[확률적분] 7. 이토적분으로 정의된 확률과정

[확률적분] 7. 이토적분으로 정의된 확률과정

브라운 운동 $B(t)$와 여과 $\{\mathcal{F}_{t}\}_{a\leq t\leq b}$가 다음의 조건들을 만족한다고 하자. 

(a) $t$에 대하여 $B(t)$는 $\mathcal{F}_{t}-$가측이다.  

(b) 임의의 $s\leq t$에 대하여 확률변수 $B(t)-B(s)$는 $\sigma-$체 $\mathcal{F}_{s}$와 독립이다.  

확률과정 $f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$를 선택하면 임의의 $t\in[a,\,b]$에 대해 다음의 부등식이 성립하고 $$\int_{a}^{t}{E(|f(s)|^{2})ds}\leq\int_{a}^{b}{E(|f(s)|^{2}ds)}<\infty$$ 따라서 $f\in L^{2}_{ad}([a,\,t]\times\Omega)$이다. 이것은 모든 $t\in[a,\,b]$에 대해 확률적분 $\displaystyle\int_{a}^{t}{f(s)dB(s)}$가 정의됨을 뜻하고, 다음의 확률과정을 고려하자. $$X_{t}=\int_{a}^{t}{f(s)dB(s)},\,a\leq t\leq b$$ 그러면 다음이 성립하고 $$E(|X_{t}|)=\int_{a}^{t}{E(|f(s)|^{2})ds}<\infty$$ $E(|X_{t}|)\leq\sqrt{E(|X_{t}|^{2})}<\infty$이므로 따라서 모든 $t$에 대해 확률변수 $X_{t}$는 적분가능하고 $\sigma-$체에 대한 $X_{t}$의 조건부기댓값을 정의할 수 있게된다. 

$f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$라 하자. 그러면 다음과 같이 정의된 확률과정 $X_{t}$는 여과 $\{\mathcal{F}_{t}\}_{a\leq t\leq b}$에 대해 마팅게일이다. $$X_{t}=\int_{a}^{t}{f(s)dB(s)},\,a\leq t\leq b$$ 증명:

(1) $f$를 계단 확률과정이라고 하자. 그러면 임의의 $a\leq s<t\leq b$에 대해 다음의 등식이 성립함을 보여야 한다. $$E(X_{t}|\mathcal{F}_{s})=X_{s}\,a.s.$$ $\displaystyle X_{t}=X_{s}+\int_{s}^{t}{f(u)dB(u)}$이므로 다음의 등식이 성립함을 보이면 된다. $$E\left(\int_{a}^{t}{f(u)dB(u)}|\mathcal{F}_{s}\right)=0\,a.s.$$ $f$가 다음과 같다고 하자. $$f(u,\,\omega)=\sum_{i=1}^{n}{\xi_{i-1}(\omega)\mathbb{1}_{(t_{i-1},\,t_{i}]}}(u)$$ 여기서 $s=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}=t$이고 $\xi_{i-1}$는 $\mathcal{F}_{t_{i-1}}-$가측이고 $L^{2}(\Omega)$에 속한다. 그러면 $$\int_{s}^{t}{f(u)dB(u)}=\sum_{i=1}^{n}{\xi_{i-1}\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}}$$ 이고 모든 $i=1,\,2,\,...,\,n$에 대해 다음이 성립한다. $$\begin{align*}&E(\xi_{i-1}\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}|\mathcal{F}_{s})\\&=E(E(\xi_{i-1}\{B(t_{i-1}-B(t_{i}))\}|\mathcal{F}_{t_{i-1}})|\mathcal{F}_{s})\\&=E(\xi_{i-1}E(B(t_{i})-B(t_{i-1})|\mathcal{F}_{t_{i-1}})|\mathcal{F}_{s})\\&=0\,(\because\,E(\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}|\mathcal{F}_{t_{i-1}}))=0\end{align*}$$ 따라서 $\displaystyle E\left(\int_{s}^{t}{f(u)dB(u)}|\mathcal{F}_{s}\right)=0\,a.s.$이다. 

