2-7 완비 정규직교집합(2)

2-7 완비 정규직교집합(2)

정의 2.51 \(m_{i}\geq\,(i=1,\,2,\,...,\,n)\)가 정수이고 \(\vec{x}=(x_{1},\,...,\,x_{n})\in\mathbb{R}^{n}\)일 때$$\psi_{\vec{m}}(\vec{x})=\prod_{i=1}^{n}{\psi_{m_{i}}(x_{i})}\,(\vec{m}=(m_{1},\,...,\,m_{n}))$$를 \(n\)차 에르미트 함수라고 한다.

정의 2.51에 의해 다음의 성질을 얻는다.

\(n\)차 에르미트 함수들의 집합 \(\{\psi_{\vec{m}}\,|\,m_{i}\geq0,\,m_{i}\in\mathbb{Z}\}\)는 \(L_{2}(\mathbb{R}^{n})\)에서 정규직교집합이다. 

\(n\)차 에르미트 함수들의 집합이 \(L_{p}(\mathbb{R}^{n})\)의 기본부분집합임을 보이기 위해 다음의 보조정리를 증명한다.

보조정리 2.52 다음과 같은 함수들의 집합$$M=\{f_{1}f_{2}\cdots f_{n}\,|\,f_{i}\in L_{p}(\mathbb{R}),\,i=1,\,...,\,n\}$$은 \(L_{p}(\mathbb{R}^{n})\)에서 기본부분집합이다.

증명:

(1) \(\mathbb{R}^{n}\)에서 컴팩트 받침(compact support)을 갖는 연속함수들의 집합은 \(L_{p}(\mathbb{R}^{n})\)에서 조밀하다.

(2) 따라서 다음과 같은 함수들의 집합 \(S\)는 \(L_{p}(\mathbb{R}^{n})\)에서 조밀하다.$$S=\{g(x)\chi_{[-k,\,k]^{n}}(x)\,|\,x\in\mathbb{R}^{n},\,g\,\text{is continuous at}\,\mathbb{R}^{n}\}$$(3) 그러므로 \(S\)에 속하는 각 함수들이 \(M\)에 속하는 함수들의 유한 일차결합에 의해 근사됨을 보이면 된다.

스톤-바이어슈트라스 정리에 의해 다음의 함수들$$g_{1}x_{1}),\,...,\,g_{n}(x_{n}),\,g_{i}\in C([-k,\,k]),\,i=1,\,...,\,n$$들의 일차결합들의 집합은 \(C([-k,\,k]^{n})\)에서 최소상계노름(sup-norm)에 대해 조밀하므로 (3)이 성립한다.

정리 2.53 \(n\)차 에르미트 함수들의 집합 \(\{\psi_{\vec{m}}\,|\,m_{i}\geq0,\,m_{i}\in\mathbb{Z}\}\)는 \(L_{p}(\mathbb{R}^{n})\,(1<p<\infty)\)의 기본부분집합이고, 특히 이 집합은 \(L_{2}(\mathbb{R}^{n})\)에서 완비 정규직교집합이다.

