3-1 강한 극한정리

3-1 강한 극한정리

\(\alpha\in L_{2}([a,\,b])\), \(x\in C_{0}([a,\,b])\)에 대해 \(\alpha\)의 \(x\)에 대한 P.W.Z적분은 다음과 같이 나타내고$$\int_{a}^{b}{\alpha(t)\tilde{d}x(t)}$$로 나타내어지고 \(\mathfrak{m}-a.e.\,x\)에 대해 이 적분은 존재한다.$$X(t,\,x)=x(t),\,t\in[a,\,b],\,x\in C_{0}([a,\,b])$$로 정의되는 위너과정 \(X\)로 이 적분을 나타내면$$\int_{a}^{b}{\alpha(t)\tilde{d}X(t,\,x)}$$이고, 이 적분에서 위너과정 \(X(t,\,x)\)를 브라운운동 \(B(t,\,\omega)\)로 대치하면$$\int_{a}^{b}{\alpha(t)\tilde{d}B(x,\,\omega)},\,\omega\in\Omega$$이고, 이 적분을 확률적분이라고 한다.

보조정리 3.1 \(f:(a,\,b)\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 \((a,\,b)\)에서 미분가능하고 그 도함수가 유계라 하자. 즉 모든 \(t\in(a,\,b)\)에 대해 상수 \(B\geq0\)가 존재해서 \(|f'(t)|\leq B\). 그러면 \(\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,a+}{f(t)}\)와 \(\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,b-}{f(t)}\)가 존재하고, \(c\in(a,\,b)\)에 대해 다음의 부등식을 만족한다.$$\begin{align*}\left|\lim_{t\,\rightarrow\,a+}{f(t)}-f(c)\right|&\leq B(c-a)\\ \left|\lim_{t\,\rightarrow\,b-}{f(t)}-f(c)\right|&\leq B(b-c)\end{align*}$$증명: 위의 부등식을 보이기 위해 \([a_{0},\,c]\subset(a,\,b)\)라 하자. 그러면 \(f'\)은 \([a_{0},\,c]\)에서 유계이므로 절대연속이고 다음의 등식이 성립한다.$$f(c)-f(a_{0})=\int_{[a_{0},\,c]}{f'(t)d\lambda(t)}$$여기서 \(\lambda\)는 르베그 측도이다. 그러면 \(\displaystyle\lim_{a_{0}\,\rightarrow\,a+}{f(a_{0})}\)가 존재하고 다음의 부등식으로부터 성립한다.$$\left|f(c)-\lim_{a_{0}\,\rightarrow\,a+}{f(a_{0})}\right|\leq\int_{(a,\,c]}{|f'(t)|d\lambda(t)}\leq B(c-a)$$같은 방법으로 아래의 부등식도 성립함을 보일 수 있다.

보조정리 3.2 \(f:(a,\,b)\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 \((a,\,b)\)에서 미분가능한 함수이고, 다음의 두 극한값들이 존재하고 유한하다고 하자.$$\alpha=\lim_{t\,\rightarrow\,a+}{f'(t)},\,\beta=\lim_{t\,\rightarrow\,b-}{f'(t)}$$그러면 다음의 극한값들이 존재하고 유한하다.$$\lim_{t\,\rightarrow\,a+}{f(t)},\,\lim_{t\,\rightarrow\,b-}{f(t)}$$또한$$f(a)=\lim_{t\,\rightarrow\,a-}{f(t)},\,f(b)=\lim_{t\,\rightarrow\,b+}{f(t)}$$로 정의하면 \(x=a\)의 우변도함수 \(f'_{+}(a)\)와 \(x=b\)의 좌변도함수 \(f'_{-}(b)\)가 존재하고 다음이 성립한다.$$\alpha=f'_{+}(a),\,\beta=f'_{-}(b)$$증명: 점 \(x=a\)에 대해 증명하자. \(\alpha\)가 유한하므로, 어떤 \(\delta>0\)에 대해 \(f'\)은 구간 \((a,\,a+\delta)\)에서 유계이다. 보조정리 3.1에 의해 극한 \(\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,a+}{f(t)}\)가 존재하고 유한하다.

\(a_{0}\in(a,\,a+\delta)\)를 택하자. \(f'\)이 \((a,\,a_{0}]\)에서 유계이므로 \(f\)는 \([a,\,a_{0}]\)에서 절대연속이고 다음의 등식이 성립한다.$$f(a_{0})-f(a)=\int_{[a,\,a_{0}]}{f'(t)d\lambda(t)}$$따라서$$\lim_{a_{0}\,\rightarrow\,a+}{\left|\frac{f(a_{0})-f(a)}{a_{0}-a}-\alpha\right|}\leq\lim_{a_{0}\,\rightarrow\,a+}{\frac{1}{a_{0}-a}\int_{[a,\,a_{0}]}{|f'(t)-\alpha|d\lambda(t)}}=0$$이므로 \(f'_{+}(a)=\alpha\)이다. 

