3-1 강한 극한정리

3-1 강한 극한정리

$\alpha\in L_{2}([a,\,b])$, $x\in C_{0}([a,\,b])$에 대해 $\alpha$의 $x$에 대한 P.W.Z적분은 다음과 같이 나타내고 $$\int_{a}^{b}{\alpha(t)\tilde{d}x(t)}$$ 로 나타내어지고 $\mathfrak{m}-a.e.\,x$에 대해 이 적분은 존재한다. $$X(t,\,x)=x(t),\,t\in[a,\,b],\,x\in C_{0}([a,\,b])$$ 로 정의되는 위너과정 $X$로 이 적분을 나타내면 $$\int_{a}^{b}{\alpha(t)\tilde{d}X(t,\,x)}$$ 이고, 이 적분에서 위너과정 $X(t,\,x)$를 브라운운동 $B(t,\,\omega)$로 대치하면 $$\int_{a}^{b}{\alpha(t)\tilde{d}B(x,\,\omega)},\,\omega\in\Omega$$ 이고, 이 적분을 확률적분이라고 한다.

보조정리 3.1 $f:(a,\,b)\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 $(a,\,b)$에서 미분가능하고 그 도함수가 유계라 하자. 즉 모든 $t\in(a,\,b)$에 대해 상수 $B\geq0$가 존재해서 $|f'(t)|\leq B$. 그러면 $\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,a+}{f(t)}$와 $\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,b-}{f(t)}$가 존재하고, $c\in(a,\,b)$에 대해 다음의 부등식을 만족한다. $$\begin{align*}\left|\lim_{t\,\rightarrow\,a+}{f(t)}-f(c)\right|&\leq B(c-a)\\ \left|\lim_{t\,\rightarrow\,b-}{f(t)}-f(c)\right|&\leq B(b-c)\end{align*}$$ 증명: 위의 부등식을 보이기 위해 $[a_{0},\,c]\subset(a,\,b)$라 하자. 그러면 $f'$은 $[a_{0},\,c]$에서 유계이므로 절대연속이고 다음의 등식이 성립한다. $$f(c)-f(a_{0})=\int_{[a_{0},\,c]}{f'(t)d\lambda(t)}$$ 여기서 $\lambda$는 르베그 측도이다. 그러면 $\displaystyle\lim_{a_{0}\,\rightarrow\,a+}{f(a_{0})}$가 존재하고 다음의 부등식으로부터 성립한다. $$\left|f(c)-\lim_{a_{0}\,\rightarrow\,a+}{f(a_{0})}\right|\leq\int_{(a,\,c]}{|f'(t)|d\lambda(t)}\leq B(c-a)$$ 같은 방법으로 아래의 부등식도 성립함을 보일 수 있다.

보조정리 3.2 $f:(a,\,b)\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 $(a,\,b)$에서 미분가능한 함수이고, 다음의 두 극한값들이 존재하고 유한하다고 하자. $$\alpha=\lim_{t\,\rightarrow\,a+}{f'(t)},\,\beta=\lim_{t\,\rightarrow\,b-}{f'(t)}$$ 그러면 다음의 극한값들이 존재하고 유한하다. $$\lim_{t\,\rightarrow\,a+}{f(t)},\,\lim_{t\,\rightarrow\,b-}{f(t)}$$ 또한 $$f(a)=\lim_{t\,\rightarrow\,a-}{f(t)},\,f(b)=\lim_{t\,\rightarrow\,b+}{f(t)}$$ 로 정의하면 $x=a$의 우변도함수 $f'_{+}(a)$와 $x=b$의 좌변도함수 $f'_{-}(b)$가 존재하고 다음이 성립한다. $$\alpha=f'_{+}(a),\,\beta=f'_{-}(b)$$ 증명: 점 $x=a$에 대해 증명하자. $\alpha$가 유한하므로, 어떤 $\delta>0$에 대해 $f'$은 구간 $(a,\,a+\delta)$에서 유계이다. 보조정리 3.1에 의해 극한 $\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,a+}{f(t)}$가 존재하고 유한하다.

$a_{0}\in(a,\,a+\delta)$를 택하자. $f'$이 $(a,\,a_{0}]$에서 유계이므로 $f$는 $[a,\,a_{0}]$에서 절대연속이고 다음의 등식이 성립한다. $$f(a_{0})-f(a)=\int_{[a,\,a_{0}]}{f'(t)d\lambda(t)}$$ 따라서 $$\lim_{a_{0}\,\rightarrow\,a+}{\left|\frac{f(a_{0})-f(a)}{a_{0}-a}-\alpha\right|}\leq\lim_{a_{0}\,\rightarrow\,a+}{\frac{1}{a_{0}-a}\int_{[a,\,a_{0}]}{|f'(t)-\alpha|d\lambda(t)}}=0$$ 이므로 $f'_{+}(a)=\alpha$이다. 

