1-9 콜모고로프 정리

1-9 콜모고로프 정리

$T=[a,\,b]$에서 정의된 모든 실함수들의 집합을 $\mathbb{R}^{T}$로 나타내자. $n\in\mathbb{N}$이라 하고 $a\leq t_{1}<\cdots<t_{n}\leq b$, $j=1,\,...,\,n$에 대해 $-\infty\leq\alpha_{j}\leq\beta_{j}\leq\infty$일 때 $\mathcal{I}$를 다음과 같은 집합($\mathbb{R}^{T}$에서의 구간)들의 집합족이라 하자. $$I=\{f\in\mathbb{R}^{T}\,|\,\alpha_{j}<f(t_{j})\leq\beta_{j},\,j=1,\,...,\,n\}$$ 그러면 $\mathcal{I}$는 반대수가 된다. $\mathcal{F}$를 $\mathcal{I}$에 의해 생성되는 $\sigma-$대수라 하자. 즉 $\mathcal{F}=\sigma(\mathcal{I})$. $(\Omega,\,\mathcal{A},\,P)$가 확률공간일 때 확률과정 $x:T\times\Omega\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 사용해 함수공간 $\mathbb{R}%{T}$에 측도를 도입하려고 한다. 집합함수 $\mu$를 $\mathcal{I}$에서 다음과 같이 정의한다. $$\begin{align*}\mu(I)&=P(\{\omega\in\Omega\,|\,\alpha_{j}<x(t_{j},\,\omega)\leq\beta_{j},\,j=1,\,...,\,n\})\\&=P(\{\omega\in\Omega\,|\,x(\cdot,\,\omega)\in I\})\end{align*}$$ $x(t_{1},\,\cdot),\,...,\,x(t_{n},\,\cdot)$는 $(\Omega,\,\mathcal{A},\,P)$에서 확률변수이므로 $\mu(I)$는 잘 정의된다. 확률측도 $P$가 가산가법적이므로 $\mu$도 가산가법적이다. 

카라테오도리 확장방법을 이용해 $\mu$를 $\mathcal{F}=\sigma(\mathcal{I})$에서의 확률측도로 확장한다. 즉 확률과정 $x$로부터 함수공간 $\mathbb{R}^{T}$에서의 $\sigma-$대수 $\mathcal{F}$에 확률측도 $\mu$를 도입했다.

역으로 $(\mathbb{R}^{T},\,\mathcal{F})$에서 정의된 확률측도 $\mu$를 가지고 확률과정 $x$를 다음과 같이 만들 수 있다. 

$(\Omega,\,\mathcal{A},\,P)=(\mathbb{R}^{T},\,\mathcal{F},\,\mu)$로 놓고 $x:T\times\mathbb{R}^{T}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 $x(t,\,f)=f(t)$로 정의하면, 모든 $t\in T$에 대해 $x(t,\,\cdot)$는 확률변수이므로 $x$는 확률과정이다.

$(\mathbb{R}^{T},\,\mathcal{F},\,\mu)$를 가지고 위에서처럼 확률과정 $x$를 얻고, 이 확률과정 $x$를 이용해 $(\mathbb{R}^{T},\,\mathcal{F})$에 확률측도를 도입하면, 이 측도공간은 $(\mathbb{R}^{T},\,\mathcal{F},\,\mu)$와 일치한다. 반면에 확률과정 $x:T\times\Omega\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 가지고 확률측도공간 $(\mathbb{R}^{T},\,\mathcal{F},\,\mu)$를 얻고, 이 확률측도 $\mu$를 가지고 확률과정 $x_{0}$를 얻는다면, $x_{0}$는 $x$와 관계가 되지만 일치하지 않는다. 실제로 $\Omega$는 $T$에서 정의되는 함수들의 공간이나 $\mathbb{R}^{T}$보다 훨씬 작다(예: $\Omega=C_{0}([a,\,b])$). 