같은 방법으로 점 \(x=b\)에 대해서도 보일 수 있다.

보조정리 3.3 \(r(s,\,t)\)가 다음의 삼각형에서 정의되는 실함수라고 하고,$$\Delta_{1}=\{(s,\,t)\in\mathbb{R}^{2}\,|\,s\in(0,\,t),\,t\in(0,\,1)\}$$이 삼각형 \(\Delta_{1}\)에서 \(\displaystyle\frac{\partial^{2}r}{\partial s^{2}}\), \(\displaystyle\frac{\partial^{2}r}{\partial t\partial s}\)가 존재하고 다음의 부등식이 성립하며$$\left|\frac{\partial^{2}r}{\partial s^{2}}\right|\leq B,\,\left|\frac{\partial^{2}r}{\partial t\partial s}\right|\leq B$$\(\displaystyle r(t,\,t)=\lim_{s\,\rightarrow\,t-}{r(s,\,t)}\)로 정의하자. 그러면 모든 \(t\in(0,\,1)\)에 대해$$D^{-}(t)=\lim_{s\,\rightarrow\,t-}{\frac{r(s,\,t)-r(t,\,t)}{s-t}}$$가 존재한다. 또한 \(D^{-}\)는 \((0,\,1)\)에서 유계이고 연속이며, 다음의 성질들이 성립한다.$$\begin{align*}&D^{-}(t)=\lim_{s\,\rightarrow\,t-}{\frac{\partial r}{\partial s}(s,\,t)}\\&\left|D^{-}(t)-\frac{\partial r}{\partial s}(s,\,t)\right|\leq B(t-s)\\&\left|D^{-}(t')-D^{-}(t'')\right|\leq2B|t'-t''|\,(t',\,t''\in(0,\,1))\end{align*}$$같은 방법으로 삼각형$$\Delta_{2}={(s,\,t)\in\mathbb{R}^{2}\,|\,s\in(t,\,1),\,t\in(0,\,1)}$$에서 \(r\)의 우변도함수$$D^{+}(t)=\lim_{s\,\rightarrow\,t+}{\frac{r(s,\,t)-r((t,\,t)}{s-t}}$$에 대한 성질도 얻을 수 있다.

증명: 고정된 \(t\in(0,\,1)\)에 대해 \(g(s)=r(s,\,t),\,s\in(0,\,t)\)라 하자. \((0,\,t)\)에서 \(g''\)이 유계이므로 보조정리 3.1에 의해 다음의 두 극한값들이 존재하고 유한하다.$$\lim_{s\,\rightarrow\,0+}{g'(s)},\,\lim_{s\,\rightarrow\,t-}{g'(s)}$$\(g'\)이 \((0,\,t)\)에서 연속이고 위의 두 극한값들이 존재하기 때문에 \(g'\)은 \((0,\,t)\)에서 유계이다. 보조정리 3.1에 의해 다음의 부등식이 성립하고$$\left|\lim_{s\,\rightarrow\,t-}{g'(s)}-g'(s)\right|\leq B(t-s)$$이고, 보조정리 3.2에 의해 \(g\)의 좌변도함수 \(D^{-}_{g}(t)\)가 존재하고 \(\displaystyle D_{g}^{-}(t)=\lim_{s\,\rightarrow\,t}{g'(s)}\)이다. 

마지막으로 \(t',\,t''\in(0,\,1)\), \(t'<t''\)인 경우를 생각하고 \(s\in(0,\,t')\)이라 하자. 그러면 다음의 부등식이 성립하고$$\begin{align*}|D^{-}(t')-D^{-}(t'')|&\leq\left|D^{-}(t')-\frac{\partial r}{\partial s}(s,\,t')\right|+\left|\frac{\partial r}{\partial s}(s,\,t')-\frac{\partial r}{\partial s}(s,\,t'')\right|+\left|\frac{\partial r}{\partial s}(s,\,t'')-D^{-}(t'')\right|\\&\leq B(t'-s)+\left|\frac{\partial^{2}r}{\partial t\partial s}(s,\,t^{*})\right|(t''-t')+B(t''-s)\\&\leq B(t'-s)+B(t''-t')+B(t''-s)\end{align*}$$여기서 \(t^{*}\in(t',\,t'')\)이며, 위 부등에 극한 \(s\,\rightarrow\,t'-\)를 취하면 원하는 결과를 얻는다.

정리 3.4 (강한 극한정리) 확률공간 \((\Omega,\,\mathcal{B},\,P)\)와 \(T=[0,\,1]\subset\mathbb{R}\)에서 정의된 가우스 과정 \(X\)가 다음의 조건들을 만족한다고 하자.

(1) 평균함수 \(m(t)\)는 \(T\)에서 유계 도함수를 갖는다.

