[확률적분] 8. 일반적인 확률적분(1)

[확률적분] 8. 일반적인 확률적분(1) 

이전까지는 브라운 운동 $B(t)$와 여과 $\{\mathcal{F}_{t},\,a\leq t\leq b\}$는 다음의 조건들을 만족한다.   

(a) 각 $t$에 대해 $B(t)$는 $\mathcal{F}_{t}-$가측이다.  

(b) 임의의 $s\leq t$에 대해 확률변수 $B(t)-B(s)$는 $\sigma-$체 $\mathcal{F}_{s}$와 독립이다.  

여기서는 다음의 조건들을 만족하는 확률과정 $f(t,\,\omega)$에 대한 확률적분 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}$를 정의할 것이다. 

(1) $f(t)$는 여과 $\{\mathcal{F}_{t}\}$에 대해 적합하다. 즉 모든 $t$에 대해 $f(t)$는 $\mathcal{F}_{t}-$가측이다.  

(2) $\displaystyle\int_{a}^{b}{|f(t)|^{2}dt}<\infty\,a.s.$ 

위의 조건 (2)는 거의 모든 표본경로들이 힐베르트공간 $L^{2}([a,\,b])$상의 함수임을 뜻한다. 따라서 사상 $\omega\,\mapsto\,f(\cdot,\,\omega)$는 $\Omega$에서 $L^{2}([a,\,b])$로의 가측함수이다.  

$\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))$를 위의 조건 (1), (2)를 모두 만족하는 확률과정 $f(t,\,\omega)$의 공간으로 나타내겠다. 

$L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$는 $\displaystyle\int_{a}^{b}{E(|f(t)|^{2})dt}<\infty$이고 $\{\mathcal{F}_{t}\}-$적합한 확률과정 $f(t,\,\omega)$들의 공간이다. 푸비니 정리에 의해 $\displaystyle E\left(\int_{a}^{b}{|f(t)|^{2}dt}\right)=\int_{a}^{b}{E(|f(t)|^{2})dt}<\infty$이고 이 사실로부터 $\displaystyle\int_{a}^{b}{|f(t)|^{2}dt}<\infty\,a.s.$이다. 따라서 다음의 포함관계가 성립한다. $$L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\subset\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))$$ 이것은 기존의 $L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$상의 확률과정보다 더 많은 확률과정들이 존재함을 뜻한다. 

예: 확률과정 $f(t)=e^{\{B(t)\}^{2}}$를 고려하자. 그러면 다음이 성립하고 $$E(|f(t)|^{2})=E(e^{2\{B(t)\}^{2}})=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{2x^{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{x^{2}}{2t}}dx}=\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{1-4t}}&\,\left(0\leq t<\frac{1}{4}\right)\\ \infty&\,\left(t\geq\frac{1}{4}\right)\end{cases}$$ 이 사실로부터 $\displaystyle\int_{0}^{1}{E(|f(t)|^{2})dt}=\infty$이므로 $f\notin L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$이다. 반면에 $f(t)$는 $t$에 대한 연속함수이므로, $\displaystyle\int_{0}^{1}{|f(t)|^{2}dt}<\infty\,a.s.$이고 따라서 $f\in\mathcal{L}^{2}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([0,\,1]))$이다. 만약 $\displaystyle0\leq c<\frac{1}{4}$라고 하면, $f\in L^{2}_{ad}([0,\,c]\times\Omega)$이다. 

예: 확률과정 $f(t)=e^{\{B(t)\}^{2}}$를 고려하자. 그러면 임의의 정수 $k\geq3$에 대해 다음이 성립하고 $$E(|f(t)|^{2})=E(e^{2\{B(t)\}^{2}})=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{2x^{k}}\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{x^{2}}{2t}}dx}=\infty$$ 따라서 $f\notin L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$이다. 반면에 $f(t)$의 거의 모든 경로들이 연속함수이므로 $L^{2}([a,\,b])$에 속하고 따라서 $f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))$이다. 

일반적으로 $\mathcal{F}_{t}-$적합한 확률과정 $f(t)$가 $L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$에 속하는지 확인하려면 복잡한 계산을 해야 한다. 반면에 확률과정 $f$가 $\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))$에 속하는지 확인하는것은 쉽다. 예를들어 $f(t)$가 $\mathcal{F}_{t}-$적합하고 거의 확실히 연속 표본경로들을 가지면, $\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))$에 속한다.

$f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))$라 하자. 그러면 $L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$상의 수열 $\{f_{n}\}$이 존재해서 다음이 성립한다. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}}=0$$ 따라서 위의 식은 확률수렴한다. 

