2-1. 카메룬-마틴 변환정리(1)

2-1. 카메룬-마틴 변환정리(1)

함수 $g(t)$가 구간 $[\alpha,\,\beta]$에서 정의되고 도함수 $g'(t)$가 연속, $a=g(\alpha)$, $b=g(\beta)$라 하자. 함수 $f(x)$가 $g$의 치역에서 연속이라고 하면, 다음과 같이 리만적분에서의 변수변환정리가 성립한다. $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{\alpha}^{\beta}{f(g(t))g'(t)dt}$$ 이러한 변환정리가 위너적분에서 성립하는가에 대한 질문이 있을 것이다. 그에 대한 답은 카메룬-마틴 변환정리이고, 이 정리는 위너적분, 파인만적분, 확률적분 등에서 사용된다. 일반적으로 위너 측도공간에서 거의 모든 평행변환은 위너 가측성을 보존하지 않으나 카메룬-마틴 변환정리는 어떤 특정한 평행변환에 대한 결과이다.

구간 $[a,\,b]$에서 유계변동인 함수들의 집합을 $BV([a,\,b])$로 나타낸다.

정리 2.1 (카메룬-마틴 변환정리, Cameron-Martin transformation theorem) $\varphi(t)\in C([a,\,b])\cap BV([a,\,b])$이고, $\displaystyle x_{0}(t)=\int_{a}^{t}{\varphi(s)ds}$라 하자. 평행변환 $L:C_{0}([a,\,b])\,\rightarrow\,C_{0}([a,\,b])$을 $(Lx)(t)=x(t)+x_{0}(t)$라 하자. 그러면 $F(x)$가 위너가측이면, $F(x+x_{0})$도 위너가측이고 다음의 등식이 성립한다. $$\begin{align*}\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(y)d\mathfrak{m}(y)}&=e^{-\frac{1}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x+x_{0})e^{-\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}d\mathfrak{m}(x)}\end{align*}$$ *$x_{0}\in C_{0}([a,\,b])$이고 $x_{0}'(t)=\varphi(t)$이므로 변환 $L$은 잘 정의된다. 

증명: 

(1) $F$가 유계 연속함수이고, $M<\|y\|_{\infty}$인 $y$에 대해 $F(y)=0$인 경우, $F$가 연속이고 $L$도 연속이므로 $F(x+x_{0})=(F\circ)L(x)$는 연속이다. 따라서 위너가측이다. $F$가 유계이므로 모든 $y\in C_{0}([a,\,b])$에 대해 $|F(y)|\leq K$라 하자. 

$i=0,\,1,\,...,\,n$일 때 $\displaystyle t_{i}=a+\frac{(b-a)i}{n}$라 하자. $y\in C_{0}([a,\,b])$에 대해 $P_{n}y$를 구간 $[t_{i-1},\,t_{i}]$에서 직선이고 $(P_{n}y)(t_{i})=y(t_{i})$인 부분구간 직선함수라 하자. 

