[확률적분] 2. 브라운 운동, 위너적분

[확률적분] 2. 브라운 운동, 위너적분

$(\Omega,\,\mathcal{F},\,P)$를 확률공간이라 하자. 확률과정(stochastic process) $X(t,\,\omega)$는 곱공간 $[0,\,\infty)\times\Omega$에서 정의된 가측함수이다. 특히 

(a) 모든 $t$에 대하여 $X(t,\,\cdot)$는 확률변수이다.  

(b) 모든 $\omega$에 대하여 $X(\cdot,\,t)$는 가측함수이다.(표본경로(sample path)라고 한다) 

편의를 위해 확률변수 $X(t,\,\cdot)$를 $X(t)$ 또는 $X_{t}$로 나타낸다. 따라서 확률과정 $X(t,\,\omega)$는 $X(t)(\omega)$로 나타낼 수 있고, 또는 간단히 $X(t)$ 또는 $X_{t}$로 나타낼 수 있다.

확률과정 $B(t,\,\omega)$가 다음의 조건들을 만족하면 브라운 운동(Brownian motion)이라고 불린다.

(1) $P(\{\omega\,|\,B(0,\,\omega)=0\})=1$ 

(2) 임의의 $0\leq s<t$에 대하여 확률변수 $B(t)-B(s)$는 평균이 0이고 분산이 $t-s$인 정규분포를 따른다. 즉 임의의 $a<b$에 대하여 다음이 성립한다. $$P(a\leq B(t)-B(s)\leq b)=\frac{1}{\sqrt{2\pi(t-s)}}\int_{a}^{b}{e^{-\frac{x^{2}}{2(t-s)}}dx}$$ (3) $B(t,\,\omega)$는 독립증분(independent increments)을 갖는다. 즉 임의의 $0\leq t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{n}$에 대하여 확률변수 $$B(t_{1}),\,B(t_{2})-B(t_{2}),\,...,\,B(t_{n})-B(t_{n-1})$$ 들은 서로 독립이다. 

(4) $B(t,\,\omega)$의 거의 모든 경로들은 연속함수이다. 즉 $$P(\{\omega\,|\,B(\cdot,\,\omega)\,\text{is continuous}\})=1$$ 브라운 운동은 앞의 조건 (1), (2), (3)을 만족하는 확률과정 $B(t,\,\omega)$로 정의된다. 이러한 확률과정을 연속 실제화(continuous realization)를 갖는다고 하고 "$P(\Omega_{0})=1$인 $\Omega_{0}$가 존재해서 모든 $\omega\in\Omega_{0}$에 대해 $B(t,\,\omega)$는 $t$에 대한 연속함수이다"라고 할 수 있다. 이것은 콜모고로프 연속성 정리로부터 성립하고 따라서 (4)를 자동으로 만족한다. 

앞에서 정의한 브라운 운동 $B(t)$는 0에서 시작한다. 가끔 브라운 운동이 $x$에서 출발하게 해야하는 경우가 있다. 이러한 경우는 $x+B(t)$로 나타내고, 브라운 운동이 0에서 출발하지 않으면 출발하는 점이 주어진다. 

여기서부터 $B(t)$는 고정된 브라운 운동이다.

임의의 $t>0$에 대하여 $B(t)$는 평균이 0이고, 분산이 $t$인 정규분포를 따른다. 임의의 $s,\,t\geq0$에 대하여 $E(B(s)B(t))=\min\{s,\,t\}$가 성립한다.

증명: 조건 (1)에 의해 $B(t)=B(t)-B(0)$이고 조건 (2)에 의해 평균이 0이고 분산이 $t$인 정규분포를 따른다. 식 $E(B(s)B(t))=\min\{s,\,t\}$가 성립함을 보이기 위해 $s<t$라고 가정하자. 그러면 조건 (2)와 (3)에 의해 다음의 식이 성립한다. $$\begin{align*}E(B(s)B(t))&=E(B(s)\{B(t)-B(s)\}+\{B(s)\}^{2})\\&=0+s=s\\&=\min\{s,\,t\}\end{align*}$$ 고정된 $t_{0}\geq0$에 대하여 확률과정 $\tilde{B}(t)=B(t+t_{0})-B(t_{0})$도 브라운 운동이다. 

