1-9 콜모고로프 정리

1-9 콜모고로프 정리

\(T=[a,\,b]\)에서 정의된 모든 실함수들의 집합을 \(\mathbb{R}^{T}\)로 나타내자. \(n\in\mathbb{N}\)이라 하고 \(a\leq t_{1}<\cdots<t_{n}\leq b\), \(j=1,\,...,\,n\)에 대해 \(-\infty\leq\alpha_{j}\leq\beta_{j}\leq\infty\)일 때 \(\mathcal{I}\)를 다음과 같은 집합(\(\mathbb{R}^{T}\)에서의 구간)들의 집합족이라 하자.$$I=\{f\in\mathbb{R}^{T}\,|\,\alpha_{j}<f(t_{j})\leq\beta_{j},\,j=1,\,...,\,n\}$$그러면 \(\mathcal{I}\)는 반대수가 된다. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{I}\)에 의해 생성되는 \(\sigma-\)대수라 하자. 즉 \(\mathcal{F}=\sigma(\mathcal{I})\). \((\Omega,\,\mathcal{A},\,P)\)가 확률공간일 때 확률과정 \(x:T\times\Omega\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 사용해 함수공간 \(\mathbb{R}%{T}\)에 측도를 도입하려고 한다. 집합함수 \(\mu\)를 \(\mathcal{I}\)에서 다음과 같이 정의한다.$$\begin{align*}\mu(I)&=P(\{\omega\in\Omega\,|\,\alpha_{j}<x(t_{j},\,\omega)\leq\beta_{j},\,j=1,\,...,\,n\})\\&=P(\{\omega\in\Omega\,|\,x(\cdot,\,\omega)\in I\})\end{align*}$$\(x(t_{1},\,\cdot),\,...,\,x(t_{n},\,\cdot)\)는 \((\Omega,\,\mathcal{A},\,P)\)에서 확률변수이므로 \(\mu(I)\)는 잘 정의된다. 확률측도 \(P\)가 가산가법적이므로 \(\mu\)도 가산가법적이다. 

카라테오도리 확장방법을 이용해 \(\mu\)를 \(\mathcal{F}=\sigma(\mathcal{I})\)에서의 확률측도로 확장한다. 즉 확률과정 \(x\)로부터 함수공간 \(\mathbb{R}^{T}\)에서의 \(\sigma-\)대수 \(\mathcal{F}\)에 확률측도 \(\mu\)를 도입했다.

역으로 \((\mathbb{R}^{T},\,\mathcal{F})\)에서 정의된 확률측도 \(\mu\)를 가지고 확률과정 \(x\)를 다음과 같이 만들 수 있다. 

\((\Omega,\,\mathcal{A},\,P)=(\mathbb{R}^{T},\,\mathcal{F},\,\mu)\)로 놓고 \(x:T\times\mathbb{R}^{T}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 \(x(t,\,f)=f(t)\)로 정의하면, 모든 \(t\in T\)에 대해 \(x(t,\,\cdot)\)는 확률변수이므로 \(x\)는 확률과정이다.

\((\mathbb{R}^{T},\,\mathcal{F},\,\mu)\)를 가지고 위에서처럼 확률과정 \(x\)를 얻고, 이 확률과정 \(x\)를 이용해 \((\mathbb{R}^{T},\,\mathcal{F})\)에 확률측도를 도입하면, 이 측도공간은 \((\mathbb{R}^{T},\,\mathcal{F},\,\mu)\)와 일치한다. 반면에 확률과정 \(x:T\times\Omega\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 가지고 확률측도공간 \((\mathbb{R}^{T},\,\mathcal{F},\,\mu)\)를 얻고, 이 확률측도 \(\mu\)를 가지고 확률과정 \(x_{0}\)를 얻는다면, \(x_{0}\)는 \(x\)와 관계가 되지만 일치하지 않는다. 실제로 \(\Omega\)는 \(T\)에서 정의되는 함수들의 공간이나 \(\mathbb{R}^{T}\)보다 훨씬 작다(예: \(\Omega=C_{0}([a,\,b])\)). 

