3-3 브라운 운동과정에 대한 확률적분(2)

3-3 브라운 운동과정에 대한 확률적분(2)

다음의 정리는 확률적분과 리만-스틸체스 적분 사이의 관계를 나타낸다.

정리 3.13 브라운 운동과정 \(B\)가 \([a,\,b]\)에서 연속이고 \(f\in BV([a,\,b])\)라 하자. 그러면 다음의 등식이 성립한다.$$I(f)(\omega)=\int_{a}^{b}{f(t)dB(t,\,\omega)},\,a.e.\,\omega\in\Omega$$증명:

(1) \(f\)가 \([a,\,b]\)에서 단조증가함수인 경우$$\begin{align*}M&=f(b)-f(a)\\D_{n,\,k}&=\left\{t\in[a,\,b]\,|\,f(a)+\frac{k}{n}M\leq f(t)<f(a)+\frac{k+1}{n}M\right\},\,k=0,\,1,\,...,\,n-2\\D_{n,\,n-1}&=\left\{t\in[a,\,b]\,|\,f(a)+\frac{n-1}{n}M\leq f(t)\leq f(b)\right\}\end{align*}$$라 하자. \(f\)가 단조증가함수이므로 \(D_{n,\,k}\)는 구간이거나 한 점으로 된 집합 또는 공집합이다. 만일 \(D_{n,\,k}\)가 한 점으로 된 집합이면, 그 점을 \(D_{n,\,k-1}\) 또는 \(D_{n,\,k+1}\)에 포함시킨다. 이렇게 해서 \([a,\,b]\)를 유한개의 구간 \(D_{n,\,k}\)들의 합집합으로 표시한다. 만일 필요하다면 구간의 수를 늘려서 새로운 구간 \(J_{n,\,k}\)(이 구간의 양 끝점을 \(t_{n,\,k}\), \(t_{n,\,k+1}\)이라 하자), \(k=1,\,2,\,...,\,p(n)\)의 길이가 \(\displaystyle\frac{b-a}{n}\)보다 작게 한다.$$\begin{align*}f(c^{-})&=\sup_{x<c}{f(x)},\,f(c^{+})=\inf_{x>c}{f(x)},\,k(c)=f(c^{+}-f(c^{-}))\\D(f)&=\{c\in[a,\,b]\,|\,f\,\text{is discontinuous at}\,t=c\}\end{align*}$$로 정의하자. 그러면 \(f\)가 \(c\)에서 연속일 필요충분조건은 \(k(c)=0\)이다. \(D(f)\)는 가산집합이므로 \(\lambda(D(f))=0\)이다. \(n\in\mathbb{N}\)에 대해$$f_{n}(x)=\sum_{k=1}^{p(n)}{f(t_{n,\,k}^{+})}\chi_{J_{n,\,k}}(x)$$로 정의하면$$\{f_{n}\}\subset S([a,\,b]),\,|f_{n}(t)-f(t)|\leq\frac{2M}{n},\,t\in[a,\,b],\,n\in\mathbb{N}$$이므로$$\|f_{n}-f\|^{2}=\int_{[a,\,b]}{|f_{n}(t)-f(t)|^{2}d\lambda(t)}\leq\frac{4M^{2}(b-a)}{n^{2}}$$이다. \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 위 부등식의 우변은 0으로 수렴하므로 \(I(f_{n})\)은 다음과 같이 노름수렴한다.$$I(f)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{I(f_{n})}$$따라서 \(I(f_{n})\)은 \(I(f)\)로 확률수렴하므로 다음과 같이 점별수렴하는 부분수열 \(\{f_{n_{i}}\}\)가 존재한다.$$I(f)(\omega)=\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{I(f_{n})}\,a.e.\,\omega\in\Omega$$\(I(f_{n_{i}})\)의 정의에 의해$$\begin{align*}I(f_{n_{i}})(\omega)&=\sum_{i=1}^{p(n)}{f(t_{n_{i},\,k})\{B(t_{n_{i},\,k+1},\,\omega)-B(t_{n_{i},\,k},\,\omega)\}}\\&\rightarrow\,\int_{a}^{b}{f(t)dB(t,\,\omega)}\,\forall\omega\in\Omega\end{align*}$$따라서 다음의 결과를 얻는다.$$I(f)(\omega)=\lim_{i\,\rightarrow\,\infty}{I(f_{n_{i}})(\omega)}=\int_{a}^{b}{f(t)dB(t,\,\omega)},\,a.e.\,\omega\in\Omega$$(2) \(f\in BV([a,\,b])\)인 경우, 단조증가함수 \(g,\,h\)가 존재해서 \(f=g-h\)이다. (1)의 경우와 확률적분의 선형성에 의해 다음의 결과를 얻는다.$$\begin{align*}I(f)(\omega)&=I(g)(\omega)-I(h)(\omega)\\&=\int_{a}^{b}{g(t)dB(t,\,\omega)}-\int_{a}^{b}{h(t)dB(t,\,\omega)}\\&=\int_{a}^{b}{f(t)dB(t,\,\omega)},\,a.e.\,\omega\in\Omega\end{align*}$$정리 3.14 

