3-3 브라운 운동과정에 대한 확률적분(2)

3-3 브라운 운동과정에 대한 확률적분(2)

다음의 정리는 확률적분과 리만-스틸체스 적분 사이의 관계를 나타낸다.

정리 3.13 브라운 운동과정 $B$가 $[a,\,b]$에서 연속이고 $f\in BV([a,\,b])$라 하자. 그러면 다음의 등식이 성립한다. $$I(f)(\omega)=\int_{a}^{b}{f(t)dB(t,\,\omega)},\,a.e.\,\omega\in\Omega$$ 증명:

(1) $f$가 $[a,\,b]$에서 단조증가함수인 경우 $$\begin{align*}M&=f(b)-f(a)\\D_{n,\,k}&=\left\{t\in[a,\,b]\,|\,f(a)+\frac{k}{n}M\leq f(t)<f(a)+\frac{k+1}{n}M\right\},\,k=0,\,1,\,...,\,n-2\\D_{n,\,n-1}&=\left\{t\in[a,\,b]\,|\,f(a)+\frac{n-1}{n}M\leq f(t)\leq f(b)\right\}\end{align*}$$ 라 하자. $f$가 단조증가함수이므로 $D_{n,\,k}$는 구간이거나 한 점으로 된 집합 또는 공집합이다. 만일 $D_{n,\,k}$가 한 점으로 된 집합이면, 그 점을 $D_{n,\,k-1}$ 또는 $D_{n,\,k+1}$에 포함시킨다. 이렇게 해서 $[a,\,b]$를 유한개의 구간 $D_{n,\,k}$들의 합집합으로 표시한다. 만일 필요하다면 구간의 수를 늘려서 새로운 구간 $J_{n,\,k}$(이 구간의 양 끝점을 $t_{n,\,k}$, $t_{n,\,k+1}$이라 하자), $k=1,\,2,\,...,\,p(n)$의 길이가 $\displaystyle\frac{b-a}{n}$보다 작게 한다. $$\begin{align*}f(c^{-})&=\sup_{x<c}{f(x)},\,f(c^{+})=\inf_{x>c}{f(x)},\,k(c)=f(c^{+}-f(c^{-}))\\D(f)&=\{c\in[a,\,b]\,|\,f\,\text{is discontinuous at}\,t=c\}\end{align*}$$ 로 정의하자. 그러면 $f$가 $c$에서 연속일 필요충분조건은 $k(c)=0$이다. $D(f)$는 가산집합이므로 $\lambda(D(f))=0$이다. $n\in\mathbb{N}$에 대해 $$f_{n}(x)=\sum_{k=1}^{p(n)}{f(t_{n,\,k}^{+})}\chi_{J_{n,\,k}}(x)$$ 로 정의하면 $$\{f_{n}\}\subset S([a,\,b]),\,|f_{n}(t)-f(t)|\leq\frac{2M}{n},\,t\in[a,\,b],\,n\in\mathbb{N}$$ 이므로 $$\|f_{n}-f\|^{2}=\int_{[a,\,b]}{|f_{n}(t)-f(t)|^{2}d\lambda(t)}\leq\frac{4M^{2}(b-a)}{n^{2}}$$ 이다. $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 위 부등식의 우변은 0으로 수렴하므로 $I(f_{n})$은 다음과 같이 노름수렴한다. $$I(f)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{I(f_{n})}$$ 따라서 $I(f_{n})$은 $I(f)$로 확률수렴하므로 다음과 같이 점별수렴하는 부분수열 $\{f_{n_{i}}\}$가 존재한다. $$I(f)(\omega)=\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{I(f_{n})}\,a.e.\,\omega\in\Omega$$ $I(f_{n_{i}})$의 정의에 의해 $$\begin{align*}I(f_{n_{i}})(\omega)&=\sum_{i=1}^{p(n)}{f(t_{n_{i},\,k})\{B(t_{n_{i},\,k+1},\,\omega)-B(t_{n_{i},\,k},\,\omega)\}}\\&\rightarrow\,\int_{a}^{b}{f(t)dB(t,\,\omega)}\,\forall\omega\in\Omega\end{align*}$$ 따라서 다음의 결과를 얻는다. $$I(f)(\omega)=\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{I(f_{n_{i}})(\omega)}=\int_{a}^{b}{f(t)dB(t,\,\omega)},\,a.e.\,\omega\in\Omega$$ (2) $f\in BV([a,\,b])$인 경우, 단조증가함수 $g,\,h$가 존재해서 $f=g-h$이다. (1)의 경우와 확률적분의 선형성에 의해 다음의 결과를 얻는다. $$\begin{align*}I(f)(\omega)&=I(g)(\omega)-I(h)(\omega)\\&=\int_{a}^{b}{g(t)dB(t,\,\omega)}-\int_{a}^{b}{h(t)dB(t,\,\omega)}\\&=\int_{a}^{b}{f(t)dB(t,\,\omega)},\,a.e.\,\omega\in\Omega\end{align*}$$ 정리 3.14 