증명: 보조정리 4.17에 의해 \(M\)(보조정리 2.52의 집합 \(M\))의 각 원소들이 \(n\)차 에르미트 함수들의 유한 일차결합에 의해 근사됨을 보이면 된다. 1차 에르미트 함수들의 집합은 \(L_{p}(\mathbb{R})\)의 기본부분집합이므로 \(f_{j}\in L_{p}(\mathbb{R})\)를 근사하는 함수 \(\displaystyle g_{j}(x_{j})=\sum_{i=1}^{m_{j}}{a_{ij}\psi_{i}(x_{j})}\)가 존재한다. 함수 \(g_{1}(x_{1}),\,...,\,g_{n}(x_{n})\)은 \(n\)차 에르미트 함수들의 유한 일차결합이므로 \(g_{1}(x_{1})\cdots g_{n}(x_{n})\)이 \(f_{1}(x_{1})\cdots f_{n}(x_{n})\)을 근사함을 보이면 된다. 이것은 다음의 식에 의해 보일 수 있다.$$\begin{align*}&\|f_{1}\cdots f_{n}-g_{1}\cdots g_{n}\|_{p}\\&\leq\|(f_{1}\cdots f_{n})-(f_{1}\cdots f_{n-1}g_{n})\|_{p}+\|(f_{1}\cdots f_{n-1}g_{n})-(f_{1}\cdots f_{n-2}g_{n-1}g_{n})\|_{p}+\cdots+\|(f_{1}g_{2}\cdots g_{n})-(g_{1}\cdots g_{n})\|_{p}\\&=(\|f_{1}\|_{p}\cdots\|f_{n-1}\|_{p}\|f_{n}-g_{n}\|_{p})+(\|f_{1}\|_{p}\cdots\|f_{n-2}\|_{p}\|f_{n-1}-g_{n-1}\|_{p}\|g_{n}\|_{p})+\cdots+(\|f_{1}-g_{1}\|_{p}\|g_{2}\|_{p}\cdots\|g_{n}\|_{p})\end{align*}$$이제 \(L_{2}(C_{0}([a,\,b]))\)에서 완비 정규직교집합을 정의하기 위해, \(n\)차 에르미트 다항식 \(H_{n}(x)\)와 에르미트 함수 \(\psi_{n}(x)\)를 여기서는 다음과 같이 변형시켜 사용하겠다.$$\begin{align*}H_{n}(x)&=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n!}}e^{\frac{1}{2}x^{2}}\frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{-\frac{1}{2}x^{2}}\\ \psi_{n}(x)&=(2\pi)^{-\frac{1}{4}}H_{n}(x)e^{-\frac{1}{4}x^{2}}\end{align*}$$\{P_{k}\}를 \(L_{2}([a,\,b])\)에서 완비 정규직교집합이라 하자. \(k\in\mathbb{N}\), \(m\geq0\)이 정수일 때$$\varphi_{(m,\,k)}(x)=H_{n}\left(\int_{a}^{b}{P_{k}(t)\tilde{d}x(t)}\right)$$로 놓자. \(m_{i}\geq0\,(i=1,\,...,\,k)\)가 정수일 때$$\Phi_{\vec{m}}(x)=\varphi_{(m_{1},\,1)}(x)\cdots\varphi_{(m_{k},\,k)}(x)\,(\vec{m}=(m_{1},\,...,\,m_{k}))$$로 놓자. 그러면 다음의 성질들이 성립한다.

(1) \(\varphi_{(0,\,k)}(x)=1\)

(2) \(\Phi_{\vec{m}}(x)=\Phi_{(m_{1},\,...,\,m_{k},\,0,\,...,\,0)}(x)\)

(3) \(\vec{m}=(m_{1},\,...,\,m_{k})\)의 맨 앞이나 중간에 0이 올 때는 \(\Phi\)의 값이 달라진다. 예를들어$$\Phi_{(0,\,2,\,4)}(x)\neq\Phi_{(2,\,4)}(x)\neq\Phi_{(2,\,0,\,4)}(x)$$이다.

정리 2.54 모든 \(\Phi\)들의 집합 \(\{\Phi_{\vec{m}}\,|\,k\in\mathbb{N},\,m_{i}\geq0,\,m_{i}\in\mathbb{Z}\}\)는 \(L_{2}(C_{0}([a,\,b]))\)에서 정규직교집합이다.

