[확률적분] 5. 확률적분

[확률적분] 5. 확률적분

여기서 브라운 운동 $B(t)$와 여과 $\{\mathcal{F}_{t},\,a\leq t\leq b\}$를 고정하고 다음의 조건들을 만족한다고 하겠다.

(a) 각 $t$에 대해 $B(t)$는 $\mathcal{F}_{t}-$가측이다.  

(b) 임의의 $s\leq t$에 대해, 확률변수 $B(t)-B(s)$는 $\sigma-$체 $\mathcal{F}_{s}$와 독립이다. 

편의를 위해 $L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$를 다음의 조건들을 만족하는 확률변수 $f(t,\,\omega)$, $a\leq t\leq b$, $\omega\in\Omega$들의 집합이라고 하겠다. 

(1) $f(t,\,\omega)$는 여과 $\{\mathcal{F}_{t}\}$에 대해 적합하다.  

(2) $\displaystyle\int_{a}^{b}{E(|f(t)|^{2})dt}<\infty$ 

여기서는 다음의 $f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$에 대한 확률적분을 정의하기 위해 이토의 방법을 이용하겠다. $$\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}$$ 명확함을 위해 3단계로 나누어 이 적분을 정의하겠다. 

1단계에서는 $L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$상의 계단 확률과정에 대한 확률적분을 정의한다. 2단계에서는 근사 보조정리를 증명한다. 3단계에서는 $L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$상의 일반적인 확률과정에 대한 확률적분을 정의한다. 

1단계: $f$는 $L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$상의 계단 확률과정이다.  

$f$를 다음과 같이 정의된 계단 확률과정이라 하자. $$f(t,\,\omega)=\sum_{i=1}^{n}{\xi_{i-1}\mathbb{1}_{[t_{i-1},\,t_{i})}(t)}$$ 여기서 $\xi_{i-1}$은 $\mathcal{F}_{t_{i-1}}-$가측이고 $E(\xi_{i-1}^{2})<\infty$이다. 이 경우 확률적분을 다음과 같이 정의한다. $$I(f)=\sum_{i=1}^{n}{\xi_{i-1}\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}}$$ 분명히 임의의 $a,\,b\in\mathbb{R}$와 임의의 계단 확률과정 $f,\,g$에 대하여 $I(af+bg)=aI(f)+bI(g)$이다. 

$I(f)$를 계단함수 $f$에 대한 확률적분이라 하자. 그러면 $E(I(f))=0$이고 다음이 성립한다. $$E(|I(f)|^{2})=\int_{a}^{b}{E(|f(t)|^{2})dt}$$ 증명: $I(f)$에서의 $1\leq i\leq n$에 대해 $$\begin{align*}E(\xi_{i-1}\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\})&=E\left(E(\xi_{i-1}\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}|\mathcal{F}_{t_{i-1}})\right)\\&=E\left(\xi_{i-1}E(\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}|\mathcal{F}_{t_{i-1}})\right)\\&=E(\xi_{i-1}E(B(t_{i})-B(t_{i-1})))\\&=0\end{align*}$$ 따라서 $E(I(f))=0$이다. 게다가 다음이 성립하고 $$|I(f)|^{2}=\sum_{i,\,j=1}^{n}{\xi_{i-1}\xi_{j-1}\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}\{B(t_{j})-B(t_{j-1})\}}$$ $i\neq j$에 대해($i<j$라 하자) $$\begin{align*}&E(\xi_{i-1}\xi_{j-1}\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}\{B(t_{j}-B(t_{j-1}))\})\\&=E(E(\cdots|\mathcal{F}_{t_{j-1}}))\\&=E\{\xi_{i-1}\xi_{j-1}\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}E(\{B(t_{j}-B(t_{j-1})\}|\mathcal{F}_{t_{j-1}}))\}\\&=0\end{align*}$$ 앞에서처럼 $E(\{B(t_{j})-B(t_{j-1})\}|\mathcal{F}_{t_{j-1}})=E(B(t_{j})-B(t_{j-1}))=0$이기 때문이다. 반면에 $i=j$에 대해 다음이 성립한다. $$\begin{align*}E\left(\xi_{i-1}^{2}\{B(t_{i})-B(t_{i-1})^{2}\}\right)&=E(E(\cdots|\mathcal{F}_{t_{i-1}}))\\&=E(\xi_{i-1}^{2}E(\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}^{2}))\\&=E(\xi_{i-1}^{2}(t_{i}-t_{i-1}))\\&=(t_{i}-t_{i-1})E(\xi_{i-1}^{2})\end{align*}$$ 2단계: 근사 보조정리

여기서는 일반적인 확률과정 $f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$에 대한 확률적분 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}$를 정의하기 위해 근사 보조정리를 보일 것이다. 

