2-7 완비 정규직교집합(2)

2-7 완비 정규직교집합(2)

정의 2.51 $m_{i}\geq\,(i=1,\,2,\,...,\,n)$가 정수이고 $\vec{x}=(x_{1},\,...,\,x_{n})\in\mathbb{R}^{n}$일 때

$$\psi_{\vec{m}}(\vec{x})=\prod_{i=1}^{n}{\psi_{m_{i}}(x_{i})}\,(\vec{m}=(m_{1},\,...,\,m_{n}))$$ 를 $n$차 에르미트 함수라고 한다.

정의 2.51에 의해 다음의 성질을 얻는다.

$n$차 에르미트 함수들의 집합 $\{\psi_{\vec{m}}\,|\,m_{i}\geq0,\,m_{i}\in\mathbb{Z}\}$는 $L_{2}(\mathbb{R}^{n})$에서 정규직교집합이다. 

$n$차 에르미트 함수들의 집합이 $L_{p}(\mathbb{R}^{n})$의 기본부분집합임을 보이기 위해 다음의 보조정리를 증명한다.

보조정리 2.52 다음과 같은 함수들의 집합

$$M=\{f_{1}f_{2}\cdots f_{n}\,|\,f_{i}\in L_{p}(\mathbb{R}),\,i=1,\,...,\,n\}$$ 은 $L_{p}(\mathbb{R}^{n})$에서 기본부분집합이다.

증명:

(1) $\mathbb{R}^{n}$에서 컴팩트 받침(compact support)을 갖는 연속함수들의 집합은 $L_{p}(\mathbb{R}^{n})$에서 조밀하다.

(2) 따라서 다음과 같은 함수들의 집합 $S$는 $L_{p}(\mathbb{R}^{n})$에서 조밀하다.

$$S=\{g(x)\chi_{[-k,\,k]^{n}}(x)\,|\,x\in\mathbb{R}^{n},\,g\,\text{is continuous at}\,\mathbb{R}^{n}\}$$ (3) 그러므로 $S$에 속하는 각 함수들이 $M$에 속하는 함수들의 유한 일차결합에 의해 근사됨을 보이면 된다.

스톤-바이어슈트라스 정리에 의해 다음의 함수들

$$g_{1}x_{1}),\,...,\,g_{n}(x_{n}),\,g_{i}\in C([-k,\,k]),\,i=1,\,...,\,n$$ 들의 일차결합들의 집합은 $C([-k,\,k]^{n})$에서 최소상계노름(sup-norm)에 대해 조밀하므로 (3)이 성립한다.

정리 2.53 $n$차 에르미트 함수들의 집합 $\{\psi_{\vec{m}}\,|\,m_{i}\geq0,\,m_{i}\in\mathbb{Z}\}$는 $L_{p}(\mathbb{R}^{n})\,(1<p<\infty)$의 기본부분집합이고, 특히 이 집합은 $L_{2}(\mathbb{R}^{n})$에서 완비 정규직교집합이다.

증명: 보조정리 4.17에 의해 $M$(보조정리 2.52의 집합 $M$)의 각 원소들이 $n$차 에르미트 함수들의 유한 일차결합에 의해 근사됨을 보이면 된다. 1차 에르미트 함수들의 집합은 $L_{p}(\mathbb{R})$의 기본부분집합이므로 $f_{j}\in L_{p}(\mathbb{R})$를 근사하는 함수 $\displaystyle g_{j}(x_{j})=\sum_{i=1}^{m_{j}}{a_{ij}\psi_{i}(x_{j})}$가 존재한다. 함수 $g_{1}(x_{1}),\,...,\,g_{n}(x_{n})$은 $n$차 에르미트 함수들의 유한 일차결합이므로 $g_{1}(x_{1})\cdots g_{n}(x_{n})$이 $f_{1}(x_{1})\cdots f_{n}(x_{n})$을 근사함을 보이면 된다. 이것은 다음의 식에 의해 보일 수 있다.

