1-7 회전변환

1-7 회전변환

\(r_{\theta}:\mathbb{R}^{2}\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{2}\)를 \(\mathbb{R}^{2}\)에서의 벡터를 각 \(\theta\)만큼 회전하는 선형변환이라고 하자. 즉 \((U,\,V)=r_{\theta}(u,\,v)\)라고 하면$$\begin{align*}U&=u\cos\theta-v\sin\theta\\V&=u\sin\theta+v\cos\theta\end{align*}$$이고 \(r_{\theta}^{-1}\)는 \(-\theta\)만큼 회전하는 변환 \(r_{-\theta}\)이다. 즉, \((u,\,v)=r_{\theta}^{-1}(U,\,V)\)이면$$\begin{align*}u&=U\cos\theta+V\sin\theta\\v&=-U\sin\theta+V\cos\theta\end{align*}$$이다. \(r_{\theta}\)와 \(r_{\theta}^{-1}\)는 \(\mathbb{R}^{2}\)에서 거리, 내적, 르베그측도(르베그 가측성)를 보존한다.  

정의 1.59 \(R_{\theta}:C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])\,\rightarrow\,C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])\)를 다음과 같이 정의한다.$$(X,\,Y)=R_{\theta}(x,\,y)$$이것은 모든 \(t\in[a,\,b]\)에 대해 \((X(t),\,Y(t))=r_{\theta}(x(t),\,y(t))\)인 변환으로 정의한다. 즉$$\begin{align*}X(t)&=x(t)\cos\theta-y(t)\sin\theta\\Y(t)&=x(t)\sin\theta+y(t)\cos\theta\end{align*}$$성질 1.60 

(1) \(R\)은 전단사이고, 연속인 선형변환이다.

(2) \(R_{\theta}^{-1}=R_{-\theta}\)이므로 \(R_{\theta}^{-1}(X,\,Y)=(x,\,y)\)이면, 다음이 성립한다.$$\begin{align*}x(t)&=X(t)\cos\theta+Y(t)\sin\theta\\y(t)&=-X(t)\sin\theta+Y(t)\cos\theta\end{align*}$$(3) \(R_{\theta}^{-1}\)는 전단사이고 연속인 선형변환이다. 

(4) 위너 적공간 \(C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])\)에서의 노름을$$\|(x,\,y)\|=\sup_{t\in[a,\,b]}{\sqrt{\{x(t)\}^{2}+\{y(t)\}^{2}}}$$로 정의하면, \(R_{\theta}\)는 등거리이다. 

증명: 생략 

\(R_{\theta}\)와 \(R_{\theta}^{-1}\)는 연속이므로 보렐집합을 보렐집합으로 사상한다. 따라서 \((\mathfrak{m}\times\mathfrak{m})\circ R_{\theta}\)와 \((\mathfrak{m}\times\mathfrak{m})\circ R_{\theta}^{-1}\)는 \(C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])\)에서 보렐측도이다. 

정리 1.61 \(C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])\)의 모든 보렐집합 \(B\)에 대해 \((\mathfrak{m}\times\mathfrak{m})(B)=(\mathfrak{m}\times\mathfrak{m})\circ R_{\theta}^{-1}(B)\)이다. 

증명: 생략

따름정리 1.62 

(1) \(N\)이 \(C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])\)의 영 보렐집합이면, \(R_{\theta}^{-1}(N)\)도 영 보렐집합이다. 

(2) \(R_{\theta}\)는 \(\sigma-\)대수 \(\overline{\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b]))}=\overline{\mathcal{S}_{1}\times\mathcal{S}_{1}}\)(완비화)에 대해 가측이다. 

(3) 모든 \(A\in\overline{\mathcal{S}_{1}\times\mathcal{S}_{1}}\)에 대해 \((\mathfrak{m}\times\mathfrak{m})(A)=(\mathfrak{m}\times\mathfrak{m})\circ R_{\theta}^{-1}(A)\)이다. 