$f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$라 하자. 그러면 $L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$상의 계단 확률과정들의 열 $\{f_{n}(t)\}$가 존재해서 다음이 성립한다. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{E(|f(t)-f_{n}(t)|^{2})dt}}=0$$ 증명: 특수한 경우와 일반적인 경우로 나누어 증명한다.  

경우 1: $E(f(t)f(s))$는 $(t,\,s)\in[a,\,b]^{2}$의 연속함수이다.  

이 경우, $\Delta_{n}=\{t_{0},\,t_{1},\,...,\,t_{n-1},\,t_{n}\}$을 구간 $[a,\,b]$의 분할이고 확률과정 $f_{n}(t,\,\omega)$를 다음과 같이 정의하자. $$f_{n}(t,\,\omega)=f(t_{i-1},\,\omega),\,t_{i-1}<t\leq t_{i}$$ 그러면 $\{f_{n}(t,\,\omega)\}$는 적합한 계단 확률과정들의 열이고, $[a,\,b]^{2}$에서 $E(f(t)f(s))$의 연속성에 의해 다음을 얻고 $$\lim_{s\,\rightarrow\,t}{E(|f(t)-f(s)|^{2})}=0$$ 이것은 $t\in[a,\,b]$에 대해 다음이 성립함을 뜻한다. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{E(|f(t)-f(s)|^{2})}=0$$ 게다가 부등식 $|\alpha-\beta|^{2}\leq2(|\alpha|^{2}+|\beta|^{2})$로부터 $$|f(t)-f_{n}(t)|^{2}\leq2(|f(t)|^{2}+|f_{n}(t)|^{2})$$ 따라서 모든 $a\leq t\leq b$에 대해 $$\begin{align*}E(|f(t)-f_{n}(t)|^{2})&\leq2\left(E(|f(t)|^{2})+E(|f_{n}(t)|^{2})\right)\\&\leq4\sup_{a\leq s\leq b}{E(|f(s)|^{2})}\end{align*}$$ 그러므로 르베그 지배수렴정리에 의해 다음의 결과를 얻는다. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{E(|f(t)-f_{n}(t)|^{2})dt}}=0$$ 경우 2: $f$는 유계이다.    

이 경우, 확률과정 $g_{n}$을 다음과 같이 정의하자. $$g_{n}(t,\,\omega)=\int_{0}^{n(t-a)}{e^{-\tau}f\left(t-\frac{\tau}{n},\,\omega\right)d\tau}$$ $g_{n}$은 $\mathcal{F}_{t}$에 적합하고 $\displaystyle\int_{a}^{b}{E(|g_{n}(t)|^{2})dt}<\infty$이다. 

(a): 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대해 $E(g_{n}(t)g_{n}(s))$는 $(t,\,s)$의 연속함수이다.  

이를 보이기 위해 $\displaystyle u=t-\frac{\tau}{n}$이라 해서 $g_{n}(t,\,\omega)$를 다음과 같이 다시 나타내자. $$g_{n}(t,\,\omega)=\int_{a}^{t}{ne^{-n(t-u)}f(u,\,\omega)du}$$ 그러면 다음이 성립하고 $$\lim_{t\,\rightarrow\,s}{E(|g_{n}(t)-g_{n}(s)|^{2})}=0$$ 이고 따라서 $E(g_{n}(t)g_{n}(s))$는 $(t,\,s)$의 연속함수이다.  

(b): $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $\displaystyle\int_{a}^{b}{E(|f(t)-g_{n}(t)|^{2})dt}\,\rightarrow\,0$이다.  

이를 보이기 위해 다음이 성립함에 주목하자. $$f(t)-g_{n}(t)=\int_{0}^{\infty}{e^{-\tau}\left\{f(t)-f\left(t-\frac{\tau}{n}\right)\right\}d\tau}$$ $f(t)$는 $t<a$에 대해 0인데 그 이유는 $e^{-\tau}d\tau$는 $[0,\,\infty)$에서의 확률측도이기 때문이다. 슈바르츠 부등식에 의해 다음의 부등식을 얻고 $$|f(t)-g_{n}(t)|^{2}\leq\int_{0}^{\infty}{\left|f(t)-f\left(t-\frac{\tau}{n}\right)\right|^{2}e^{-\tau}d\tau}$$ 따라서 $$\begin{align*}\int_{a}^{b}{E(|f(t)-g_{n}(t)|^{2})dt}&\leq\int_{a}^{b}{\int_{0}^{\infty}{e^{-\tau}E\left(\left|f(t)-f\left(t-\frac{\tau}{n}\right)\right|^{2}\right)d\tau}dt}\\&=\int_{0}^{\infty}{e^{-\tau}\left(\int_{a}^{b}{E\left(\left|f(t)-f\left(t-\frac{\tau}{n}\right)\right|^{2}\right)dt}\right)d\tau}\\&=\int_{0}^{\infty}{e^{-\tau}E\left(\int_{a}^{b}{\left|f(t)-f\left(t-\frac{\tau}{n}\right)\right|^{2}}\right)d\tau}\end{align*}$$ $f$는 가정에서 유계이므로 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 다음이 성립한다. $$\int_{a}^{b}{\left|f(t,\,\cdot)-f\left(t-\frac{\tau}{n},\,\cdot\right)\right|^{2}dt}\,\rightarrow\,0\,a.s.$$ 그러면 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $\displaystyle\int_{a}^{b}{E(|f(t)-g_{n}(t)|^{2})dt}\,\rightarrow\,0$이다. 

