,y)d(\mathfrak{m}\times\mathfrak{m})(x,\,y)}=\int_{C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])}{F(T_{\theta}(x,\,y))d(\mathfrak{m}\times\mathfrak{m})(x,\,y)}\end{align*}$$ 증명: 생략

정리 1.67 $p,\,q>0$이라 하자. 다음의 성질들은 서로 동치이다. 

(1) $f(\sqrt{p^{2}+q^{2}}z)$는 $z$의 함수로서 위너가측이다. 

(2) $f(z)$는 $\mathfrak{m}_{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}-$가측인 함수이다. 

(3) $f(x+y)$는 $(x,\,y)$의 함수로서 $\mathfrak{m}_{p}\times\mathfrak{m}_{q}-$가측이다. 

(4) $f(px+qy)$는 $(x,\,y)$의 함수로서 $\mathfrak{m}_{1}\times\mathfrak{m}_{1}-$가측이다. 

(1)~(4)중의 어느 한 성질(따라서 모든 성질)이 성립하면, 다음의 등식이 성립한다. $$\begin{align*}\int_{C_{0}([a,\,b])}{f(\sqrt{p^{2}+q^{2}}z)d\mathfrak{m}_{1}(z)}&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{f(z)d\mathfrak{m}_{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}(z)}\\&=\int_{C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])}{f(x+y)d(\mathfrak{m}_{p}\times\mathfrak{m}_{q})(x,\,y)}\\&=\int_{C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])}{f(px+qy)d(\mathfrak{m}_{1}\times\mathfrak{m}_{1})(x,\,y)}\end{align*}$$ 증명: (1)과 (2), (3)과 (4)의 동치성과 이에 대응하는 적분공식은 변수변환정리로부터 얻는다. (a)와 (d), 여기에 대응하는 적분공식은 따름정리 1.65로부터 얻는다. 

정리 1.68 $p,\,q>0$라 하고 $E\in\mathcal{S}_{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}$라 하자. 그러면 $\mathfrak{m}_{q}-a.e.\,y$에 대해 $E+y,\,E-y\in\mathcal{S}_{p}$이고, $\mathfrak{m}_{p}(E+y)$와 $\mathfrak{m}_{q}(E-y)$는 $y$의 함수로서 $\mathfrak{m}_{q}-$가측이다. 또한 $\mathfrak{m}_{p}-a.e.\,x$에 대해 $E+x,\,E-x\in\mathcal{S}_{q}$이고, $\mathfrak{m}_{q}(E+x)$와 $\mathfrak{m}_{q}(E-x)$는 $x$의 함수로서 $\mathfrak{m}_{p}-$가측이며, 다음의 등식이 성립한다. $$\begin{align*}\int_{C_{0}([a,\,b])}{\mathfrak{m}_{p}(E+y)d\mathfrak{m}_{q}(y)}&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{\mathfrak{m}_{p}(E-y)d\mathfrak{m}_{q}(y)}\\&=(\mathfrak{m}_{p}\times\mathfrak{m}_{q})(\{(x,\,y)\,|\,x+y\in E\})\\&=\mathfrak{m}_{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}(E)\\&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{\mathfrak{m}_{q}(E-x)d\mathfrak{m}_{p}(x)}\\&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{\mathfrak{m}_{q}(E+x)d\mathfrak{m}_{p}(x)}\end{align*}$$ 증명: 함수 $f(x)=\chi_{E}(x)$를 정리 1.67에 적용하고, 정리 1.57과 푸비니정리로부터 얻는다. 

$\mu,\,\nu$가 $C_{0}([a,\,b])$에서 보렐측도일 때, $\mu$와 $\nu$의 합성곱 $\mu*\nu$는 다음과 같이 정의되고 $$(\mu*\nu)(B)=\int_{C_{0}([a,\,b])}{\mu(B-y)d\nu(y)}$$ 정리 1.68에 의해 $\mathfrak{m}_{q}*\mathfrak{m}_{p}=\mathfrak{m}_{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}$이다.