다음의 정리는 푸리에-파인만 변환(Fourier-Feynman transform)이론에서 유용하게 사용되는 정리이다. 또한 이 정리를 이용해서, 거의 모든 평행변환이 위너 가측성을 보존하지 않음을 보일 수 있다. 

정리 1.63 \(F(x,\,y)\)가 \((C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b]),\,\overline{\mathcal{S}_{1}\times\mathcal{S}_{1}})\)에서 가측일 필요충분조건은 \(F(R_{\theta}(x,\,y))\)가 \((C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b]),\,\overline{\mathcal{S}_{1}\times\mathcal{S}_{1}})\)에서 가측이고, 이 경우 다음의 등식이 성립한다.$$\begin{align*}&\int_{C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])}{F(x,\,y)d(\mathfrak{m}\times\mathfrak{m})x,\,y)}=\\&\int_{C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])}{F(R_{\theta}(x,\,y))d(\mathfrak{m}\times\mathfrak{m})(x,\,y)}=\\&\int_{C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])}{F(x\cos\theta-y\sin\theta,\,x\sin\theta+y\cos\theta)d(\mathfrak{m}\times\mathfrak{m})(x,\,y)}\end{align*}$$증명: 따름정리 1.62의 (2)에 의해 \(R_{\theta}\)가 가측이므로 \(F\circ R_{\theta}\)는 가측이고, 따름정리 1.62의 (3)과 변수변환정리에 의해 적분식이 성립한다.  

따름정리 1.64 \(\theta\in\mathbb{R}\)이라 하자. \(f\)가 \(C_{0}([a,\,b])\)에서 위너가측일 필요충분조건은 \(f(x\sin\theta+y\cos\theta)\)가 \(C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])\)에서 가측인 것이다. 이때 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{f(y)d\mathfrak{m}(y)}=\int_{C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])}{f(x\sin\theta+y\cos\theta)d(\mathfrak{m}\times\mathfrak{m})(x,\,y)}$$증명: \(F(x,\,y)=f(y)\)로 놓고 정리 1.63을 적용한다. 

따름정리 1.65 \(p,\,q\in\mathbb{R}\)이라 하자. 그러면 \(f(\sqrt{p^{2}+q^{2}}z)\)가 \(z\)의 함수로서 위너가측일 필요충분조건은 \(f(px+qy)\)가 \((x,\,y)\)의 함수로서 \(C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])\)에서 가측인 것이다. 이때 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{f(\sqrt{p^{2}+q^{2}}z)d\mathfrak{m}(z)}=\int_{C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])}{f(px+qy)d(\mathfrak{m}\times\mathfrak{m})(x,\,y)}$$증명: \(\displaystyle\sin\theta=\frac{p}{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}\), \(\displaystyle\cos\theta=\frac{q}{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}\), \(h(z)=\sqrt{p^{2}+q^{2}}\)로 놓고 함수 \(f\circ h\)를 따름정리 1.64에 적용한다. 

정리 1.66 \(\theta\)를 \([a,\,b]\)에서 유계변동인 함수라 하고 변환 \(T_{\theta}:C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])\,\rightarrow\,C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])\)를 다음과 같이 정의하자.$$\begin{align*}X(t)&=\int_{a}^{t}{\cos\theta(s)dx(s)}-\int_{a}^{t}{\sin\theta(s)dy(s)}\\Y(t)&=\int_{a}^{t}{\sin\theta(s)dx(s)}+\int_{a}^{t}{\cos\theta(s)dy(s)}\end{align*}$$\(F(x,\,y)\)를 \(C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])\)에서 적분가능한 함수라 하자. 그러면 \(T_{\theta}\)는 측도가능성과 측도를 보존하고 다음의 등식이 성립한다.$$\begin{align*}&\int_{C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])}{F(x,\,y)d(\mathfrak{m}\times\mathfrak{m})(x,\,y)}=\int_{C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])}{F(T_{\theta}(x,\,y))d(\mathfrak{m}\times\mathfrak{m})(x,\,y)}\end{align*}$$증명: 생략

정리 1.67 \(p,\,q>0\)이라 하자. 다음의 성질들은 서로 동치이다. 

