[확률적분] 11. 확률미분, 포아송과정, 예측가능 확률과정

[확률적분] 11. 확률미분, 포아송과정, 예측가능 확률과정

$g\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$ 즉, $g(t)$를 조건 $\displaystyle\int_{a}^{b}{E(|g(t)|^{2})dt}<\infty$를 만족하는 적합 확률과정이라고 하자. 그러면 다음의 확률과정은 $$M(t)=\int_{a}^{t}{g(s)dB(s)},\,a\leq t\leq b$$ 연속 마팅게일이고, 직관적으로 $M_{t}$의 확률미분(stochastic differential) $dM_{t}$를 다음과 같이 정의할 수 있다. $$dM(t)=g(t)dB(t)$$ 따라서 $M(t)$에 대한 확률적분을 다음과 같이 정의하는것은 합리적이다. $$\int_{a}^{b}{f(t)dM(t)}=\int_{a}^{b}{f(t)g(t)dM(t)}$$ 일반적으로 좌극한 우연속 제곱적분 가능한 마팅게일 $M(t)$에 대한 확률적분 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(t)dM(t)}$를 정의할 수 있다.

포아송 과정은 불연속 마팅게일의 중요한 예이다. 

모수가 $\lambda$인 포아송 과정(Poisson process)은 다음의 성질들을 만족하는 확률과정 $N(t,\,\omega)$이다. 

(1) $P(\{\omega\,|\,N(0,\,\omega)=0\})=1$ 

(2) 임의의 $s\leq t$에 대하여 확률변수 $N(t)-N(s)$는 모수가 $\lambda(t-s)$인 포아송 확률변수이다. 즉 $$P(\{\omega\,|\,N(t)-N(s)=k\})=e^{-\lambda(t-s)}\frac{(\lambda(t-s))^{k}}{k!}\,k=0,\,1,\,2,\,...,\,n,\,...$$ (3) $N(t,\,\omega)$는 독립증분을 갖는다. 즉 임의의 $0\leq t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{n}$에 대해 다음의 확률변수들은 독립이다. $$N(t_{1}),\,N(t_{2})-N(t_{1}),\,...,\,N(t_{n})-N(t_{n-1})$$ (4) $N(t,\,\omega)$의 거의 모든 표본경로들은 좌극한 우연속 함수이다. 즉 $$P(\{\omega\,|\,N(\cdot,\,\omega)\,\text{is right continuous with left-hand limits}\})=1$$ 브라운 운동과 비교하면 조건 (1)과 (3)이 같고, (2)와 (4)는 다르다. 이때 위의 포아송 과정의 조건 (2)를 임의의 $0\leq s<t$에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\begin{align*}P(\{\omega\,|\,N(t)-N(s)=1\})&=\lambda(t-s)+o(t-s)\\P(\{\omega\,|\,N(t)-N(s)\geq2\})&=o(t-s)\end{align*}$$ 여기서 $o(\delta)$는 $\displaystyle\lim_{\delta\,\rightarrow\,0}{\frac{o(\delta)}{\delta}}=0$을 만족한다.  

브라운 운동의 경우처럼 조건 (1), (2), (4)를 만족하고 여과 $\{\mathcal{F}_{t}\}$에 적합하며 임의의 $s\leq t$에 대해 $N(t)-N(s)$가 $\mathcal{F}_{s}$에 대해 독립인 $N(t)$를 여과 $\{\mathcal{F}_{t},\,t\geq0\}$에 대한 포아송 과정이라고 한다. 다음은 몇 가지 포아송 과정의 예시들이다.

(i) 시간 $[0,\,t]$동안 특정 사무실에 걸린 전화의 수 

(ii) 영업 시간에서의 시간 $t$동안 우체국에 들어온 사람들의 수

(iii) 시간 $[0,\,t]$동안 특정 지역에 지진이 난 횟수. 

포아송 과정의 표본경들은 점프를 갖는 계단함수이다. $T_{1}$을 처음으로 점프를 한 시간, $n\geq2$에 대해 $T_{n}$을 $(n-1)$번째 점프와 $n$번째 점프 사이에서의 경과시간을 $T_{n}$이라 하자. 확률변수 $T_{n}$을 도착간격시간(interarrival time)이라고 한다. 