증명: 각 $n$에 대하여 다음을 정의하자. $$f_{n}(t,\,\omega)=\begin{cases}f(t,\,\omega)&,\,\left(\int_{a}^{t}{|f(s,\,\omega)|^{2}ds}\leq n\right)\\0&\,(\text{otherwise})\end{cases}$$ 그러면 $f_{n}$은 $\mathcal{F}_{t}-$적합하고 $$\int_{a}^{b}{|f_{n}(t,\,\omega)|^{2}dt}=\int_{a}^{\tau_{n}(\omega)}{|f(t,\,\omega)|^{2}dt}\,a.s.$$ 가 성립하며 여기서 $\tau_{n}(\omega)$는 다음과 같이 정의된다. $$\tau_{n}(\omega)=\sup\left\{t\,|\,\int_{a}^{t}{|f(s,\,\omega)|^{2}ds}\leq n\right\}$$ 그러므로 $$\int_{a}^{b}{|f(t)|^{2}dt}\leq n\,a.s.$$ 이고 이 사실로부터 $\displaystyle\int_{a}^{b}{E(|f_{n}(t)|^{2})dt}\leq n$이고 $f_{n}\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$이다. 

$\omega$를 고정되었다고 하자. $n$이 충분히 커서 $\displaystyle n>\int_{a}^{b}{|f(t,\,\omega)|^{2}dt}$이면, 모든 $t\in[a,\,b]$에 대해 $f_{n}(t,\,\omega)=f(t,\,\omega)$이고, 다음이 성립하는데 $$\lim_{n\,\rightarrow\,infty}{\int_{a}^{b}{|f_{n}(t,\,\omega)-f(t,\,\omega)|^{2}dt}}=0$$ 그 이유는 거의 모든 $\omega\in\Omega$에 대해 $\displaystyle\int_{a}^{b}{|f(t,\,\omega)|^{2}dt}<\infty$이기 때문이다. 또한 거의 확실한 수렴을 하면 확률수렴 하므로 이 증명은 끝났다. 

$f(t)$를 $L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$에서의 계단 확률과정이라고 하자. 그러면 임의의 $\epsilon>0,\,C>0$에 대해 다음의 부등식이 성립한다. $$P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\left|\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}\right|>\epsilon\right\}\right)\leq\frac{C}{\epsilon^{2}}+P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f(t)|^{2}dt}>C\right\}\right)$$ 증명: 모든 양의 상수 $C$에 대해 확률과정 $f_{C}(t,\,\omega)$를 다음과 같이 정의하자. $$f_{C}(t,\,\omega)=\begin{cases}f(t,\,\omega)&\,\left(\int_{a}^{t}{|f(s,\,\omega)|^{2}ds}\leq C\right)\\0&\,(\text{otherwise})\end{cases}$$ 이때 다음이 성립함에 주목하면 $$\begin{align*}&\left\{\omega\in\Omega\,|\,\left|\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}\right|>\epsilon\right\}\\&\subset\left\{\omega\in\Omega\,|\,\left|\int_{a}^{b}{f_{C}(t)dB(t)}\right|>\epsilon\right\}\cup\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}\neq\int_{a}^{b}{f_{C}(t)dB(t)}\right\}\end{align*}$$ 다음의 부등식이 성립한다. $$\begin{align*}&P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\left|\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}\right|>\epsilon\right\}\right)\\&\leq P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\left|\int_{a}^{b}{f_{C}(t)dB(t)}\right|>\epsilon\right\}\right)+P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}\neq\int_{a}^{b}{f_{C}(t)dB(t)}\right\}\right)\end{align*}$$ 반면에 $f$는 계단 확률과정이므로 다음이 성립한다. $$\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}\neq\int_{a}^{b}{f_{C}(t)dB(t)}\right\}\subset\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f(t,\,\omega)|^{2}dt}>C\right\}$$ 그러므로 다음의 부등식을 얻는다. $$\begin{align*}&P\left(\omega\in\Omega\,|\,\left|\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}\right|>\epsilon\right)\\&\leq P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\left|\int_{a}^{b}{f_{C}(t)dB(t)}\right|>\epsilon\right\}\right)+P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f(t)|^{2}dt}>C\right\}\right)\end{align*}$$ $f_{C}$의 정의로부터 $\displaystyle\int_{a}^{b}{|f_{C}(t)|^{2}dt}\leq C\,a.s.$이고 따라서 $\displaystyle E\left(\int_{a}^{b}{|f_{C}(t)|^{2}dt}\right)\leq C$이고 체비셰프 부등식에 의해 다음의 결과를 얻는다. $$\begin{align*}P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\left|\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}\right|>\epsilon\right\}\right)&\leq\frac{1}{\epsilon^{2}}E\left(\left|\int_{a}^{b}{f_{C}(t)dB(t)}\right|^{2}\right)+P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f(t)|^{2}dt}>C\right\}\right)\\&=\frac{1}{\epsilon^{2}}\int_{a}^{b}{E(|f_{C}(t)|^{2})dt}+P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f(t)|^{2}dt}>C\right\}\right)\\&\leq\frac{C}{\epsilon^{2}}+P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f(t)|^{2}dt}>C\right\}\right)\end{align*}$$       

참고자료:

Introduction to Stochastic Integration, Hsi-Hsiung Kuo, Springer