확률과정 $x$가 주어지고, 따라서 확률측도 $\mu$가 $(\mathbb{R}^{T},\,\mathcal{F})$에 주어졌다고 하자. 주어진 유한수열 $t_{1},\,...,\,t_{n}\in[a,\,b]$($t_{i}$가 증가하는 순서일 필요는 없다)에 대해 집합함수 $\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})$을 $\mathbb{R}^{n}$에서의 구간에 대해 다음과 같이 정의한다. $$\begin{align*}&\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})((\alpha_{1},\,\beta_{1}]\times\cdots\times(\alpha_{n},\,\beta_{n}])\\&=\mu(\{f\in\mathbb{R}^{T}\,|\,\alpha_{j}<f(t_{j})\leq\beta_{j},\,j=1,\,...,\,n\})\end{align*}$$ 그러면 $\mu$는 다음의 두 성질들을 만족한다.

$\sigma$가 $\{1,\,...,\,n\}$에서의 임의의 치환(permutation)일 때 $$\begin{align*}&\mu(t_{\sigma(1)},\,...,\,t_{\sigma(n)})((\alpha_{\sigma(1)},\,\beta_{\sigma(1)}]\times\cdots\times(\alpha_{\sigma(n)},\,\beta_{\sigma(n)}])\\&=\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})((\alpha_{1},\,\beta_{1}]\times\cdots\times(\alpha_{n},\,\beta_{n}])\\&\mu(t_{1},\,...,\,t_{n},\,t)((\alpha_{1},\,\beta_{1}]\times\cdots\times(\alpha_{n},\,\beta_{n}]\times(-\infty,\,\infty])\\&=\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})((\alpha_{1},\,\beta_{1}]\times\cdots\times(\alpha_{n},\,\beta_{n}])\end{align*}$$ 또한 $\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})$은 $\mathbb{R}^{n}$의 구간들의 반대수 위에서 가산가법적이므로 $\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})$은 이 구간들에 의해서 생성되는 $\sigma-$대수 $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$에서의 측도로 확장된다. 이 측도들의 집합을 $\mu$의 유한차원분포(finite dimensional distribution)라고 한다. 

즉 $(\mathbb{R}^{T},\,\mathcal{F},\,\mu)$가 주어졌을 때, 유한수열 $t_{1},\,...,\,t_{n}\in[a,\,b]$를 $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$에서의 확률측도 $\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})$에 대응시키는 대응관계를 얻고, 이 측도는 일관성 조건(위의 두 식 $\mu(t_{\sigma(1)},\,...,\,t_{\sigma(n)})$과 $\mu(t_{1},\,...,\,t_{n},\,t)$)을 만족한다.

보조정리 1.81 $\mathcal{G}$를 $X$의 부분집합들의 대수, $\mu:\mathcal{G}\,\rightarrow\,[0,\,\infty)$가 다음의 조건을 만족한다고 하자.

(1) $\mu(X)=1$

(2) $\mu$는 유한가법적이다.

(3) $G_{i}\in\mathcal{G}$, $G_{1}\supset G_{2}\supset\cdots$, $\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}{G_{n}}=\emptyset$이면, $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\mu(G_{n})}=0$이다.

그러면 $\mu$는 $\mathcal{G}$에서 가산가법적이다. 

증명: 생략

정리 1.82 (콜모고로프의 일관성 정리, Kolomogov's consistency theorem) 임의의 유한수열 $t_{1},\,...,\,t_{n}\in[a,\,b]$에 대해 $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$에서의 확률측도 $\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})$이 존재해서 위의 일관성 조건에 대한 두 식들을 만족한다고 하자. 그러면 $(\mathbb{R}^{T},\,\mathcal{F})$에 확률측도 $\mu$가 존재하고, $\mu$의 유한차원분포는 가정에서 주어진 $\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})$이다. 

증명: 생략

아인슈타인과 위너에 의해 제시된 유한차원 보렐측도에 대해 콜모고로프의 일관성 정리를 적용해 $(\mathbb{R}^{T},\,\mathcal{F})$에 가산가법적인 측도 $w$(a version of Wiener process)를 얻을 수 있다. 이 과정을 설명하자면 다음과 같다.

$a<t_{1}<\cdots<t_{n}\leq b$일 때, $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$에 대해 $$\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})(B)=\int_{B}{W_{n}(\vec{t},\,\vec{u})d\vec{u}}$$ 로 정의하면 $\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})$은 $\mathbb{R}^{n}$에서의 보렐측도이다. 