(1) \(f(\sqrt{p^{2}+q^{2}}z)\)는 \(z\)의 함수로서 위너가측이다. 

(2) \(f(z)\)는 \(\mathfrak{m}_{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}-\)가측인 함수이다. 

(3) \(f(x+y)\)는 \((x,\,y)\)의 함수로서 \(\mathfrak{m}_{p}\times\mathfrak{m}_{q}-\)가측이다. 

(4) \(f(px+qy)\)는 \((x,\,y)\)의 함수로서 \(\mathfrak{m}_{1}\times\mathfrak{m}_{1}-\)가측이다. 

(1)~(4)중의 어느 한 성질(따라서 모든 성질)이 성립하면, 다음의 등식이 성립한다.$$\begin{align*}\int_{C_{0}([a,\,b])}{f(\sqrt{p^{2}+q^{2}}z)d\mathfrak{m}_{1}(z)}&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{f(z)d\mathfrak{m}_{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}(z)}\\&=\int_{C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])}{f(x+y)d(\mathfrak{m}_{p}\times\mathfrak{m}_{q})(x,\,y)}\\&=\int_{C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])}{f(px+qy)d(\mathfrak{m}_{1}\times\mathfrak{m}_{1})(x,\,y)}\end{align*}$$증명: (1)과 (2), (3)과 (4)의 동치성과 이에 대응하는 적분공식은 변수변환정리로부터 얻는다. (a)와 (d), 여기에 대응하는 적분공식은 따름정리 1.65로부터 얻는다. 

정리 1.68 \(p,\,q>0\)라 하고 \(E\in\mathcal{S}_{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}\)라 하자. 그러면 \(\mathfrak{m}_{q}-a.e.\,y\)에 대해 \(E+y,\,E-y\in\mathcal{S}_{p}\)이고, \(\mathfrak{m}_{p}(E+y)\)와 \(\mathfrak{m}_{q}(E-y)\)는 \(y\)의 함수로서 \(\mathfrak{m}_{q}-\)가측이다. 또한 \(\mathfrak{m}_{p}-a.e.\,x\)에 대해 \(E+x,\,E-x\in\mathcal{S}_{q}\)이고, \(\mathfrak{m}_{q}(E+x)\)와 \(\mathfrak{m}_{q}(E-x)\)는 \(x\)의 함수로서 \(\mathfrak{m}_{p}-\)가측이며, 다음의 등식이 성립한다.$$\begin{align*}\int_{C_{0}([a,\,b])}{\mathfrak{m}_{p}(E+y)d\mathfrak{m}_{q}(y)}&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{\mathfrak{m}_{p}(E-y)d\mathfrak{m}_{q}(y)}\\&=(\mathfrak{m}_{p}\times\mathfrak{m}_{q})(\{(x,\,y)\,|\,x+y\in E\})\\&=\mathfrak{m}_{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}(E)\\&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{\mathfrak{m}_{q}(E-x)d\mathfrak{m}_{p}(x)}\\&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{\mathfrak{m}_{q}(E+x)d\mathfrak{m}_{p}(x)}\end{align*}$$증명: 함수 \(f(x)=\chi_{E}(x)\)를 정리 1.67에 적용하고, 정리 1.57과 푸비니정리로부터 얻는다. 

\(\mu,\,\nu\)가 \(C_{0}([a,\,b])\)에서 보렐측도일 때, \(\mu\)와 \(\nu\)의 합성곱 \(\mu*\nu\)는 다음과 같이 정의되고$$(\mu*\nu)(B)=\int_{C_{0}([a,\,b])}{\mu(B-y)d\nu(y)}$$정리 1.68에 의해 \(\mathfrak{m}_{q}*\mathfrak{m}_{p}=\mathfrak{m}_{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}\)이다.