$\vec{v}=(v_{1},\,...,\,v_{n})$에 대해 $Z(\vec{v})$를 점 $(t_{i},\,v_{i})$를 지나는 부분구간 직선함수, 함수 $G$를 $G(\vec{v})=F(Z(\vec{v}))$로 정의하면 $G$는 $\mathbb{R}^{n}$에서 유계이고 연속이다. 또한 $Z((y(t_{1}),\,...,\,y(t_{n})))=P_{n}y$이므로 $F(P_{n}y)=G((y(t_{1}),\,...,\,y(t_{n})))$이다. $$\begin{align*}I&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(P_{n}y)d\mathfrak{m}(y)}\\&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{G((y(t_{1}),\,...,\,y(t_{n})))d\mathfrak{m}(y)}\\&=\int_{\mathbb{R}^{n}}{G((v_{1},\,...,\,v_{n}))W_{n}(\vec{t},\,\vec{v})d\vec{v}}\end{align*}$$ 이고 여기서 변수변환 $v_{i}=u_{i}+a_{i}$, $a_{i}=x_{0}(t_{i})$라 하고 다음의 식 $$F(P_{n}(x+x_{0}))=G((x(t_{1})+x_{0}(t_{1}),\,...,\,x(t_{n})+x_{0}(t_{n})))$$ 을 이용해 다음의 식을 얻는다. $$I=\exp\left(-\sum_{i=1}^{n}{\frac{\{x_{0}(t_{i})-x_{0}(t_{i-1})\}^{2}}{2(t_{i}-t_{i-1})}}\right)\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(P_{n}(x+x_{0}))\exp\left(-\sum_{i=1}^{n}{\frac{\{x(t_{i})-x(t_{i-1})\}\{x_{0}(t_{i})-x_{0}(t_{i-1})\}}{t_{i}-t_{i-1}}}\right)d\mathfrak{m}(x)}$$ 위의 식에 극한 $n\,\rightarrow\,\infty$을 취하면 $\|y-P_{n}(y)\|_{\infty}\,\rightarrow\,0$이므로 $F(P_{n}(y))\,\rightarrow\,F(y)$이고, $\|P_{n}(x+x_{0})-(x+x_{0})\|_{\infty}\,\rightarrow\,0$이므로 $F(P_{n}(x+x_{0}))\,\rightarrow\,F(x+x_{0})$이다. 평균값 정리로부터 $\tau_{i}$가 존재해서 다음의 두 등식들이 성립한다. $$\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}{\frac{\{x_{0}(t_{i})-x_{0}(t_{i-1})\}^{2}}{t_{i}-t_{i-1}}}&=\sum_{i=1}^{n}{\{\varphi(\tau_{i})\}^{2}(t_{i}-t_{i-1})}\\ \sum_{i=1}^{n}{\frac{\{x(t_{i})-x(t_{i-1})\}\{x_{0}(t_{i})-x_{0}(t_{i-1})\}}{t_{i}-t_{i-1}}}&=\sum_{i=1}^{n}{\varphi(\tau_{i})\{x(t_{i})-x(t_{i-1})\}}\end{align*}$$ $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 위 두 식들은 각각 다음의 적분으로 수렴한다. $$\int_{a}^{b}{\{\varphi(t)\}^{2}dt}=\|\varphi\|_{2}^{2},\,\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}$$ 식 $I$의 피적분함수가 유계임을 보이면 유계수렴정리로부터 카메룬-마틴 변환정리가 성립하기 때문에 유계임을 보이면 된다. $|F(y)|\leq K$이므로 $I$의 좌변(초기의 식)은 유계이고, $\|P_{n}(x+x_{0})\|_{\infty}\leq M$이면, $i=1,\,...,\,n$에 대해 다음의 부등식이 성립한다. $$|x(t_{i})|\leq|x_{0}(t_{i})|+M\leq\|x_{0}\|_{\infty}+M$$ 다음의 부등식이 성립하고 $$\begin{align*}&\left|\sum_{i=1}^{n}{\frac{\{x(t_{i})-x(t_{i-1})\}\{x_{0}(t_{i})-x_{0}(t_{i-1})\}}{t_{i}-t_{i-1}}}\right|\\&=\left|\sum_{i=1}^{n}{\varphi(\tau_{i})\{x(t_{i})-x(t_{i-1})\}}\right|\\&=\left|\varphi(\tau_{n})x(t_{n})-\varphi(\tau_{i})x(a)-\sum_{i=1}^{n}{x(t_{i-1})\{\varphi(\tau_{i})-\varphi(t_{i-1})\}}\right|\\&\leq\|\varphi\|_{\infty}(\|x_{0}\|_{\infty}+M)+(\|x_{0}\|_{\infty}+M)T_{\varphi}\\&=(\|x_{0}\|_{\infty}+M)(\|\varphi\|_{\infty}+T_{\varphi})\end{align*}$$ 여기서 $T_{\varphi}$는 $\varphi$의 전변동(total variation), 위 식의 두 번째 등식은 아벨 합 항등식(Abel summation identity)이다. 따라서 $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(y)d\mathfrak{m}(y)}\leq Ke^{(M+\|x_{0}\|_{\infty})(\|\varphi\|_{\infty}+T_{\varphi})}$$ 이므로 유계수렴정리에 의해 성립한다.

