[확률적분] 5. 확률적분

[확률적분] 5. 확률적분

여기서 브라운 운동 \(B(t)\)와 여과 \(\{\mathcal{F}_{t},\,a\leq t\leq b\}\)를 고정하고 다음의 조건들을 만족한다고 하겠다.

(a) 각 \(t\)에 대해 \(B(t)\)는 \(\mathcal{F}_{t}-\)가측이다.  

(b) 임의의 \(s\leq t\)에 대해, 확률변수 \(B(t)-B(s)\)는 \(\sigma-\)체 \(\mathcal{F}_{s}\)와 독립이다. 

편의를 위해 \(L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)를 다음의 조건들을 만족하는 확률변수 \(f(t,\,\omega)\), \(a\leq t\leq b\), \(\omega\in\Omega\)들의 집합이라고 하겠다. 

(1) \(f(t,\,\omega)\)는 여과 \(\{\mathcal{F}_{t}\}\)에 대해 적합하다.  

(2) \(\displaystyle\int_{a}^{b}{E(|f(t)|^{2})dt}<\infty\) 

여기서는 다음의 \(f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)에 대한 확률적분을 정의하기 위해 이토의 방법을 이용하겠다.$$\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}$$명확함을 위해 3단계로 나누어 이 적분을 정의하겠다. 

1단계에서는 \(L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)상의 계단 확률과정에 대한 확률적분을 정의한다. 2단계에서는 근사 보조정리를 증명한다. 3단계에서는 \(L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)상의 일반적인 확률과정에 대한 확률적분을 정의한다. 

1단계: \(f\)는 \(L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)상의 계단 확률과정이다.  

\(f\)를 다음과 같이 정의된 계단 확률과정이라 하자.$$f(t,\,\omega)=\sum_{i=1}^{n}{\xi_{i-1}\mathbb{1}_{[t_{i-1},\,t_{i})}(t)}$$여기서 \(\xi_{i-1}\)은 \(\mathcal{F}_{t_{i-1}}-\)가측이고 \(E(\xi_{i-1}^{2})<\infty\)이다. 이 경우 확률적분을 다음과 같이 정의한다.$$I(f)=\sum_{i=1}^{n}{\xi_{i-1}\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}}$$분명히 임의의 \(a,\,b\in\mathbb{R}\)와 임의의 계단 확률과정 \(f,\,g\)에 대하여 \(I(af+bg)=aI(f)+bI(g)\)이다. 

\(I(f)\)를 계단함수 \(f\)에 대한 확률적분이라 하자. 그러면 \(E(I(f))=0\)이고 다음이 성립한다.$$E(|I(f)|^{2})=\int_{a}^{b}{E(|f(t)|^{2})dt}$$증명: \(I(f)\)에서의 \(1\leq i\leq n\)에 대해$$\begin{align*}E(\xi_{i-1}\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\})&=E\left(E(\xi_{i-1}\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}|\mathcal{F}_{t_{i-1}})\right)\\&=E\left(\xi_{i-1}E(\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}|\mathcal{F}_{t_{i-1}})\right)\\&=E(\xi_{i-1}E(B(t_{i})-B(t_{i-1})))\\&=0\end{align*}$$따라서 \(E(I(f))=0\)이다. 게다가 다음이 성립하고$$|I(f)|^{2}=\sum_{i,\,j=1}^{n}{\xi_{i-1}\xi_{j-1}\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}\{B(t_{j})-B(t_{j-1})\}}$$\(i\neq j\)에 대해(\(i<j\)라 하자)$$\begin{align*}&E(\xi_{i-1}\xi_{j-1}\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}\{B(t_{j}-B(t_{j-1}))\})\\&=E(E(\cdots|\mathcal{F}_{t_{j-1}}))\\&=E\{\xi_{i-1}\xi_{j-1}\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}E(\{B(t_{j}-B(t_{j-1})\}|\mathcal{F}_{t_{j-1}}))\}\\&=0\end{align*}$$앞에서처럼 \(E(\{B(t_{j})-B(t_{j-1})\}|\mathcal{F}_{t_{j-1}})=E(B(t_{j})-B(t_{j-1}))=0\)이기 때문이다. 반면에 \(i=j\)에 대해 다음이 성립한다.$$\begin{align*}E\left(\xi_{i-1}^{2}\{B(t_{i})-B(t_{i-1})^{2}\}\right)&=E(E(\cdots|\mathcal{F}_{t_{i-1}}))\\&=E(\xi_{i-1}^{2}E(\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}^{2}))\\&=E(\xi_{i-1}^{2}(t_{i}-t_{i-1}))\\&=(t_{i}-t_{i-1})E(\xi_{i-1}^{2})\end{align*}$$2단계: 근사 보조정리

여기서는 일반적인 확률과정 \(f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)에 대한 확률적분 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}\)를 정의하기 위해 근사 보조정리를 보일 것이다. 