증명: 확률과정 $\tilde{B}(t)$는 분명히 브라운 운동의 조건 (1), (4)를 만족한다. 임의의 $s<t$에 대하여 $$\tilde{B}(t)-\tilde{B}(s)=B(t+t_{0})-B(s+t_{0})$$ 이고 $B(t)$의 조건 (2)에 의해 $\tilde{B}(t)-\tilde{B}(s)$는 평균이 0이고 분산이 $(t+t_{0})-(s+t_{0})=t-s$인 정규분포를 따른다. 따라서 $\tilde{B}(t)$는 조건 (2)를 만족한다. $t_{0}>0$이라 하자. 그러면 임의의 $0\leq t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{n}$에 대하여 $0<t_{0}\leq t_{1}+t_{0}<\cdots<t_{n}+t_{0}$이고 따라서 $B(t)$의 조건 (3)에 의해 $$B(t),\,B(t_{k}+t_{0})\,(k=1,\,2,\,...,\,n)$$ 는 독립인 확률변수들이다. 따라서 확률변수 $$\tilde{B}(t_{k})-\tilde{B}(t_{k-1})\,(k=1,\,2,\,...,\,n)$$ 들은 독립이고 $\tilde{B}(t)$는 브라운 운동의 조건 (3)을 만족한다.     

임의의 실수 $\lambda>0$에 대해 확률과정 $\displaystyle\tilde{B}(t)=\frac{B(\lambda t)}{\sqrt{\lambda}}$는 브라운 운동이다.

증명: 확률과정 $\tilde{B}(t)$에 대해 브라운 운동의 조건 (1), (3), (4)를 만족한다. (2)가 성립함을 보이기 위해 임의의 $s<t$에 대하여 $$\tilde{B}(t)-\tilde{B}(s)=\frac{1}{\sqrt{\lambda}}(B(\lambda t)-B(\lambda s))$$ 가 성립함에 주목하자. 이것은 $\tilde{B}(t)-\tilde{B}(s)$가 평균이 0이고 분산이 $\displaystyle\frac{1}{\lambda}(\lambda t-\lambda s)=t-s$임을 뜻하고 따라서 $\tilde{B}(t)$는 조건 (2)를 만족한다. 

이 결과로부터 임의의 $\lambda>0$과 $0\leq t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{n}$에 대하여 다음의 확률벡터 $$(B(\lambda t_{1}),\,B(\lambda t_{2}),\,...,\,B(\lambda t_{n})),\,(\sqrt{\lambda}B(t_{1}),\,\sqrt{\lambda}B(t_{2}),\,...,\,\sqrt{\lambda}B(t_{n}))$$ 들은 동일한 분포를 갖는다.

적분 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(t)dB(\omega,\,t)}$를 고려하자. 여기서 $f$는 결정적인($\omega$의 영향을 받지 않음) 함수이고, $B(t,\,\omega)$는 브라운 운동이다. 이 적분은 리만-스틸체스 적분으로 나타낼 수 없다. 그 이유는 이 적분을 리만-스틸체스 적분으로 나타내기 위해서는 $f$가 유계변동인 연속함수여야 하는데 다음의 함수 $$f(t)=\begin{cases}\displaystyle t\sin\frac{1}{t}&\,(0<t\leq1)\\0&\,(t=0)\end{cases}$$ 는 연속이지만 유계변동이 아니다. 

광범위한 종류의 함수 $f(t)$에 대한 적분 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(t)dB(t,\,\omega)}$를 정의하기 위해서는 다른 방법을 사용해야 한다. 이 새로운 적분을 $f$의 위너적분(Wiener integral)이라고 하고, 모든 $f\in L^{2}([a,\,b])$에 대해 정의된다. 여기서 $L^{2}([a,\,b])$는 구간 $[a,\,b]$에서 제곱적분가능한 실함수들의 힐베르트공간이다. 예를들어 $\displaystyle\int_{0}^{1}{t\sin\frac{1}{t}dB(t)}$는 위너적분이다.

위너적분은 두 단계에 걸쳐 정의된다.

1단계: $f$를 $\displaystyle f=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\mathbb{1}_{[t_{i-1},\,t_{i})}}\,(t_{0}=a,\,t_{n}=b)$인 계단함수라 하자. 이 경우 $$I(f)=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}}$$ 라고 하면 모든 $a,\,b\in\mathbb{R}$와 계단함수 $f$와 $g$에 대해 $I(af+bg)=aI(f)+bI(g)$이고, 다음의 보조정리를 얻는다. 