증명: 팰리-위너-지그문드 적분공식으로부터 다음의 식을 얻는다.$$\begin{align*}&\int_{C_{0}([a,\,b])}{\Phi_{\vec{m}}(x)\cdot\Phi_{\vec{n}}(x)d\mathfrak{m}(x)}\,(\vec{n}=(n_{1},\,...,\,n_{k}))\\&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{\left\{\prod_{j=1}^{k}{H_{m_{j}}}\left(\int_{a}^{b}{P_{j}(t)\tilde{d}x(t)}\right)\right\}\left\{\prod_{j=1}^{k}{H_{n_{j}}\left(\int_{a}^{b}{P_{j}(t)\tilde{d}x(t)}\right)}\right\}d\mathfrak{m}(x)}\\&=(2\pi)^{-\frac{k}{2}}\int_{\mathbb{R}^{k}}{\left\{\prod_{j=1}^{k}{H_{m_{j}}(u_{j})}\right\}\left\{\prod_{j=1}^{k}{H_{n_{j}}(u_{j})}\right\}e^{\displaystyle\tiny-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{k}{u_{j}^{2}}}d\vec{u}}\,(\vec{u}=(u_{1},\,...,\,u_{n}))\\&=\int_{\mathbb{R}^{k}}{\left\{\prod_{j=1}^{k}{\psi_{m_{j}}(u_{j})}\right\}\left\{\prod_{j=1}^{k}{\psi_{n_{j}}(u_{j})}\right\}d\vec{u}}\\&=\delta_{m_{1},\,n_{1}}\delta_{m_{2},\,n_{2}}\cdots\delta_{m_{k},\,n_{k}}\end{align*}$$정의 2.55 \(F\in L_{2}(C_{0}([a,\,b]))\)에 대하여 다음의 \(A_{\vec{m}}\)을 \(F\)의 푸리에-에르미트 계수라고 한다.$$A_{\vec{m}}=\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)\Phi_{\vec{m}}(x)d\mathfrak{m}(x)}$$보조정리 2.56 \(f(\vec{u}),\,\vec{u}=(u_{1},\,...,\,u_{n})\)가 \(\mathbb{R}^{n}\)에서 르베그 가측함수이고 \(f(\vec{u})e^{-\frac{1}{4}|\vec{u}|^{2}}\in L_{2}(\mathbb{R}^{n})\,(|\vec{u}|^{2}=u_{1}^{2}+\cdots+u_{n}^{2})\)라고 하자. \(F:C_{0}([a,\,b])\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 다음과 같이 정의하면$$F(x)=f\left(\int_{a}^{b}{P_{1}(t)\tilde{d}x(t)},\,...,\,\int_{a}^{b}{P_{n}(t)\tilde{d}x(t)}\right)$$다음의 식이 성립한다.$$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)\Phi_{\vec{m}}(x)d\mathfrak{m}(x)}=\begin{cases}(\text{i})\,a_{\vec{m}}&\,(k=n)\\(\text{ii})\,0&\,(n<k,\,m_{k}\neq0)\end{cases}$$여기서 \(a_{\vec{m}}\)은 \(\displaystyle f(\vec{u})e^{-\frac{1}{4}|\vec{u}|^{2}}\)의 \(k-\)차 에르미트 계수이다. 

