2-1. 카메룬-마틴 변환정리(1)

2-1. 카메룬-마틴 변환정리(1)

함수 \(g(t)\)가 구간 \([\alpha,\,\beta]\)에서 정의되고 도함수 \(g'(t)\)가 연속, \(a=g(\alpha)\), \(b=g(\beta)\)라 하자. 함수 \(f(x)\)가 \(g\)의 치역에서 연속이라고 하면, 다음과 같이 리만적분에서의 변수변환정리가 성립한다.$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{\alpha}^{\beta}{f(g(t))g'(t)dt}$$이러한 변환정리가 위너적분에서 성립하는가에 대한 질문이 있을 것이다. 그에 대한 답은 카메룬-마틴 변환정리이고, 이 정리는 위너적분, 파인만적분, 확률적분 등에서 사용된다. 일반적으로 위너 측도공간에서 거의 모든 평행변환은 위너 가측성을 보존하지 않으나 카메룬-마틴 변환정리는 어떤 특정한 평행변환에 대한 결과이다.

구간 \([a,\,b]\)에서 유계변동인 함수들의 집합을 \(BV([a,\,b])\)로 나타낸다.

정리 2.1 (카메룬-마틴 변환정리, Cameron-Martin transformation theorem) \(\varphi(t)\in C([a,\,b])\cap BV([a,\,b])\)이고, \(\displaystyle x_{0}(t)=\int_{a}^{t}{\varphi(s)ds}\)라 하자. 평행변환 \(L:C_{0}([a,\,b])\,\rightarrow\,C_{0}([a,\,b])\)을 \((Lx)(t)=x(t)+x_{0}(t)\)라 하자. 그러면 \(F(x)\)가 위너가측이면, \(F(x+x_{0})\)도 위너가측이고 다음의 등식이 성립한다.$$\begin{align*}\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(y)d\mathfrak{m}(y)}&=e^{-\frac{1}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x+x_{0})e^{-\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}d\mathfrak{m}(x)}\end{align*}$$*\(x_{0}\in C_{0}([a,\,b])\)이고 \(x_{0}'(t)=\varphi(t)\)이므로 변환 \(L\)은 잘 정의된다. 

증명: 

(1) \(F\)가 유계 연속함수이고, \(M<\|y\|_{\infty}\)인 \(y\)에 대해 \(F(y)=0\)인 경우, \(F\)가 연속이고 \(L\)도 연속이므로 \(F(x+x_{0})=(F\circ)L(x)\)는 연속이다. 따라서 위너가측이다. \(F\)가 유계이므로 모든 \(y\in C_{0}([a,\,b])\)에 대해 \(|F(y)|\leq K\)라 하자. 

\(i=0,\,1,\,...,\,n\)일 때 \(\displaystyle t_{i}=a+\frac{(b-a)i}{n}\)라 하자. \(y\in C_{0}([a,\,b])\)에 대해 \(P_{n}y\)를 구간 \([t_{i-1},\,t_{i}]\)에서 직선이고 \((P_{n}y)(t_{i})=y(t_{i})\)인 부분구간 직선함수라 하자. 