$T_{n}$의 분포(distribution)는 쉽게 구할 수 있다. 사건 $\{\omega\,|\,T(t)>t\}$는 $\{\omega\,|\,N(t)=0\}$과 같고, 따라서 조건 (2)에 의해 다음이 성립한다. $$P(\{\omega\,|\,T_{1}>t\})=P(\{\omega\,|\,N(t)=0\})=e^{-\lambda t},\,t\geq0$$ $T_{2}$의 분포를 찾기 위해 다음의 조건부기댓값을 이용한다. $$P(\{\omega\,|\,T_{2}>t\})=E(P(T_{2}>t|T_{1}))$$ 조건 (2)와 (3)을 이용하여 다음을 보인다. $$\begin{align*}P(T_{2}>t|T_{1}=s)&=P(\text{no jump in}\,(s,\,s+t]|T_{1}=s)\\&=P(\text{no jump in}\,(s,\,s+t])\\&=e^{-\lambda t}\end{align*}$$ 그러므로 $T_{2}$는 $T_{1}$과 독립이고 다음이 성립한다. $$P(T_{2}>t)=e^{-\lambda t},\,t\geq0$$ 일반적으로 앞의 과정을 반복해서 $T_{n}$이 $T_{1},\,T_{2},\,...,\,T_{n-1}$과 독립이고 다음이 성립한다. $$P(T_{n}>t)=e^{-\lambda t},\,t\geq0$$ 따라서 $\{T_{n}\}$은 모수가 $\lambda$인 동일한 지수분포를 갖는 독립 확률변수들의 열이다. 다음은 지수분포의 누적분포이다. $$P(T_{n}\leq t)=\begin{cases}1-e^{-\lambda t}&\,(t\geq0)\\0&\,(t<0)\end{cases}$$ 합 $S_{n}=T_{1}+T_{2}+\cdots+T_{n}$은 $n$번째 점프까지의 대기시간(waiting time)이고, 그 확률밀도함수는 다음과 같이 감마분포의 확률밀도함수로 주어진다. $$f(t)=\frac{\lambda}{(n-1)!}(\lambda t)^{n-1}e^{-\lambda t},\,t\geq0$$ 포아송 과정 $N(t)$는 대기시간들의 항 또는 다음과 같이 도착시간간격으로 나타낼 수 있다. $$N(t)=\max\{k\,|\,S_{k}=T_{1}+T_{2}+\cdots+T_{k}\leq t\}$$ $\{\mathcal{F}_{t},\,t\geq0\}$를 다음의 조건들을 만족하는 여과라 하자.

(a) 각 $t$에 대하여 $N(t)$는 $\mathcal{F}_{t}-$가측이다.  

(b) 임의의 $s\leq t$에 대해 확률변수 $N(t)-N(s)$는 $\sigma-$체 $\mathcal{F}_{s}$와 독립이다.  

그러면 $N(t)$는 여과 $\{\mathcal{F}_{t},\,t\geq0\}$에 대해 포아송 과정이다. 임의의 $0\leq s<t$에 대해 다음이 성립하고 $$\begin{align*}E(N(t)|\mathcal{F}_{s})&=E(\{N(t)-N(s)\}+N(s)|\mathcal{F}_{s})\\&=E(N(t)-N(s))+N(s)\\&=\lambda(t-s)+N(s)\end{align*}$$ 따라서 포아송 과정 $N(t)$는 마팅게일이 아니다. 