$$\begin{align*}&\|f_{1}\cdots f_{n}-g_{1}\cdots g_{n}\|_{p}\\&\leq\|(f_{1}\cdots f_{n})-(f_{1}\cdots f_{n-1}g_{n})\|_{p}+\|(f_{1}\cdots f_{n-1}g_{n})-(f_{1}\cdots f_{n-2}g_{n-1}g_{n})\|_{p}+\cdots+\|(f_{1}g_{2}\cdots g_{n})-(g_{1}\cdots g_{n})\|_{p}\\&=(\|f_{1}\|_{p}\cdots\|f_{n-1}\|_{p}\|f_{n}-g_{n}\|_{p})+(\|f_{1}\|_{p}\cdots\|f_{n-2}\|_{p}\|f_{n-1}-g_{n-1}\|_{p}\|g_{n}\|_{p})+\cdots+(\|f_{1}-g_{1}\|_{p}\|g_{2}\|_{p}\cdots\|g_{n}\|_{p})\end{align*}$$ 이제 $L_{2}(C_{0}([a,\,b]))$에서 완비 정규직교집합을 정의하기 위해, $n$차 에르미트 다항식 $H_{n}(x)$와 에르미트 함수 $\psi_{n}(x)$를 여기서는 다음과 같이 변형시켜 사용하겠다. $$\begin{align*}H_{n}(x)&=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n!}}e^{\frac{1}{2}x^{2}}\frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{-\frac{1}{2}x^{2}}\\ \psi_{n}(x)&=(2\pi)^{-\frac{1}{4}}H_{n}(x)e^{-\frac{1}{4}x^{2}}\end{align*}$$ \{P_{k}\}를 $L_{2}([a,\,b])$에서 완비 정규직교집합이라 하자. $k\in\mathbb{N}$, $m\geq0$이 정수일 때 $$\varphi_{(m,\,k)}(x)=H_{n}\left(\int_{a}^{b}{P_{k}(t)\tilde{d}x(t)}\right)$$ 로 놓자. $m_{i}\geq0\,(i=1,\,...,\,k)$가 정수일 때 $$\Phi_{\vec{m}}(x)=\varphi_{(m_{1},\,1)}(x)\cdots\varphi_{(m_{k},\,k)}(x)\,(\vec{m}=(m_{1},\,...,\,m_{k}))$$ 로 놓자. 그러면 다음의 성질들이 성립한다.

(1) $\varphi_{(0,\,k)}(x)=1$

(2) $\Phi_{\vec{m}}(x)=\Phi_{(m_{1},\,...,\,m_{k},\,0,\,...,\,0)}(x)$

(3) $\vec{m}=(m_{1},\,...,\,m_{k})$의 맨 앞이나 중간에 0이 올 때는 $\Phi$의 값이 달라진다. 예를들어

$$\Phi_{(0,\,2,\,4)}(x)\neq\Phi_{(2,\,4)}(x)\neq\Phi_{(2,\,0,\,4)}(x)$$ 이다.

정리 2.54 모든 $\Phi$들의 집합 $\{\Phi_{\vec{m}}\,|\,k\in\mathbb{N},\,m_{i}\geq0,\,m_{i}\in\mathbb{Z}\}$는 $L_{2}(C_{0}([a,\,b]))$에서 정규직교집합이다.

증명: 팰리-위너-지그문드 적분공식으로부터 다음의 식을 얻는다.