따름정리 1.69 $E\in\mathcal{S}_{\sqrt{2}}$이면, $\mathfrak{m}_{1}-a.e.\,y$에 대해 $E+y\in\mathcal{S}$이다. 

따름정리 1.70 $p,\,q>0$이라 하자. $T_{y}(x)=x+y$로 정의되는 평행변환 $T_{y}:(C_{0}([a,\,b]),\,\mathcal{S}_{q},\,\mathfrak{m}_{q})\,\rightarrow\,(C_{0}([a,\,b]),\,\mathcal{S}_{p},\,\mathfrak{m}_{p})$는 $\mathfrak{m}_{q}-a.e.\,y$에 대해 위너가측성을 보존하지 않는다. 

증명: $E=\Omega_{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}$를 정리 1.68에 적용하면 $\mathfrak{m}_{q}-a.e.\,y$에 대해 $\mathfrak{m}_{q}(y+\Omega_{\sqrt{p^{2}+q^{2}}})=1$이다. $M$을 $\Omega_{p}$의 부분집합으로 $\mathfrak{m}_{p}-$비가측집합이라 하자. 식 $\mathfrak{m}_{p}(y+\Omega_{\sqrt{p^{2}+q^{2}}})=1$을 만족하는 각 $y$에 대해 $$M^{*}=M\cap(y+\Omega_{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}),\,A=M^{*}-y$$ 라 하자. $M^{*}$는 $\mathfrak{m}_{p}-$비가측이고, $\Omega_{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}$는 $\mathfrak{m}_{q}-$영집합, $A\subset\Omega_{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}$이므로 $A$는 $\mathfrak{m}_{q}-$영집합이다. 따라서 $A$는 $\mathfrak{m}_{q}-$가측이나 $y+A=M^{*}$는 $\mathfrak{m}_{p}-$비가측이다. 

따름정리 1.71 $(\mathfrak{m}_{p}\times\mathfrak{m}_{q})(\{(x,\,y)\in C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])\,|\,x+y\in\Omega_{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}\})=1$이고 특히 $\mathfrak{m}_{1}\times\mathfrak{m}_{1}-a.e.\,(x,\,y)$에 대해 $x+y\in\Omega_{\sqrt{2}}$이다. 대조적으로 다음이 성립한다. $$(\mathfrak{m}_{p}\times\mathfrak{m}_{q})(\{(x,\,y)\in C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])\,|\,x+y\in\Omega_{\lambda},\,\lambda\neq\sqrt{p^{2}+q^{2}}\})=0$$ 따름정리 1.72 $E\in\mathcal{S}$, $p>0$이라 하자. 그러면 $s-a.e.\,y$에 대해 $E+y\in\mathcal{S}_{p}$이다. 

증명: 각 $\lambda>0$에 대해 $\mathfrak{m}_{\lambda}-a.e.\,y$가 $E+y\in\mathcal{S}_{p}$를 만족함을 보이면 된다. $E\in\mathcal{S}$이므로 $E\in\mathcal{S}_{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}$이다. 따라서 정리 1.68에 의해 증명된다. 

따름정리 1.72 $N\in\mathcal{N}$, $p>0$이라 하자. 그러면 $s-a.e.\,y$에 대해 $N+y\in\mathcal{N}_{p}$이다. 

증명: 각 $\lambda>0$에 대해 $\mathfrak{m}_{\lambda}-a.e.\,y$가 $\mathfrak{m}_{p}(N+y)=0$을 만족함을 보이면 된다. $N\in\mathcal{N}$이므로 다음이 성립한다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{\mathfrak{m}_{p}(N+y)d\mathfrak{m}_{\lambda}(y)}=\mathfrak{m}_{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}(N)=0$$

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford

위너 적분론, 장건수, 민음사