2-5 팰리-위너-지그문드 적분(3)

2-5 팰리-위너-지그문드 적분(3)

정리 2.26 $\varphi\in L_{2}([a,\,b])$이고 $\displaystyle X_{\varphi}(x)=\int_{a}^{b}{\varphi(t)\tilde{d}x(t)}$라 하자. 사상 $\Phi:\varphi\,\rightarrow\,X_{\varphi}$는 $L_{2}([a,\,b])$를 $L_{2}(C_{0}([a,\,b]))$의 닫힌 부분공간 위로(onto)보내는 선형 등거리(거리보존) 사상이다.

증명: 선형성은 P.W.Z적분의 선형성으로부터 얻는다. 거리보존(등거리)성은 다음에 의해 증명된다.

$X_{\varphi}\,\sim\,N(0,\,\|\varphi\|_{2}^{2})$이므로 $\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}{|X_{\varphi}(x)|^{2}d\mathfrak{m}(x)}=\|\varphi\|_{2}^{2}$

따름정리 2.27 정리 2.26에서 정의된 사상 $\Phi$는 내적을 보존한다. 즉 $\langle X_{\varphi_{1}},\,X_{\varphi_{2}}\rangle=\langle\varphi_{1},\,\varphi_{2}\rangle$

증명: 힐베르트공간에서 노름을 보존하는 사상은 내적을 보존한다.

힐베르트 공간에서 내적과 노름 사이에는 다음의 관계가 성립한다. $$\langle h,\,k\rangle=\frac{1}{4}(\|h+k\|^{2}+\|h-k\|^{2})$$ 정리 2.28 $v\in L_{2}([a,\,b])$, $y$는 $[a,\,b]$에서 절대연속, $y'\in L_{2}([a,\,b])$라 하자. 그러면 $v$의 $y$에 대한 P.W.Z적분이 존재하고 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{a}^{b}{v(t)\tilde{d}y(t)}=\int_{a}^{b}{v(t)y'(t)dt}$$ 증명: $\{e_{k}\}$를 정의 2.13에서 주어진 집합(완비 정규직교집합)이라고 하자. $$v_{n}(t)=\sum_{k=1}^{n}{\left\{\int_{a}^{b}{v(s)e_{k}(s)ds}\right\}e_{k}(t)}$$ 로 정의하면 P.W.Z적분의 정의에 의해 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{a}^{b}{v(t)\tilde{d}y(t)}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{v_{n}(t)dy(t)}}$$ 다음의 두 적분은 존재하고 그 적분값은 같다. $$\int_{a}^{b}{v_{n}(t)dy(t)}=(L)\int_{a}^{b}{v_{n}(t)dy(t)}$$ 여기서 위 식의 우변의 적분은 유계변동함수 $y$에 의해 만들어진 측도에 관한 르베그 적분이다. 

$y'\in L_{2}([a,\,b])\subset L_{1}([a,\,b])$이므로 다음의 등식이 성립한다. $$(L)\int_{a}^{b}{v_{n}(t)dy(t)}=\int_{a}^{b}{v_{n}(t)y'(t)dt}$$ $\|v_{n}-v\|_{2}\,\rightarrow\,0$이므로 $v_{n}\,\rightarrow\,v$는 약 수렴(weak convergence)한다. 따라서 $$\int_{a}^{b}{v_{n}(t)dy(t)}=\int_{a}^{b}{v_{n}(t)y'(t)dt}\,\rightarrow\,\int_{a}^{b}{v(t)y'(t)dt}$$ 이므로 원하는 결과를 얻는다.