(1) 확률적분 \(I:L_{2}([a,\,b])\,\rightarrow\,L_{2}(\Omega)\)는 일대일 함수이다. 

(2) \(G=I[L_{2}([a,\,b])]\)는 \(L_{2}(\Omega)\)의 닫힌 부분공간이다.

(3) \(I:L_{2}([a,\,b])\,\rightarrow\,G\)는 힐베르트공간 동형사상이다.  

증명: 

(1): \(I(f)=0\)이면 \(\|I(f)\|=0\)이다. 그런데 \(\|f\|=\|I(f)\|\)이므로 \(\|f\|=0\)이 된다. 따라서 \(f=0\,a.e.\)이므로 \(f\)는 일대일사상이다.  

(2): \(I\)의 선형성에 의해 \(G\)는 \(L_{2}(\Omega)\)의 선형 부분공간이다. 

\(G\)가 닫힌집합임을 보이기 위해 \(\{X_{n}\}\subset G\), \(X_{n}\,\rightarrow\,X\)(노름수렴)라고 하자. 그러면 \(f_{n}\in L_{2}([a,\,b])\)가 존재해서 \(X_{n}=I(f_{n})\)이다.$$\|f_{n}-f_{m}\|=\|I(f_{n})-I(f_{m})\|=\|X_{n}-X_{m}\|$$이므로 \(\{f_{n}\}\)은 \(L_{2}([a,\,b])\)에서 코시수열이다. \(L_{2}([a,\,b])\)는 완비이므로 \(f\in L_{2}([a,\,b])\)가 존재해서 \(f_{n}\,\rightarrow\,f\)(노름수렴)이다. 정리 3.12의 (3)과 (5)에 의해 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때$$\|I(f_{n})-I(f_{m})\|=\|f_{n}-f\|\,\rightarrow\,0$$이다. 이것으로부터 다음의 결과를 얻고, 수렴은 노름수렴이다.$$X=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{X_{n}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{I(f_{n})}=I(f)$$따라서 \(X\in G\)이고 \(G\)는 닫힌집합이다. 

(3): 힐베르트공간 \(L_{2}(\Omega)\)의 선형부분공간은 힐베르트공간이므로 \(G\)는 힐베르트공간이다. 정리 3.12의 (2)와 (5)에 의해 \(I\)는 동형사상이 된다. 

따름정리 3.15 \(\{I(f_{\alpha})\,|\,\alpha\in A\}\)가 독립일 필요충분조건은 이 집합이 \(L_{2}(\Omega)\)에서 직교집합이다.

증명: 임의의 유한부분집합이 독립일 때, 확률변수들의 무한집합이 독립이라고 정의하므로 \(\{I(f_{i})\,|\,i=1,\,2,\,...,\,n\}\)이 독립임을 보이면 된다. \(E(I(f_{i}))=0\)이므로$$\text{Cov}(I(f_{i}),\,I(f_{j}))=\langle I(f_{i}),\,I(f_{j})\rangle$$이고, 이 사실로부터 이 정리가 증명된다.

따름정리 3.16 

(1) \(\{f_{\alpha}\,|\,\alpha\in A\}\)가 \(L_{2}([a,\,b])\)에서 정규직교집합일 필요충분조건은 \(\{I(f_{\alpha})\,|\,\alpha\in A\}\)가 \(G=I[L_{2}([a,\,b])]\)에서 정규직교집합이다.

