2-3 팰리-위너-지그문드 적분(1)

2-3 팰리-위너-지그문드 적분(1)

함수 $f$가 $[a,\,b]$에서 유계변동이고, $g$가 연속함수일 때 리만-스틸체스 적분 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(t)dg(t)}$는 존재한다. $f\in L_{2}([a,\,b])$인 경우 이 적분의 존재성은 보장되지 않는다.

$\alpha,\,\beta\in L_{2}([a,\,b])$일 때 $\alpha,\,\beta$의 내적 $\langle\alpha,\,\beta\rangle$은 다음과 같이 정의한다. $$\langle\alpha,\,\beta\rangle=\int_{a}^{b}{\alpha(t)\beta(t)dt}$$ $\{e_{k}\}$를 $L_{2}([a,\,b])$에서 완비 정규직교집합이라고 하면 각 $\alpha\in L_{2}([a,\,b])$에 대해 $\displaystyle\alpha=\sum_{k=1}^{\infty}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle e_{k}}$이고, 이 급수의 수렴은 이 급수의 부분합이 $L_{2}([a,\,b])$노름에서 $\alpha$로 수렴함을 뜻한다. 다음의 파세발 등식도 성립한다. $$\|\alpha\|_{2}^{2}=\sum_{k=1}^{\infty}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle^{2}}$$ 정의 2.13 $e=\{e_{k}\}$가 $L_{2}([a,\,b])$에서 완비 정규직교집합이고, $e_{k}\in C([a,\,b])\cap BV([a,\,b])$라 하자. $\alpha\in L_{2}([a,\,b])$, $x\in C_{0}([a,\,b])$일 때, $x$에 대한 $\alpha$의 팰리-위너-지그문드(P.W.Z, Paley-Wiener-Zygmund) 적분(간단히 P.W.Z적분이라고 쓴다)을 다음의 극한으로 정의한다. $$(e)\int_{a}^{b}{\alpha(t)\tilde{d}x(t)}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{\left\{\sum_{k=1}^{n}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle e_{k}}\right\}dx(t)}}$$ 위의 P.W.Z적분은 완비 정규직교집합 $e$와 관계가 있어서 적분 앞에 $(e)$를 표시했으나 사실상 $(e)$와는 독립적이고, $a.e.\,x\in C_{0}([a,\,b])$에 대해 존재한다.

$\displaystyle X_{k}(x)=\int_{a}^{b}{e_{k}(t)dx(t)}\,(k\in\mathbb{N})$은 서로 독립인 확률변수이고 $X_{k}\,\sim\,N(0,\,1)$이다. 

정리 2.14 $e=\{e_{k}\}$를 정의 2.13의 집합이라 하자. 각 $\alpha\in L_{2}([a,\,b])$에 대해 $\alpha$의 P.W.Z적분 $\displaystyle(e)\int_{a}^{b}{\alpha(t)\tilde{d}x(t)}$는 $a.e.\,x\in C_{0}([a,\,b])$에 대해 존재한다.

증명: $\{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle X_{k}\}$의 0이 아닌 원소들은 서로 독립이고 $\langle\alpha,\,e_{k}\rangle X_{k}\,\sim\,N(0,\,\langle\alpha,\,e_{k}\rangle^{2})$이다. 콜모고로프 정리에 의해 $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle^{2}}<\infty$가 성립함을 보이면 되는데 이것은 파세발 등식이므로 성립한다.

다음 정리는 $\alpha\in BV([a,\,b])$인 경우, $\alpha$의 리만-스틸체스 적분과 P.W.Z적분이 $\mathfrak{m}-a.e.\,x$에 대해 같음을 보여주는 정리이다. 따라서 P.W.Z적분은 리만-스틸체스 적분의 확장이다.