보상 포아송 과정(compensated Poisson process) $\tilde{N}(t)$는 다음과 같이 정의된다. $$\tilde{N}(t)=N(t)-\lambda t$$ 앞에서 포아송 과정 $N(t)$가 마팅게일이 아님을 보였는데, 보상 포아송 과정 $\tilde{N}(t)$는 여과 $\{\mathcal{F}_{t},\,t\geq0\}$에 대한 마팅게일이다. 임의의 $s<t$에 대해 $\tilde{N}(t)-\tilde{N}(s)$의 적률생성함수는 다음과 같고 $$E(e^{x\left\{\tilde{N}(t)-\tilde{N}(s)\right\}})=e^{\lambda(t-s)(e^{x}-1-x)}$$ 위의 식을 $x$에 대한 멱급수로 전개하고 $x$의 멱의 계수와 비교하여 다음을 얻는다. $$\begin{align*}E(\tilde{N}(t)-\tilde{N}(s))&=0\\E(\{\tilde{N}(t)-\tilde{N}(s)\}^{2})&=\lambda(t-s)\\E(\{\tilde{N}(t)-N(s)\}^{3})&=\lambda(t-s)\\E(\{\tilde{N}(t)-\tilde{N}(s)\}^{4})&=\lambda(t-s)+3\lambda^{2}(t-s)^{2}\end{align*}$$ 브라운 운동 $B(t),\,a\leq t\leq b$의 이차변동은 $b-a$이다. 

$\Delta_{n}=\{t_{0},\,t_{1},\,...,\,t_{n-1},\,t_{n}\}$을 유한구간 $[a,\,b]$의 한 분할이라 하자. 그러면 $\displaystyle\|\Delta_{n}\|=\max_{1\leq i\leq n}{(t_{i}-t_{i-1})}\,\rightarrow\,0$일 때 다음의 수렴은 $L^{2}(\Omega)$수렴이다. $$\sum_{i=1}^{n}{\{\tilde{N}(t_{i})-\tilde{N}(t_{i-1})\}^{2}}\,\rightarrow\,\lambda(b-a)+\tilde{N}(b)-\tilde{N}(a)$$ 증명: 단순화를 위해 $$X_{i}=\{\tilde{N}(t_{i})-\tilde{N}(t_{i-1})\}^{2}-\{\tilde{N}(t_{i})-\tilde{N}(t_{i-1})\}-\lambda(t_{i}-t_{i-1})$$ 그러면 $$\sum_{i=1}^{n}{\{\tilde{N}(t_{i})-\tilde{N}(t_{i-1})\}^{2}}-\left\{\lambda(b-a)+\tilde{N}(b)-\tilde{N}(a)\right\}=\sum_{i=1}^{n}{X_{i}}$$ 이고 따라서 $\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0$일 때 다음이 성립함을 보이면 된다. $$E\left(\left|\sum_{i=1}^{n}{X_{i}}\right|^{2}\right)=\sum_{i,\,j=1}^{n}{E(X_{i}X_{j})}\,\rightarrow\,0$$ $E(X_{i}X_{j})=0$이 성립함을 보이기 위해 $i\neq j$에 대하여 $i<j$라 하고, 먼저 $\sigma-$체 $\mathcal{F}_{t_{j-1}}$에 대한 조건부기댓값을 취할 수 있다. 반면에 $\tilde{N}(t)-\tilde{N}(s)$에 대한 적률생성함수로부터 다음이 성립하므로 $$E(X_{i}^{2})=2\lambda^{2}(t_{i}-t_{i-1})^{2}$$ $\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0$일 때 다음이 성립하고 따라서 원하는 결과를 얻는다. $$\sum_{i=1}^{n}{E(X_{i}^{2})}\leq2\lambda^{2}(b-a)\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0$$ $M(t)$를 좌극한으로서의 우연속, 제곱적분가능한 마팅게일이라 하자. 확률적분 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(t)dM(t)}$를 정의하기 위해서 피적분함수 $f(t)$에 대한 중요한 관찰을 한다. 이러한 마팅게일 중에서 보상 포아송 과정 $\tilde{N}(t)$는 점프를 갖는다. 

우연속 계단함수 $g=-1_{[a,\,c)}+1_{[c,\,b]},\,a<c<b$를 고려하자. 유계함수 $f(t)$가 $g$에 대해 리만-스틸체스 적분가능할 필요충분조건은 $f(t)$가 $c$에서 좌연속인 것이다. 이 조건은 확률과정의 예측가능성에 대한 개념을 이끈다. 