확률과정 \(x\)가 주어지고, 따라서 확률측도 \(\mu\)가 \((\mathbb{R}^{T},\,\mathcal{F})\)에 주어졌다고 하자. 주어진 유한수열 \(t_{1},\,...,\,t_{n}\in[a,\,b]\)(\(t_{i}\)가 증가하는 순서일 필요는 없다)에 대해 집합함수 \(\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})\)을 \(\mathbb{R}^{n}\)에서의 구간에 대해 다음과 같이 정의한다.$$\begin{align*}&\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})((\alpha_{1},\,\beta_{1}]\times\cdots\times(\alpha_{n},\,\beta_{n}])\\&=\mu(\{f\in\mathbb{R}^{T}\,|\,\alpha_{j}<f(t_{j})\leq\beta_{j},\,j=1,\,...,\,n\})\end{align*}$$그러면 \(\mu\)는 다음의 두 성질들을 만족한다.

\(\sigma\)가 \(\{1,\,...,\,n\}\)에서의 임의의 치환(permutation)일 때$$\begin{align*}&\mu(t_{\sigma(1)},\,...,\,t_{\sigma(n)})((\alpha_{\sigma(1)},\,\beta_{\sigma(1)}]\times\cdots\times(\alpha_{\sigma(n)},\,\beta_{\sigma(n)}])\\&=\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})((\alpha_{1},\,\beta_{1}]\times\cdots\times(\alpha_{n},\,\beta_{n}])\\&\mu(t_{1},\,...,\,t_{n},\,t)((\alpha_{1},\,\beta_{1}]\times\cdots\times(\alpha_{n},\,\beta_{n}]\times(-\infty,\,\infty])\\&=\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})((\alpha_{1},\,\beta_{1}]\times\cdots\times(\alpha_{n},\,\beta_{n}])\end{align*}$$또한 \(\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})\)은 \(\mathbb{R}^{n}\)의 구간들의 반대수 위에서 가산가법적이므로 \(\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})\)은 이 구간들에 의해서 생성되는 \(\sigma-\)대수 \(\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\)에서의 측도로 확장된다. 이 측도들의 집합을 \(\mu\)의 유한차원분포(finite dimensional distribution)라고 한다. 

즉 \((\mathbb{R}^{T},\,\mathcal{F},\,\mu)\)가 주어졌을 때, 유한수열 \(t_{1},\,...,\,t_{n}\in[a,\,b]\)를 \(\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\)에서의 확률측도 \(\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})\)에 대응시키는 대응관계를 얻고, 이 측도는 일관성 조건(위의 두 식 \(\mu(t_{\sigma(1)},\,...,\,t_{\sigma(n)})\)과 \(\mu(t_{1},\,...,\,t_{n},\,t)\))을 만족한다.

보조정리 1.81 \(\mathcal{G}\)를 \(X\)의 부분집합들의 대수, \(\mu:\mathcal{G}\,\rightarrow\,[0,\,\infty)\)가 다음의 조건을 만족한다고 하자.

(1) \(\mu(X)=1\)

(2) \(\mu\)는 유한가법적이다.

(3) \(G_{i}\in\mathcal{G}\), \(G_{1}\supset G_{2}\supset\cdots\), \(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}{G_{n}}=\emptyset\)이면, \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\mu(G_{n})}=0\)이다.

그러면 \(\mu\)는 \(\mathcal{G}\)에서 가산가법적이다. 

증명: 생략

정리 1.82 (콜모고로프의 일관성 정리, Kolomogov's consistency theorem) 임의의 유한수열 \(t_{1},\,...,\,t_{n}\in[a,\,b]\)에 대해 \(\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\)에서의 확률측도 \(\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})\)이 존재해서 위의 일관성 조건에 대한 두 식들을 만족한다고 하자. 그러면 \((\mathbb{R}^{T},\,\mathcal{F})\)에 확률측도 \(\mu\)가 존재하고, \(\mu\)의 유한차원분포는 가정에서 주어진 \(\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})\)이다. 

증명: 생략

아인슈타인과 위너에 의해 제시된 유한차원 보렐측도에 대해 콜모고로프의 일관성 정리를 적용해 \((\mathbb{R}^{T},\,\mathcal{F})\)에 가산가법적인 측도 \(w\)(a version of Wiener process)를 얻을 수 있다. 이 과정을 설명하자면 다음과 같다.

\(a<t_{1}<\cdots<t_{n}\leq b\)일 때, \(B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\)에 대해$$\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})(B)=\int_{B}{W_{n}(\vec{t},\,\vec{u})d\vec{u}}$$로 정의하면 \(\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})\)은 \(\mathbb{R}^{n}\)에서의 보렐측도이다. 