(2) $F$가 유계 연속이고 $F\geq0$인 경우 $n\in\mathbb{N}$에 대해 $$\begin{align*}M_{n}(x)&=\begin{cases}1&\,(0\leq u\leq n)\\n+1-u&\,(n\leq u\leq n+1)\\0&\,(u\geq n+1)\end{cases}\\F_{n}(x)&=F(x)M_{n}(\|x\|)\end{align*}$$ 라 하면, $F_{n}$은 (1)의 가정을 만족하므로 따라서 다음의 등식이 성립하고 $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F_{n}(y)d\mathfrak{m}(y)}=e^{-\frac{1}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}\int_{C_{0}([a,\,b])}{F_{n}(x+x_{0})e^{-\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}d\mathfrak{m}(x)}$$ 모든 $x\in C_{0}([a,\,b])$에 대해 $F_{n}(x)$는 $F(x)$로 증가하면서 수렴하므로 단조수렴정리에 의해 카메룬-마틴 정리가 증명된다. 

따름정리 2.2 

(a) 함수 $\displaystyle g(x)=e^{-\frac{1}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}e^{-\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}$는 위너적분 가능하고 $\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}{g(x)d\mathfrak{m}(x)}=1$이다. 따라서 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{e^{-\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}d\mathfrak{m}(x)}=e^{\frac{1}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}$$ (b) $F$가 유계이고 연속이면 카메룬-마틴 변환정리가 성립한다.

증명:

(a): $\displaystyle\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}$는 $x$의 함수로서 연속이므로 $g(x)$는 연속이고 따라서 위너가측이다. $F=1$로 놓고, 정리 2.1의 (2)의 경우에 적용하면 다음의 등식이 성립한다. $$1=\int_{C_{0}([a,\,b])}{1d\mathfrak{m}(y)}=\int_{C_{0}([a,\,b])}{g(x)d\mathfrak{m}(x)}$$ (b): $F=F^{+}-F^{-}$로 놓고 정리 2.1의 (2)의 경우에 적용한다.

정리 2.1가 일반적인 경우에도 성립함을 증명하자.

보렐집합 $B\in C_{0}([a,\,b])$에 대해 집합함수 $\nu$를 $\displaystyle\nu(B)=\int_{C_{0}([a,\,b])}{\chi_{B}(x)g(x)d\mathfrak{m}(x)}$로 정의하면 $\nu$는 보렐측도이고, 여기서 $g(x)$는 따름정리 2.2의 (a)의 함수이다. 

이 경우 유계연속인 함수 $F$에 대해 다음이 성립하므로 $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(y)d\mathfrak{m}(y)}=\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x+x_{0})d\nu(x)}=\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(y)d(\nu\circ L^{-1})(y)}$$ 이고 따라서 $\mathfrak{m}$과 $\nu\circ L^{-1}$는 보렐측도이고 $\mathcal{B}(C_{0}([a,\,b]))$에서 같고, 동일한 완비측도공간($\mathcal{S}_{1}$)을 갖는다. 그러므로 위너가측인 함수 $F$에 대해서도 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(y)d\mathfrak{m}(y)}=\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(y)d(\nu\circ L^{-1})(y)}\,(1)$$ $L$이 $\mathcal{S}_{1}-\mathcal{S}_{1}$가측함수임을 보이면 $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(y)d(\nu\circ L^{-1})(y)}=\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x+x_{0})d\nu(x)}\,(2)$$ 이므로 위의 식 (1)과 (2)에 의해 증명이 완료된다.

$L$이 $\mathcal{S}_{1}-\mathcal{S}_{1}$가측임을 보이기 위해서 $L$이 보렐 영집합을 보렐 영집합으로 사상함을 보이면 된다. $N$을 보렐 영집합이라고 하면 $\nu$의 정의와 위의 식 (1)에 의해 $$\begin{align*}0&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{\chi_{N}(y)d\mathfrak{m}(y)}\\&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{\chi_{N}(x+x_{0})g(x)d\mathfrak{m}(x)}\\&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{\chi_{N-x_{0}}(x)g(x)d\mathfrak{m}(x)}\end{align*}$$ 이고 $g(x)\neq0$이므로 $N-x_{0}$는 보렐 영집합이다. 이렇게 해서 카메룬-마틴 정리를 완전히 증명했다. 

