3-7 위너 조건적분(1)

3-7 위너 조건적분(1)

위너 가측함수 $X$에 대한 위너적분 가능한 함수 $Y$의 조건부기댓값 $E^{w}(Y|X)$를 위너 조건적분(conditional Wiener integrals)이라고 한다. 위너 조건적분에 대한 푸리에 반전공식을 유도하고 위너 조건적분을 계산한다. 

$F$가 위너적분 가능한 함수일 때 $E^{w}(F)$를 다음과 같이 정의하자. $$E^{w}(F)=\int_{C_{0}([0,\,t])}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}$$ 정의 3.36 $X,\,Z:C_{0}([0,\,t])\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 위너 가측함수이고 $Z$는 위너적분 가능하고, $P_{X}$를 $X$의 확률분포라 하자. 즉 $$P_{X}(B)=\mathfrak{m}(X^{-1}[B]),\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$$ 주어진 $X$에 대한 $Z$의 위너 조건적분 $E^{w}(Z|X)$는 다음의 조건들을 만족하는 함수 $\psi$의 동치류이다.

(1) $\psi:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$는 보렐가측이고, $P_{X}-$적분가능한 함수이다.

(2) $\displaystyle\int_{X^{-1}[B]}{Z(x)d\mathfrak{m}(x)}=\int_{B}{\psi(\xi)dP_{X}(\xi)},\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$

*라돈-니코딤 정리에 의해 함수 $\psi$는 존재하고 $P_{X}-$영집합을 제외하고 유일하게 결정된다. $E^{w}(Z|X)$를 함수 $\psi$의 동치류로 사용할 것이다. 따라서 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\int_{X^{-1}[B]}{Z(x)d\mathfrak{m}(x)}=\int_{B}{E^{w}(Z|X)(\xi)dP_{X}(\xi)},\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$$ 보조정리 3.37 $X,\,Z:C_{0}([0,\,t])\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 위너가측 변환이라 하고, $E^{w}(|Z|)<\infty$, $g:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 보렐 가측함수라 하자. 그러면 다음의 등식이 성립한다. $$E^{w}((g\circ X)Z)=\int_{\mathbb{R}}{g(\xi)E^{w}(Z|X)(\xi)dP_{X}(\xi)}$$ 증명: 성질 3.32의 특별한 경우이다.

보조정리 3.38 $f$가 $\mathbb{R}$에서 국소적으로 르베그 적분가능(locally Lebesgue integrable)하다고 하자. 즉, $f$는 각 유계구간 $I\subset\mathbb{R}$에서 르베그 적분가능하다. 그러면 $a>0$에 대해 다음이 성립한다. $$\lim_{a\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{2a}\int_{[\xi-a,\,\xi+a]}{f(x)d\lambda(x)}}=f(x),\,\lambda-a.e.\,\xi\in\mathbb{R}$$ 증명: 생략

따름정리 3.39 $X,\,Z$를 보조정리 3.37의 변환, $P_{X}\ll\lambda$라 하자. $\xi\in\mathbb{R}$, $a>0$에 대해 함수 $X_{\xi,\,a}$를 다음과 같이 정의하자. $$X_{\xi,\,a}(\eta)=\begin{cases}\displaystyle\frac{1}{2a}&\,\eta\in[\xi-a,\,\xi+a]\\0&\,\eta\notin[\xi-a,\,\xi+a]\end{cases}$$ 그러면 $\displaystyle E^{w}(Z|X)\frac{dP_{X}}{d\lambda}$가 존재해서 다음이 성립한다. $$E^{w}(Z|X)(\xi)\frac{dP_{X}}{d\lambda}(\xi)=\lim_{a\,\rightarrow\,0}{E^{w}((X_{\xi,\,a}\circ X)Z)},\,\xi\in\mathbb{R}$$ 증명: $X_{\xi,\,a}$를 보조정리 3.37의 $g$에 대응시켜 다음의 등식을 얻는다. $$\lim_{a\,\rightarrow\,0}{E^{w}((X_{\xi,\,a}\circ X)Z)}=\lim_{a\,\rightarrow\,0}{\int_{\mathbb{R}}{X_{\xi,\,a}(\eta)E^{w}(Z|X)(\eta)\frac{dP_{X}}{d\lambda}(\eta)d\lambda(\eta)}}$$ 그러면 보조정리 3.38에 의해 정리가 증명된다. 

보조정리 3.40 $X,\,Y:C_{0}([0,\,t])\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 위너가측 변환이라 하고 $E^{w}(|Y|)<\infty$라 하자. 그러면 다음이 성립한다. $$E^{w}(e^{iuX}Y)=\int_{\mathbb{R}}{e^{iu\xi}E^{w}(Y|X)(\xi)dP_{X}(\xi)},\,u\in\mathbb{R}$$ 증명: 확률공간이 $(C_{0}([0,\,t]),\,\mathcal{S}_{1},\,\mathfrak{m})$인 경우의 정리 3.35의 증명과정의 식 (3)이다.