\(t_{1},\,...,\,t_{n}\in(a,\,b]\)이 유한수열일 때(순서는 불필요하다) \(\sigma\)가 \(\{1,\,...,\,n\}\)에서의 치환으로 \(t_{\sigma(1)}<\cdots<t_{\sigma(n)}\)이라고 하면$$\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})(B)=\mu(t_{\sigma(1)},\,...,\,t_{\sigma(n)})(\sigma^{*}(B))$$이고 여기서 \(\sigma^{*}(B)=\{(v_{1},\,...,\,v_{n})\,|\,(v_{\sigma^{-1}(1)},\,...,\,v_{\sigma^{-1}(n)})\in B\}\)이다. 어떤 \(j\)에 대해 \(t_{j}=a\)인 경우, 예를들어 \(a=t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{n}\leq b\)인 경우는 다음과 같이 정의한다.$$\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})(B)=\delta\times\mu(t_{2},\,...,\,t_{n})(B)$$여기서 \(\delta\)는 \(\mathbb{R}\)에서의 디락 측도(Dirac measure)로 다음과 같이 정의된다.$$\delta(B_{1})=\begin{cases}1&\,(0\in B_{1})\\0&\,(0\notin B_{1})\end{cases}$$\(\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})\)은 일관성 조건에 관한 두 식들을 만족하고 따라서 \((\mathbb{R}^{T},\,\mathcal{F})\)에 측도 \(w\)를 도입할 수 있다.     

확률공간 \((\mathbb{R}^{T},\,\mathcal{F},\,w)\)는 위너 보렐 측도공간 \((C_{0}([a,\,b]),\,\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b])),\,\mathfrak{m})\)보다 유용하지 않은데 그 이유 중 하나는 공간 \(\mathbb{R}^{T}\)가 너무 큰 반면 \(\sigma-\)대수 \(\mathcal{F}\)는 너무 작다. 이것은 \(\mathcal{F}\)의 원소가 아닌 \(\mathbb{R}^{T}\)의 부분집합들이 있음을 뜻한다. 예를들면 임의의 한원소 집합 \(\{x\}\), \(C_{0}([a,\,b])\)는 \(\mathcal{F}\)의 원소가 아니다. 

다음의 성질은 측도론에서 잘 알려진 결과이다. 

성질 1.83

(1) \(\mathcal{E}\)가 \(X\)의 부분집합들의 \(\sigma-\)대수이고, \(X_{0}\subset X\)라 하자. 그러면$$\mathcal{E}_{0}=\mathcal{E}\cap X_{0}=\{A\cap X_{0}\,|\,A\in\mathcal{E}\}$$는 \(X_{0}\)의 부분집합들의 \(\sigma-\)대수이다. 

(2) \(X_{0}\subset X\), \(\mathcal{E}\)가 \(X\)의 부분집합들의 집합족이고 \(X\in\mathcal{E}\)라 하자. 그러면 다음이 성립한다.$$\sigma(\mathcal{E})\cap X_{0}=\sigma(\mathcal{E}\cap X_{0})=\sigma(\{E\cap X_{0}\,|\,E\in\mathcal{E}\})$$정리 1.84 (둡의 정리, Doob's theorem) \((X,\,\mathcal{E},\,\mu)\)가 확률공간이고 \(X_{0}\subset X\), \(\mu^{*}(X_{0})=1\)(외측도)이라 하자. 그러면 \(\mathcal{E}\cap X_{0}=\mathcal{E}_{0}\)는 \(\sigma-\)대수이다. 

\(\mu_{0}(A\cap X_{0})=\mu(A)\)로 정의하면, \(\mu_{0}\)는 잘 정의되고, \((X_{0},\,\mathcal{E}_{0},\,\mu_{0})\)는 확률공간이다. 

증명:

(1) \(C\in\mathcal{E}\)이고 \(C\subset X-X_{0}\)이면 \(\mu(C)=0\)이고, 그 이유는 다음과 같다.$$\begin{align*}\mu_{*}(X-X_{0})&=\mu(X)-\mu^{*}(X_{0})=0\\ \mu_{*}(X-X_{0})&=\sup\{\mu(C)\,|\,C\subset X-X_{0},\,C\in\mathcal{E}\}\end{align*}$$(2) \(\mu_{0}\)는 잘 정의된다. \(A\cap X_{0}=B\cap X_{0}\), \(A,\,B\in\mathcal{E}\)라 하자. 그러면, \(A-B\subset X-X_{0}\)이고 \(A-B\in\mathcal{E}\)이므로, (1)에 의해 \(\mu(A-B)=0\)이다. 따라서 다음의 등식이 성립한다.$$\mu(A)=\mu(A\cap B)+\mu(A-B)=\mu(A\cap B)$$같은 방법으로 \(\mu(B)=\mu(A\cap B)\)이므로 \(\mu(A)=\mu(B)\)이다. 