같은 방법으로 점 $x=b$에 대해서도 보일 수 있다.

보조정리 3.3 $r(s,\,t)$가 다음의 삼각형에서 정의되는 실함수라고 하고, $$\Delta_{1}=\{(s,\,t)\in\mathbb{R}^{2}\,|\,s\in(0,\,t),\,t\in(0,\,1)\}$$ 이 삼각형 $\Delta_{1}$에서 $\displaystyle\frac{\partial^{2}r}{\partial s^{2}}$, $\displaystyle\frac{\partial^{2}r}{\partial t\partial s}$가 존재하고 다음의 부등식이 성립하며 $$\left|\frac{\partial^{2}r}{\partial s^{2}}\right|\leq B,\,\left|\frac{\partial^{2}r}{\partial t\partial s}\right|\leq B$$ $\displaystyle r(t,\,t)=\lim_{s\,\rightarrow\,t-}{r(s,\,t)}$로 정의하자. 그러면 모든 $t\in(0,\,1)$에 대해 $$D^{-}(t)=\lim_{s\,\rightarrow\,t-}{\frac{r(s,\,t)-r(t,\,t)}{s-t}}$$ 가 존재한다. 또한 $D^{-}$는 $(0,\,1)$에서 유계이고 연속이며, 다음의 성질들이 성립한다. $$\begin{align*}&D^{-}(t)=\lim_{s\,\rightarrow\,t-}{\frac{\partial r}{\partial s}(s,\,t)}\\&\left|D^{-}(t)-\frac{\partial r}{\partial s}(s,\,t)\right|\leq B(t-s)\\&\left|D^{-}(t')-D^{-}(t'')\right|\leq2B|t'-t''|\,(t',\,t''\in(0,\,1))\end{align*}$$ 같은 방법으로 삼각형 $$\Delta_{2}={(s,\,t)\in\mathbb{R}^{2}\,|\,s\in(t,\,1),\,t\in(0,\,1)}$$ 에서 $r$의 우변도함수 $$D^{+}(t)=\lim_{s\,\rightarrow\,t+}{\frac{r(s,\,t)-r((t,\,t)}{s-t}}$$ 에 대한 성질도 얻을 수 있다.

증명: 고정된 $t\in(0,\,1)$에 대해 $g(s)=r(s,\,t),\,s\in(0,\,t)$라 하자. $(0,\,t)$에서 $g''$이 유계이므로 보조정리 3.1에 의해 다음의 두 극한값들이 존재하고 유한하다. $$\lim_{s\,\rightarrow\,0+}{g'(s)},\,\lim_{s\,\rightarrow\,t-}{g'(s)}$$ $g'$이 $(0,\,t)$에서 연속이고 위의 두 극한값들이 존재하기 때문에 $g'$은 $(0,\,t)$에서 유계이다. 보조정리 3.1에 의해 다음의 부등식이 성립하고 $$\left|\lim_{s\,\rightarrow\,t-}{g'(s)}-g'(s)\right|\leq B(t-s)$$ 이고, 보조정리 3.2에 의해 $g$의 좌변도함수 $D^{-}_{g}(t)$가 존재하고 $\displaystyle D_{g}^{-}(t)=\lim_{s\,\rightarrow\,t}{g'(s)}$이다. 

마지막으로 $t',\,t''\in(0,\,1)$, $t'<t''$인 경우를 생각하고 $s\in(0,\,t')$이라 하자. 그러면 다음의 부등식이 성립하고 $$\begin{align*}|D^{-}(t')-D^{-}(t'')|&\leq\left|D^{-}(t')-\frac{\partial r}{\partial s}(s,\,t')\right|+\left|\frac{\partial r}{\partial s}(s,\,t')-\frac{\partial r}{\partial s}(s,\,t'')\right|+\left|\frac{\partial r}{\partial s}(s,\,t'')-D^{-}(t'')\right|\\&\leq B(t'-s)+\left|\frac{\partial^{2}r}{\partial t\partial s}(s,\,t^{*})\right|(t''-t')+B(t''-s)\\&\leq B(t'-s)+B(t''-t')+B(t''-s)\end{align*}$$ 여기서 $t^{*}\in(t',\,t'')$이며, 위 부등에 극한 $s\,\rightarrow\,t'-$를 취하면 원하는 결과를 얻는다.

정리 3.4 (강한 극한정리) 확률공간 $(\Omega,\,\mathcal{B},\,P)$와 $T=[0,\,1]\subset\mathbb{R}$에서 정의된 가우스 과정 $X$가 다음의 조건들을 만족한다고 하자.

(1) 평균함수 $m(t)$는 $T$에서 유계 도함수를 갖는다.