따름정리 2.3 $\varphi(t)$, $x_{0}(t)$, $L(x)$를 정리 2.1의 함수라고 하자. $A\in\mathcal{S}_{1}$이면 $L[A]=A+x_{0}\in\mathcal{S}_{1}$이고 다음의 등식이 성립한다. $$\begin{align*}\mathfrak{m}(A+x_{0})&=e^{-\frac{1}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}\int_{A}{e^{-\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}d\mathfrak{m}(x)}\\&=\int_{A}{g(x)d\mathfrak{m}(x)}\end{align*}$$ 증명: 정리 2.1의 증명에서 $L$이 $\mathcal{S}_{1}-\mathcal{S}_{1}$가측이므로 $L^{-1}[A]=A-x_{0}\in\mathcal{S}_{1}$이다. $-x_{0}$도 $x_{0}$와 같은 가정을 만족하므로 $L[A]=x+x_{0}=x-(-x_{0})\in\mathcal{S}_{1}$이다. $F(y)=\chi_{L[A]}(y)$로 놓고 정리 2.1을 적용하면 원하는 결과를 얻는다. 

*$\mathfrak{m}(A)=\mathfrak{m}(A+x_{0})$으로 정의하면 $\nu$는 $(C_{0}([a,\,b]),\,\mathcal{S}_{1})$에서 확률측도이고 따름정리 2.3에 의해 $\nu\ll\mathfrak{m}$이고 $\displaystyle\frac{d\nu}{d\mathfrak{m}}=g(x)$이다.  

따름정리 2.4 $C_{0}([a,\,b])$에서의 모든 열린집합 $G(\neq\emptyset)$에 대해 $0<\mathfrak{m}(G)\leq1$이다. 

정리 2.5 $x_{0}$를 정리 2.1의 함수 $\displaystyle x_{0}(t)=\int_{a}^{t}{\varphi(s)ds}$라 하자. $F(x)$가 위너가측이면 $F(x+x_{0})$도 위너가측이고 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x+x_{0})d\mathfrak{m}(x)}=e^{-\frac{1}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)e^{\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}d\mathfrak{m}(x)}$$ 증명: $\displaystyle G(x)=F(x)e^{\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}$로 놓고 정리 2.1을 적용하면 다음에 의해 성립한다. $$\begin{align*}&\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)e^{\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}d\mathfrak{m}(x)}\\&=\int_{C_{0}}{G(x)d\mathfrak{m}(x)}\\&=e^{-\frac{1}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}\int_{C_{0}([a,\,b])}{G(x+x_{0})e^{-\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}d\mathfrak{m}(x)}\\&=e^{-\frac{1}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x+x_{0})e^{\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx_{0}(t)}}d\mathfrak{m}(x)}\\&=e^{-\frac{1}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}e^{\int_{a}^{b}{\varphi(t)x_{0}'(t)dt}}\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x+x_{0})d\mathfrak{m}(x)}\\&=e^{\frac{1}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x+x_{0})d\mathfrak{m}(x)}\end{align*}$$ 다음의 정리는 따름정리 1.2(a)를 복소수로 확장한 결과이다. 