정리 2.29 $\mu$를 $\mathcal{B}(L_{2}([a,\,b]))$에서 정의되는 복소 보렐측도라고 하자. 그러면 $\displaystyle\int_{a}^{b}{v(t)\tilde{d}x(t)}$는 $\mathfrak{m}\times\mu-$가측인 $(x,\,v)$의 함수이다(따라서 P.W.Z적분이 존재하는 $(x,\,v)$들의 집합은 가측이다). 또한 $s-a.e.\,x$에 대해 P.W.Z적분 $\displaystyle\int_{a}^{b}{v(t)\tilde{d}x(t)}$는 $\mu-a.e.\,v\in L_{2}([a,\,b])$에 대해 존재한다.

증명: 생략

따름정리 2.30 $\mu$를 $L_{2}([a,\,b])$에서 복소 보렐측도라 하자. $F$를 다음과 같이 정의하면 $$F(x)=\int_{L_{2}}{e^{i\int_{a}^{b}{v(t)\tilde{d}x(t)}}d\mu(v)},\,x\in C_{0}([a,\,b])$$ $s-a.e.\,x$에 대해 $F(x)$는 존재하고, 위너적분 가능하다. $G$를 다음과 같이 정의하자. $$G(x)=\int_{L_{2}([a,\,b])}{e^{i(\varphi)\int_{a}^{b}{v(t)\tilde{d}x(t)}}d\mu(v)},\,x\in C_{0}([a,\,b])$$ 여기서 $\varphi=\{\varphi_{n}\}$은 P.W.Z적분을 정의하는 또 다른 완비 정규직교집합이라고 하자. 그러면 $F\approx G$, 즉 $s-a.e.\,x$에 대해 $F(x)=G(x)$이다.

증명: 생략

$(x,\,w)\in C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])$에 대해 $$\begin{align*}P(x,\,w)&=\int_{a}^{b}{x(t)\tilde{d}w(t)}\\&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\left(\int_{a}^{b}{x(t)e_{k}(t)dt}\right)\int_{a}^{b}{e_{k}(t)dw(t)}}}\end{align*}$$ 이므로 $P(x,\,w)$는 $(x,\,w)$의 함수로서 보렐가측이다. 각 $v\in L_{2}([a,\,b])$에 대해 $\displaystyle\int_{a}^{b}{v(t)\tilde{d}w(t)}$는 $\mathfrak{m}-a.e.$에 대해 정의되므로 각 $x\in C_{0}([a,\,b])$에 대해 $P(x,\,w)$는 $\mathfrak{m}-a.e.\,w$에 대해 정의된다. 따라서 $P(x,\,w)$는 $\mathfrak{m}^{2}-a.e.\,(x,\,w)$에 대해 정의된다. 같은 방법으로 $P(w,\,x)$도 $(x,\,w)$의 함수로서 보렐가측이고, $\mathfrak{m}^{2}-a.e.\,(x,\,w)$에 대해서 정의된다.

P.W.Z적분 $\displaystyle\int_{a}^{b}{x(t)\tilde{d}x(t)}$와 $\displaystyle\int_{a}^{b}{w(t)\tilde{d}x(t)}$와의 관계는 다음의 P.W.Z적분의 부분적분 공식에 의해 설명된다.

정리 2.31

(1) $\mathfrak{m}\times\mathfrak{m}-a.e.\,(x,\,w)\in C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])$에 대해 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{a}^{b}{x(t)\tilde{d}x(t)}=x(b)w(b)-x(a)w(a)-\int_{a}^{b}{w(t)\tilde{d}x(t)}$$ (2) $\mathfrak{m}-a.e.\,x$에 대해 위 부분적분 공식은 $s-a.e.\,w$에 대해 성립한다. $\mathfrak{m}-a.e.\,w$에 대해 위 부분적분 공식은 $s-a.e.\,x$에 대해 성립한다.