$$\begin{align*}&\int_{C_{0}([a,\,b])}{\Phi_{\vec{m}}(x)\cdot\Phi_{\vec{n}}(x)d\mathfrak{m}(x)}\,(\vec{n}=(n_{1},\,...,\,n_{k}))\\&=\int_{C_{0}([a,\,b])}{\left\{\prod_{j=1}^{k}{H_{m_{j}}}\left(\int_{a}^{b}{P_{j}(t)\tilde{d}x(t)}\right)\right\}\left\{\prod_{j=1}^{k}{H_{n_{j}}\left(\int_{a}^{b}{P_{j}(t)\tilde{d}x(t)}\right)}\right\}d\mathfrak{m}(x)}\\&=(2\pi)^{-\frac{k}{2}}\int_{\mathbb{R}^{k}}{\left\{\prod_{j=1}^{k}{H_{m_{j}}(u_{j})}\right\}\left\{\prod_{j=1}^{k}{H_{n_{j}}(u_{j})}\right\}e^{\displaystyle\tiny-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{k}{u_{j}^{2}}}d\vec{u}}\,(\vec{u}=(u_{1},\,...,\,u_{n}))\\&=\int_{\mathbb{R}^{k}}{\left\{\prod_{j=1}^{k}{\psi_{m_{j}}(u_{j})}\right\}\left\{\prod_{j=1}^{k}{\psi_{n_{j}}(u_{j})}\right\}d\vec{u}}\\&=\delta_{m_{1},\,n_{1}}\delta_{m_{2},\,n_{2}}\cdots\delta_{m_{k},\,n_{k}}\end{align*}$$ 정의 2.55 $F\in L_{2}(C_{0}([a,\,b]))$에 대하여 다음의 $A_{\vec{m}}$을 $F$의 푸리에-에르미트 계수라고 한다. $$A_{\vec{m}}=\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)\Phi_{\vec{m}}(x)d\mathfrak{m}(x)}$$ 보조정리 2.56 $f(\vec{u}),\,\vec{u}=(u_{1},\,...,\,u_{n})$가 $\mathbb{R}^{n}$에서 르베그 가측함수이고 $f(\vec{u})e^{-\frac{1}{4}|\vec{u}|^{2}}\in L_{2}(\mathbb{R}^{n})\,(|\vec{u}|^{2}=u_{1}^{2}+\cdots+u_{n}^{2})$라고 하자. $F:C_{0}([a,\,b])\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 다음과 같이 정의하면 $$F(x)=f\left(\int_{a}^{b}{P_{1}(t)\tilde{d}x(t)},\,...,\,\int_{a}^{b}{P_{n}(t)\tilde{d}x(t)}\right)$$ 다음의 식이 성립한다. $$\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)\Phi_{\vec{m}}(x)d\mathfrak{m}(x)}=\begin{cases}(\text{i})\,a_{\vec{m}}&\,(k=n)\\(\text{ii})\,0&\,(n<k,\,m_{k}\neq0)\end{cases}$$ 여기서 $a_{\vec{m}}$은 $\displaystyle f(\vec{u})e^{-\frac{1}{4}|\vec{u}|^{2}}$의 $k-$차 에르미트 계수이다. 

증명: (i)과 (ii)만으로 되어있는 이유는 $k<n$이면 0을 추가해서 (i)의 경우가 되게 할 수 있고, $n<k$이고 $m_{k}=0$이면, $m_{k}=0$, $m_{k-1}=0,\,...$의 순으로 0을 없애나가다가 처음으로 0이 아닌 항을 $m_{k'}$이라 하자. $k'>n$이면 (ii)의 경우가 되고, $k'=n$이면 (i)의 경우가 된다. P.W.Z적분공식으로부터 다음의 등식을 얻는다.

