[확률적분] 2. 브라운 운동, 위너적분

[확률적분] 2. 브라운 운동, 위너적분

\((\Omega,\,\mathcal{F},\,P)\)를 확률공간이라 하자. 확률과정(stochastic process) \(X(t,\,\omega)\)는 곱공간 \([0,\,\infty)\times\Omega\)에서 정의된 가측함수이다. 특히 

(a) 모든 \(t\)에 대하여 \(X(t,\,\cdot)\)는 확률변수이다.  

(b) 모든 \(\omega\)에 대하여 \(X(\cdot,\,t)\)는 가측함수이다.(표본경로(sample path)라고 한다) 

편의를 위해 확률변수 \(X(t,\,\cdot)\)를 \(X(t)\) 또는 \(X_{t}\)로 나타낸다. 따라서 확률과정 \(X(t,\,\omega)\)는 \(X(t)(\omega)\)로 나타낼 수 있고, 또는 간단히 \(X(t)\) 또는 \(X_{t}\)로 나타낼 수 있다.

확률과정 \(B(t,\,\omega)\)가 다음의 조건들을 만족하면 브라운 운동(Brownian motion)이라고 불린다.

(1) \(P(\{\omega\,|\,B(0,\,\omega)=0\})=1\) 

(2) 임의의 \(0\leq s<t\)에 대하여 확률변수 \(B(t)-B(s)\)는 평균이 0이고 분산이 \(t-s\)인 정규분포를 따른다. 즉 임의의 \(a<b\)에 대하여 다음이 성립한다.$$P(a\leq B(t)-B(s)\leq b)=\frac{1}{\sqrt{2\pi(t-s)}}\int_{a}^{b}{e^{-\frac{x^{2}}{2(t-s)}}dx}$$(3) \(B(t,\,\omega)\)는 독립증분(independent increments)을 갖는다. 즉 임의의 \(0\leq t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{n}\)에 대하여 확률변수$$B(t_{1}),\,B(t_{2})-B(t_{2}),\,...,\,B(t_{n})-B(t_{n-1})$$들은 서로 독립이다. 

(4) \(B(t,\,\omega)\)의 거의 모든 경로들은 연속함수이다. 즉$$P(\{\omega\,|\,B(\cdot,\,\omega)\,\text{is continuous}\})=1$$브라운 운동은 앞의 조건 (1), (2), (3)을 만족하는 확률과정 \(B(t,\,\omega)\)로 정의된다. 이러한 확률과정을 연속 실제화(continuous realization)를 갖는다고 하고 "\(P(\Omega_{0})=1\)인 \(\Omega_{0}\)가 존재해서 모든 \(\omega\in\Omega_{0}\)에 대해 \(B(t,\,\omega)\)는 \(t\)에 대한 연속함수이다"라고 할 수 있다. 이것은 콜모고로프 연속성 정리로부터 성립하고 따라서 (4)를 자동으로 만족한다. 

앞에서 정의한 브라운 운동 \(B(t)\)는 0에서 시작한다. 가끔 브라운 운동이 \(x\)에서 출발하게 해야하는 경우가 있다. 이러한 경우는 \(x+B(t)\)로 나타내고, 브라운 운동이 0에서 출발하지 않으면 출발하는 점이 주어진다. 

여기서부터 \(B(t)\)는 고정된 브라운 운동이다.

임의의 \(t>0\)에 대하여 \(B(t)\)는 평균이 0이고, 분산이 \(t\)인 정규분포를 따른다. 임의의 \(s,\,t\geq0\)에 대하여 \(E(B(s)B(t))=\min\{s,\,t\}\)가 성립한다.