지금부터 여과 $\{\mathcal{F}_{t},\,a\leq t\leq b\}$를 고정하고, 이 여과가 우연속 즉 각 $t$에 대해 $\mathcal{F}_{t}=\mathcal{F}_{t+}$라고 하고 여기서 $\mathcal{F}_{t+}$는 다음과 같이 정의된다. $$\mathcal{F}_{t+}=\bigcap_{n=1}^{\infty}{\mathcal{F}_{t+\frac{1}{n}}}$$ 게다가 모든 $\sigma-$체 $\mathcal{F}_{t}$들은 완비이다. 

$\mathbb{L}$을 다음의 조건들을 만족하는 결합가측 확률과정 $X(t,\,\omega)$들의 모임이라 하자.                         

(1) $X(t)$는 $\{\mathcal{F}_{t}\}-$적합이다.  

(2) $X(t)$의 거의 모든 경로들은 좌연속이다.  

위의 조건 (2)는 $f(t)$가 $g(t)=-1_{[a,\,c)}(t)+1_{[c,\,b]}(t)$에 대해 리만-스틸체스 적분가능하기 위해서는 $c$에서 좌연속이어야 하기 때문에 '좌연속'이라는 조건으로 되어있는 것이다. 

$\mathcal{P}$를 $\mathbb{L}$상의 모든 확률과정이 가측이 되게하는 $[a,\,b]\times\Omega$의 부분집합들의 최소의 $\sigma-$체 라고 하자. $\sigma-$체 $\mathcal{P}$는 $(s,\,t]\times A$($A\in\mathcal{F}_{s}\,a\leq s<t\leq b$)와 $\{a\}\times B$($B\in\mathcal{F}_{a}$)형태의 $[a,\,b]\times\Omega$의 부분집합들로 생성된다.  

확률과정 $X(t)$가 예측가능(predictable)하다는 것은 함수 $(t,\,\omega)\,\mapsto\,X(t,\,\omega)$가 $[a,\,b]\times\Omega$에서 $\mathcal{P}-$가측인 것이다.  

분명히 $\mathbb{L}$상의 모든 확률과정들은 예측가능하다.  

예: $X(t)$를 $\mathcal{F}_{t}-$적합, 좌극한 우연속 확률과정이라고 하고, $X(t-)$를 좌극한이라 하자. 그러면 $X(t-)$는 예측가능하다.  

예: $f(t,\,\omega)$를 다음과 같이 정의된 계단 확률과정이라 하자. $$f(t,\,\omega)=\sum_{i=1}^{n}{\xi_{i-1}(\omega)1_{(t_{i-1},\,t_{i}]}(t)}$$ 여기서 $\xi_{i-1}$은 $\mathcal{F}_{t_{i-1}}-$가측이다. 그러면 $f(t,\,\omega)$는 가측이다.  

예: $g(t,\,\omega)$를 다음과 같이 정의된 계단 확률과정이라 하자. $$g(t,\,\omega)=\sum_{i=1}^{n}{\eta_{i-1}(\omega)1_{[t_{i-1},\,t_{i})}(t)}$$ 여기서 $\eta_{i-1}$은 $\mathcal{F}_{t_{i-1}}-$가측이다. 그러면 $g(t,\,\omega)$는 예측가능하지 않으나 확률과정 $\displaystyle g(t-,\,\omega)=\sum_{i=1}^{n}{\eta_{i-1}(\omega)1_{(t_{i-1},\,t_{i}]}(t)}$는 가측이다.   

예: $N(t)$를 포아송 과정이라고 하자. 그러면 $N(t-)$는 예측가능하지만 $N(t)$는 예측가능하지 않다. 그 이유는 표본경로 $N(t,\,\omega)$가 $(a,\,b)$에서 하나의 점프를 가지면, 리만-스틸체스 적분 $\displaystyle\int_{a}^{b}{N(t,\,\omega)dN(t,\,\omega)}$가 존재하지 않기 때문이다.    

참고자료: 

Introduction to Stochastic Integration, Hui-Hsiung Kuo, Springer