2-3 팰리-위너-지그문드 적분(1)

2-3 팰리-위너-지그문드 적분(1)

함수 \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 유계변동이고, \(g\)가 연속함수일 때 리만-스틸체스 적분 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(t)dg(t)}\)는 존재한다. \(f\in L_{2}([a,\,b])\)인 경우 이 적분의 존재성은 보장되지 않는다.

\(\alpha,\,\beta\in L_{2}([a,\,b])\)일 때 \(\alpha,\,\beta\)의 내적 \(\langle\alpha,\,\beta\rangle\)은 다음과 같이 정의한다.$$\langle\alpha,\,\beta\rangle=\int_{a}^{b}{\alpha(t)\beta(t)dt}$$\(\{e_{k}\}\)를 \(L_{2}([a,\,b])\)에서 완비 정규직교집합이라고 하면 각 \(\alpha\in L_{2}([a,\,b])\)에 대해 \(\displaystyle\alpha=\sum_{k=1}^{\infty}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle e_{k}}\)이고, 이 급수의 수렴은 이 급수의 부분합이 \(L_{2}([a,\,b])\)노름에서 \(\alpha\)로 수렴함을 뜻한다. 다음의 파세발 등식도 성립한다.$$\|\alpha\|_{2}^{2}=\sum_{k=1}^{\infty}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle^{2}}$$정의 2.13 \(e=\{e_{k}\}\)가 \(L_{2}([a,\,b])\)에서 완비 정규직교집합이고, \(e_{k}\in C([a,\,b])\cap BV([a,\,b])\)라 하자. \(\alpha\in L_{2}([a,\,b])\), \(x\in C_{0}([a,\,b])\)일 때, \(x\)에 대한 \(\alpha\)의 팰리-위너-지그문드(P.W.Z, Paley-Wiener-Zygmund) 적분(간단히 P.W.Z적분이라고 쓴다)을 다음의 극한으로 정의한다.$$(e)\int_{a}^{b}{\alpha(t)\tilde{d}x(t)}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{\left\{\sum_{k=1}^{n}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle e_{k}}\right\}dx(t)}}$$위의 P.W.Z적분은 완비 정규직교집합 \(e\)와 관계가 있어서 적분 앞에 \((e)\)를 표시했으나 사실상 \((e)\)와는 독립적이고, \(a.e.\,x\in C_{0}([a,\,b])\)에 대해 존재한다.

\(\displaystyle X_{k}(x)=\int_{a}^{b}{e_{k}(t)dx(t)}\,(k\in\mathbb{N})\)은 서로 독립인 확률변수이고 \(X_{k}\,\sim\,N(0,\,1)\)이다. 

정리 2.14 \(e=\{e_{k}\}\)를 정의 2.13의 집합이라 하자. 각 \(\alpha\in L_{2}([a,\,b])\)에 대해 \(\alpha\)의 P.W.Z적분 \(\displaystyle(e)\int_{a}^{b}{\alpha(t)\tilde{d}x(t)}\)는 \(a.e.\,x\in C_{0}([a,\,b])\)에 대해 존재한다.

증명: \(\{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle X_{k}\}\)의 0이 아닌 원소들은 서로 독립이고 \(\langle\alpha,\,e_{k}\rangle X_{k}\,\sim\,N(0,\,\langle\alpha,\,e_{k}\rangle^{2})\)이다. 콜모고로프 정리에 의해 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle^{2}}<\infty\)가 성립함을 보이면 되는데 이것은 파세발 등식이므로 성립한다.

다음 정리는 \(\alpha\in BV([a,\,b])\)인 경우, \(\alpha\)의 리만-스틸체스 적분과 P.W.Z적분이 \(\mathfrak{m}-a.e.\,x\)에 대해 같음을 보여주는 정리이다. 따라서 P.W.Z적분은 리만-스틸체스 적분의 확장이다.