$t_{1},\,...,\,t_{n}\in(a,\,b]$이 유한수열일 때(순서는 불필요하다) $\sigma$가 $\{1,\,...,\,n\}$에서의 치환으로 $t_{\sigma(1)}<\cdots<t_{\sigma(n)}$이라고 하면 $$\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})(B)=\mu(t_{\sigma(1)},\,...,\,t_{\sigma(n)})(\sigma^{*}(B))$$ 이고 여기서 $\sigma^{*}(B)=\{(v_{1},\,...,\,v_{n})\,|\,(v_{\sigma^{-1}(1)},\,...,\,v_{\sigma^{-1}(n)})\in B\}$이다. 어떤 $j$에 대해 $t_{j}=a$인 경우, 예를들어 $a=t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{n}\leq b$인 경우는 다음과 같이 정의한다. $$\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})(B)=\delta\times\mu(t_{2},\,...,\,t_{n})(B)$$ 여기서 $\delta$는 $\mathbb{R}$에서의 디락 측도(Dirac measure)로 다음과 같이 정의된다. $$\delta(B_{1})=\begin{cases}1&\,(0\in B_{1})\\0&\,(0\notin B_{1})\end{cases}$$ $\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})$은 일관성 조건에 관한 두 식들을 만족하고 따라서 $(\mathbb{R}^{T},\,\mathcal{F})$에 측도 $w$를 도입할 수 있다.     

확률공간 $(\mathbb{R}^{T},\,\mathcal{F},\,w)$는 위너 보렐 측도공간 $(C_{0}([a,\,b]),\,\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b])),\,\mathfrak{m})$보다 유용하지 않은데 그 이유 중 하나는 공간 $\mathbb{R}^{T}$가 너무 큰 반면 $\sigma-$대수 $\mathcal{F}$는 너무 작다. 이것은 $\mathcal{F}$의 원소가 아닌 $\mathbb{R}^{T}$의 부분집합들이 있음을 뜻한다. 예를들면 임의의 한원소 집합 $\{x\}$, $C_{0}([a,\,b])$는 $\mathcal{F}$의 원소가 아니다. 

다음의 성질은 측도론에서 잘 알려진 결과이다. 

성질 1.83

(1) $\mathcal{E}$가 $X$의 부분집합들의 $\sigma-$대수이고, $X_{0}\subset X$라 하자. 그러면 $$\mathcal{E}_{0}=\mathcal{E}\cap X_{0}=\{A\cap X_{0}\,|\,A\in\mathcal{E}\}$$ 는 $X_{0}$의 부분집합들의 $\sigma-$대수이다. 

(2) $X_{0}\subset X$, $\mathcal{E}$가 $X$의 부분집합들의 집합족이고 $X\in\mathcal{E}$라 하자. 그러면 다음이 성립한다. $$\sigma(\mathcal{E})\cap X_{0}=\sigma(\mathcal{E}\cap X_{0})=\sigma(\{E\cap X_{0}\,|\,E\in\mathcal{E}\})$$ 정리 1.84 (둡의 정리, Doob's theorem) $(X,\,\mathcal{E},\,\mu)$가 확률공간이고 $X_{0}\subset X$, $\mu^{*}(X_{0})=1$(외측도)이라 하자. 그러면 $\mathcal{E}\cap X_{0}=\mathcal{E}_{0}$는 $\sigma-$대수이다. 

$\mu_{0}(A\cap X_{0})=\mu(A)$로 정의하면, $\mu_{0}$는 잘 정의되고, $(X_{0},\,\mathcal{E}_{0},\,\mu_{0})$는 확률공간이다. 

증명:

(1) $C\in\mathcal{E}$이고 $C\subset X-X_{0}$이면 $\mu(C)=0$이고, 그 이유는 다음과 같다. $$\begin{align*}\mu_{*}(X-X_{0})&=\mu(X)-\mu^{*}(X_{0})=0\\ \mu_{*}(X-X_{0})&=\sup\{\mu(C)\,|\,C\subset X-X_{0},\,C\in\mathcal{E}\}\end{align*}$$ (2) $\mu_{0}$는 잘 정의된다. $A\cap X_{0}=B\cap X_{0}$, $A,\,B\in\mathcal{E}$라 하자. 그러면, $A-B\subset X-X_{0}$이고 $A-B\in\mathcal{E}$이므로, (1)에 의해 $\mu(A-B)=0$이다. 따라서 다음의 등식이 성립한다. $$\mu(A)=\mu(A\cap B)+\mu(A-B)=\mu(A\cap B)$$ 같은 방법으로 $\mu(B)=\mu(A\cap B)$이므로 $\mu(A)=\mu(B)$이다. 