(2) 공분산함수 \(r(s,\,t)\)는 \(T\times T\)에서 연속이고 \((T\times T)-I\)에서 유계 편도함수 \(\displaystyle\frac{\partial^{2}r}{\partial s^{2}}\), \(\displaystyle\frac{\partial^{2}r}{\partial s\partial t}\)를 갖는다. 여기서 \(I=\{(s,\,t)\in T\times T\,|\,s=t\}\)

\(t\in(0,\,1)\)에 대해 \(r(s,\,t)\)의 좌변도함수 \(D^{-}(t)\)와 우변도함수 \(D^{+}(t)\)를 각각 다음과 같다고 하자.$$D^{-}(t)=\lim_{s\,\rightarrow\,t-}{\frac{r(s,\,t)-r(t,\,t)}{s-t}},\,D^{+}(t)=\lim_{s\,\rightarrow\,t+}{\frac{r(s,\,t)-r(t,\,t)}{s-t}}$$\(\alpha(t)\)와 \(Z_{n}(\omega)\)를 다음과 같이 정의하면$$\begin{align*}\alpha(t)&=D^{-}(t)-D^{+}(t)\\Z_{n}(\omega)&=\sum_{k=1}^{2n}{\left\{X\left(\frac{k}{2^{n}},\,\omega\right)-X\left(\frac{k-1}{2^{n}},\,\omega\right)\right\}^{2}}\end{align*}$$다음의 등식이 성립한다.$$P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{Z_{n}(\omega)}=\int_{0}^{1}{\alpha(t)dt}\right\}\right)=1$$증명: 생략

따름정리 3.5 가우스 과정 \(X\)가 정리 3.4(강한 극한정리)의 가정을 만족하고, \(t\in(0,\,1)\)에 대해 \(\displaystyle\frac{\partial r}{\partial s}(t,\,t)\)가 존재한다고 하자. 그러면 다음의 등식이 성립한다.$$P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{Z_{n}(\omega)}=0\right\}\right)=1$$증명: \(t\in(0,\,1)\)에 대해 \(\displaystyle\frac{\partial r}{\partial s}(t,\,t)\)가 존재하면$$D^{-}(t)=D^{+}(t)=\frac{\partial r}{\partial s}(t,\,t),\,\alpha(t)=0,\,\alpha(t)=0\,(t\in(0,\,1))$$이므로 \(\displaystyle\int_{0}^{1}{\alpha(t)dt}=0\)이다.

따름정리 3.6 \(a(t)\)가 \(T=[0,\,1]\)에서 정의된 실함수로 \(T\)에서 유계 도함수를 갖고, \(b(t)\)는 단조증가함수로서 \(T\)에서 유계 2계도함수를 갖는다고 하자.

일반 브라운운동과정 \(X(t,\,\omega)\), \(t\in T\), \(\omega\in\Omega\)가 다음의 조건을 만족한다고 하자.

\(c\in\mathbb{R}\), \(t',\,t''\in T,\,t'<t''\)일 때

(1) \(X(t'',\,\cdot)-X(t',\,\cdot)\,\sim\,N(a(t'')-a(t'),\,b(t'')-b(t'))\)

(2) \(X(0,\,\omega)=c\,a.e.\,\omega\in\Omega\)

그러면 다음의 등식이 성립하고$$P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{Z_{n}(\omega)}=\int_{0}^{1}{b'(t)dt}\right\}\right)=1$$특히 \(a(t)=0\), \(b(t)=t\), \(t\in T\), \(c=0\)인 브라운 운동과정인 경우에는 다음의 등식이 성립한다.$$P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{Z_{n}(\omega)}=1\right\}\right)=1$$증명: 평균함수 \(m(t)\)와 공분산함수 \(r(s,\,t)\)는 다음과 같이 주어진다.$$\begin{align*}m(t)&=E(X(t,\,\cdot))=a(t)-a(0)+c,\,t\in T\\r(s,\,t)&=C(X(s,\,\cdot),\,X(t,\,\cdot))=b(\min\{s,\,t\})-b(0)\\&=\min\{b(s),\,b(t)\}-b(0)\end{align*}$$\(a'(t)\), \(b''(t)\)는 존재하고 \(T\)에서 유계이므로 \(m\)과 \(r\)은 정리 3.4(강한 극한정리)의 조건을 만족한다. 또한 \(t\in(0,\,1)\)에 대해서$$\begin{align*}D^{-}(t)&=\lim_{s\,\rightarrow\,t-}{\frac{r(s,\,t)-r(t,\,t)}{s-t}}=\lim_{s\,\rightarrow\,t-}{\frac{b(s)-b(t)}{s-t}}=b'(t)\\D^{+}(t)&=\lim_{s\,\rightarrow\,t+}{\frac{r(s,\,t)-r(t,\,t)}{s-t}}=\lim_{s\,\rightarrow\,t-}{\frac{b(s)-b(t)}{s-t}}=0\end{align*}$$이므로 \(\alpha(t)=D^{-}(t)-D^{+}(t)=b'(t)\)이고 강한 극한정리에 의해 원하는 결과를 얻는다.

참고자료:

위너 적분론, 장건수, 민음사