정리 2.15 \(\alpha\in BV([a,\,b])\)이고 \(e=\{e_{k}\}\)를 정의 2.13의 집합(완비 정규직교집합)이라고 하자. 그러면 \(\alpha(t)\)의 리만-스틸체스 적분과 P.W.Z적분은 같다. 즉 \(a.e.\,x\in C_{0}([a,\,b])\)에 대하여 다음의 등식이 성립한다.$$Z(x)=\int_{a}^{b}{\alpha(t)dx(t)}=(e)\int_{a}^{b}{\alpha(t)\tilde{d}x(t)}$$증명: \(m\in\mathbb{N}\)에 대해서 \(\displaystyle Z_{m}(x)=\int_{a}^{b}{\left\{\sum_{k=1}^{m}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle e_{k}(t)}\right\}dx(t)}\)라 하자. 그러면$$Z(x)-Z_{m}(x)=\int_{a}^{b}{\left\{\alpha(t)-\sum_{k=1}^{m}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle e_{k}(t)}\right\}dx(t)}$$이고$$\alpha-\sum_{k=1}^{m}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle e_{k}}\in C([a,\,b])\cap BV([a,\,b])$$이므로 \(\displaystyle Z-Z_{m}\,\sim\,N\left(0,\,\left\|\alpha-\sum_{k=1}^{m}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle e_{k}}\right\|_{2}^{2}\right)\)이다. 그런데 \(\displaystyle\alpha-\sum_{k=1}^{m}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle e_{k}}=\sum_{k=m+1}^{\infty}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle e_{k}}\)이므로 파세발 등식에 의해 \(m\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(\displaystyle\left\|\alpha-\sum_{k=1}^{m}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle e_{k}}\right\|=\sum_{k=m+1}^{\infty}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle^{2}}\,\rightarrow\,0\)이다. 따라서 \(m\,\rightarrow\,\infty\)일 때 다음이 성립한다.$$\begin{align*}\|Z_{m}-Z\|_{2}^{2}&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{|Z(x)-Z_{m}(x)|^{2}d\mathfrak{m}(x)}\\&=\sum_{k=m+1}^{\infty}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle^{2}}\,\rightarrow\,0\end{align*}$$그런데 \(a.e.\,x\in C_{0}([a,\,b])\)에 대해 \(m\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(\displaystyle Z_{m}(x)\,\rightarrow\,(e)\int_{a}^{b}{\alpha(t)\tilde{d}x(t)}\)이므로 따라서 리만-스틸체스 적분과 P.W.Z적분은 같다. 

다음의 정리는 P.W.Z적분이 완비 정규직교집합과 독립적임을 보여주는 정리이다.

정리 2.16 \(e=\{e_{k}\}\)를 정의 2.13의 집합(완비 정규직교집합), \(c=\{c_{k}\}\)를 정의 2.13의 조건을 만족하는 또 다른 완비 정규직교집합이라고 하자. 그러면 \(\alpha\in L_{2}([a,\,b])\)일 때, \(a.e.\,x\in C_{0}([a,\,b])\)에 대해 다음의 등식이 성립한다.$$(e)\int_{a}^{b}{\alpha(t)\tilde{d}x(t)}=(c)\int_{a}^{b}{\alpha(t)\tilde{d}x(t)}$$증명: \(Z_{n}(x)\)와 \(W_{n}(x)\)를 다음과 같이 정의하자.$$\begin{align*}Z_{m}(x)&=\int_{a}^{b}{\left\{\sum_{k=1}^{m}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle e_{k}(t)}\right\}dx(t)}\\W_{n}(t)&=\int_{a}^{b}{\left\{\sum_{k=1}^{n}{\langle\alpha,\,c_{k}\rangle c_{k}(t)}\right\}dx(t)}\end{align*}$$\(\displaystyle\sum_{k=1}^{m}{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle e_{k}}\)와 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\langle\alpha,\,c_{k}\rangle c_{k}}\)는 \(L_{2}([a,\,b])\)노름에서 \(\alpha\)로 수렴하므로$$H_{n}(t)=\sum_{k=1}^{n}{\{\langle\alpha,\,e_{k}\rangle e_{k}(t)-\langle\alpha,\,c_{k}\rangle\}c_{k}(t)}$$는 \(L_{2}([a,\,b])\)노름에서 0으로 수렴하고 \(H_{n}\in C([a,\,b])\cap BV([a,\,b])\)이다. 그런데$$Z_{n}(x)-W_{n}(x)=\int_{a}^{b}{H_{n}(t)dx(t)}\,\sim\,N(0,\,\|H_{n}\|_{2}^{2})$$이고$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{|Z_{n}(x)-W_{n}(x)|^{2}d\mathfrak{m}(x)}=\|H_{n}\|_{2}^{2}\,\rightarrow\,0$$이므로 \(\|Z_{n}-W_{n}\|_{2}^{2}\,\rightarrow\,0\)이다. 반면에 \(a.e.\,x\in C_{0}([a,\,b])\)에 대해 \(Z_{n}(x)\)와 \(W_{n}(x)\)는 수렴하고, 그 극한을 각각 \(Z(x)\), \(W(x)\)라 하자. 그러면, \(Z_{n}-W_{n}\,\rightarrow\,Z-W\,a.e.\)이므로 \(Z=W\,a.e.\)이다.