(1) 확률적분 $I:L_{2}([a,\,b])\,\rightarrow\,L_{2}(\Omega)$는 일대일 함수이다. 

(2) $G=I[L_{2}([a,\,b])]$는 $L_{2}(\Omega)$의 닫힌 부분공간이다.

(3) $I:L_{2}([a,\,b])\,\rightarrow\,G$는 힐베르트공간 동형사상이다.  

증명: 

(1): $I(f)=0$이면 $\|I(f)\|=0$이다. 그런데 $\|f\|=\|I(f)\|$이므로 $\|f\|=0$이 된다. 따라서 $f=0\,a.e.$이므로 $f$는 일대일사상이다.  

(2): $I$의 선형성에 의해 $G$는 $L_{2}(\Omega)$의 선형 부분공간이다. 

$G$가 닫힌집합임을 보이기 위해 $\{X_{n}\}\subset G$, $X_{n}\,\rightarrow\,X$(노름수렴)라고 하자. 그러면 $f_{n}\in L_{2}([a,\,b])$가 존재해서 $X_{n}=I(f_{n})$이다. $$\|f_{n}-f_{m}\|=\|I(f_{n})-I(f_{m})\|=\|X_{n}-X_{m}\|$$ 이므로 $\{f_{n}\}$은 $L_{2}([a,\,b])$에서 코시수열이다. $L_{2}([a,\,b])$는 완비이므로 $f\in L_{2}([a,\,b])$가 존재해서 $f_{n}\,\rightarrow\,f$(노름수렴)이다. 정리 3.12의 (3)과 (5)에 의해 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $$\|I(f_{n})-I(f_{m})\|=\|f_{n}-f\|\,\rightarrow\,0$$ 이다. 이것으로부터 다음의 결과를 얻고, 수렴은 노름수렴이다. $$X=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{X_{n}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{I(f_{n})}=I(f)$$ 따라서 $X\in G$이고 $G$는 닫힌집합이다. 

(3): 힐베르트공간 $L_{2}(\Omega)$의 선형부분공간은 힐베르트공간이므로 $G$는 힐베르트공간이다. 정리 3.12의 (2)와 (5)에 의해 $I$는 동형사상이 된다. 

따름정리 3.15 $\{I(f_{\alpha})\,|\,\alpha\in A\}$가 독립일 필요충분조건은 이 집합이 $L_{2}(\Omega)$에서 직교집합이다.

증명: 임의의 유한부분집합이 독립일 때, 확률변수들의 무한집합이 독립이라고 정의하므로 $\{I(f_{i})\,|\,i=1,\,2,\,...,\,n\}$이 독립임을 보이면 된다. $E(I(f_{i}))=0$이므로 $$\text{Cov}(I(f_{i}),\,I(f_{j}))=\langle I(f_{i}),\,I(f_{j})\rangle$$ 이고, 이 사실로부터 이 정리가 증명된다.

따름정리 3.16 

(1) $\{f_{\alpha}\,|\,\alpha\in A\}$가 $L_{2}([a,\,b])$에서 정규직교집합일 필요충분조건은 $\{I(f_{\alpha})\,|\,\alpha\in A\}$가 $G=I[L_{2}([a,\,b])]$에서 정규직교집합이다.