증명: 생략

정리 2.32 $g\in BV([a,\,b])$라 하자. 그러면 $\mathfrak{m}\times\mathfrak{m}-a.e.\,(x,\,w)\in C_{0}([a,\,b])\times C_{0}([a,\,b])$에 대해 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{a}^{b}{\int_{a}^{b}{g(t)dw(t)}\tilde{d}x(t)}=\int_{a}^{b}{x(s)g(s)\tilde{d}w(s)}$$ 증명: 생략

다음은 팰리-위너-지그문드 정리를 포함하는 보다 일반적인 정리이고, 이 정리에 대한 증명은 Ewan, R의 The Cameron-Storvick operator-valued function space integral for a class of finite dimensional functionals, Ph. D. thesis, Univ. of Nebraska, 1972를 참고한다.

정리 2.33 $\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n}\in L_{2}([a,\,b])$이고 $f$가 $\mathbb{R}^{n}$에서 르베그 가측이라고 하자. 확률변수 $$\int_{a}^{b}{\alpha_{1}(t)\tilde{d}x(t)},\,...,\,\int_{a}^{b}{\alpha_{n}(t)\tilde{d}x(t)}$$ 의 공분산행렬을 $A$, 이때 $\det A\neq0$이라 하자. 그러면 $\displaystyle f(\vec{u})e^{-\frac{1}{2}\langle\vec{u},\,A^{-1}\vec{u}\rangle}$가 $\mathbb{R}^{n}$에서 적분가능할 필요충분조건은 $$F(x)=f\left(\int_{a}^{b}{\alpha_{1}(t)\tilde{d}x(t)},\,...,\,\int_{a}^{b}{\alpha_{n}(t)\tilde{d}x(t)}\right)$$ 가 $C_{0}([a,\,b])$에서 위너적분 가능한 것이고, 이 경우에 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}\det A}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{f\vec{u})e^{-\frac{1}{2}\langle\vec{u},\,A^{-1}\vec{u}\rangle}d\vec{u}}$$ 증명: Theorem 2.2참고

정리 2.34 $\{\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n}\}$이 $L_{2}([a,\,b])$에서 일차독립이고 $f(x)$, $F(x)$, $A$는 정리 2.33에서 정의되었다고 하자. 그러면 $\displaystyle f(\vec{u})e^{-\frac{1}{2}\langle\vec{u},\,A^{-1}\vec{u}\rangle}$가 $\mathbb{R}^{n}$에서 적분가능할 필요충분조건은 $F(x)$가 $C_{0}([a,\,b])$에서 위너적분 가능한 것이고, 이 경우에 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}\det A}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(\vec{u})e^{-\frac{1}{2}\langle\vec{u},\,A^{-1}\vec{u}\rangle}d\vec{u}}$$ 증명: Theorem 2.3 참고       

따름정리 2.35 $\{\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n}\}$이 $L_{2}([a,\,b])$에서 정규직교집합이고, $F$와 $f$는 정리 2.33에서 정의되었다고 하자. 그러면 $\displaystyle f(\vec{u})e^{\displaystyle\tiny-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}{u_{i}^{2}}}$가 $\mathbb{R}^{n}$에서 적분가능할 필요충분조건은 $F(x)$가 $C_{0}([a,\,b])$에서 적분가능한 것이고, 이 경우 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(\vec{u})e^{\displaystyle\tiny-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}{u_{i}^{2}}}d\vec{u}}$$ 증명: 생략

정리 2.36 $\{\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n}\}$이 $L_{2}([a,\,b])$에서 일차독립이고 $$X_{i}(x)=\int_{a}^{b}{\alpha_{i}(t)\tilde{d}x(t)},\,i=1,\,...,\,n$$ 이라 하자. $A=(a_{ik})$를 확률변수 $X_{1},\,...,\,X_{n}$의 공분산행렬이라고 하면, 다음의 등식이 성립한다. $$a_{ik}=\langle\alpha_{i},\,\alpha_{k}\rangle=\int_{a}^{b}{\alpha_{i}(t)\alpha_{k}(t)dt},\,1\leq i,\,k\leq n$$ 증명: Theorem 2.4 참고

참고자료:

위너 적분론, 장건수, 민음사