증명: 조건 (1)에 의해 \(B(t)=B(t)-B(0)\)이고 조건 (2)에 의해 평균이 0이고 분산이 \(t\)인 정규분포를 따른다. 식 \(E(B(s)B(t))=\min\{s,\,t\}\)가 성립함을 보이기 위해 \(s<t\)라고 가정하자. 그러면 조건 (2)와 (3)에 의해 다음의 식이 성립한다.$$\begin{align*}E(B(s)B(t))&=E(B(s)\{B(t)-B(s)\}+\{B(s)\}^{2})\\&=0+s=s\\&=\min\{s,\,t\}\end{align*}$$고정된 \(t_{0}\geq0\)에 대하여 확률과정 \(\tilde{B}(t)=B(t+t_{0})-B(t_{0})\)도 브라운 운동이다. 

증명: 확률과정 \(\tilde{B}(t)\)는 분명히 브라운 운동의 조건 (1), (4)를 만족한다. 임의의 \(s<t\)에 대하여$$\tilde{B}(t)-\tilde{B}(s)=B(t+t_{0})-B(s+t_{0})$$이고 \(B(t)\)의 조건 (2)에 의해 \(\tilde{B}(t)-\tilde{B}(s)\)는 평균이 0이고 분산이 \((t+t_{0})-(s+t_{0})=t-s\)인 정규분포를 따른다. 따라서 \(\tilde{B}(t)\)는 조건 (2)를 만족한다. \(t_{0}>0\)이라 하자. 그러면 임의의 \(0\leq t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{n}\)에 대하여 \(0<t_{0}\leq t_{1}+t_{0}<\cdots<t_{n}+t_{0}\)이고 따라서 \(B(t)\)의 조건 (3)에 의해$$B(t),\,B(t_{k}+t_{0})\,(k=1,\,2,\,...,\,n)$$는 독립인 확률변수들이다. 따라서 확률변수$$\tilde{B}(t_{k})-\tilde{B}(t_{k-1})\,(k=1,\,2,\,...,\,n)$$들은 독립이고 \(\tilde{B}(t)\)는 브라운 운동의 조건 (3)을 만족한다.     

임의의 실수 \(\lambda>0\)에 대해 확률과정 \(\displaystyle\tilde{B}(t)=\frac{B(\lambda t)}{\sqrt{\lambda}}\)는 브라운 운동이다.

증명: 확률과정 \(\tilde{B}(t)\)에 대해 브라운 운동의 조건 (1), (3), (4)를 만족한다. (2)가 성립함을 보이기 위해 임의의 \(s<t\)에 대하여$$\tilde{B}(t)-\tilde{B}(s)=\frac{1}{\sqrt{\lambda}}(B(\lambda t)-B(\lambda s))$$가 성립함에 주목하자. 이것은 \(\tilde{B}(t)-\tilde{B}(s)\)가 평균이 0이고 분산이 \(\displaystyle\frac{1}{\lambda}(\lambda t-\lambda s)=t-s\)임을 뜻하고 따라서 \(\tilde{B}(t)\)는 조건 (2)를 만족한다. 

이 결과로부터 임의의 \(\lambda>0\)과 \(0\leq t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{n}\)에 대하여 다음의 확률벡터$$(B(\lambda t_{1}),\,B(\lambda t_{2}),\,...,\,B(\lambda t_{n})),\,(\sqrt{\lambda}B(t_{1}),\,\sqrt{\lambda}B(t_{2}),\,...,\,\sqrt{\lambda}B(t_{n}))$$들은 동일한 분포를 갖는다.

적분 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(t)dB(\omega,\,t)}\)를 고려하자. 여기서 \(f\)는 결정적인(\(\omega\)의 영향을 받지 않음) 함수이고, \(B(t,\,\omega)\)는 브라운 운동이다. 이 적분은 리만-스틸체스 적분으로 나타낼 수 없다. 그 이유는 이 적분을 리만-스틸체스 적분으로 나타내기 위해서는 \(f\)가 유계변동인 연속함수여야 하는데 다음의 함수$$f(t)=\begin{cases}\displaystyle t\sin\frac{1}{t}&\,(0<t\leq1)\\0&\,(t=0)\end{cases}$$는 연속이지만 유계변동이 아니다. 