계단함수 $f$에 대하여 확률변수 $I(f)$는 평균이 0이고 분산이 다음과 같은 가우시안(정규분포를 따르는 확률변수)이다. $$E(\{I(f)\}^{2})=\int_{a}^{b}{\{f(t)\}^{2}dt}$$ 증명: 독립인 가우시안 확률변수들의 선형결합도 가우시안 확률변수이다. 따라서 브라운 운동의 조건 (2)와 (3)에 의해 확률변수 $I(f)$는 평균이 0인 가우시안이다. $$E(\{I(f)\}^{2})=E\left(\sum_{i,\,j=1}^{n}{a_{i}a_{j}\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}\{B(t_{j})-B(t_{j})\}}\right)$$ 이고 브라운 운동의 조건 (2)와 (3)에 의해 $$E(\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}^{2})=t_{i}-t_{i-1}$$ 이며 $t\neq j$에 대해 $$E(B(t_{i})-B(t_{i-1})(B(t_{j})-B(t_{j-1})))=0$$ 이므로 다음의 결과를 얻는다. $$E(\{I(f)\}^{2})=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}^{2}(t_{i}-t_{i-1})}=\int_{a}^{b}{\{f(t)\}^{2}dt}$$ 2단계: $L^{2}(\Omega)$를 내적이 $\langle X,\,Y\rangle=E(XY)$인 $\Omega$에서 제곱적분 가능한 실가 확률변수들의 힐베르트공간이라고 하겠다. $f\in L^{2}([a,\,b])$라 하고 계단함수열 $\{f_{n}\}$을 선택해 $L^{2}([a,\,b])$에서 $f_{n}\,\rightarrow\,f$라 하자. $\{I(f_{n})\}$은 $L^{2}(\Omega)$에서 코시수열이고, 따라서 $L^{2}(\Omega)$에서 수렴한다. $L^{2}(\Omega)$에서 $$I(f)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{I(f_{n})}$$ 라고 하자. 그러면 다음의 질문을 얻게 된다.

$I(f)$가 잘 정의되는가?

$I(f)$가 잘 정의되기 위해서는 극한값 $I(f)$가 수열 $\{f_{n}\}$의 선택에 무관해야 한다. $\{g_{m}\}$을 계단함수열이고 $L^{2}([a,\,b])$에서 $g_{m}\,\rightarrow\,f$라 하자. 그러면 사상 $I$의 선형성에 의해 $$E(|I(f_{n})-I(g_{m})|^{2})=E(|I(f_{n}-g_{m})|^{2})=\int_{a}^{b}{\{f_{n}(t)-g_{m}(t)\}^{2}dt}$$ 이다. $f_{n}(t)-g_{m}(t)=\{f_{n}(t)-f(t)\}-\{g_{m}(t)-f(t)\}$라 하고, 부등식 $(x-y)^{2}\leq2(x^{2}+y^{2})$를 이용하면, $n,\,m\,\rightarrow\,0$일 때 다음을 얻는다. $$\int_{a}^{b}{\{f_{n}(t)-g_{m}(t)\}^{2}dt}\leq2\int_{a}^{b}{(\{f_{n}(t)-f(t)\}^{2}-\{g_{m}(t)-f(t)\}^{2})dt}\,\rightarrow\,0$$ 따라서 $L^{2}(\Omega)$에서 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{I(f_{n})}=\lim_{m\,\rightarrow\,\infty}{I(g_{m})}$이고 $I(f)$는 잘 정의된다.

$f\in L^{2}([a,\,b])$라 하자. $\displaystyle I(f)=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{I(f_{n})}$으로 정의된 $I(f)$를 $f$의 위너적분(Wiener integral)이라고 한다. $f$의 위너적분 $I(f)$를 다음과 같이 나타낸다. $$I(f)(\omega)=\left(\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}\right)(\omega),\,\omega\in\Omega,\,\text{almost surely}$$ 간단히 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}$ 또는 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(t)dB(t,\,\omega)}$로 나타내고 $I$는 $L^{2}([a,\,b])$에서 $I$는 선형이다. 

$f\in L^{2}([a,\,b])$에 대하여 위너적분 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(t)dB(t,\,\omega)}$는 평균이 0이고, 분산이 $\displaystyle\|f\|^{2}=\int_{a}^{b}{\{f(t)\}^{2}dt}$인 가우시안 확률변수이다. 

증명: $f$가 계단함수일 때는 분명히 성립한다. 일반적인 $f\in L^{2}([a,\,b])$에 대하여 다음의 사실로부터 성립한다: $X_{n}$이 평균이 $\mu_{n}$이고 분산이 $\sigma_{n}^{2}$인 가우시안이고, $X_{n}$이 $X$로 $L^{2}(\Omega)$로 수렴하면, $X$는 평균이 $\displaystyle\mu=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\mu_{n}}$이고 분산이 $\displaystyle\sigma^{2}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sigma_{n}^{2}}$인 가우시안이다. 

위의 정리로부터 위너적분 $I:L^{2}([a,\,b])\,\rightarrow\,L^{2}(\Omega)$는 등거리(isometry)임을 알 수 있다. 또한 다음의 정리로부터 내적을 보존함을 알 수 있다.

$f\in L^{2}([a,\,b])$이면, 다음이 성립한다. $$E(I(f)I(g))=\int_{a}^{b}{f(t)g(t)dt}$$ 특히 $f$와 $g$가 직교이면, 가우시안 확률변수 $I(f)$와 $I(g)$는 독립이다. 