정리 2.15 $\alpha\in BV([a,\,b])$이고 $e=\{e_{k}\}$를 정의 2.13의 집합(완비 정규직교집합)이라고 하자. 그러면 $\alpha(t)$의 리만-스틸체스 적분과 P.W.Z적분은 같다. 즉 $a.e.\,x\in C_{0}([a,\,b])$에 대하여 다음의 등식이 성립한다. $$Z(x)=\int_{a}^{b}{\alpha(t)dx(t)}=(e)\int_{a}^{b}{\alpha(t)\tilde{d}x(t)}$$ 증명: $m\in\mathbb{N}$에 대해서 $\displaystyle Z_{m}(x)=\int_{a}^{b}{\left\{\sum_{k=1}^{m}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle e_{k}(t)}\right\}dx(t)}$라 하자. 그러면 $$Z(x)-Z_{m}(x)=\int_{a}^{b}{\left\{\alpha(t)-\sum_{k=1}^{m}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle e_{k}(t)}\right\}dx(t)}$$ 이고 $$\alpha-\sum_{k=1}^{m}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle e_{k}}\in C([a,\,b])\cap BV([a,\,b])$$ 이므로 $\displaystyle Z-Z_{m}\,\sim\,N\left(0,\,\left\|\alpha-\sum_{k=1}^{m}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle e_{k}}\right\|_{2}^{2}\right)$이다. 그런데 $\displaystyle\alpha-\sum_{k=1}^{m}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle e_{k}}=\sum_{k=m+1}^{\infty}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle e_{k}}$이므로 파세발 등식에 의해 $m\,\rightarrow\,\infty$일 때 $\displaystyle\left\|\alpha-\sum_{k=1}^{m}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle e_{k}}\right\|=\sum_{k=m+1}^{\infty}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle^{2}}\,\rightarrow\,0$이다. 따라서 $m\,\rightarrow\,\infty$일 때 다음이 성립한다. $$\begin{align*}\|Z_{m}-Z\|_{2}^{2}&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{|Z(x)-Z_{m}(x)|^{2}d\mathfrak{m}(x)}\\&=\sum_{k=m+1}^{\infty}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle^{2}}\,\rightarrow\,0\end{align*}$$ 그런데 $a.e.\,x\in C_{0}([a,\,b])$에 대해 $m\,\rightarrow\,\infty$일 때 $\displaystyle Z_{m}(x)\,\rightarrow\,(e)\int_{a}^{b}{\alpha(t)\tilde{d}x(t)}$이므로 따라서 리만-스틸체스 적분과 P.W.Z적분은 같다. 

다음의 정리는 P.W.Z적분이 완비 정규직교집합과 독립적임을 보여주는 정리이다.

정리 2.16 $e=\{e_{k}\}$를 정의 2.13의 집합(완비 정규직교집합), $c=\{c_{k}\}$를 정의 2.13의 조건을 만족하는 또 다른 완비 정규직교집합이라고 하자. 그러면 $\alpha\in L_{2}([a,\,b])$일 때, $a.e.\,x\in C_{0}([a,\,b])$에 대해 다음의 등식이 성립한다. $$(e)\int_{a}^{b}{\alpha(t)\tilde{d}x(t)}=(c)\int_{a}^{b}{\alpha(t)\tilde{d}x(t)}$$ 증명: $Z_{n}(x)$와 $W_{n}(x)$를 다음과 같이 정의하자. $$\begin{align*}Z_{m}(x)&=\int_{a}^{b}{\left\{\sum_{k=1}^{m}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle e_{k}(t)}\right\}dx(t)}\\W_{n}(t)&=\int_{a}^{b}{\left\{\sum_{k=1}^{n}{\langle\alpha,\,c_{k}\rangle c_{k}(t)}\right\}dx(t)}\end{align*}$$ $\displaystyle\sum_{k=1}^{m}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle e_{k}}$와 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\langle\alpha,\,c_{k}\rangle c_{k}}$는 $L_{2}([a,\,b])$노름에서 $\alpha$로 수렴하므로 $$H_{n}(t)=\sum_{k=1}^{n}{\{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle e_{k}(t)-\langle\alpha,\,c_{k}\rangle\}c_{k}(t)}$$ 는 $L_{2}([a,\,b])$노름에서 0으로 수렴하고 $H_{n}\in C([a,\,b])\cap BV([a,\,b])$이다. 그런데 $$Z_{n}(x)-W_{n}(x)=\int_{a}^{b}{H_{n}(t)dx(t)}\,\sim\,N(0,\,\|H_{n}\|_{2}^{2})$$ 이고 $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{|Z_{n}(x)-W_{n}(x)|^{2}d\mathfrak{m}(x)}=\|H_{n}\|_{2}^{2}\,\rightarrow\,0$$ 이므로 $\|Z_{n}-W_{n}\|_{2}^{2}\,\rightarrow\,0$이다. 반면에 $a.e.\,x\in C_{0}([a,\,b])$에 대해 $Z_{n}(x)$와 $W_{n}(x)$는 수렴하고, 그 극한을 각각 $Z(x)$, $W(x)$라 하자. 그러면, $Z_{n}-W_{n}\,\rightarrow\,Z-W\,a.e.$이므로 $Z=W\,a.e.$이다.