정리 2.6 $\varphi(t)\in C([a,\,b])\cap BV([a,\,b])$라 하자. 모든 $\lambda\in\mathbb{C}$에 대해 다음의 등식이 성립하고 $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{e^{-\lambda\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}d\mathfrak{m}(x)}=e^{\frac{\lambda^{2}}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}\,(1)$$ 특히 임의의 $v\in\mathbb{R}$에 대해 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{e^{iv\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}d\mathfrak{m}(x)}=e^{-\frac{v^{2}}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}$$ 증명: $\lambda\in\mathbb{R}$에 대해 $\lambda\varphi(t)\in C([a,\,b])\cap BV([a,\,b])$이므로 따름정리 2.2(a)에 의해 다음의 식이 성립한다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{e^{-\lambda\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}d\mathfrak{m}(x)}=e^{\frac{\lambda^{2}}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}$$ 위 식의 우변은 $\lambda$의 함수로서 정함수(entire function)이다. 또한 다음의 함수는 위너적분 가능한 함수이다. $$\left|e^{-\lambda\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}\right|=e^{-\text{Re}\left(\lambda\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}\right)}$$ 이제 $\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}{e^{-\lambda\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}d\mathfrak{m}(x)}$가 $\lambda$에 대한 정함수임을 보이면, $e^{\frac{\lambda^{2}}{2}\|\varphi\|_{2}^{2}}$와 같다. 이를 보이기 위해 모레라 정리를 이용한다.

함수 $e^{-\lambda\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}$는 정함수이다. $\lambda_{n}\,\rightarrow\,\lambda_{0}$, 모든 $n$에 대해 $M>0$을 선택해서 $|\lambda_{n}|\leq M$이라 하자. 그러면 $u\in\mathbb{R}$에 대해 $$|e^{\lambda_{n}u}|=e^{\text{Re}\lambda_{n}u}\leq e^{|\lambda_{n}||u|}<e^{Mu}+e^{-Mu}$$ 이므로 다음의 부등식이 성립한다. $$|e^{-\lambda_{n}\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}|\leq e^{M\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}+e^{-M\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}$$ 위 부등식의 우변의 함수는 위너적분 가능하므로 지배수렴정리에 의해 $\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}{e^{-\lambda\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}d\mathfrak{m}(x)}$는 연속이다.  

$\Delta$를 $\mathbb{C}$에서 임의의 닫힌 삼각형이라 하자. 식 (1)의 좌변이 정함수임을 보이기 위해 다음의 등식이 성립함을 보이면 된다. $$\int_{\partial\Delta}{\int_{C_{0}([a,\,b])}{e^{-\lambda\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}d\mathfrak{m}(x)}d\lambda}=0$$ 위 식의 좌변에 푸비니 정리를 적용해서 적분의 순서를 바꾸고 코시 적분정리를 적용하면 위 등식이 성립한다. 따라서 위 등식에 푸비니 정리를 사용할 수 있는 조건을 찾으면 된다. 

모든 $\lambda\in\partial\Delta$에 대해 상수 $K_{0}$가 존재해서 $|\lambda|\leq K_{0}$이므로 따라서 $$K=\int_{C_{0}([a,\,b])}{\left\{e^{K_{0}\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}+e^{-K_{0}\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}\right\}d\mathfrak{m}(x)}$$ 는 유계이고 $\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}{|e^{-\lambda\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}|d\mathfrak{m}(x)}$는 $\lambda\in\partial\Delta$와는 독립적이다. 

$\lambda=\lambda(s)\,(c\leq s\leq d)$를 부분적으로 연속인 도함수를 갖는 $\partial\Delta$를 매개변수화한 곡선이라 하자. 일반적으로 다음의 등식이 성립하므로 $$\int_{\partial\Delta}{H(\lambda)d\lambda}=\int_{c}^{d}{H(\lambda(s))\lambda'(s)ds}$$ 푸비니 정리의 조건을 만족하기 위해 다음의 부등식이 성립함을 보이면 된다. $$I=\int_{c}^{d}{\left\{\int_{C_{0}([a,\,b])}{|e^{-\lambda(s)\int_{a}^{b}{\varphi(t)dx(t)}}||\lambda'(s)|d\mathfrak{m}(x)}\right\}ds}<\infty$$ 그런데 $$I\leq\int_{c}^{d}{K\|\lambda'\|_{\infty}ds}=K\|\lambda'\|_{\infty}(d-c)<\infty$$ 이므로 푸비니 정리의 조건이 만족되고 따라서 증명을 완료했다.

참고자료:

The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus, Johnson, Lapidus, Oxford

위너 적분론, 장건수, 민음사