[확률적분] 8. 일반적인 확률적분(1)
이전까지는 브라운 운동 B(t)와 여과 {Ft,a≤t≤b}는 다음의 조건들을 만족한다.
(a) 각 t에 대해 B(t)는 Ft−가측이다.
(b) 임의의 s≤t에 대해 확률변수 B(t)−B(s)는 σ−체 Fs와 독립이다.
여기서는 다음의 조건들을 만족하는 확률과정 f(t,ω)에 대한 확률적분 ∫baf(t)dB(t)를 정의할 것이다.
(1) f(t)는 여과 {Ft}에 대해 적합하다. 즉 모든 t에 대해 f(t)는 Ft−가측이다.
(2) ∫ba|f(t)|2dt<∞a.s.
위의 조건 (2)는 거의 모든 표본경로들이 힐베르트공간 L2([a,b])상의 함수임을 뜻한다. 따라서 사상 ω↦f(⋅,ω)는 Ω에서 L2([a,b])로의 가측함수이다.
Lad(Ω,L2([a,b]))를 위의 조건 (1), (2)를 모두 만족하는 확률과정 f(t,ω)의 공간으로 나타내겠다.
L2ad([a,b]×Ω)는 ∫baE(|f(t)|2)dt<∞이고 {Ft}−적합한 확률과정 f(t,ω)들의 공간이다. 푸비니 정리에 의해 E(∫ba|f(t)|2dt)=∫baE(|f(t)|2)dt<∞이고 이 사실로부터 ∫ba|f(t)|2dt<∞a.s.이다. 따라서 다음의 포함관계가 성립한다.L2ad([a,b]×Ω)⊂Lad(Ω,L2([a,b]))이것은 기존의 L2ad([a,b]×Ω)상의 확률과정보다 더 많은 확률과정들이 존재함을 뜻한다.
예: 확률과정 f(t)=e{B(t)}2를 고려하자. 그러면 다음이 성립하고E(|f(t)|2)=E(e2{B(t)}2)=∫∞−∞e2x21√2πte−x22tdx={1√1−4t(0≤t<14)∞(t≥14)이 사실로부터 ∫10E(|f(t)|2)dt=∞이므로 f∉L2ad([a,b]×Ω)이다. 반면에 f(t)는 t에 대한 연속함수이므로, ∫10|f(t)|2dt<∞a.s.이고 따라서 f∈L2ad(Ω,L2([0,1]))이다. 만약 0≤c<14라고 하면, f∈L2ad([0,c]×Ω)이다.
예: 확률과정 f(t)=e{B(t)}2를 고려하자. 그러면 임의의 정수 k≥3에 대해 다음이 성립하고E(|f(t)|2)=E(e2{B(t)}2)=∫∞−∞e2xk1√2πte−x22tdx=∞따라서 f∉L2ad([a,b]×Ω)이다. 반면에 f(t)의 거의 모든 경로들이 연속함수이므로 L2([a,b])에 속하고 따라서 f∈Lad(Ω,L2([a,b]))이다.
일반적으로 Ft−적합한 확률과정 f(t)가 L2ad([a,b]×Ω)에 속하는지 확인하려면 복잡한 계산을 해야 한다. 반면에 확률과정 f가 Lad(Ω,L2([a,b]))에 속하는지 확인하는것은 쉽다. 예를들어 f(t)가 Ft−적합하고 거의 확실히 연속 표본경로들을 가지면, Lad(Ω,L2([a,b]))에 속한다.
f∈Lad(Ω,L2([a,b]))라 하자. 그러면 L2ad([a,b]×Ω)상의 수열 {fn}이 존재해서 다음이 성립한다.limn→∞∫ba|fn(t)−f(t)|2dt=0따라서 위의 식은 확률수렴한다.
증명: 각 n에 대하여 다음을 정의하자.fn(t,ω)={f(t,ω),(∫ta|f(s,ω)|2ds≤n)0(otherwise)그러면 fn은 Ft−적합하고∫ba|fn(t,ω)|2dt=∫τn(ω)a|f(t,ω)|2dta.s.가 성립하며 여기서 τn(ω)는 다음과 같이 정의된다.τn(ω)=sup{t|∫ta|f(s,ω)|2ds≤n}그러므로∫ba|f(t)|2dt≤na.s.이고 이 사실로부터 ∫baE(|fn(t)|2)dt≤n이고 fn∈L2ad([a,b]×Ω)이다.
ω를 고정되었다고 하자. n이 충분히 커서 n>∫ba|f(t,ω)|2dt이면, 모든 t∈[a,b]에 대해 fn(t,ω)=f(t,ω)이고, 다음이 성립하는데limn→infty∫ba|fn(t,ω)−f(t,ω)|2dt=0그 이유는 거의 모든 ω∈Ω에 대해 ∫ba|f(t,ω)|2dt<∞이기 때문이다. 또한 거의 확실한 수렴을 하면 확률수렴 하므로 이 증명은 끝났다.
f(t)를 L2ad([a,b]×Ω)에서의 계단 확률과정이라고 하자. 그러면 임의의 ϵ>0,C>0에 대해 다음의 부등식이 성립한다.P({ω∈Ω||∫baf(t)dB(t)|>ϵ})≤Cϵ2+P({ω∈Ω|∫ba|f(t)|2dt>C})증명: 모든 양의 상수 C에 대해 확률과정 fC(t,ω)를 다음과 같이 정의하자.fC(t,ω)={f(t,ω)(∫ta|f(s,ω)|2ds≤C)0(otherwise)이때 다음이 성립함에 주목하면{ω∈Ω||∫baf(t)dB(t)|>ϵ}⊂{ω∈Ω||∫bafC(t)dB(t)|>ϵ}∪{ω∈Ω|∫baf(t)dB(t)≠∫bafC(t)dB(t)}다음의 부등식이 성립한다.P({ω∈Ω||∫baf(t)dB(t)|>ϵ})≤P({ω∈Ω||∫bafC(t)dB(t)|>ϵ})+P({ω∈Ω|∫baf(t)dB(t)≠∫bafC(t)dB(t)})반면에 f는 계단 확률과정이므로 다음이 성립한다.{ω∈Ω|∫baf(t)dB(t)≠∫bafC(t)dB(t)}⊂{ω∈Ω|∫ba|f(t,ω)|2dt>C}그러므로 다음의 부등식을 얻는다.P(ω∈Ω||∫baf(t)dB(t)|>ϵ)≤P({ω∈Ω||∫bafC(t)dB(t)|>ϵ})+P({ω∈Ω|∫ba|f(t)|2dt>C})fC의 정의로부터 ∫ba|fC(t)|2dt≤Ca.s.이고 따라서 E(∫ba|fC(t)|2dt)≤C이고 체비셰프 부등식에 의해 다음의 결과를 얻는다.P({ω∈Ω||∫baf(t)dB(t)|>ϵ})≤1ϵ2E(|∫bafC(t)dB(t)|2)+P({ω∈Ω|∫ba|f(t)|2dt>C})=1ϵ2∫baE(|fC(t)|2)dt+P({ω∈Ω|∫ba|f(t)|2dt>C})≤Cϵ2+P({ω∈Ω|∫ba|f(t)|2dt>C})
참고자료:
Introduction to Stochastic Integration, Hsi-Hsiung Kuo, Springer
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