\(\vec{v}=(v_{1},\,...,\,v_{n})\)에 대해 \(Z(\vec{v})\)를 점 \((t_{i},\,v_{i})\)를 지나는 부분구간 직선함수, 함수 \(G\)를 \(G(\vec{v})=F(Z(\vec{v}))\)로 정의하면 \(G\)는 \(\mathbb{R}^{n}\)에서 유계이고 연속이다. 또한 \(Z((y(t_{1}),\,...,\,y(t_{n})))=P_{n}y\)이므로 \(F(P_{n}y)=G((y(t_{1}),\,...,\,y(t_{n})))\)이다.$$\begin{align*}I&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(P_{n}y)d\mathfrak{m}(y)}\\&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{G((y(t_{1}),\,...,\,y(t_{n})))d\mathfrak{m}(y)}\\&=\int_{\mathbb{R}^{n}}{G((v_{1},\,...,\,v_{n}))W_{n}(\vec{t},\,\vec{v})d\vec{v}}\end{align*}$$이고 여기서 변수변환 \(v_{i}=u_{i}+a_{i}\), \(a_{i}=x_{0}(t_{i})\)라 하고 다음의 식$$F(P_{n}(x+x_{0}))=G((x(t_{1})+x_{0}(t_{1}),\,...,\,x(t_{n})+x_{0}(t_{n})))$$을 이용해 다음의 식을 얻는다.$$I=\exp\left(-\sum_{i=1}^{n}{\frac{\{x_{0}(t_{i})-x_{0}(t_{i-1})\}^{2}}{2(t_{i}-t_{i-1})}}\right)\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(P_{n}(x+x_{0}))\exp\left(-\sum_{i=1}^{n}{\frac{\{x(t_{i})-x(t_{i-1})\}\{x_{0}(t_{i})-x_{0}(t_{i-1})\}}{t_{i}-t_{i-1}}}\right)d\mathfrak{m}(x)}$$위의 식에 극한 \(n\,\rightarrow\,\infty\)을 취하면 \(\|y-P_{n}(y)\|_{\infty}\,\rightarrow\,0\)이므로 \(F(P_{n}(y))\,\rightarrow\,F(y)\)이고, \(\|P_{n}(x+x_{0})-(x+x_{0})\|_{\infty}\,\rightarrow\,0\)이므로 \(F(P_{n}(x+x_{0}))\,\rightarrow\,F(x+x_{0})\)이다. 평균값 정리로부터 \(\tau_{i}\)가 존재해서 다음의 두 등식들이 성립한다.$$\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}{\frac{\{x_{0}(t_{i})-x_{0}(t_{i-1})\}^{2}}{t_{i}-t_{i-1}}}&=\sum_{i=1}^{n}{\{\varphi(\tau_{i})\}^{2}(t_{i}-t_{i-1})}\\ \sum_{i=1}^{n}{\frac{\{x(t_{i})-x(t_{i-1})\}\{x_{0}(t_{i})-x_{0}(t_{i-1})\}}{t_{i}-t_{i-1}}}&=\sum_{i=1}^{n}{\varphi(\tau_{i})\{x(t_{i})-x(t_{i-1})\}}\end{align*}$$\(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 위 두 식들은 각각 다음의 적분으로 수렴한다.$$\int_{a}^{b}{\{\varphi(t)\}^{2}dt}=\|\varphi\|_{2}^{2},\,\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}$$식 \(I\)의 피적분함수가 유계임을 보이면 유계수렴정리로부터 카메룬-마틴 변환정리가 성립하기 때문에 유계임을 보이면 된다. \(|F(y)|\leq K\)이므로 \(I\)의 좌변(초기의 식)은 유계이고, \(\|P_{n}(x+x_{0})\|_{\infty}\leq M\)이면, \(i=1,\,...,\,n\)에 대해 다음의 부등식이 성립한다.$$|x(t_{i})|\leq|x_{0}(t_{i})|+M\leq\|x_{0}\|_{\infty}+M$$다음의 부등식이 성립하고$$\begin{align*}&\left|\sum_{i=1}^{n}{\frac{\{x(t_{i})-x(t_{i-1})\}\{x_{0}(t_{i})-x_{0}(t_{i-1})\}}{t_{i}-t_{i-1}}}\right|\\&=\left|\sum_{i=1}^{n}{\varphi(\tau_{i})\{x(t_{i})-x(t_{i-1})\}}\right|\\&=\left|\varphi(\tau_{n})x(t_{n})-\varphi(\tau_{i})x(a)-\sum_{i=1}^{n}{x(t_{i-1})\{\varphi(\tau_{i})-\varphi(t_{i-1})\}}\right|\\&\leq\|\varphi\|_{\infty}(\|x_{0}\|_{\infty}+M)+(\|x_{0}\|_{\infty}+M)T_{\varphi}\\&=(\|x_{0}\|_{\infty}+M)(\|\varphi\|_{\infty}+T_{\varphi})\end{align*}$$여기서 \(T_{\varphi}\)는 \(\varphi\)의 전변동(total variation), 위 식의 두 번째 등식은 아벨 합 항등식(Abel summation identity)이다. 따라서$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(y)d\mathfrak{m}(y)}\leq Ke^{(M+\|x_{0}\|_{\infty})(\|\varphi\|_{\infty}+T_{\varphi})}$$이므로 유계수렴정리에 의해 성립한다.

