3-7 위너 조건적분(1)

3-7 위너 조건적분(1)

위너 가측함수 \(X\)에 대한 위너적분 가능한 함수 \(Y\)의 조건부기댓값 \(E^{w}(Y|X)\)를 위너 조건적분(conditional Wiener integrals)이라고 한다. 위너 조건적분에 대한 푸리에 반전공식을 유도하고 위너 조건적분을 계산한다. 

\(F\)가 위너적분 가능한 함수일 때 \(E^{w}(F)\)를 다음과 같이 정의하자.$$E^{w}(F)=\int_{C_{0}([0,\,t])}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}$$정의 3.36 \(X,\,Z:C_{0}([0,\,t])\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 위너 가측함수이고 \(Z\)는 위너적분 가능하고, \(P_{X}\)를 \(X\)의 확률분포라 하자. 즉$$P_{X}(B)=\mathfrak{m}(X^{-1}[B]),\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$$주어진 \(X\)에 대한 \(Z\)의 위너 조건적분 \(E^{w}(Z|X)\)는 다음의 조건들을 만족하는 함수 \(\psi\)의 동치류이다.

(1) \(\psi:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)는 보렐가측이고, \(P_{X}-\)적분가능한 함수이다.

(2) \(\displaystyle\int_{X^{-1}[B]}{Z(x)d\mathfrak{m}(x)}=\int_{B}{\psi(\xi)dP_{X}(\xi)},\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\)

*라돈-니코딤 정리에 의해 함수 \(\psi\)는 존재하고 \(P_{X}-\)영집합을 제외하고 유일하게 결정된다. \(E^{w}(Z|X)\)를 함수 \(\psi\)의 동치류로 사용할 것이다. 따라서 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\int_{X^{-1}[B]}{Z(x)d\mathfrak{m}(x)}=\int_{B}{E^{w}(Z|X)(\xi)dP_{X}(\xi)},\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$$보조정리 3.37 \(X,\,Z:C_{0}([0,\,t])\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 위너가측 변환이라 하고, \(E^{w}(|Z|)<\infty\), \(g:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 보렐 가측함수라 하자. 그러면 다음의 등식이 성립한다.$$E^{w}((g\circ X)Z)=\int_{\mathbb{R}}{g(\xi)E^{w}(Z|X)(\xi)dP_{X}(\xi)}$$증명: 성질 3.32의 특별한 경우이다.

보조정리 3.38 \(f\)가 \(\mathbb{R}\)에서 국소적으로 르베그 적분가능(locally Lebesgue integrable)하다고 하자. 즉, \(f\)는 각 유계구간 \(I\subset\mathbb{R}\)에서 르베그 적분가능하다. 그러면 \(a>0\)에 대해 다음이 성립한다.$$\lim_{a\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{2a}\int_{[\xi-a,\,\xi+a]}{f(x)d\lambda(x)}}=f(x),\,\lambda-a.e.\,\xi\in\mathbb{R}$$증명: 생략

따름정리 3.39 \(X,\,Z\)를 보조정리 3.37의 변환, \(P_{X}\ll\lambda\)라 하자. \(\xi\in\mathbb{R}\), \(a>0\)에 대해 함수 \(X_{\xi,\,a}\)를 다음과 같이 정의하자.$$X_{\xi,\,a}(\eta)=\begin{cases}\displaystyle\frac{1}{2a}&\,\eta\in[\xi-a,\,\xi+a]\\0&\,\eta\notin[\xi-a,\,\xi+a]\end{cases}$$그러면 \(\displaystyle E^{w}(Z|X)\frac{dP_{X}}{d\lambda}\)가 존재해서 다음이 성립한다.$$E^{w}(Z|X)(\xi)\frac{dP_{X}}{d\lambda}(\xi)=\lim_{a\,\rightarrow\,0}{E^{w}((X_{\xi,\,a}\circ X)Z)},\,\xi\in\mathbb{R}$$증명: \(X_{\xi,\,a}\)를 보조정리 3.37의 \(g\)에 대응시켜 다음의 등식을 얻는다.$$\lim_{a\,\rightarrow\,0}{E^{w}((X_{\xi,\,a}\circ X)Z)}=\lim_{a\,\rightarrow\,0}{\int_{\mathbb{R}}{X_{\xi,\,a}(\eta)E^{w}(Z|X)(\eta)\frac{dP_{X}}{d\lambda}(\eta)d\lambda(\eta)}}$$그러면 보조정리 3.38에 의해 정리가 증명된다. 

보조정리 3.40 \(X,\,Y:C_{0}([0,\,t])\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 위너가측 변환이라 하고 \(E^{w}(|Y|)<\infty\)라 하자. 그러면 다음이 성립한다.$$E^{w}(e^{iuX}Y)=\int_{\mathbb{R}}{e^{iu\xi}E^{w}(Y|X)(\xi)dP_{X}(\xi)},\,u\in\mathbb{R}$$증명: 확률공간이 \((C_{0}([0,\,t]),\,\mathcal{S}_{1},\,\mathfrak{m})\)인 경우의 정리 3.35의 증명과정의 식 (3)이다.