\(f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)라 하자. 그러면 \(L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)상의 계단 확률과정들의 열 \(\{f_{n}(t)\}\)가 존재해서 다음이 성립한다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{E(|f(t)-f_{n}(t)|^{2})dt}}=0$$증명: 특수한 경우와 일반적인 경우로 나누어 증명한다.  

경우 1: \(E(f(t)f(s))\)는 \((t,\,s)\in[a,\,b]^{2}\)의 연속함수이다.  

이 경우, \(\Delta_{n}=\{t_{0},\,t_{1},\,...,\,t_{n-1},\,t_{n}\}\)을 구간 \([a,\,b]\)의 분할이고 확률과정 \(f_{n}(t,\,\omega)\)를 다음과 같이 정의하자.$$f_{n}(t,\,\omega)=f(t_{i-1},\,\omega),\,t_{i-1}<t\leq t_{i}$$그러면 \(\{f_{n}(t,\,\omega)\}\)는 적합한 계단 확률과정들의 열이고, \([a,\,b]^{2}\)에서 \(E(f(t)f(s))\)의 연속성에 의해 다음을 얻고$$\lim_{s\,\rightarrow\,t}{E(|f(t)-f(s)|^{2})}=0$$이것은 \(t\in[a,\,b]\)에 대해 다음이 성립함을 뜻한다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{E(|f(t)-f(s)|^{2})}=0$$게다가 부등식 \(|\alpha-\beta|^{2}\leq2(|\alpha|^{2}+|\beta|^{2})\)로부터$$|f(t)-f_{n}(t)|^{2}\leq2(|f(t)|^{2}+|f_{n}(t)|^{2})$$따라서 모든 \(a\leq t\leq b\)에 대해$$\begin{align*}E(|f(t)-f_{n}(t)|^{2})&\leq2\left(E(|f(t)|^{2})+E(|f_{n}(t)|^{2})\right)\\&\leq4\sup_{a\leq s\leq b}{E(|f(s)|^{2})}\end{align*}$$그러므로 르베그 지배수렴정리에 의해 다음의 결과를 얻는다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{E(|f(t)-f_{n}(t)|^{2})dt}}=0$$경우 2: \(f\)는 유계이다.    

이 경우, 확률과정 \(g_{n}\)을 다음과 같이 정의하자.$$g_{n}(t,\,\omega)=\int_{0}^{n(t-a)}{e^{-\tau}f\left(t-\frac{\tau}{n},\,\omega\right)d\tau}$$\(g_{n}\)은 \(\mathcal{F}_{t}\)에 적합하고 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{E(|g_{n}(t)|^{2})dt}<\infty\)이다. 

(a): 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대해 \(E(g_{n}(t)g_{n}(s))\)는 \((t,\,s)\)의 연속함수이다.  

이를 보이기 위해 \(\displaystyle u=t-\frac{\tau}{n}\)이라 해서 \(g_{n}(t,\,\omega)\)를 다음과 같이 다시 나타내자.$$g_{n}(t,\,\omega)=\int_{a}^{t}{ne^{-n(t-u)}f(u,\,\omega)du}$$그러면 다음이 성립하고$$\lim_{t\,\rightarrow\,s}{E(|g_{n}(t)-g_{n}(s)|^{2})}=0$$이고 따라서 \(E(g_{n}(t)g_{n}(s))\)는 \((t,\,s)\)의 연속함수이다.  

(b): \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{E(|f(t)-g_{n}(t)|^{2})dt}\,\rightarrow\,0\)이다.  

이를 보이기 위해 다음이 성립함에 주목하자.$$f(t)-g_{n}(t)=\int_{0}^{\infty}{e^{-\tau}\left\{f(t)-f\left(t-\frac{\tau}{n}\right)\right\}d\tau}$$\(f(t)\)는 \(t<a\)에 대해 0인데 그 이유는 \(e^{-\tau}d\tau\)는 \([0,\,\infty)\)에서의 확률측도이기 때문이다. 슈바르츠 부등식에 의해 다음의 부등식을 얻고$$|f(t)-g_{n}(t)|^{2}\leq\int_{0}^{\infty}{\left|f(t)-f\left(t-\frac{\tau}{n}\right)\right|^{2}e^{-\tau}d\tau}$$따라서$$\begin{align*}\int_{a}^{b}{E(|f(t)-g_{n}(t)|^{2})dt}&\leq\int_{a}^{b}{\int_{0}^{\infty}{e^{-\tau}E\left(\left|f(t)-f\left(t-\frac{\tau}{n}\right)\right|^{2}\right)d\tau}dt}\\&=\int_{0}^{\infty}{e^{-\tau}\left(\int_{a}^{b}{E\left(\left|f(t)-f\left(t-\frac{\tau}{n}\right)\right|^{2}\right)dt}\right)d\tau}\\&=\int_{0}^{\infty}{e^{-\tau}E\left(\int_{a}^{b}{\left|f(t)-f\left(t-\frac{\tau}{n}\right)\right|^{2}}\right)d\tau}\end{align*}$$\(f\)는 가정에서 유계이므로 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 다음이 성립한다.$$\int_{a}^{b}{\left|f(t,\,\cdot)-f\left(t-\frac{\tau}{n},\,\cdot\right)\right|^{2}dt}\,\rightarrow\,0\,a.s.$$그러면 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{E(|f(t)-g_{n}(t)|^{2})dt}\,\rightarrow\,0\)이다. 