따름정리 1.69 \(E\in\mathcal{S}_{\sqrt{2}}\)이면, \(\mathfrak{m}_{1}-a.e.\,y\)에 대해 \(E+y\in\mathcal{S}\)이다. 

따름정리 1.70 \(p,\,q>0\)이라 하자. \(T_{y}(x)=x+y\)로 정의되는 평행변환 \(T_{y}:(C_{0}([a,\,b]),\,\mathcal{S}_{q},\,\mathfrak{m}_{q})\,\rightarrow\,(C_{0}([a,\,b]),\,\mathcal{S}_{p},\,\mathfrak{m}_{p})\)는 \(\mathfrak{m}_{q}-a.e.\,y\)에 대해 위너가측성을 보존하지 않는다. 

증명: \(E=\Omega_{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}\)를 정리 1.68에 적용하면 \(\mathfrak{m}_{q}-a.e.\,y\)에 대해 \(\mathfrak{m}_{q}(y+\Omega_{\sqrt{p^{2}+q^{2}}})=1\)이다. \(M\)을 \(\Omega_{p}\)의 부분집합으로 \(\mathfrak{m}_{p}-\)비가측집합이라 하자. 식 \(\mathfrak{m}_{p}(y+\Omega_{\sqrt{p^{2}+q^{2}}})=1\)을 만족하는 각 \(y\)에 대해$$M^{*}=M\cap(y+\Omega_{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}),\,A=M^{*}-y$$라 하자. \(M^{*}\)는 \(\mathfrak{m}_{p}-\)비가측이고, \(\Omega_{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}\)는 \(\mathfrak{m}_{q}-\)영집합, \(A\subset\Omega_{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}\)이므로 \(A\)는 \(\mathfrak{m}_{q}-\)영집합이다. 따라서 \(A\)는 \(\mathfrak{m}_{q}-\)가측이나 \(y+A=M^{*}\)는 \(\mathfrak{m}_{p}-\)비가측이다. 

따름정리 1.71 \((\mathfrak{m}_{p}\times\mathfrak{m}_{q})(\{(x,\,y)\in C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])\,|\,x+y\in\Omega_{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}\})=1\)이고 특히 \(\mathfrak{m}_{1}\times\mathfrak{m}_{1}-a.e.\,(x,\,y)\)에 대해 \(x+y\in\Omega_{\sqrt{2}}\)이다. 대조적으로 다음이 성립한다.$$(\mathfrak{m}_{p}\times\mathfrak{m}_{q})(\{(x,\,y)\in C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])\,|\,x+y\in\Omega_{\lambda},\,\lambda\neq\sqrt{p^{2}+q^{2}}\})=0$$따름정리 1.72 \(E\in\mathcal{S}\), \(p>0\)이라 하자. 그러면 \(s-a.e.\,y\)에 대해 \(E+y\in\mathcal{S}_{p}\)이다. 

증명: 각 \(\lambda>0\)에 대해 \(\mathfrak{m}_{\lambda}-a.e.\,y\)가 \(E+y\in\mathcal{S}_{p}\)를 만족함을 보이면 된다. \(E\in\mathcal{S}\)이므로 \(E\in\mathcal{S}_{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}\)이다. 따라서 정리 1.68에 의해 증명된다. 

따름정리 1.72 \(N\in\mathcal{N}\), \(p>0\)이라 하자. 그러면 \(s-a.e.\,y\)에 대해 \(N+y\in\mathcal{N}_{p}\)이다. 

증명: 각 \(\lambda>0\)에 대해 \(\mathfrak{m}_{\lambda}-a.e.\,y\)가 \(\mathfrak{m}_{p}(N+y)=0\)을 만족함을 보이면 된다. \(N\in\mathcal{N}\)이므로 다음이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{\mathfrak{m}_{p}(N+y)d\mathfrak{m}_{\lambda}(y)}=\mathfrak{m}_{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}(N)=0$$

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford

위너 적분론, 장건수, 민음사