(3) \(\mu_{0}\)는 가산가법적이다. 이것은 \(\mu_{0}\)의 정의와 \(\mu\)의 가산가법성, (1)을 이용하여 보일 수 있다.$$\mu_{0}(X_{0})=\mu_{0}(X\cap X_{0})=\mu(X)=1$$정리 1.85 \(w^{*}(C_{0}([a,\,b]))=1\)

증명: \(\mathcal{G}\)를 집합 \(K_{\vec{t}}(B)=\{f\in\mathbb{R}^{T}\,|\,(f(t_{1}),\,...,\,f(t_{n}))\in B\}\)들의 대수라 하자. 그러면$$\begin{align*}w(K_{\vec{t}}(B))&=\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})(B)=\int_{B}{W_{n}(\vec{t},\,\vec{u})d\vec{u}}\\ K_{\vec{t}}(B)\cap C_{0}([a,\,b])&=\{f\in C_{0}([a,\,b])\,|\,(f(t_{1}),\,...,\,f(t_{n}))\in B\}\end{align*}$$이고 이 집합은 \(\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\)의 원소이다.$$\mathfrak{m}(K_{\vec{t}}(B)\cap C_{0}([a,\,b]))=\int_{B}{W_{n}(\vec{t},\,\vec{u})d\vec{u}}$$따라서 \(F\in\mathcal{G}\)이면, \(F\cap C_{0}([a,\,b])\in\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]))\)이고 \(w(F)=\mathfrak{m}(F\cap C_{0}([a,\,b]))\)이다.$$w^{*}(C_{0}([a,\,b]))=\inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}{w(F_{i})}\,|\,F_{i}\in\mathcal{G},\,C_{0}([a,\,b])\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{F_{i}}\right\}$$이므로 \(\mathfrak{m}\)의 가산가법성에 의해 다음의 부등식을 얻는다.$$\begin{align*}1&=\mathfrak{m}(C_{0}([a,\,b]))=\mathfrak{m}\left(C_{0}([a,\,b])\cap\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{F_{i}}\right)\right)\\&=\mathfrak{m}\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{\{C_{0}([a,\,b])\cap F_{i}\}}\right)\\&\leq\sum_{i=1}^{\infty}{\mathfrak{m}(C_{0}([a,\,b])\cap F_{i})}\\&=\sum_{i=1}^{\infty}{w(F_{i})}\end{align*}$$따라서 \(w^{*}(C_{0}([a,\,b]))\geq1\)이다.$$w^{*}(C_{0}([a,\,b]))\leq w^{*}(\mathbb{R}^{T})=w(\mathbb{R}^{T})=1$$이므로 \(w^{*}(C_{0}([a,\,b]))=1\)이다. 

둡의 정리를 \((\mathbb{R}^{T},\,\mathcal{F},\,w)\)와 \(C_{0}([a,\,b])\)에 적용해서, 확률공간 \((C_{0}([a,\,b]),\,C_{0}([a,\,b])\cap\mathcal{F},\,w_{0})\)를 얻는다.     

정리 1.86 \((C_{0}([a,\,b]),\,\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b])),\,\mathfrak{m})=(C_{0}([a,\,b]),\,C_{0}([a,\,b])\cap\mathcal{F},\,w_{0})\)

증명: 생략

정리 1.87(콜모고로프 정리, Kolmogorov's theorem) 각각의 유한수열 \(t_{1},\,...,\,t_{n}\in[a,\,b]\)에 대해 \(\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\)에 대해서 \(\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\)에서의 확률측도 \(\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})\)이 존재해서 \(\{\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})\}\)이 일관성 조건들을 만족한다고 하고, 또한 \(\delta,\,\epsilon,\,K>0\)가 존재해서 모든 \(t_{1},\,t_{2}\in[a,\,b]\)에 대해 다음의 부등식이 성립한다고 하자.$$\int_{\mathbb{R}^{2}}{|v_{2}-v_{1}|^{\delta}d\mu(t_{1},\,t_{2})(v_{1},\,v_{2})}\leq K|t_{2}-t_{1}|^{1+\epsilon}$$그러면 \((C([a,\,b]),\,\mathcal{B}(C([a,\,b])))\)에 확률측도 \(\mu\)가 존재해서 \(\mu\)의 유한차원분포는 가정에서 주어진 \(\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})\)이 된다. 