(a)에 의해 각 \(n\)에 대해 경우 1에 적용해 적합한 계단 확률과정 \(f_{n}(t,\,\omega)\)를 얻고, 다음을 만족한다.$$\int_{a}^{b}{E(|g_{n}(t)-f_{n}(t)|^{2})dt}\leq\frac{1}{n}$$따라서 (b)와 앞의 식에 의해 다음이 성립한다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{E(|f(t)-f_{b}(t)|^{2})dt}}=0$$이렇게 경우 2가 증명되었다.

경우 3: \(f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)에 대한 일반적인 경우. 

\(f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)라 하자. 각 \(n\in\mathbb{N}\)에 대해$$g_{n}(t,\,\omega)=\begin{cases}f(t,\,\omega)&\,(|f(t,\,\omega)|\leq n)\\0&\,(|f(t,\,\omega)|>n)\end{cases}$$라고 하면 르베그 지배수렴정리에 의해 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 다음이 성립한다.$$\int_{a}^{b}{E(|f(t)-g_{n}(t)|^{2})dt}\,\rightarrow\,0$$이제 각 \(n\)에 대하여 적합한 계단 확률과정 \(f_{n}(t,\,\omega)\)를 얻기 위해 경우 2를 \(g_{n}\)에 적용해 다음과 같다고 하자.$$\int_{a}^{b}{E(|g_{n}(t)-f(t)|^{2})dt}\leq\frac{1}{n}$$따라서 다음의 식이 성립한다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{E(|f(t)-f_{n}(t)|^{2})dt}}=0$$3단계: \(f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)의 확률적분 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}\)  

단계 1과 2를 이용해 다음의 \(f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)에 대한 확률적분을 정의하자.$$\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}$$2단계로부터 적한 계단 확률과정열 \(\{f_{n}(t,\,\omega)\}\)가 존재해 \(f\)로 \(L^{2}\)수렴한다. 1단계로부터 \(n,\,m\,\rightarrow\,\infty\)일 때$$E(|I(f_{n})-I(f_{m})|^{2})=\int_{a}^{b}{E(|f_{n}(t)-f_{m}(t)|^{2})dt}\,\rightarrow\,0$$따라서 수열 \(\{I(f_{n})\}\)은 \(L^{2}(\Omega)\)에서 코시수열이고, \(I(f)\)를 다음과 같이 정의하자.$$I(f)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{I(f_{n})}\,\text{in}\,L^{2}(\Omega)$$위너적분의 경우처럼 여기서의 \(I(f)\)도 잘 정의되었고, 이 \(I(f)\)를 \(f\)의 이토적분(Ito integral)이라 하고, \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}\)로 나타낸다. 

따라서 이토적분 \(I(f)\)는 \(f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)에 대해 정의되고 사상 \(I\)는 선형이다. 즉 임의의 \(a,\,b\in\mathbb{R}\)과 \(f,\,g\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)에 대해 다음이 성립한다.$$I(af+bg)=aI(f)+bI(g)$$2단계와 1단계로부터 다음의 정리가 성립한다.

\(f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)라 하자. 그러면 이토적분 \(\displaystyle I(f)=\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}\)는 확률변수이고 \(E(I(f))=0\)이고 다음이 성립한다.$$E(|I(f)|^{2})=\int_{a}^{b}{E(|f(t)|^{2})dt}$$이 정리에 의해 이토적분 \(I:L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\,\rightarrow\,L^{2}(\Omega)\)는 등거리이다. \(I\)는 선형이므로 다음의 결과를 얻는다.

임의의 \(f,\,g\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)에 대해 다음의 등식이 성립한다.$$E\left(\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}\int_{a}^{b}{g(t)dB(t)}\right)=\int_{a}^{b}{E(f(t)g(t))dt}$$

참고자료:

Introduction to Stochastic Integration, Hsi-Hsiung Kuo, Springer