(a)에 의해 각 $n$에 대해 경우 1에 적용해 적합한 계단 확률과정 $f_{n}(t,\,\omega)$를 얻고, 다음을 만족한다. $$\int_{a}^{b}{E(|g_{n}(t)-f_{n}(t)|^{2})dt}\leq\frac{1}{n}$$ 따라서 (b)와 앞의 식에 의해 다음이 성립한다. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{E(|f(t)-f_{b}(t)|^{2})dt}}=0$$ 이렇게 경우 2가 증명되었다.

경우 3: $f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$에 대한 일반적인 경우. 

$f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$라 하자. 각 $n\in\mathbb{N}$에 대해 $$g_{n}(t,\,\omega)=\begin{cases}f(t,\,\omega)&\,(|f(t,\,\omega)|\leq n)\\0&\,(|f(t,\,\omega)|>n)\end{cases}$$ 라고 하면 르베그 지배수렴정리에 의해 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 다음이 성립한다. $$\int_{a}^{b}{E(|f(t)-g_{n}(t)|^{2})dt}\,\rightarrow\,0$$ 이제 각 $n$에 대하여 적합한 계단 확률과정 $f_{n}(t,\,\omega)$를 얻기 위해 경우 2를 $g_{n}$에 적용해 다음과 같다고 하자. $$\int_{a}^{b}{E(|g_{n}(t)-f(t)|^{2})dt}\leq\frac{1}{n}$$ 따라서 다음의 식이 성립한다. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{E(|f(t)-f_{n}(t)|^{2})dt}}=0$$ 3단계: $f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$의 확률적분 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}$  

단계 1과 2를 이용해 다음의 $f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$에 대한 확률적분을 정의하자. $$\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}$$ 2단계로부터 적한 계단 확률과정열 $\{f_{n}(t,\,\omega)\}$가 존재해 $f$로 $L^{2}$수렴한다. 1단계로부터 $n,\,m\,\rightarrow\,\infty$일 때 $$E(|I(f_{n})-I(f_{m})|^{2})=\int_{a}^{b}{E(|f_{n}(t)-f_{m}(t)|^{2})dt}\,\rightarrow\,0$$ 따라서 수열 $\{I(f_{n})\}$은 $L^{2}(\Omega)$에서 코시수열이고, $I(f)$를 다음과 같이 정의하자. $$I(f)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{I(f_{n})}\,\text{in}\,L^{2}(\Omega)$$ 위너적분의 경우처럼 여기서의 $I(f)$도 잘 정의되었고, 이 $I(f)$를 $f$의 이토적분(Ito integral)이라 하고, $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}$로 나타낸다. 

따라서 이토적분 $I(f)$는 $f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$에 대해 정의되고 사상 $I$는 선형이다. 즉 임의의 $a,\,b\in\mathbb{R}$과 $f,\,g\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$에 대해 다음이 성립한다. $$I(af+bg)=aI(f)+bI(g)$$ 2단계와 1단계로부터 다음의 정리가 성립한다.

$f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$라 하자. 그러면 이토적분 $\displaystyle I(f)=\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}$는 확률변수이고 $E(I(f))=0$이고 다음이 성립한다. $$E(|I(f)|^{2})=\int_{a}^{b}{E(|f(t)|^{2})dt}$$ 이 정리에 의해 이토적분 $I:L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\,\rightarrow\,L^{2}(\Omega)$는 등거리이다. $I$는 선형이므로 다음의 결과를 얻는다.

임의의 $f,\,g\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$에 대해 다음의 등식이 성립한다. $$E\left(\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}\int_{a}^{b}{g(t)dB(t)}\right)=\int_{a}^{b}{E(f(t)g(t))dt}$$

참고자료:

Introduction to Stochastic Integration, Hsi-Hsiung Kuo, Springer