(2) 공분산함수 $r(s,\,t)$는 $T\times T$에서 연속이고 $(T\times T)-I$에서 유계 편도함수 $\displaystyle\frac{\partial^{2}r}{\partial s^{2}}$, $\displaystyle\frac{\partial^{2}r}{\partial s\partial t}$를 갖는다. 여기서 $I=\{(s,\,t)\in T\times T\,|\,s=t\}$

$t\in(0,\,1)$에 대해 $r(s,\,t)$의 좌변도함수 $D^{-}(t)$와 우변도함수 $D^{+}(t)$를 각각 다음과 같다고 하자. $$D^{-}(t)=\lim_{s\,\rightarrow\,t-}{\frac{r(s,\,t)-r(t,\,t)}{s-t}},\,D^{+}(t)=\lim_{s\,\rightarrow\,t+}{\frac{r(s,\,t)-r(t,\,t)}{s-t}}$$ $\alpha(t)$와 $Z_{n}(\omega)$를 다음과 같이 정의하면 $$\begin{align*}\alpha(t)&=D^{-}(t)-D^{+}(t)\\Z_{n}(\omega)&=\sum_{k=1}^{2n}{\left\{X\left(\frac{k}{2^{n}},\,\omega\right)-X\left(\frac{k-1}{2^{n}},\,\omega\right)\right\}^{2}}\end{align*}$$ 다음의 등식이 성립한다. $$P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{Z_{n}(\omega)}=\int_{0}^{1}{\alpha(t)dt}\right\}\right)=1$$ 증명: 생략

따름정리 3.5 가우스 과정 $X$가 정리 3.4(강한 극한정리)의 가정을 만족하고, $t\in(0,\,1)$에 대해 $\displaystyle\frac{\partial r}{\partial s}(t,\,t)$가 존재한다고 하자. 그러면 다음의 등식이 성립한다. $$P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{Z_{n}(\omega)}=0\right\}\right)=1$$ 증명: $t\in(0,\,1)$에 대해 $\displaystyle\frac{\partial r}{\partial s}(t,\,t)$가 존재하면 $$D^{-}(t)=D^{+}(t)=\frac{\partial r}{\partial s}(t,\,t),\,\alpha(t)=0,\,\alpha(t)=0\,(t\in(0,\,1))$$ 이므로 $\displaystyle\int_{0}^{1}{\alpha(t)dt}=0$이다.

따름정리 3.6 $a(t)$가 $T=[0,\,1]$에서 정의된 실함수로 $T$에서 유계 도함수를 갖고, $b(t)$는 단조증가함수로서 $T$에서 유계 2계도함수를 갖는다고 하자.

일반 브라운운동과정 $X(t,\,\omega)$, $t\in T$, $\omega\in\Omega$가 다음의 조건을 만족한다고 하자.

$c\in\mathbb{R}$, $t',\,t''\in T,\,t'<t''$일 때

(1) $X(t'',\,\cdot)-X(t',\,\cdot)\,\sim\,N(a(t'')-a(t'),\,b(t'')-b(t'))$

(2) $X(0,\,\omega)=c\,a.e.\,\omega\in\Omega$

그러면 다음의 등식이 성립하고 $$P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{Z_{n}(\omega)}=\int_{0}^{1}{b'(t)dt}\right\}\right)=1$$ 특히 $a(t)=0$, $b(t)=t$, $t\in T$, $c=0$인 브라운 운동과정인 경우에는 다음의 등식이 성립한다. $$P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{Z_{n}(\omega)}=1\right\}\right)=1$$ 증명: 평균함수 $m(t)$와 공분산함수 $r(s,\,t)$는 다음과 같이 주어진다. $$\begin{align*}m(t)&=E(X(t,\,\cdot))=a(t)-a(0)+c,\,t\in T\\r(s,\,t)&=C(X(s,\,\cdot),\,X(t,\,\cdot))=b(\min\{s,\,t\})-b(0)\\&=\min\{b(s),\,b(t)\}-b(0)\end{align*}$$ $a'(t)$, $b''(t)$는 존재하고 $T$에서 유계이므로 $m$과 $r$은 정리 3.4(강한 극한정리)의 조건을 만족한다. 또한 $t\in(0,\,1)$에 대해서 $$\begin{align*}D^{-}(t)&=\lim_{s\,\rightarrow\,t-}{\frac{r(s,\,t)-r(t,\,t)}{s-t}}=\lim_{s\,\rightarrow\,t-}{\frac{b(s)-b(t)}{s-t}}=b'(t)\\D^{+}(t)&=\lim_{s\,\rightarrow\,t+}{\frac{r(s,\,t)-r(t,\,t)}{s-t}}=\lim_{s\,\rightarrow\,t-}{\frac{b(s)-b(t)}{s-t}}=0\end{align*}$$ 이므로 $\alpha(t)=D^{-}(t)-D^{+}(t)=b'(t)$이고 강한 극한정리에 의해 원하는 결과를 얻는다.

참고자료:

위너 적분론, 장건수, 민음사