증명: 생략

아인슈타인과 위너에 의해 제시된 유한차원분포가 콜모고로프 정리의 조건을 만족함을 보이자. 이때 \(\delta=4\), \(K=3\), \(\epsilon=1\)이다. 

(1) \(a<t_{1}<t_{2\leq b}\)인 경우 \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}^{2}}{|v_{2}-v_{1}|^{4}W_{2}(\vec{t},\,\vec{u})dv_{2}dv_{1}}=3|t_{2}-t_{1}|^{2}\)

(2) \(a=t_{1}<t_{2}\leq b\)인 경우 \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}^{2}}{|v_{2}-v_{1}|^{4}W_{1}(t_{2},\,v_{2})d\delta(v_{1})dv_{2}}=\int_{\mathbb{R}^{2}}{v_{2}^{4}W_{1}(t_{2},\,v_{2})dv_{2}}=3|t_{2}-a|^{2}\) 

위의 사실과 콜모고로프 정리에 의해 \((C([a,\,b]),\,\mathcal{B}(C([a,\,b])))\)에 확률측도 \(\mathfrak{m}\)을 도입할 수 있다. 다음의 식으로부터 \(\mathfrak{m}\)이 \(C_{0}([a,\,b])\)에 집중되어 있음을 알 수 있다.$$\mathfrak{m}(C_{0}([a,\,b]))=\mathfrak{m}(\{x\in C([a,\,b])\,|\,x(a)=0\})=\int_{\{0\}}{d\delta(v)}=1$$다음의 예는 콜모고로프 정리를 만족하지 못하는 유한차원분포(보렐측도)이다. 

\(a\leq t\leq b\), \(B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\)일 때$$\mu(t)(B)=\int_{B}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}s^{2}}ds}$$로 정의하자. \(t_{i}\in[a,\,b],\,i=1,\,...,\,n\)$$\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})(B)=(\mu(t_{1})\times\cdots\times\mu(t_{n}))(B),\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$$로 정의하면 \(\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})\)은 두 일관성 조건을 만족하고 따라서 콜모고로프의 일관성 정리로부터 \((\mathbb{R}^{T},\,\mathcal{F})\)에서의 측도 \(\mu\)가 결정된다.

\(C([a,\,b])\)에서의 구간 \(I\)에 대해 \(\mu\)는 다음의 식을 만족한다.$$\mu(I)=\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})((\alpha_{1},\,\beta_{1}]\times\cdots\times(\alpha_{n},\,\beta_{n}])$$그러나 \(\mu\)는 \(\mathcal{B}(C([a,\,b]))\)에서 가산가법적이지 않다. 가산가법적이라고 가정하고, \(I=\{x\in C([a,\,b])\,|\,x(b)>0\}\)로 놓고, \(b\)로 수렴하는 증가수열 \(\{t_{j}\}\)를 선택하자.$$J_{n}=\{x\in C([a,\,b])\,|\,x(t_{j})>0,\,j=1,\,...,\,n\}$$라고 하면$$\begin{align*}\mu(J_{n})&=\mu(t_{n},\,...,\,t_{2n})((0,\,\infty]\times\cdots\times(0,\,\infty])\\&=\left\{\int_{0}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}s^{2}}ds}\right\}^{n+1}\\&=\frac{1}{2^{n+1}}\end{align*}$$이므로$$\begin{align*}\sum_{n=2}^{\infty}{\mu(J_{n})}&=\frac{1}{4}\\ \mu\left(\bigcup_{n=2}^{\infty}{J_{n}}\right)&\leq\sum_{n=2}^{\infty}{\mu(J_{n})}=\frac{1}{4}<\frac{1}{2}=\mu(I)\end{align*}$$\(x\)는 연속함수이므로 \(\displaystyle I\subset\bigcup_{n=2}^{\infty}{J_{n}}\)이고 \(\displaystyle\mu(I)\leq\mu\left(\bigcup_{n=2}^{\infty}{J_{n}}\right)\)이고 앞의 결과와 모순이다.

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford

위너 적분론, 장건수, 민음사