광범위한 종류의 함수 \(f(t)\)에 대한 적분 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(t)dB(t,\,\omega)}\)를 정의하기 위해서는 다른 방법을 사용해야 한다. 이 새로운 적분을 \(f\)의 위너적분(Wiener integral)이라고 하고, 모든 \(f\in L^{2}([a,\,b])\)에 대해 정의된다. 여기서 \(L^{2}([a,\,b])\)는 구간 \([a,\,b]\)에서 제곱적분가능한 실함수들의 힐베르트공간이다. 예를들어 \(\displaystyle\int_{0}^{1}{t\sin\frac{1}{t}dB(t)}\)는 위너적분이다.

위너적분은 두 단계에 걸쳐 정의된다.

1단계: \(f\)를 \(\displaystyle f=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\mathbb{1}_{[t_{i-1},\,t_{i})}}\,(t_{0}=a,\,t_{n}=b)\)인 계단함수라 하자. 이 경우$$I(f)=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}}$$라고 하면 모든 \(a,\,b\in\mathbb{R}\)와 계단함수 \(f\)와 \(g\)에 대해 \(I(af+bg)=aI(f)+bI(g)\)이고, 다음의 보조정리를 얻는다. 

계단함수 \(f\)에 대하여 확률변수 \(I(f)\)는 평균이 0이고 분산이 다음과 같은 가우시안(정규분포를 따르는 확률변수)이다.$$E(\{I(f)\}^{2})=\int_{a}^{b}{\{f(t)\}^{2}dt}$$증명: 독립인 가우시안 확률변수들의 선형결합도 가우시안 확률변수이다. 따라서 브라운 운동의 조건 (2)와 (3)에 의해 확률변수 \(I(f)\)는 평균이 0인 가우시안이다.$$E(\{I(f)\}^{2})=E\left(\sum_{i,\,j=1}^{n}{a_{i}a_{j}\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}\{B(t_{j})-B(t_{j})\}}\right)$$이고 브라운 운동의 조건 (2)와 (3)에 의해$$E(\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}^{2})=t_{i}-t_{i-1}$$이며 \(t\neq j\)에 대해$$E(B(t_{i})-B(t_{i-1})(B(t_{j})-B(t_{j-1})))=0$$이므로 다음의 결과를 얻는다.$$E(\{I(f)\}^{2})=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}^{2}(t_{i}-t_{i-1})}=\int_{a}^{b}{\{f(t)\}^{2}dt}$$2단계: \(L^{2}(\Omega)\)를 내적이 \(\langle X,\,Y\rangle=E(XY)\)인 \(\Omega\)에서 제곱적분 가능한 실가 확률변수들의 힐베르트공간이라고 하겠다. \(f\in L^{2}([a,\,b])\)라 하고 계단함수열 \(\{f_{n}\}\)을 선택해 \(L^{2}([a,\,b])\)에서 \(f_{n}\,\rightarrow\,f\)라 하자. \(\{I(f_{n})\}\)은 \(L^{2}(\Omega)\)에서 코시수열이고, 따라서 \(L^{2}(\Omega)\)에서 수렴한다. \(L^{2}(\Omega)\)에서$$I(f)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{I(f_{n})}$$라고 하자. 그러면 다음의 질문을 얻게 된다.

\(I(f)\)가 잘 정의되는가?