*$P_{X}\ll\lambda$이면, $E^{w}(e^{iuX}Y)$, $u\in\mathbb{R}$은 $\lambda-$적분가능한 함수 $\displaystyle E^{w}(Y|X)(\xi)\frac{dP_{X}}{d\lambda}(\xi)$, $\xi\in\mathbb{R}$는 푸리에변환이다. 리만-르베그 보조정리에 의해 다음의 등식이 성립한다. $$\lim_{|u|\,\rightarrow\,\infty}{E^{w}(e^{iuX}Y)}=0$$ 보조정리 3.41 (푸리에 변환의 $(c,\,1)$형 반전공식, $(c,\,1)$ summability type inversion formula) 

$f$가 $\mathbb{R}$에서 $\lambda-$적분가능하고 $\hat{f}$를 $f$의 푸리에변환이라고 하자. 그러면 $\lambda-a.e.\,\eta\in\mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다. $$f(\eta)=\lim_{a\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{2\pi}\int_{(-a,\,a)}{\left(1-\frac{|u|}{a}\right)e^{-iu\eta}\hat{f}(u)d\lambda(u)}}$$ 증명: 생략

다음의 정리는 위너 조건적분의 $(c,\,1)$형 반전공식이다.

정리 3.42 $X,\,Y:C_{0}([0,\,t])\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 위너 가측변환이고 $E^{w}(|Y|)<\infty$라 하자. $P_{X}\ll\lambda$라 가정하면 $\displaystyle E^{w}(Y|X)\frac{dP_{X}}{d\lambda}$가 존재해서 다음이 성립한다. $$E^{w}(Y|X)(\xi)\frac{dP_{X}}{d\lambda}(\xi)=\lim_{a\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{2\pi}\int_{(-a,\,a)}{\left(1-\frac{|u|}{a}\right)e^{iu\xi}E^{w}(e^{iuX}Y)d\lambda(u)}},\,\xi\in\mathbb{R}$$ 증명: 보조정리 3.40에 의해 다음의 등식이 성립한다. $$(*)\,E^{w}(e^{iuX}Y)=\int_{\mathbb{R}}{e^{iu\xi}E^{w}(Y|X)(\xi)\frac{dP_{X}}{d\lambda}(\xi)d\lambda(\xi)},\,u\in\mathbb{R}$$ 따라서 $E^{w}(e^{iuX}Y)$, $u\in\mathbb{R}$는 $\lambda-$적분가능한 함수 $\displaystyle E^{w}(Y|X)(\xi)\frac{dP_{X}}{d\lambda}(\xi)$의 푸리에 변환이다. 그러면 보조정리 3.41에 의해 정리가 증명된다.

다음의 정리는 위너 조건적분의 레비(Levy)형 반전공식이다.

     

정리 3.43 $X,\,Y$를 정의 3.42의 함수라 하자. $a,\,b\in\mathbb{R}(a<b)$에 대해 $\tilde{X}_{a,\,b}$를 다음과 같이 정의하자. $$\tilde{X}_{a,\,b}(\eta)=\begin{cases}1&\,(\eta\in(a,\,b))\\2&\,(\eta\notin[a,\,b])\\ \displaystyle\frac{1}{2}&\,(\eta=a,\,\eta=b)\end{cases}$$ 그러면 다음이 성립한다. $$\int_{\mathbb{R}}{\tilde{X}_{a,\,b}(\xi)E^{w}(Y|X)(\xi)\frac{dP_{X}}{d\lambda}(\xi)d\lambda(\xi)}=\lim_{h\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{2\pi}\int_{(-h,\,h)}{\frac{1}{iu}\{e^{-iau}-e^{-ibu}\}E(e^{iuX}Y)d\lambda(u)}}$$ 증명: 정리 3.33(레비-하버랜드 반전정리)에 의해 $\mu$가 $(\mathbb{R},\,\mathcal{B}(\mathbb{R}))$에서 유한 부호측도이고 $\varphi$가 $\mu$의 특성함수, 즉 $\displaystyle\varphi(u)=\int_{\mathbb{R}}{e^{iu\xi}d\mu(\xi)}$, $u\in\mathbb{R}$이면, 다음이 성립한다. $$\int_{\mathbb{R}}{\tilde{X}_{a,\,b}(\xi)d\mu(\xi)}=\lim_{h\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{2\pi}\int_{(-h,\,h)}{\frac{e^{-ibu}-e^{-iau}}{-iu}\varphi(u)d\lambda(u)}}$$ 위의 식과 식 (*)으로부터 정리가 증명된다. 

다음의 정리는 위너 조건적분의 반전공식이다.

정리 3.44 $X,\,Y$는 정리 3.42의 함수이고, $E^{w}(e^{iuX}Y)$가 $u$의 함수로서 $\mathbb{R}$에서 르베그 가측이라고 하자. 그러면 $\displaystyle E^{w}(Y|X)\frac{dP_{X}}{d\lambda}$가 존재해서 다음이 성립한다. $$E^{w}(Y|X)(\xi)\frac{dP_{X}}{d\lambda}(\xi)=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}{e^{-iu\xi}E^{w}(e^{iux}Y)d\lambda(u)},\,\xi\in\mathbb{R}$$ 증명: 정리 3.35의 특별한 경우이다.

참고자료:

위너 적분론, 장건수, 민음사