$\{f_{\alpha}\}$가 완비일 필요충분조건은 $\{I(f_{\alpha})\}$가 완비인 것이다. 

(2) $\{f_{\alpha}\,|\,\alpha\in A\}$가 $L_{2}([a,\,b])$에서 직교집합일 필요충분조건은 $\{I(f_{\alpha})\,|\,\alpha\in A\}$이 독립이다.  

*여기서의 완비의 의미: 다음의 조건을 만족하는 $\{f_{\alpha}\}$를 완비라고 한다.

모든 $\alpha$에 대해 $\langle f,\,f_{\alpha}\rangle=0$이면, $f=0\,a.e.$

증명: 

(1): 정리 3.12의 (2)와 (3)으로부터 성립한다. 

(2): 따름정리 3.15와 본 정리의 (1)에 의해 성립한다.

정리 3.17 $\{\phi_{n}\,|\,n=0,\,1,\,...\}$을 $L_{2}([a,\,b])$에서 완비 정규직교집합이라 하고 $X_{n}=I(\phi_{n})$이라 하자. $f\in L_{2}([a,\,b])$에 대해 $X=I(f)$라 하면 다음의 등식이 성립한다. $$X(\omega)=\sum_{n=0}^{\infty}{\langle X,\,X_{n}\rangle X_{n}(\omega)}=\sum_{n=0}^{\infty}{\langle f,\,\phi_{n}\rangle X_{n}(\omega)}\,a.e.\,\omega\in\Omega$$ 증명: 따름정리 3.15, 3.16에 의해 $\{X_{n}\}$은 독립이고 $L_{2}(\Omega)$에서 완비 정규직교집합이다. 따라서 다음의 등식을 얻고, 수렴은 노름수렴이다. $$X=\sum_{n=0}^{\infty}{\langle X,\,X_{n}\rangle X_{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\langle f,\,\phi_{n}\rangle X_{n}}$$ 노름수렴하면 확률수렴하고, 독립인 확률변수들의 확률수렴은 a.e.점별수렴하므로 정리가 증명된다.

다음의 정리는 확률적분과 P.W.Z적분 사이의 관계를 말해준다. P.W.Z적분을 초보적인 확률적분이라고 한다. 

정리 3.18 확률공간 $(\Omega,\,\mathcal{B},\,P)$를 위너 측도공간, 브라운 운동과정 $B(t,\,x)$를 위너과정이라 하자. 즉 $(\Omega,\,\mathcal{B},\,P)=(C_{0}([a,\,b]),\,\mathcal{S}_{1},\,\mathfrak{m})$, $B(t,\,x)=x(t)$. 그러면 $f\in L_{2}([a,\,b])$의 확률적분과 P.W.Z적분은 같다. 즉 $$I(f)=\int_{a}^{b}{f(t)\tilde{d}x(t)}\,a.e.\,x\in C_{0}([a,\,b])$$ 증명: $\{e_{k}\,|\,k\in\mathbb{N}\}$가 유계변동이고 $L_{2}([a,\,b])$에서 완비 정규직교집합이라 하자. 그러면 $\{I(e_{k})\,|\,k\in\mathbb{N}\}$는 $L_{2}(C_{0}([a,\,b]))$에서 완비 정규직교집합이다. $f\in L_{2}([a,\,b])$라 하면, $I(f)\in L_{2}(C_{0}([a,\,b]))$이고 정리 3.17에 의해 다음의 결과를 얻는다. $$\begin{align*}I(f)(x)&=\sum_{k=1}^{\infty}{\langle I(f),\,I(e_{k})\rangle I(e_{k})(x)}\,a.e.\,x\in C_{0}([a,\,b])\\&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\langle f,\,e_{k}\rangle}I(e_{k})(x)}\\&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\langle f,\,e_{k}\rangle}\int_{a}^{b}{e_{k}(t)dx(t)}}\\&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{\sum_{k=1}^{n}{\langle f,\,e_{k}\rangle e_{k}(t)dx(t)}}}\\&=\int_{a}^{b}{f(t)\tilde{d}x(t)}\,a.e.\,x\in C_{0}([a,\,b])\end{align*}$$

참고자료:

위너 적분론, 장건수, 민음사