[확률적분] 8. 일반적인 확률적분(1)

[확률적분] 8. 일반적인 확률적분(1) 

이전까지는 브라운 운동 \(B(t)\)와 여과 \(\{\mathcal{F}_{t},\,a\leq t\leq b\}\)는 다음의 조건들을 만족한다.   

(a) 각 \(t\)에 대해 \(B(t)\)는 \(\mathcal{F}_{t}-\)가측이다.  

(b) 임의의 \(s\leq t\)에 대해 확률변수 \(B(t)-B(s)\)는 \(\sigma-\)체 \(\mathcal{F}_{s}\)와 독립이다.  

여기서는 다음의 조건들을 만족하는 확률과정 \(f(t,\,\omega)\)에 대한 확률적분 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}\)를 정의할 것이다. 

(1) \(f(t)\)는 여과 \(\{\mathcal{F}_{t}\}\)에 대해 적합하다. 즉 모든 \(t\)에 대해 \(f(t)\)는 \(\mathcal{F}_{t}-\)가측이다.  

(2) \(\displaystyle\int_{a}^{b}{|f(t)|^{2}dt}<\infty\,a.s.\) 

위의 조건 (2)는 거의 모든 표본경로들이 힐베르트공간 \(L^{2}([a,\,b])\)상의 함수임을 뜻한다. 따라서 사상 \(\omega\,\mapsto\,f(\cdot,\,\omega)\)는 \(\Omega\)에서 \(L^{2}([a,\,b])\)로의 가측함수이다.  

\(\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))\)를 위의 조건 (1), (2)를 모두 만족하는 확률과정 \(f(t,\,\omega)\)의 공간으로 나타내겠다. 

\(L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)는 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{E(|f(t)|^{2})dt}<\infty\)이고 \(\{\mathcal{F}_{t}\}-\)적합한 확률과정 \(f(t,\,\omega)\)들의 공간이다. 푸비니 정리에 의해 \(\displaystyle E\left(\int_{a}^{b}{|f(t)|^{2}dt}\right)=\int_{a}^{b}{E(|f(t)|^{2})dt}<\infty\)이고 이 사실로부터 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{|f(t)|^{2}dt}<\infty\,a.s.\)이다. 따라서 다음의 포함관계가 성립한다.$$L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\subset\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))$$이것은 기존의 \(L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)상의 확률과정보다 더 많은 확률과정들이 존재함을 뜻한다. 

예: 확률과정 \(f(t)=e^{\{B(t)\}^{2}}\)를 고려하자. 그러면 다음이 성립하고$$E(|f(t)|^{2})=E(e^{2\{B(t)\}^{2}})=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{2x^{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{x^{2}}{2t}}dx}=\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{1-4t}}&\,\left(0\leq t<\frac{1}{4}\right)\\ \infty&\,\left(t\geq\frac{1}{4}\right)\end{cases}$$이 사실로부터 \(\displaystyle\int_{0}^{1}{E(|f(t)|^{2})dt}=\infty\)이므로 \(f\notin L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)이다. 반면에 \(f(t)\)는 \(t\)에 대한 연속함수이므로, \(\displaystyle\int_{0}^{1}{|f(t)|^{2}dt}<\infty\,a.s.\)이고 따라서 \(f\in\mathcal{L}^{2}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([0,\,1]))\)이다. 만약 \(\displaystyle0\leq c<\frac{1}{4}\)라고 하면, \(f\in L^{2}_{ad}([0,\,c]\times\Omega)\)이다. 

예: 확률과정 \(f(t)=e^{\{B(t)\}^{2}}\)를 고려하자. 그러면 임의의 정수 \(k\geq3\)에 대해 다음이 성립하고$$E(|f(t)|^{2})=E(e^{2\{B(t)\}^{2}})=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{2x^{k}}\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{x^{2}}{2t}}dx}=\infty$$따라서 \(f\notin L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)이다. 반면에 \(f(t)\)의 거의 모든 경로들이 연속함수이므로 \(L^{2}([a,\,b])\)에 속하고 따라서 \(f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))\)이다. 

일반적으로 \(\mathcal{F}_{t}-\)적합한 확률과정 \(f(t)\)가 \(L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)에 속하는지 확인하려면 복잡한 계산을 해야 한다. 반면에 확률과정 \(f\)가 \(\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))\)에 속하는지 확인하는것은 쉽다. 예를들어 \(f(t)\)가 \(\mathcal{F}_{t}-\)적합하고 거의 확실히 연속 표본경로들을 가지면, \(\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))\)에 속한다.

\(f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))\)라 하자. 그러면 \(L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)상의 수열 \(\{f_{n}\}\)이 존재해서 다음이 성립한다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}}=0$$따라서 위의 식은 확률수렴한다. 