\(\{f_{\alpha}\}\)가 완비일 필요충분조건은 \(\{I(f_{\alpha})\}\)가 완비인 것이다. 

(2) \(\{f_{\alpha}\,|\,\alpha\in A\}\)가 \(L_{2}([a,\,b])\)에서 직교집합일 필요충분조건은 \(\{I(f_{\alpha})\,|\,\alpha\in A\}\)이 독립이다.  

*여기서의 완비의 의미: 다음의 조건을 만족하는 \(\{f_{\alpha}\}\)를 완비라고 한다.

모든 \(\alpha\)에 대해 \(\langle f,\,f_{\alpha}\rangle=0\)이면, \(f=0\,a.e.\)

증명: 

(1): 정리 3.12의 (2)와 (3)으로부터 성립한다. 

(2): 따름정리 3.15와 본 정리의 (1)에 의해 성립한다.

정리 3.17 \(\{\phi_{n}\,|\,n=0,\,1,\,...\}\)을 \(L_{2}([a,\,b])\)에서 완비 정규직교집합이라 하고 \(X_{n}=I(\phi_{n})\)이라 하자. \(f\in L_{2}([a,\,b])\)에 대해 \(X=I(f)\)라 하면 다음의 등식이 성립한다.$$X(\omega)=\sum_{n=0}^{\infty}{\langle X,\,X_{n}\rangle X_{n}(\omega)}=\sum_{n=0}^{\infty}{\langle f,\,\phi_{n}\rangle X_{n}(\omega)}\,a.e.\,\omega\in\Omega$$증명: 따름정리 3.15, 3.16에 의해 \(\{X_{n}\}\)은 독립이고 \(L_{2}(\Omega)\)에서 완비 정규직교집합이다. 따라서 다음의 등식을 얻고, 수렴은 노름수렴이다.$$X=\sum_{n=0}^{\infty}{\langle X,\,X_{n}\rangle X_{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\langle f,\,\phi_{n}\rangle X_{n}}$$노름수렴하면 확률수렴하고, 독립인 확률변수들의 확률수렴은 a.e.점별수렴하므로 정리가 증명된다.

다음의 정리는 확률적분과 P.W.Z적분 사이의 관계를 말해준다. P.W.Z적분을 초보적인 확률적분이라고 한다. 

정리 3.18 확률공간 \((\Omega,\,\mathcal{B},\,P)\)를 위너 측도공간, 브라운 운동과정 \(B(t,\,x)\)를 위너과정이라 하자. 즉 \((\Omega,\,\mathcal{B},\,P)=(C_{0}([a,\,b]),\,\mathcal{S}_{1},\,\mathfrak{m})\), \(B(t,\,x)=x(t)\). 그러면 \(f\in L_{2}([a,\,b])\)의 확률적분과 P.W.Z적분은 같다. 즉$$I(f)=\int_{a}^{b}{f(t)\tilde{d}x(t)}\,a.e.\,x\in C_{0}([a,\,b])$$증명: \(\{e_{k}\,|\,k\in\mathbb{N}\}\)가 유계변동이고 \(L_{2}([a,\,b])\)에서 완비 정규직교집합이라 하자. 그러면 \(\{I(e_{k})\,|\,k\in\mathbb{N}\}\)는 \(L_{2}(C_{0}([a,\,b]))\)에서 완비 정규직교집합이다. \(f\in L_{2}([a,\,b])\)라 하면, \(I(f)\in L_{2}(C_{0}([a,\,b]))\)이고 정리 3.17에 의해 다음의 결과를 얻는다.$$\begin{align*}I(f)(x)&=\sum_{k=1}^{\infty}{\langle I(f),\,I(e_{k})\rangle I(e_{k})(x)}\,a.e.\,x\in C_{0}([a,\,b])\\&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\langle f,\,e_{k}\rangle}I(e_{k})(x)}\\&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\langle f,\,e_{k}\rangle}\int_{a}^{b}{e_{k}(t)dx(t)}}\\&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{\sum_{k=1}^{n}{\langle f,\,e_{k}\rangle e_{k}(t)dx(t)}}}\\&=\int_{a}^{b}{f(t)\tilde{d}x(t)}\,a.e.\,x\in C_{0}([a,\,b])\end{align*}$$

참고자료:

위너 적분론, 장건수, 민음사