\(I(f)\)가 잘 정의되기 위해서는 극한값 \(I(f)\)가 수열 \(\{f_{n}\}\)의 선택에 무관해야 한다. \(\{g_{m}\}\)을 계단함수열이고 \(L^{2}([a,\,b])\)에서 \(g_{m}\,\rightarrow\,f\)라 하자. 그러면 사상 \(I\)의 선형성에 의해$$E(|I(f_{n})-I(g_{m})|^{2})=E(|I(f_{n}-g_{m})|^{2})=\int_{a}^{b}{\{f_{n}(t)-g_{m}(t)\}^{2}dt}$$이다. \(f_{n}(t)-g_{m}(t)=\{f_{n}(t)-f(t)\}-\{g_{m}(t)-f(t)\}\)라 하고, 부등식 \((x-y)^{2}\leq2(x^{2}+y^{2})\)를 이용하면, \(n,\,m\,\rightarrow\,0\)일 때 다음을 얻는다.$$\int_{a}^{b}{\{f_{n}(t)-g_{m}(t)\}^{2}dt}\leq2\int_{a}^{b}{(\{f_{n}(t)-f(t)\}^{2}-\{g_{m}(t)-f(t)\}^{2})dt}\,\rightarrow\,0$$따라서 \(L^{2}(\Omega)\)에서 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{I(f_{n})}=\lim_{m\,\rightarrow\,\infty}{I(g_{m})}\)이고 \(I(f)\)는 잘 정의된다.

\(f\in L^{2}([a,\,b])\)라 하자. \(\displaystyle I(f)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{I(f_{n})}\)으로 정의된 \(I(f)\)를 \(f\)의 위너적분(Wiener integral)이라고 한다. \(f\)의 위너적분 \(I(f)\)를 다음과 같이 나타낸다.$$I(f)(\omega)=\left(\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}\right)(\omega),\,\omega\in\Omega,\,\text{almost surely}$$간단히 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}\) 또는 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(t)dB(t,\,\omega)}\)로 나타내고 \(I\)는 \(L^{2}([a,\,b])\)에서 \(I\)는 선형이다. 

\(f\in L^{2}([a,\,b])\)에 대하여 위너적분 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(t)dB(t,\,\omega)}\)는 평균이 0이고, 분산이 \(\displaystyle\|f\|^{2}=\int_{a}^{b}{\{f(t)\}^{2}dt}\)인 가우시안 확률변수이다. 

증명: \(f\)가 계단함수일 때는 분명히 성립한다. 일반적인 \(f\in L^{2}([a,\,b])\)에 대하여 다음의 사실로부터 성립한다: \(X_{n}\)이 평균이 \(\mu_{n}\)이고 분산이 \(\sigma_{n}^{2}\)인 가우시안이고, \(X_{n}\)이 \(X\)로 \(L^{2}(\Omega)\)로 수렴하면, \(X\)는 평균이 \(\displaystyle\mu=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\mu_{n}}\)이고 분산이 \(\displaystyle\sigma^{2}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sigma_{n}^{2}}\)인 가우시안이다. 

위의 정리로부터 위너적분 \(I:L^{2}([a,\,b])\,\rightarrow\,L^{2}(\Omega)\)는 등거리(isometry)임을 알 수 있다. 또한 다음의 정리로부터 내적을 보존함을 알 수 있다.

\(f\in L^{2}([a,\,b])\)이면, 다음이 성립한다.$$E(I(f)I(g))=\int_{a}^{b}{f(t)g(t)dt}$$특히 \(f\)와 \(g\)가 직교이면, 가우시안 확률변수 \(I(f)\)와 \(I(g)\)는 독립이다. 

증명: \(I\)의 선형성과 앞 정리의 결과에 의해 다음이 성립한다.$$\begin{align*}E(\{I(f)+I(g)\}^{2})&=E(\{I(f+g)\}^{2})=\int_{a}^{b}{\{f(t)+g(t)\}^{2}dt}\\&=\int_{a}^{b}{\{f(t)\}^{2}dt}+2\int_{a}^{b}{f(t)g(t)dt}+\int_{a}^{b}{\{g(t)\}^{2}dt}\end{align*}$$또한$$\begin{align*}E(\{I(f)+I(g)\}^{2})&=E(\{I(f)\}^{2}+2I(f)I(g)+\{I(g)\}^{2})\\&=\int_{a}^{b}{\{f(t)\}^{2}dt}+2E(I(f)I(g))+\int_{a}^{b}{\{g(t)\}^{2}dt}\end{align*}$$따라서 식 \(\displaystyle E(I(f)I(g))=\int_{a}^{b}{f(t)g(t)}dt(=\langle I(f),\,I(g)\rangle)\)가 성립한다.