증명: 각 \(n\)에 대하여 다음을 정의하자.$$f_{n}(t,\,\omega)=\begin{cases}f(t,\,\omega)&,\,\left(\int_{a}^{t}{|f(s,\,\omega)|^{2}ds}\leq n\right)\\0&\,(\text{otherwise})\end{cases}$$그러면 \(f_{n}\)은 \(\mathcal{F}_{t}-\)적합하고$$\int_{a}^{b}{|f_{n}(t,\,\omega)|^{2}dt}=\int_{a}^{\tau_{n}(\omega)}{|f(t,\,\omega)|^{2}dt}\,a.s.$$가 성립하며 여기서 \(\tau_{n}(\omega)\)는 다음과 같이 정의된다.$$\tau_{n}(\omega)=\sup\left\{t\,|\,\int_{a}^{t}{|f(s,\,\omega)|^{2}ds}\leq n\right\}$$그러므로$$\int_{a}^{b}{|f(t)|^{2}dt}\leq n\,a.s.$$이고 이 사실로부터 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{E(|f_{n}(t)|^{2})dt}\leq n\)이고 \(f_{n}\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)이다. 

\(\omega\)를 고정되었다고 하자. \(n\)이 충분히 커서 \(\displaystyle n>\int_{a}^{b}{|f(t,\,\omega)|^{2}dt}\)이면, 모든 \(t\in[a,\,b]\)에 대해 \(f_{n}(t,\,\omega)=f(t,\,\omega)\)이고, 다음이 성립하는데$$\lim_{n\,\rightarrow\,infty}{\int_{a}^{b}{|f_{n}(t,\,\omega)-f(t,\,\omega)|^{2}dt}}=0$$그 이유는 거의 모든 \(\omega\in\Omega\)에 대해 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{|f(t,\,\omega)|^{2}dt}<\infty\)이기 때문이다. 또한 거의 확실한 수렴을 하면 확률수렴 하므로 이 증명은 끝났다. 

\(f(t)\)를 \(L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)에서의 계단 확률과정이라고 하자. 그러면 임의의 \(\epsilon>0,\,C>0\)에 대해 다음의 부등식이 성립한다.$$P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\left|\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}\right|>\epsilon\right\}\right)\leq\frac{C}{\epsilon^{2}}+P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f(t)|^{2}dt}>C\right\}\right)$$증명: 모든 양의 상수 \(C\)에 대해 확률과정 \(f_{C}(t,\,\omega)\)를 다음과 같이 정의하자.$$f_{C}(t,\,\omega)=\begin{cases}f(t,\,\omega)&\,\left(\int_{a}^{t}{|f(s,\,\omega)|^{2}ds}\leq C\right)\\0&\,(\text{otherwise})\end{cases}$$이때 다음이 성립함에 주목하면$$\begin{align*}&\left\{\omega\in\Omega\,|\,\left|\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}\right|>\epsilon\right\}\\&\subset\left\{\omega\in\Omega\,|\,\left|\int_{a}^{b}{f_{C}(t)dB(t)}\right|>\epsilon\right\}\cup\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}\neq\int_{a}^{b}{f_{C}(t)dB(t)}\right\}\end{align*}$$다음의 부등식이 성립한다.$$\begin{align*}&P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\left|\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}\right|>\epsilon\right\}\right)\\&\leq P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\left|\int_{a}^{b}{f_{C}(t)dB(t)}\right|>\epsilon\right\}\right)+P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}\neq\int_{a}^{b}{f_{C}(t)dB(t)}\right\}\right)\end{align*}$$반면에 \(f\)는 계단 확률과정이므로 다음이 성립한다.$$\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}\neq\int_{a}^{b}{f_{C}(t)dB(t)}\right\}\subset\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f(t,\,\omega)|^{2}dt}>C\right\}$$그러므로 다음의 부등식을 얻는다.$$\begin{align*}&P\left(\omega\in\Omega\,|\,\left|\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}\right|>\epsilon\right)\\&\leq P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\left|\int_{a}^{b}{f_{C}(t)dB(t)}\right|>\epsilon\right\}\right)+P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f(t)|^{2}dt}>C\right\}\right)\end{align*}$$\(f_{C}\)의 정의로부터 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{|f_{C}(t)|^{2}dt}\leq C\,a.s.\)이고 따라서 \(\displaystyle E\left(\int_{a}^{b}{|f_{C}(t)|^{2}dt}\right)\leq C\)이고 체비셰프 부등식에 의해 다음의 결과를 얻는다.$$\begin{align*}P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\left|\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}\right|>\epsilon\right\}\right)&\leq\frac{1}{\epsilon^{2}}E\left(\left|\int_{a}^{b}{f_{C}(t)dB(t)}\right|^{2}\right)+P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f(t)|^{2}dt}>C\right\}\right)\\&=\frac{1}{\epsilon^{2}}\int_{a}^{b}{E(|f_{C}(t)|^{2})dt}+P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f(t)|^{2}dt}>C\right\}\right)\\&\leq\frac{C}{\epsilon^{2}}+P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f(t)|^{2}dt}>C\right\}\right)\end{align*}$$      

참고자료:

Introduction to Stochastic Integration, Hsi-Hsiung Kuo, Springer