위의 정리로부터 P.W.Z적분이 완비 정규직교집합과 본질적으로 무관함이 밝혀졌으므로 정의 2.13에서 사용한 기호 $(e)$를 생략한 $\displaystyle\int_{a}^{b}{\alpha(t)\tilde{d}x(t)}$로 나타낸다. 

P.W.Z적분도 리만-스틸체스 적분처럼 선형성이 성립한다.

정리 2.17 $\alpha,\,\alpha_{1},\,\alpha_{2}\in L_{2}([a,\,b])$, $c$를 임의의 상수라고 하자. 

(1) 다음의 세 적분 중 한 적분의 값이 존재하면, 다른 두 적분도 존재하고 그 적분값은 같다. $$\int_{a}^{b}{\alpha(t)\tilde{d}cx(t)}=\int_{a}^{b}{c\alpha(t)\tilde{d}x(t)}=c\int_{a}^{b}{x(t)\tilde{d}x(t)}$$ (2) $\mathfrak{m}-a.e.\,x$에 대해 $\displaystyle\int_{a}^{b}{\alpha_{1}(t)\tilde{d}x(t)}$와 $\displaystyle\int_{a}^{b}{\alpha_{2}(t)\tilde{d}x(t)}$는 존재한다. 이 두 적분이 존재하면 $\alpha_{1}(t)+\alpha_{2}(t)$의 P.W.Z적분이 존재하고, 다음이 성립한다. $$\int_{a}^{b}{\{\alpha_{1}(t)+\alpha_{2}(t)\}\tilde{d}x(t)}=\int_{a}^{b}{\alpha_{1}(t)\tilde{d}x(t)}+\int_{a}^{b}{\alpha_{2}(t)\tilde{d}x(t)}$$ (3) $\mathfrak{m}^{2}-a.e.\,(x_{1},\,x_{2})\in C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])$에 대해 적분 $$\int_{a}^{b}{\alpha(t)\tilde{d}x_{1}(t)},\,\int_{a}^{b}{\alpha(t)\tilde{d}x_{2}(t)}$$ 가 존재한다. 위의 두 적분이 존재하면 $\alpha(t)$의 $x_{1}+x_{2}$에 대한 P.W.Z적분이 존재하고 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{a}^{b}{\alpha(t)\tilde{d}\{x_{1}(t)+x_{2}(t)\}}=\int_{a}^{b}{\alpha(t)\tilde{d}x_{1}(t)}+\int_{a}^{b}{\alpha(t)\tilde{d}x_{2}(t)}$$ 증명:

(1): 정의 2.13과 리만-스틸체스 적분의 선형성으로부터 성립한다.

(2), (3): 정리 2.14를 이용해서 (1)과 같은 방법으로 보인다.

정리 2.17의 (1)로부터 $\alpha$의 P.W.Z적분이 $s-a.e.\,x$에 대해서도 존재한다. 따라서 정리 2.14에서 $a.e.\,x$를 $s-a.e.\,x$로 대치할 수 있다. 같은 방법으로 정리 2.15와 2.16도 $s-a.e.\,x$에 대해서 성립한다.

참고자료:

위너 적분론, 장건수, 민음사