$$\begin{align*}&\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)\Phi_{\vec{m}}(x)d\mathfrak{m}(x)}\\&=(2\pi)^{-\frac{k}{2}}\int_{\mathbb{R}^{k}}{f(\vec{u})\left\{\prod_{j=1}^{k}{H_{m_{j}}(u_{j})}\right\}e^{\displaystyle\tiny-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{k}{u_{j}^{2}}}d\vec{u}}\end{align*}$$ (i) $n=k$이면 $$(2\pi)^{-\frac{k}{2}}\int_{\mathbb{R}^{k}}{\left\{f(\vec{u})e^{\displaystyle\tiny-\frac{1}{4}\sum_{j=1}^{k}{u_{j}^{2}}}\right\}\left\{\prod_{j=1}^{k}{H_{m_{j}}(u_{j})}e^{-\frac{1}{4}u_{j}^{2}}\right\}d\vec{u}}=a_{\vec{m}}$$ (ii) $n<k$이면, 적분 $\displaystyle\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)\Phi_{\vec{m}}(x)d\mathfrak{m}(x)}$에서 변수 $u_{k}$에 대해 먼저 적분한다. 그러면 변수 $u_{k}$에 대한 적분은 다음과 같다. $$\int_{\mathbb{R}}{H_{0}(u_{k})e^{-\frac{1}{4}u_{k}^{2}}H_{m_{k}}(u_{k})e^{-\frac{1}{4}u_{k}^{2}}du_{k}}=\delta_{0,\,k}$$ 보조정리 2.57 $F$가 보조정리 2.56의 함수라 하자. 그러면 다음의 적분식은 $N\,\rightarrow\,\infty$일 때 0으로 수렴한다. $$I=\int_{C_{0}([a,\,b])}{\left|F(x)-\sum_{m_{1},\,...,\,m_{n}=0}^{N}{A_{\vec{m}}\Phi_{\vec{m}}(x)}\right|^{2}d\mathfrak{m}(x)}$$ 증명: 위너 적분공식으로부터 $$\begin{align*}I&=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{n}}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{\left|f(\vec{u})-\sum_{m_{1},\,...,\,m_{n}=0}^{N}{A_{\vec{m}}H_{m_{1}}(u_{1})\cdots H_{m_{n}}(u_{n})}\right|^{2}e^{\displaystyle\tiny-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}{u_{i}^{2}}}d\vec{u}}\\&=\int_{\mathbb{R}^{n}}{\left|(2\pi)^{-\frac{n}{4}}f(\vec{u})e^{\displaystyle\tiny-\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{n}{u_{i}^{2}}}-\sum_{m_{1},\,...,\,m_{n}=0}^{N}{a_{\vec{m}}\prod_{j=1}^{n}{\left\{2\pi)^{-\frac{1}{4}}H_{m_{j}}(u_{j})e^{-\frac{1}{4}u_{j}^{2}}\right\}}}\right|^{2}d\vec{u}}\end{align*}$$ 이고 위 식의 마지막 적분은 $N\,\rightarrow\,\infty$일 때 0으로 수렴한다.

보조정리 2.58 $F$가 보조정리 2.56의 함수라 하자. 그러면 $F$의 푸리에-에르미트 급수

$$\sum_{m_{1},\,...,\,m_{N}=0}^{N}{A_{\vec{m}}\Phi_{\vec{m}}(x)}$$ 는 $N\,\rightarrow\,\infty$일 때 $F$로 $L_{2}(C_{0}([a,\,b]))$노름수렴한다.

증명: $N>n$일 때 $\displaystyle\sum_{m_{1},\,...,\,m_{n}=0}^{N}$과 $\displaystyle\sum_{m_{1},\,...,\,m_{N}=0}^{N}$에서 0이 아닌 항들은 모두 같으므로 보조정리 2.57에 의해 증명된다.

처음 합에서 나타나는 모든 항들 $A_{\vec{m}}\Phi_{\vec{m}}(x)$는 두 번째 합에서도 $A_{(m_{1},\,...,\,m_{n},\,0,\,...,\,0)}\Phi_{(m_{1},\,...,\,m_{n},\,0,\,...,\,0)}$으로 나타난다. 어떤 $j(n+1\leq j\leq N)$에 대해서 $m_{j}\neq0$인 두 번째 합에 있는 항은 보조정리 2.56에 의해 $A_{\vec{m}}=0$이다.

정리 2.59 보조정리 2.56에 정의된 함수 $F$형태의 모든 함수들의 집합($n$도 변함)은 $L_{2}(C_{0}([a,\,b]))$에서 조밀하다.

증명: 생략

정리 2.60 $\{\Phi_{\vec{m}}\}$은 $L_{2}(C_{0}([a,\,b]))$에서 완비 정규직교집합이다.  

증명: $\{\Phi_{\vec{m}}\}$이 $L_{2}(C_{0}([a,\,b]))$의 기본부분집합임을 보이면 된다. 

임의의 함수 $G\in L_{2}(C_{0}([a,\,b]))$에 대해서, $G$를 보조정리 2.56의 함수 $F$들로 근사한다. 보조정리 2.57에 의해, $F$는 $\Phi_{\vec{m}}$들의 유한 일차결합에 의해 근사된다.  

 

참고자료:

위너 적분론, 장건수, 민음사