증명: (i)과 (ii)만으로 되어있는 이유는 \(k<n\)이면 0을 추가해서 (i)의 경우가 되게 할 수 있고, \(n<k\)이고 \(m_{k}=0\)이면, \(m_{k}=0\), \(m_{k-1}=0,\,...\)의 순으로 0을 없애나가다가 처음으로 0이 아닌 항을 \(m_{k'}\)이라 하자. \(k'>n\)이면 (ii)의 경우가 되고, \(k'=n\)이면 (i)의 경우가 된다. P.W.Z적분공식으로부터 다음의 등식을 얻는다.$$\begin{align*}&\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)\Phi_{\vec{m}}(x)d\mathfrak{m}(x)}\\&=(2\pi)^{-\frac{k}{2}}\int_{\mathbb{R}^{k}}{f(\vec{u})\left\{\prod_{j=1}^{k}{H_{m_{j}}(u_{j})}\right\}e^{\displaystyle\tiny-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{k}{u_{j}^{2}}}d\vec{u}}\end{align*}$$(i) \(n=k\)이면$$(2\pi)^{-\frac{k}{2}}\int_{\mathbb{R}^{k}}{\left\{f(\vec{u})e^{\displaystyle\tiny-\frac{1}{4}\sum_{j=1}^{k}{u_{j}^{2}}}\right\}\left\{\prod_{j=1}^{k}{H_{m_{j}}(u_{j})}e^{-\frac{1}{4}u_{j}^{2}}\right\}d\vec{u}}=a_{\vec{m}}$$(ii) \(n<k\)이면, 적분 \(\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)\Phi_{\vec{m}}(x)d\mathfrak{m}(x)}\)에서 변수 \(u_{k}\)에 대해 먼저 적분한다. 그러면 변수 \(u_{k}\)에 대한 적분은 다음과 같다.$$\int_{\mathbb{R}}{H_{0}(u_{k})e^{-\frac{1}{4}u_{k}^{2}}H_{m_{k}}(u_{k})e^{-\frac{1}{4}u_{k}^{2}}du_{k}}=\delta_{0,\,k}$$보조정리 2.57 \(F\)가 보조정리 2.56의 함수라 하자. 그러면 다음의 적분식은 \(N\,\rightarrow\,\infty\)일 때 0으로 수렴한다.$$I=\int_{C_{0}([a,\,b])}{\left|F(x)-\sum_{m_{1},\,...,\,m_{n}=0}^{N}{A_{\vec{m}}\Phi_{\vec{m}}(x)}\right|^{2}d\mathfrak{m}(x)}$$증명: 위너 적분공식으로부터$$\begin{align*}I&=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\left|f(\vec{u})-\sum_{m_{1},\,...,\,m_{n}=0}^{N}{A_{\vec{m}}H_{m_{1}}(u_{1})\cdots H_{m_{n}}(u_{n})}\right|^{2}e^{\displaystyle\tiny-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}{u_{i}^{2}}}d\vec{u}}\\&=\int_{\mathbb{R}^{n}}{\left|(2\pi)^{-\frac{n}{4}}f(\vec{u})e^{\displaystyle\tiny-\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{n}{u_{i}^{2}}}-\sum_{m_{1},\,...,\,m_{n}=0}^{N}{a_{\vec{m}}\prod_{j=1}^{n}{\left\{2\pi)^{-\frac{1}{4}}H_{m_{j}}(u_{j})e^{-\frac{1}{4}u_{j}^{2}}\right\}}}\right|^{2}d\vec{u}}\end{align*}$$이고 위 식의 마지막 적분은 \(N\,\rightarrow\,\infty\)일 때 0으로 수렴한다.

보조정리 2.58 \(F\)가 보조정리 2.56의 함수라 하자. 그러면 \(F\)의 푸리에-에르미트 급수$$\sum_{m_{1},\,...,\,m_{N}=0}^{N}{A_{\vec{m}}\Phi_{\vec{m}}(x)}$$는 \(N\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(F\)로 \(L_{2}(C_{0}([a,\,b]))\)노름수렴한다.

증명: \(N>n\)일 때 \(\displaystyle\sum_{m_{1},\,...,\,m_{n}=0}^{N}\)과 \(\displaystyle\sum_{m_{1},\,...,\,m_{N}=0}^{N}\)에서 0이 아닌 항들은 모두 같으므로 보조정리 2.57에 의해 증명된다.

처음 합에서 나타나는 모든 항들 \(A_{\vec{m}}\Phi_{\vec{m}}(x)\)는 두 번째 합에서도 \(A_{(m_{1},\,...,\,m_{n},\,0,\,...,\,0)}\Phi_{(m_{1},\,...,\,m_{n},\,0,\,...,\,0)}\)으로 나타난다. 어떤 \(j(n+1\leq j\leq N)\)에 대해서 \(m_{j}\neq0\)인 두 번째 합에 있는 항은 보조정리 2.56에 의해 \(A_{\vec{m}}=0\)이다.

정리 2.59 보조정리 2.56에 정의된 함수 \(F\)형태의 모든 함수들의 집합(\(n\)도 변함)은 \(L_{2}(C_{0}([a,\,b]))\)에서 조밀하다.

증명: 생략

정리 2.60 \(\{\Phi_{\vec{m}}\}\)은 \(L_{2}(C_{0}([a,\,b]))\)에서 완비 정규직교집합이다.  

증명: \(\{\Phi_{\vec{m}}\}\)이 \(L_{2}(C_{0}([a,\,b]))\)의 기본부분집합임을 보이면 된다. 

임의의 함수 \(G\in L_{2}(C_{0}([a,\,b]))\)에 대해서, \(G\)를 보조정리 2.56의 함수 \(F\)들로 근사한다. 보조정리 2.57에 의해, \(F\)는 \(\Phi_{\vec{m}}\)들의 유한 일차결합에 의해 근사된다.  

 

참고자료:

위너 적분론, 장건수, 민음사