(3) $\mu_{0}$는 가산가법적이다. 이것은 $\mu_{0}$의 정의와 $\mu$의 가산가법성, (1)을 이용하여 보일 수 있다. $$\mu_{0}(X_{0})=\mu_{0}(X\cap X_{0})=\mu(X)=1$$ 정리 1.85 $w^{*}(C_{0}([a,\,b]))=1$

증명: $\mathcal{G}$를 집합 $K_{\vec{t}}(B)=\{f\in\mathbb{R}^{T}\,|\,(f(t_{1}),\,...,\,f(t_{n}))\in B\}$들의 대수라 하자. 그러면 $$\begin{align*}w(K_{\vec{t}}(B))&=\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})(B)=\int_{B}{W_{n}(\vec{t},\,\vec{u})d\vec{u}}\\ K_{\vec{t}}(B)\cap C_{0}([a,\,b])&=\{f\in C_{0}([a,\,b])\,|\,(f(t_{1}),\,...,\,f(t_{n}))\in B\}\end{align*}$$ 이고 이 집합은 $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$의 원소이다. $$\mathfrak{m}(K_{\vec{t}}(B)\cap C_{0}([a,\,b]))=\int_{B}{W_{n}(\vec{t},\,\vec{u})d\vec{u}}$$ 따라서 $F\in\mathcal{G}$이면, $F\cap C_{0}([a,\,b])\in\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]))$이고 $w(F)=\mathfrak{m}(F\cap C_{0}([a,\,b]))$이다. $$w^{*}(C_{0}([a,\,b]))=\inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}{w(F_{i})}\,|\,F_{i}\in\mathcal{G},\,C_{0}([a,\,b])\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}{F_{i}}\right\}$$ 이므로 $\mathfrak{m}$의 가산가법성에 의해 다음의 부등식을 얻는다. $$\begin{align*}1&=\mathfrak{m}(C_{0}([a,\,b]))=\mathfrak{m}\left(C_{0}([a,\,b])\cap\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{F_{i}}\right)\right)\\&=\mathfrak{m}\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{\{C_{0}([a,\,b])\cap F_{i}\}}\right)\\&\leq\sum_{i=1}^{\infty}{\mathfrak{m}(C_{0}([a,\,b])\cap F_{i})}\\&=\sum_{i=1}^{\infty}{w(F_{i})}\end{align*}$$ 따라서 $w^{*}(C_{0}([a,\,b]))\geq1$이다. $$w^{*}(C_{0}([a,\,b]))\leq w^{*}(\mathbb{R}^{T})=w(\mathbb{R}^{T})=1$$ 이므로 $w^{*}(C_{0}([a,\,b]))=1$이다. 

둡의 정리를 $(\mathbb{R}^{T},\,\mathcal{F},\,w)$와 $C_{0}([a,\,b])$에 적용해서, 확률공간 $(C_{0}([a,\,b]),\,C_{0}([a,\,b])\cap\mathcal{F},\,w_{0})$를 얻는다.     

정리 1.86 $(C_{0}([a,\,b]),\,\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b])),\,\mathfrak{m})=(C_{0}([a,\,b]),\,C_{0}([a,\,b])\cap\mathcal{F},\,w_{0})$

증명: 생략

정리 1.87(콜모고로프 정리, Kolmogorov's theorem) 각각의 유한수열 $t_{1},\,...,\,t_{n}\in[a,\,b]$에 대해 $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$에 대해서 $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$에서의 확률측도 $\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})$이 존재해서 $\{\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})\}$이 일관성 조건들을 만족한다고 하고, 또한 $\delta,\,\epsilon,\,K>0$가 존재해서 모든 $t_{1},\,t_{2}\in[a,\,b]$에 대해 다음의 부등식이 성립한다고 하자. $$\int_{\mathbb{R}^{2}}{|v_{2}-v_{1}|^{\delta}d\mu(t_{1},\,t_{2})(v_{1},\,v_{2})}\leq K|t_{2}-t_{1}|^{1+\epsilon}$$ 그러면 $(C([a,\,b]),\,\mathcal{B}(C([a,\,b])))$에 확률측도 $\mu$가 존재해서 $\mu$의 유한차원분포는 가정에서 주어진 $\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})$이 된다. 