*\(P_{X}\ll\lambda\)이면, \(E^{w}(e^{iuX}Y)\), \(u\in\mathbb{R}\)은 \(\lambda-\)적분가능한 함수 \(\displaystyle E^{w}(Y|X)(\xi)\frac{dP_{X}}{d\lambda}(\xi)\), \(\xi\in\mathbb{R}\)는 푸리에변환이다. 리만-르베그 보조정리에 의해 다음의 등식이 성립한다.$$\lim_{|u|\,\rightarrow\,\infty}{E^{w}(e^{iuX}Y)}=0$$보조정리 3.41 (푸리에 변환의 \((c,\,1)\)형 반전공식, \((c,\,1)\) summability type inversion formula) 

\(f\)가 \(\mathbb{R}\)에서 \(\lambda-\)적분가능하고 \(\hat{f}\)를 \(f\)의 푸리에변환이라고 하자. 그러면 \(\lambda-a.e.\,\eta\in\mathbb{R}\)에 대해 다음이 성립한다.$$f(\eta)=\lim_{a\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{2\pi}\int_{(-a,\,a)}{\left(1-\frac{|u|}{a}\right)e^{-iu\eta}\hat{f}(u)d\lambda(u)}}$$증명: 생략

다음의 정리는 위너 조건적분의 \((c,\,1)\)형 반전공식이다.

정리 3.42 \(X,\,Y:C_{0}([0,\,t])\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 위너 가측변환이고 \(E^{w}(|Y|)<\infty\)라 하자. \(P_{X}\ll\lambda\)라 가정하면 \(\displaystyle E^{w}(Y|X)\frac{dP_{X}}{d\lambda}\)가 존재해서 다음이 성립한다.$$E^{w}(Y|X)(\xi)\frac{dP_{X}}{d\lambda}(\xi)=\lim_{a\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{2\pi}\int_{(-a,\,a)}{\left(1-\frac{|u|}{a}\right)e^{iu\xi}E^{w}(e^{iuX}Y)d\lambda(u)}},\,\xi\in\mathbb{R}$$증명: 보조정리 3.40에 의해 다음의 등식이 성립한다.$$(*)\,E^{w}(e^{iuX}Y)=\int_{\mathbb{R}}{e^{iu\xi}E^{w}(Y|X)(\xi)\frac{dP_{X}}{d\lambda}(\xi)d\lambda(\xi)},\,u\in\mathbb{R}$$따라서 \(E^{w}(e^{iuX}Y)\), \(u\in\mathbb{R}\)는 \(\lambda-\)적분가능한 함수 \(\displaystyle E^{w}(Y|X)(\xi)\frac{dP_{X}}{d\lambda}(\xi)\)의 푸리에 변환이다. 그러면 보조정리 3.41에 의해 정리가 증명된다.

다음의 정리는 위너 조건적분의 레비(Levy)형 반전공식이다.

     

정리 3.43 \(X,\,Y\)를 정의 3.42의 함수라 하자. \(a,\,b\in\mathbb{R}(a<b)\)에 대해 \(\tilde{X}_{a,\,b}\)를 다음과 같이 정의하자.$$\tilde{X}_{a,\,b}(\eta)=\begin{cases}1&\,(\eta\in(a,\,b))\\2&\,(\eta\notin[a,\,b])\\ \displaystyle\frac{1}{2}&\,(\eta=a,\,\eta=b)\end{cases}$$그러면 다음이 성립한다.$$\int_{\mathbb{R}}{\tilde{X}_{a,\,b}(\xi)E^{w}(Y|X)(\xi)\frac{dP_{X}}{d\lambda}(\xi)d\lambda(\xi)}=\lim_{h\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{2\pi}\int_{(-h,\,h)}{\frac{1}{iu}\{e^{-iau}-e^{-ibu}\}E(e^{iuX}Y)d\lambda(u)}}$$증명: 정리 3.33(레비-하버랜드 반전정리)에 의해 \(\mu\)가 \((\mathbb{R},\,\mathcal{B}(\mathbb{R}))\)에서 유한 부호측도이고 \(\varphi\)가 \(\mu\)의 특성함수, 즉 \(\displaystyle\varphi(u)=\int_{\mathbb{R}}{e^{iu\xi}d\mu(\xi)}\), \(u\in\mathbb{R}\)이면, 다음이 성립한다.$$\int_{\mathbb{R}}{\tilde{X}_{a,\,b}(\xi)d\mu(\xi)}=\lim_{h\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{2\pi}\int_{(-h,\,h)}{\frac{e^{-ibu}-e^{-iau}}{-iu}\varphi(u)d\lambda(u)}}$$위의 식과 식 (*)으로부터 정리가 증명된다. 

다음의 정리는 위너 조건적분의 반전공식이다.

정리 3.44 \(X,\,Y\)는 정리 3.42의 함수이고, \(E^{w}(e^{iuX}Y)\)가 \(u\)의 함수로서 \(\mathbb{R}\)에서 르베그 가측이라고 하자. 그러면 \(\displaystyle E^{w}(Y|X)\frac{dP_{X}}{d\lambda}\)가 존재해서 다음이 성립한다.$$E^{w}(Y|X)(\xi)\frac{dP_{X}}{d\lambda}(\xi)=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}{e^{-iu\xi}E^{w}(e^{iux}Y)d\lambda(u)},\,\xi\in\mathbb{R}$$증명: 정리 3.35의 특별한 경우이다.

참고자료:

위너 적분론, 장건수, 민음사