(2) \(F\)가 유계 연속이고 \(F\geq0\)인 경우 \(n\in\mathbb{N}\)에 대해$$\begin{align*}M_{n}(x)&=\begin{cases}1&\,(0\leq u\leq n)\\n+1-u&\,(n\leq u\leq n+1)\\0&\,(u\geq n+1)\end{cases}\\F_{n}(x)&=F(x)M_{n}(\|x\|)\end{align*}$$라 하면, \(F_{n}\)은 (1)의 가정을 만족하므로 따라서 다음의 등식이 성립하고$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F_{n}(y)d\mathfrak{m}(y)}=e^{-\frac{1}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}\int_{C_{0}([a,\,b])}{F_{n}(x+x_{0})e^{-\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}d\mathfrak{m}(x)}$$모든 \(x\in C_{0}([a,\,b])\)에 대해 \(F_{n}(x)\)는 \(F(x)\)로 증가하면서 수렴하므로 단조수렴정리에 의해 카메룬-마틴 정리가 증명된다. 

따름정리 2.2 

(a) 함수 \(\displaystyle g(x)=e^{-\frac{1}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}e^{-\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}\)는 위너적분 가능하고 \(\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}{g(x)d\mathfrak{m}(x)}=1\)이다. 따라서 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{e^{-\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}d\mathfrak{m}(x)}=e^{\frac{1}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}$$(b) \(F\)가 유계이고 연속이면 카메룬-마틴 변환정리가 성립한다.

증명:

(a): \(\displaystyle\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}\)는 \(x\)의 함수로서 연속이므로 \(g(x)\)는 연속이고 따라서 위너가측이다. \(F=1\)로 놓고, 정리 2.1의 (2)의 경우에 적용하면 다음의 등식이 성립한다.$$1=\int_{C_{0}([a,\,b])}{1d\mathfrak{m}(y)}=\int_{C_{0}([a,\,b])}{g(x)d\mathfrak{m}(x)}$$(b): \(F=F^{+}-F^{-}\)로 놓고 정리 2.1의 (2)의 경우에 적용한다.

정리 2.1가 일반적인 경우에도 성립함을 증명하자.

보렐집합 \(B\in C_{0}([a,\,b])\)에 대해 집합함수 \(\nu\)를 \(\displaystyle\nu(B)=\int_{C_{0}([a,\,b])}{\chi_{B}(x)g(x)d\mathfrak{m}(x)}\)로 정의하면 \(\nu\)는 보렐측도이고, 여기서 \(g(x)\)는 따름정리 2.2의 (a)의 함수이다. 

이 경우 유계연속인 함수 \(F\)에 대해 다음이 성립하므로$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(y)d\mathfrak{m}(y)}=\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x+x_{0})d\nu(x)}=\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(y)d(\nu\circ L^{-1})(y)}$$이고 따라서 \(\mathfrak{m}\)과 \(\nu\circ L^{-1}\)는 보렐측도이고 \(\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]))\)에서 같고, 동일한 완비측도공간(\(\mathcal{S}_{1}\))을 갖는다. 그러므로 위너가측인 함수 \(F\)에 대해서도 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(y)d\mathfrak{m}(y)}=\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(y)d(\nu\circ L^{-1})(y)}\,(1)$$\(L\)이 \(\mathcal{S}_{1}-\mathcal{S}_{1}\)가측함수임을 보이면$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(y)d(\nu\circ L^{-1})(y)}=\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x+x_{0})d\nu(x)}\,(2)$$이므로 위의 식 (1)과 (2)에 의해 증명이 완료된다.