(2) 일반적인 경우를 고려하자. $f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$라 하고 $L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$상의 계단 확률과정열 $\{f_{n}\}$을 선택해 다음이 성립한다고 하자. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{E(|f(u)-f_{n}(u)|^{2})du}}=0$$ 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대해 확률과정 $X^{(n)}(t)$를 다음과 같이 정의하면 $$X_{t}^{(n)}=\int_{a}^{t}{f_{n}(u)dB(u)}$$ (1)에 의해 $X_{t}^{(n)}$은 마팅게일이다. $s<t$에 대하여 다음과 같이 나타내고 $$X_{t}-X_{s}=(X_{t}-X_{t}^{(n)})+(X_{t}^{(n)}-X_{s}^{(n)})+(X_{s}^{(n)}-X_{s})$$ 다음과 같이 조건부기댓값을 취하자. $$E(X_{t}-X_{s}|\mathcal{F}_{s})=E(X_{t}-X_{t}^{(n)}|\mathcal{F}_{s})+E(X_{s}^{(n)}-X_{s}|\mathcal{F}_{s})$$ 다음이 성립함에 주목하면 $$\begin{align*}E(|E(X_{t}-X_{t}^{(n)}|\mathcal{F}_{s})|^{2})&\leq E(E(|X_{t}-X_{t}^{(n)}|^{2}|\mathcal{F}_{s}))\\&=E(|X_{t}-X_{t}^{(n)}|^{2})\end{align*}$$ 다음이 성립하고 $$\begin{align*}E(|E(X_{t}-X_{t}^{(n)}|\mathcal{F}_{s})|^{2})&\leq\int_{a}^{t}{E(|f(u)-f_{n}(u)|^{2})du}\\&\int_{a}^{b}{E(|f(u)-f_{n}(u)|^{2})du}\\&\,\rightarrow\,0\,(n\,\rightarrow\,\infty)\end{align*}$$ 따라서(필요할 때 부분수열을 취하면) $E(X_{t}-X_{t}^{(n)}|\mathcal{F}_{s})\,\rightarrow\,0\,a.s.$이고 비슷하게 $E(X_{s}-X_{s}^{(n)}|\mathcal{F}_{s})\,\rightarrow\,0\,a.s.$이다. 따라서 $E(X_{t}-X_{s}|\mathcal{F}_{s})=0$이고 $E(X_{t}|\mathcal{F}_{s})=X_{s}\,a.s.$이므로 $X_{t}$는 마팅게일이다.    

$f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$라 하자. 그러면 다음의 확률과정은 $$X_{t}=\int_{a}^{t}{f(s)dB(s)},\,a\leq t\leq b$$ 연속이다. 말 그대로 거의 모든 표본경로들이 구간 $[a,\,b]$에서 연속함수이다. 

증명: 

(1): $f$가 다음과 같은 계단 확률과정이라고 하자. $$f(s,\,\omega)=\sum_{i=1}^{n}{\xi_{i-1}\mathbb{1}_{(t_{i-1},\,t_{i}]}(s)}$$ 여기서 $\xi_{i-1}$은 $\mathcal{F}_{t_{i-1}}-$가측이고 이 경우 고정된 $\omega\in\Omega$에 대해 $X_{t}$의 표본경로는 $t_{k-1}\leq t<t_{k}$에 대해 다음과 같이 주어진다. $$X_{t}(\omega)=\sum_{i=1}^{k-1}{\xi_{i-1}(\omega)}\{B(t_{i},\,\omega)-B(t_{i-1},\,\omega)\}+\xi_{k-1}\{B(t,\,\omega)-B(t_{k-1},\,\omega)\}$$ 거의 모든 $\omega$에 대해 브라운 운동의 경로 $B(\cdot,\,\omega)$는 연속함수이고 따라서 거의 모든 $\omega$에 대해, 표본경로 $X_{(\cdot)}(\omega)$는 $[a,\,b]$에서 연속함수이다.    