증명: 생략

아인슈타인과 위너에 의해 제시된 유한차원분포가 콜모고로프 정리의 조건을 만족함을 보이자. 이때 $\delta=4$, $K=3$, $\epsilon=1$이다. 

(1) $a<t_{1}<t_{2\leq b}$인 경우 $\displaystyle\int_{\mathbb{R}^{2}}{|v_{2}-v_{1}|^{4}W_{2}(\vec{t},\,\vec{u})dv_{2}dv_{1}}=3|t_{2}-t_{1}|^{2}$

(2) $a=t_{1}<t_{2}\leq b$인 경우 $\displaystyle\int_{\mathbb{R}^{2}}{|v_{2}-v_{1}|^{4}W_{1}(t_{2},\,v_{2})d\delta(v_{1})dv_{2}}=\int_{\mathbb{R}^{2}}{v_{2}^{4}W_{1}(t_{2},\,v_{2})dv_{2}}=3|t_{2}-a|^{2}$ 

위의 사실과 콜모고로프 정리에 의해 $(C([a,\,b]),\,\mathcal{B}(C([a,\,b])))$에 확률측도 $\mathfrak{m}$을 도입할 수 있다. 다음의 식으로부터 $\mathfrak{m}$이 $C_{0}([a,\,b])$에 집중되어 있음을 알 수 있다. $$\mathfrak{m}(C_{0}([a,\,b]))=\mathfrak{m}(\{x\in C([a,\,b])\,|\,x(a)=0\})=\int_{\{0\}}{d\delta(v)}=1$$ 다음의 예는 콜모고로프 정리를 만족하지 못하는 유한차원분포(보렐측도)이다. 

$a\leq t\leq b$, $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$일 때 $$\mu(t)(B)=\int_{B}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}s^{2}}ds}$$ 로 정의하자. $t_{i}\in[a,\,b],\,i=1,\,...,\,n$ $$\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})(B)=(\mu(t_{1})\times\cdots\times\mu(t_{n}))(B),\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$$ 로 정의하면 $\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})$은 두 일관성 조건을 만족하고 따라서 콜모고로프의 일관성 정리로부터 $(\mathbb{R}^{T},\,\mathcal{F})$에서의 측도 $\mu$가 결정된다.

$C([a,\,b])$에서의 구간 $I$에 대해 $\mu$는 다음의 식을 만족한다. $$\mu(I)=\mu(t_{1},\,...,\,t_{n})((\alpha_{1},\,\beta_{1}]\times\cdots\times(\alpha_{n},\,\beta_{n}])$$ 그러나 $\mu$는 $\mathcal{B}(C([a,\,b]))$에서 가산가법적이지 않다. 가산가법적이라고 가정하고, $I=\{x\in C([a,\,b])\,|\,x(b)>0\}$로 놓고, $b$로 수렴하는 증가수열 $\{t_{j}\}$를 선택하자. $$J_{n}=\{x\in C([a,\,b])\,|\,x(t_{j})>0,\,j=1,\,...,\,n\}$$ 라고 하면 $$\begin{align*}\mu(J_{n})&=\mu(t_{n},\,...,\,t_{2n})((0,\,\infty]\times\cdots\times(0,\,\infty])\\&=\left\{\int_{0}^{\infty}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}s^{2}}ds}\right\}^{n+1}\\&=\frac{1}{2^{n+1}}\end{align*}$$ 이므로 $$\begin{align*}\sum_{n=2}^{\infty}{\mu(J_{n})}&=\frac{1}{4}\\ \mu\left(\bigcup_{n=2}^{\infty}{J_{n}}\right)&\leq\sum_{n=2}^{\infty}{\mu(J_{n})}=\frac{1}{4}<\frac{1}{2}=\mu(I)\end{align*}$$ $x$는 연속함수이므로 $\displaystyle I\subset\bigcup_{n=2}^{\infty}{J_{n}}$이고 $\displaystyle\mu(I)\leq\mu\left(\bigcup_{n=2}^{\infty}{J_{n}}\right)$이고 앞의 결과와 모순이다.

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford

위너 적분론, 장건수, 민음사