\(f\)를 유계변동함수라 하자. 그러면 거의 모든 \(\omega\in\Omega\)에 대해 다음이 성립한다.$$\left(\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}\right)(\omega)=(RS)\int_{a}^{b}{f(t)dB(t,\,\omega)}$$위의 식에서 좌변은 \(f\)의 위너적분, 우변은 \(f\)의 리만-스틸체스 적분이다. 

증명: 구간 \([a,\,b]\)의 임의의 분할 \(\Delta_{n}=\{t_{0},\,t_{1},\,...,\,t_{n-1},\,t_{n}\}\)에 대하여 계단함수 \(f_{n}\)을 다음과 같이 정의하자.$$f_{n}=\sum_{i=1}^{n}{f(t_{i-1})\mathbb{1}_{[t_{i-1},\,t_{i})}}$$\(n\,\rightarrow\,\infty(\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0)\)일 때 \(f_{n}\)이 \(f\)로 수렴함에 주목하자. 따라서 위너적분의 정의에 의해 \(L^{2}(\Omega)\)에서 다음이 성립한다.$$\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{f(t_{i-1})\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}}}$$반면에 \(P(\Omega_{0})=1\)인 적당한 \(\Omega_{0}\)에 대한 모든 \(\omega\in\Omega_{0}\)에 대해$$\begin{align*}(RS)\int_{a}^{b}{f(t)dB(t,\,\omega)}&=f(b)B(b,\,\omega)-f(a)B(a,\,\omega)-\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{B(t_{i},\,\omega)\{f(t_{i})-f(t_{i-1})\}}}\\&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(f(b)B(b,\,\omega)-f(a)B(a,\,\omega)-\sum_{i=1}^{n}{B(t_{i},\,\omega)\{f(t_{i})-f(t_{i-1})\}}\right)}\end{align*}$$\(L^{2}(\Omega)\)수렴은 거의 확실히(almost surely) 수렴하는 부분수열이 존재함을 뜻하고, 따라서 위너적분과 리만-스틸체스적분으로 수렴하는 부분수열 \(\{f_{n}\}\)을 선택해서 이 정리가 성립한다는 결론을 내릴 수 있다. 

\(P(\Omega_{0})=1\)인 적당한 \(\Omega_{0}\)에 대한 모든 \(\omega\in\Omega_{0}\)에 대해 정의된 리만적분 \(\displaystyle\int_{0}^{1}{B(t,\,\omega)dt}\)에 대한 확률분포를 찾자. 부분적분에 의해$$\begin{align*}\int_{0}^{1}{B(t,\,\omega)dt}&=[B(t,\,\omega)(t-1)]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}{(t-1)dB(t,\,\omega)}\\&=(RS)\int_{0}^{1}{(1-t)dB(t,\,\omega)}\end{align*}$$이고 따라서 앞 정리에 의해 거의 모든 \(\omega\in\Omega\)에 대해 다음이 성립하고$$\int_{0}^{1}{B(t,\,\omega)dt}=\left(\int_{0}^{1}{(1-t)dB(t,\,\omega)dB(t)}\right)(\omega)$$위의 식의 우변은 위너적분이다. 따라서 \(\displaystyle\int_{0}^{1}{B(t)dt}\)와 위너적분 \(\displaystyle\int_{0}^{1}{(1-t)dB(t)}\)는 같은 분포를 갖고, 평균은 0, 분산은 다음과 같다.$$E\left(\int_{0}^{1}{(1-t)dB(t)}\right)^{2}=\int_{0}^{1}{(1-t)^{2}dt}=\frac{1}{3}$$

참고자료: 

Introduction to Stochastic Integration, Hui-Hsiung, Kuo, Springer