(2): 일반적인 경우를 고려하자. $\{f_{n}\}$을 $L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$에서의 계단 확률과정열로 다음이 성립한다고 하자. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{E(|f(s)-f_{n}(s)|^{2})ds}}=0$$ 필요할 때 부분수열을 취함으로써 다음이 성립한다고 가정할 수 있다. $$\int_{a}^{b}{E(|f(s)-f_{n}(s)|^{2})ds}\leq\frac{1}{n^{6}},\,n\in\mathbb{N}$$ 확률과정 $X_{t}^{(n)}$을 다음과 같이 정의하자. $$X_{t}^{(n)}=\int_{a}^{t}{f_{n}(s)dB(s)},\,a\leq t\leq b$$ 그러면 앞에서 증명했듯이 $X_{t}^{(n)}$의 거의 모든 표본경로들이 연속함수이다. $X_{t}$와 $X_{t}^{(n)}$은 마팅게일이고 따라서 $X_{t}-X_{t}^{(n)}$은 마팅게일이며, 둡의 열마팅게일 부등식에 의해 다음의 부등식이 성립한다. $$P\left(\sup_{a\leq t\leq b}{|X_{t}-X_{t}^{(n)}|\geq\frac{1}{n}}\right)\leq nE(|X_{b}-X_{b}^{(n)}|)$$ 슈바르츠부등식으로부터 $$\begin{align*}E(|X_{b}-X_{b}^{(n)}|)&\leq\sqrt{E(|X_{b}-X_{b}^{(n)}|^{2})}\\&=\sqrt{\int_{a}^{b}{E(|f(s)-f_{n}(s)|^{2})ds}}\\&\leq\frac{1}{n^{3}}\end{align*}$$ 이므로 모든 $n\geq 1$에 대해 다음 부등식이 성립하고 $$P\left(\sup_{a\leq t\leq b}{|X_{t}-X_{t}^{(n)}|}\geq\frac{1}{n}\right)\leq\frac{1}{n^{2}}$$ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{2}}}<\infty$이므로 보렐-칸텔리 보조정리에 의해 다음이 성립하고 $$P\left(\sup_{a\leq t\leq b}{|X_{t}-X_{t}^{(n)}|}\geq\frac{1}{n}\,\text{i.o.}\right)=0$$ 이고 여기서 $\{A_{n}\,\text{i.o.}\}$는 다음을 의미한다. $$\{A_{n}\,\text{i.o.}\}=\{A_{n}\,\text{infinitely often}\}=\bigcap_{n=1}^{\infty}{\bigcup_{k=n}^{\infty}{A_{k}}}$$ 또한 $P(\{A_{n}\,\text{i.o.})=0$일 때 $P(\{A_{n}\,\text{f.o.}\})=1$이 성립한다. 그러면 다음이 성립하고 $$P\left(\sup_{a\leq t\leq b}{|X_{t}-X_{t}^{(n)}|}\geq\frac{1}{n}\,\text{f.o.}\right)=1$$ 따라서 사건 $\Omega_{0}$가 존재해서 $P(\Omega_{0})=1$이고 모든 $\omega\in\Omega_{0}$에 대해 $N(\omega)\in\mathbb{N}$가 존재해서 $n\geq N(\omega)$일 때 다음이 성립한다. $$\sup_{a\leq t\leq b}{|X_{t}(\omega)-X_{t}^{(n)}(\omega)|}<\frac{1}{n}$$ 따라서 모든 $\omega$에 대해 $X_{(\cdot)}^{(n)}(\omega)\,(n\in\mathbb{N})$은 $X_{(\cdot)}(\omega)$로 균등수렴한다. 그러나 모든 $n$에 대하여 확률과정 $X_{t}^{(n)}$은 연속이므로 사건 $\Omega_{n}$이 존재해서 $P(\Omega_{n})=1$이고 모든 $\omega\in\Omega_{n}$에 대해 $X_{(\cdot)}^{(n)}$은 연속이다. 

(3) 마지막으로 $\displaystyle\tilde{\Omega}=\bigcap_{n=0}^{\infty}{\Omega_{n}}$이라 하자. 그러면 $P(\tilde{\Omega}_{n})=1$이고, 모든 $\omega\in\tilde{\Omega}_{n}$에 대해 수열 $X_{(\cdot)}^{(n)}$은 $[a,\,b]$에서 $X_{(\cdot)}^{(n)}$으로 균등수렴하는 연속함수열이다. 따라서 거의 모든 확률과정 $X_{t}$의 표본경로들은 $[a,\,b]$에서 연속함수이고 $X_{t}$는 연속 확률과정이다. 

$f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$라 하자. 구간 $[a,\,b]$의 분할 $\Delta_{n}=\{t_{0},\,t_{1},\,...,\,t_{n-1},\,t_{n}\}$에 대해 $f$의 $B(t)$에 대한 리만합을 다음과 같이 정의하자. $$\sum_{k=1}^{n}{f(t_{i-1})\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}}$$ 이 리만합의 수열은 이토적분 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}$로 수렴한다. $E(f(t)f(s))$를 $t$와 $s$의 연속함수라 하고 확률과정 $f_{n}$을 다음과 같이 정의하자. $$f_{n}(t,\,\omega)=f(t_{i-1},\,\omega),\,t_{i-1}<t\leq t_{i}$$ 그러면 다음이 성립하고 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{E(|f(t)-f_{n}(t)|^{2})ds}}=0$$ 따라서 $L^{2}(\Omega)$에서 리만합의 수열이 다음과 같이 수렴한다. $$\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{I(f_{n})}$$ 여기서 $I(f_{n})$은 다음과 같이 정의된다. $$\begin{align*}I(f_{n})&=\sum_{i=1}^{n}{f_{n}(t_{i-1})\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}}\\&=\sum_{i=1}^{n}{f(t_{i-1})\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}}\end{align*}$$ 따라서 이 결과를 다음과 같이 정리할 수 있다.

$f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$이고 $E(f(t)f(s))$를 $s$와 $t$의 연속함수라 하자. 그러면 $L^{2}(\Omega)$에서 다음이 성립한다. $$\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}=\lim_{\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0}{\sum_{i=1}^{n}{f(t_{i-1})\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}}}$$ 여기서 $\Delta_{n}=\{a=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}=b\}$이고 $\displaystyle\|\Delta_{n}\|=\max_{1\leq i\leq n}{(t_{i}-t_{i-1})}$이다. 

참고자료:

Introduction to Stochastic Integration, Hui-Hsiung Kuo, Springer