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[확률적분] 8. 일반적인 확률적분(1) 



이전까지는 브라운 운동 B(t)와 여과 {Ft,atb}는 다음의 조건들을 만족한다.   

(a) 각 t에 대해 B(t)Ft가측이다.  

(b) 임의의 st에 대해 확률변수 B(t)B(s)σFs와 독립이다.  


여기서는 다음의 조건들을 만족하는 확률과정 f(t,ω)에 대한 확률적분 baf(t)dB(t)를 정의할 것이다. 

(1) f(t)는 여과 {Ft}에 대해 적합하다. 즉 모든 t에 대해 f(t)Ft가측이다.  

(2) ba|f(t)|2dt<a.s. 

위의 조건 (2)는 거의 모든 표본경로들이 힐베르트공간 L2([a,b])상의 함수임을 뜻한다. 따라서 사상 ωf(,ω)Ω에서 L2([a,b])로의 가측함수이다.  


Lad(Ω,L2([a,b]))를 위의 조건 (1), (2)를 모두 만족하는 확률과정 f(t,ω)의 공간으로 나타내겠다. 

L2ad([a,b]×Ω)baE(|f(t)|2)dt<이고 {Ft}적합한 확률과정 f(t,ω)들의 공간이다. 푸비니 정리에 의해 E(ba|f(t)|2dt)=baE(|f(t)|2)dt<이고 이 사실로부터 ba|f(t)|2dt<a.s.이다. 따라서 다음의 포함관계가 성립한다.L2ad([a,b]×Ω)Lad(Ω,L2([a,b]))이것은 기존의 L2ad([a,b]×Ω)상의 확률과정보다 더 많은 확률과정들이 존재함을 뜻한다. 


예: 확률과정 f(t)=e{B(t)}2를 고려하자. 그러면 다음이 성립하고E(|f(t)|2)=E(e2{B(t)}2)=e2x212πtex22tdx={114t(0t<14)(t14)이 사실로부터 10E(|f(t)|2)dt=이므로 fL2ad([a,b]×Ω)이다. 반면에 f(t)t에 대한 연속함수이므로, 10|f(t)|2dt<a.s.이고 따라서 fL2ad(Ω,L2([0,1]))이다. 만약 0c<14라고 하면, fL2ad([0,c]×Ω)이다. 


예: 확률과정 f(t)=e{B(t)}2를 고려하자. 그러면 임의의 정수 k3에 대해 다음이 성립하고E(|f(t)|2)=E(e2{B(t)}2)=e2xk12πtex22tdx=따라서 fL2ad([a,b]×Ω)이다. 반면에 f(t)의 거의 모든 경로들이 연속함수이므로 L2([a,b])에 속하고 따라서 fLad(Ω,L2([a,b]))이다. 


일반적으로 Ft적합한 확률과정 f(t)L2ad([a,b]×Ω)에 속하는지 확인하려면 복잡한 계산을 해야 한다. 반면에 확률과정 fLad(Ω,L2([a,b]))에 속하는지 확인하는것은 쉽다. 예를들어 f(t)Ft적합하고 거의 확실히 연속 표본경로들을 가지면, Lad(Ω,L2([a,b]))에 속한다.


fLad(Ω,L2([a,b]))라 하자. 그러면 L2ad([a,b]×Ω)상의 수열 {fn}이 존재해서 다음이 성립한다.limnba|fn(t)f(t)|2dt=0따라서 위의 식은 확률수렴한다. 

증명: 각 n에 대하여 다음을 정의하자.fn(t,ω)={f(t,ω),(ta|f(s,ω)|2dsn)0(otherwise)그러면 fnFt적합하고ba|fn(t,ω)|2dt=τn(ω)a|f(t,ω)|2dta.s.가 성립하며 여기서 τn(ω)는 다음과 같이 정의된다.τn(ω)=sup{t|ta|f(s,ω)|2dsn}그러므로ba|f(t)|2dtna.s.이고 이 사실로부터 baE(|fn(t)|2)dtn이고 fnL2ad([a,b]×Ω)이다. 

ω를 고정되었다고 하자. n이 충분히 커서 n>ba|f(t,ω)|2dt이면, 모든 t[a,b]에 대해 fn(t,ω)=f(t,ω)이고, 다음이 성립하는데limninftyba|fn(t,ω)f(t,ω)|2dt=0그 이유는 거의 모든 ωΩ에 대해 ba|f(t,ω)|2dt<이기 때문이다. 또한 거의 확실한 수렴을 하면 확률수렴 하므로 이 증명은 끝났다. 


f(t)L2ad([a,b]×Ω)에서의 계단 확률과정이라고 하자. 그러면 임의의 ϵ>0,C>0에 대해 다음의 부등식이 성립한다.P({ωΩ||baf(t)dB(t)|>ϵ})Cϵ2+P({ωΩ|ba|f(t)|2dt>C})증명: 모든 양의 상수 C에 대해 확률과정 fC(t,ω)를 다음과 같이 정의하자.fC(t,ω)={f(t,ω)(ta|f(s,ω)|2dsC)0(otherwise)이때 다음이 성립함에 주목하면{ωΩ||baf(t)dB(t)|>ϵ}{ωΩ||bafC(t)dB(t)|>ϵ}{ωΩ|baf(t)dB(t)bafC(t)dB(t)}다음의 부등식이 성립한다.P({ωΩ||baf(t)dB(t)|>ϵ})P({ωΩ||bafC(t)dB(t)|>ϵ})+P({ωΩ|baf(t)dB(t)bafC(t)dB(t)})반면에 f는 계단 확률과정이므로 다음이 성립한다.{ωΩ|baf(t)dB(t)bafC(t)dB(t)}{ωΩ|ba|f(t,ω)|2dt>C}그러므로 다음의 부등식을 얻는다.P(ωΩ||baf(t)dB(t)|>ϵ)P({ωΩ||bafC(t)dB(t)|>ϵ})+P({ωΩ|ba|f(t)|2dt>C})fC의 정의로부터 ba|fC(t)|2dtCa.s.이고 따라서 E(ba|fC(t)|2dt)C이고 체비셰프 부등식에 의해 다음의 결과를 얻는다.P({ωΩ||baf(t)dB(t)|>ϵ})1ϵ2E(|bafC(t)dB(t)|2)+P({ωΩ|ba|f(t)|2dt>C})=1ϵ2baE(|fC(t)|2)dt+P({ωΩ|ba|f(t)|2dt>C})Cϵ2+P({ωΩ|ba|f(t)|2dt>C})      

참고자료:

Introduction to Stochastic Integration, Hsi-Hsiung Kuo, Springer 

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Posted by skywalker222