\(L\)이 \(\mathcal{S}_{1}-\mathcal{S}_{1}\)가측임을 보이기 위해서 \(L\)이 보렐 영집합을 보렐 영집합으로 사상함을 보이면 된다. \(N\)을 보렐 영집합이라고 하면 \(\nu\)의 정의와 위의 식 (1)에 의해$$\begin{align*}0&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{\chi_{N}(y)d\mathfrak{m}(y)}\\&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{\chi_{N}(x+x_{0})g(x)d\mathfrak{m}(x)}\\&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{\chi_{N-x_{0}}(x)g(x)d\mathfrak{m}(x)}\end{align*}$$이고 \(g(x)\neq0\)이므로 \(N-x_{0}\)는 보렐 영집합이다. 이렇게 해서 카메룬-마틴 정리를 완전히 증명했다. 

따름정리 2.3 \(\varphi(t)\), \(x_{0}(t)\), \(L(x)\)를 정리 2.1의 함수라고 하자. \(A\in\mathcal{S}_{1}\)이면 \(L[A]=A+x_{0}\in\mathcal{S}_{1}\)이고 다음의 등식이 성립한다.$$\begin{align*}\mathfrak{m}(A+x_{0})&=e^{-\frac{1}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}\int_{A}{e^{-\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}d\mathfrak{m}(x)}\\&=\int_{A}{g(x)d\mathfrak{m}(x)}\end{align*}$$증명: 정리 2.1의 증명에서 \(L\)이 \(\mathcal{S}_{1}-\mathcal{S}_{1}\)가측이므로 \(L^{-1}[A]=A-x_{0}\in\mathcal{S}_{1}\)이다. \(-x_{0}\)도 \(x_{0}\)와 같은 가정을 만족하므로 \(L[A]=x+x_{0}=x-(-x_{0})\in\mathcal{S}_{1}\)이다. \(F(y)=\chi_{L[A]}(y)\)로 놓고 정리 2.1을 적용하면 원하는 결과를 얻는다. 

*\(\mathfrak{m}(A)=\mathfrak{m}(A+x_{0})\)으로 정의하면 \(\nu\)는 \((C_{0}([a,\,b]),\,\mathcal{S}_{1})\)에서 확률측도이고 따름정리 2.3에 의해 \(\nu\ll\mathfrak{m}\)이고 \(\displaystyle\frac{d\nu}{d\mathfrak{m}}=g(x)\)이다.  

따름정리 2.4 \(C_{0}([a,\,b])\)에서의 모든 열린집합 \(G(\neq\emptyset)\)에 대해 \(0<\mathfrak{m}(G)\leq1\)이다. 

정리 2.5 \(x_{0}\)를 정리 2.1의 함수 \(\displaystyle x_{0}(t)=\int_{a}^{t}{\varphi(s)ds}\)라 하자. \(F(x)\)가 위너가측이면 \(F(x+x_{0})\)도 위너가측이고 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x+x_{0})d\mathfrak{m}(x)}=e^{-\frac{1}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)e^{\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}d\mathfrak{m}(x)}$$증명: \(\displaystyle G(x)=F(x)e^{\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}\)로 놓고 정리 2.1을 적용하면 다음에 의해 성립한다.$$\begin{align*}&\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)e^{\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}d\mathfrak{m}(x)}\\&=\int_{C_{0}}{G(x)d\mathfrak{m}(x)}\\&=e^{-\frac{1}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}\int_{C_{0}([a,\,b])}{G(x+x_{0})e^{-\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}d\mathfrak{m}(x)}\\&=e^{-\frac{1}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x+x_{0})e^{\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx_{0}(t)}}d\mathfrak{m}(x)}\\&=e^{-\frac{1}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}e^{\int_{a}^{b}{\varphi(t)x_{0}'(t)dt}}\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x+x_{0})d\mathfrak{m}(x)}\\&=e^{\frac{1}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x+x_{0})d\mathfrak{m}(x)}\end{align*}$$다음의 정리는 따름정리 1.2(a)를 복소수로 확장한 결과이다. 