위의 정리로부터 P.W.Z적분이 완비 정규직교집합과 본질적으로 무관함이 밝혀졌으므로 정의 2.13에서 사용한 기호 \((e)\)를 생략한 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{\alpha(t)\tilde{d}x(t)}\)로 나타낸다. 

P.W.Z적분도 리만-스틸체스 적분처럼 선형성이 성립한다.

정리 2.17 \(\alpha,\,\alpha_{1},\,\alpha_{2}\in L_{2}([a,\,b])\), \(c\)를 임의의 상수라고 하자. 

(1) 다음의 세 적분 중 한 적분의 값이 존재하면, 다른 두 적분도 존재하고 그 적분값은 같다.$$\int_{a}^{b}{\alpha(t)\tilde{d}cx(t)}=\int_{a}^{b}{c\alpha(t)\tilde{d}x(t)}=c\int_{a}^{b}{x(t)\tilde{d}x(t)}$$(2) \(\mathfrak{m}-a.e.\,x\)에 대해 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{\alpha_{1}(t)\tilde{d}x(t)}\)와 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{\alpha_{2}(t)\tilde{d}x(t)}\)는 존재한다. 이 두 적분이 존재하면 \(\alpha_{1}(t)+\alpha_{2}(t)\)의 P.W.Z적분이 존재하고, 다음이 성립한다.$$\int_{a}^{b}{\{\alpha_{1}(t)+\alpha_{2}(t)\}\tilde{d}x(t)}=\int_{a}^{b}{\alpha_{1}(t)\tilde{d}x(t)}+\int_{a}^{b}{\alpha_{2}(t)\tilde{d}x(t)}$$(3) \(\mathfrak{m}^{2}-a.e.\,(x_{1},\,x_{2})\in C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])\)에 대해 적분$$\int_{a}^{b}{\alpha(t)\tilde{d}x_{1}(t)},\,\int_{a}^{b}{\alpha(t)\tilde{d}x_{2}(t)}$$가 존재한다. 위의 두 적분이 존재하면 \(\alpha(t)\)의 \(x_{1}+x_{2}\)에 대한 P.W.Z적분이 존재하고 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{a}^{b}{\alpha(t)\tilde{d}\{x_{1}(t)+x_{2}(t)\}}=\int_{a}^{b}{\alpha(t)\tilde{d}x_{1}(t)}+\int_{a}^{b}{\alpha(t)\tilde{d}x_{2}(t)}$$증명:

(1): 정의 2.13과 리만-스틸체스 적분의 선형성으로부터 성립한다.

(2), (3): 정리 2.14를 이용해서 (1)과 같은 방법으로 보인다.

정리 2.17의 (1)로부터 \(\alpha\)의 P.W.Z적분이 \(s-a.e.\,x\)에 대해서도 존재한다. 따라서 정리 2.14에서 \(a.e.\,x\)를 \(s-a.e.\,x\)로 대치할 수 있다. 같은 방법으로 정리 2.15와 2.16도 \(s-a.e.\,x\)에 대해서 성립한다.

참고자료:

위너 적분론, 장건수, 민음사