정리 2.6 \(\varphi(t)\in C([a,\,b])\cap BV([a,\,b])\)라 하자. 모든 \(\lambda\in\mathbb{C}\)에 대해 다음의 등식이 성립하고$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{e^{-\lambda\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}d\mathfrak{m}(x)}=e^{\frac{\lambda^{2}}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}\,(1)$$특히 임의의 \(v\in\mathbb{R}\)에 대해 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{e^{iv\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}d\mathfrak{m}(x)}=e^{-\frac{v^{2}}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}$$증명: \(\lambda\in\mathbb{R}\)에 대해 \(\lambda\varphi(t)\in C([a,\,b])\cap BV([a,\,b])\)이므로 따름정리 2.2(a)에 의해 다음의 식이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{e^{-\lambda\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}d\mathfrak{m}(x)}=e^{\frac{\lambda^{2}}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}$$위 식의 우변은 \(\lambda\)의 함수로서 정함수(entire function)이다. 또한 다음의 함수는 위너적분 가능한 함수이다.$$\left|e^{-\lambda\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}\right|=e^{-\text{Re}\left(\lambda\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}\right)}$$이제 \(\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}{e^{-\lambda\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}d\mathfrak{m}(x)}\)가 \(\lambda\)에 대한 정함수임을 보이면, \(e^{\frac{\lambda^{2}}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}\)와 같다. 이를 보이기 위해 모레라 정리를 이용한다.

함수 \(e^{-\lambda\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}\)는 정함수이다. \(\lambda_{n}\,\rightarrow\,\lambda_{0}\), 모든 \(n\)에 대해 \(M>0\)을 선택해서 \(|\lambda_{n}|\leq M\)이라 하자. 그러면 \(u\in\mathbb{R}\)에 대해$$|e^{\lambda_{n}u}|=e^{\text{Re}\lambda_{n}u}\leq e^{|\lambda_{n}||u|}<e^{Mu}+e^{-Mu}$$이므로 다음의 부등식이 성립한다.$$|e^{-\lambda_{n}\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}|\leq e^{M\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}+e^{-M\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}$$위 부등식의 우변의 함수는 위너적분 가능하므로 지배수렴정리에 의해 \(\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}{e^{-\lambda\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}d\mathfrak{m}(x)}\)는 연속이다.  

\(\Delta\)를 \(\mathbb{C}\)에서 임의의 닫힌 삼각형이라 하자. 식 (1)의 좌변이 정함수임을 보이기 위해 다음의 등식이 성립함을 보이면 된다.$$\int_{\partial\Delta}{\int_{C_{0}([a,\,b])}{e^{-\lambda\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}d\mathfrak{m}(x)}d\lambda}=0$$위 식의 좌변에 푸비니 정리를 적용해서 적분의 순서를 바꾸고 코시 적분정리를 적용하면 위 등식이 성립한다. 따라서 위 등식에 푸비니 정리를 사용할 수 있는 조건을 찾으면 된다. 

모든 \(\lambda\in\partial\Delta\)에 대해 상수 \(K_{0}\)가 존재해서 \(|\lambda|\leq K_{0}\)이므로 따라서$$K=\int_{C_{0}([a,\,b])}{\left\{e^{K_{0}\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}+e^{-K_{0}\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}\right\}d\mathfrak{m}(x)}$$는 유계이고 \(\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}{|e^{-\lambda\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}|d\mathfrak{m}(x)}\)는 \(\lambda\in\partial\Delta\)와는 독립적이다. 

\(\lambda=\lambda(s)\,(c\leq s\leq d)\)를 부분적으로 연속인 도함수를 갖는 \(\partial\Delta\)를 매개변수화한 곡선이라 하자. 일반적으로 다음의 등식이 성립하므로$$\int_{\partial\Delta}{H(\lambda)d\lambda}=\int_{c}^{d}{H(\lambda(s))\lambda'(s)ds}$$푸비니 정리의 조건을 만족하기 위해 다음의 부등식이 성립함을 보이면 된다.$$I=\int_{c}^{d}{\left\{\int_{C_{0}([a,\,b])}{|e^{-\lambda(s)\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}||\lambda'(s)|d\mathfrak{m}(x)}\right\}ds}<\infty$$그런데$$I\leq\int_{c}^{d}{K\|\lambda'\|_{\infty}ds}=K\|\lambda'\|_{\infty}(d-c)<\infty$$이므로 푸비니 정리의 조건이 만족되고 따라서 증명을 완료했다.

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford

위너 적분론, 장건수, 민음사