증명: $I$의 선형성과 앞 정리의 결과에 의해 다음이 성립한다. $$\begin{align*}E(\{I(f)+I(g)\}^{2})&=E(\{I(f+g)\}^{2})=\int_{a}^{b}{\{f(t)+g(t)\}^{2}dt}\\&=\int_{a}^{b}{\{f(t)\}^{2}dt}+2\int_{a}^{b}{f(t)g(t)dt}+\int_{a}^{b}{\{g(t)\}^{2}dt}\end{align*}$$ 또한 $$\begin{align*}E(\{I(f)+I(g)\}^{2})&=E(\{I(f)\}^{2}+2I(f)I(g)+\{I(g)\}^{2})\\&=\int_{a}^{b}{\{f(t)\}^{2}dt}+2E(I(f)I(g))+\int_{a}^{b}{\{g(t)\}^{2}dt}\end{align*}$$ 따라서 식 $\displaystyle E(I(f)I(g))=\int_{a}^{b}{f(t)g(t)}dt(=\langle I(f),\,I(g)\rangle)$가 성립한다.

$f$를 유계변동함수라 하자. 그러면 거의 모든 $\omega\in\Omega$에 대해 다음이 성립한다. $$\left(\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}\right)(\omega)=(RS)\int_{a}^{b}{f(t)dB(t,\,\omega)}$$ 위의 식에서 좌변은 $f$의 위너적분, 우변은 $f$의 리만-스틸체스 적분이다. 

증명: 구간 $[a,\,b]$의 임의의 분할 $\Delta_{n}=\{t_{0},\,t_{1},\,...,\,t_{n-1},\,t_{n}\}$에 대하여 계단함수 $f_{n}$을 다음과 같이 정의하자. $$f_{n}=\sum_{i=1}^{n}{f(t_{i-1})\mathbb{1}_{[t_{i-1},\,t_{i})}}$$ $n\,\rightarrow\,\infty(\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0)$일 때 $f_{n}$이 $f$로 수렴함에 주목하자. 따라서 위너적분의 정의에 의해 $L^{2}(\Omega)$에서 다음이 성립한다. $$\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{f(t_{i-1})\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}}}$$ 반면에 $P(\Omega_{0})=1$인 적당한 $\Omega_{0}$에 대한 모든 $\omega\in\Omega_{0}$에 대해 $$\begin{align*}(RS)\int_{a}^{b}{f(t)dB(t,\,\omega)}&=f(b)B(b,\,\omega)-f(a)B(a,\,\omega)-\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{B(t_{i},\,\omega)\{f(t_{i})-f(t_{i-1})\}}}\\&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(f(b)B(b,\,\omega)-f(a)B(a,\,\omega)-\sum_{i=1}^{n}{B(t_{i},\,\omega)\{f(t_{i})-f(t_{i-1})\}}\right)}\end{align*}$$ $L^{2}(\Omega)$수렴은 거의 확실히(almost surely) 수렴하는 부분수열이 존재함을 뜻하고, 따라서 위너적분과 리만-스틸체스적분으로 수렴하는 부분수열 $\{f_{n}\}$을 선택해서 이 정리가 성립한다는 결론을 내릴 수 있다. 

$P(\Omega_{0})=1$인 적당한 $\Omega_{0}$에 대한 모든 $\omega\in\Omega_{0}$에 대해 정의된 리만적분 $\displaystyle\int_{0}^{1}{B(t,\,\omega)dt}$에 대한 확률분포를 찾자. 부분적분에 의해 $$\begin{align*}\int_{0}^{1}{B(t,\,\omega)dt}&=[B(t,\,\omega)(t-1)]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}{(t-1)dB(t,\,\omega)}\\&=(RS)\int_{0}^{1}{(1-t)dB(t,\,\omega)}\end{align*}$$ 이고 따라서 앞 정리에 의해 거의 모든 $\omega\in\Omega$에 대해 다음이 성립하고 $$\int_{0}^{1}{B(t,\,\omega)dt}=\left(\int_{0}^{1}{(1-t)dB(t,\,\omega)dB(t)}\right)(\omega)$$ 위의 식의 우변은 위너적분이다. 따라서 $\displaystyle\int_{0}^{1}{B(t)dt}$와 위너적분 $\displaystyle\int_{0}^{1}{(1-t)dB(t)}$는 같은 분포를 갖고, 평균은 0, 분산은 다음과 같다. $$E\left(\int_{0}^{1}{(1-t)dB(t)}\right)^{2}=\int_{0}^{1}{(1-t)^{2}dt}=\frac{1}{3}$$

참고자료: 

Introduction to Stochastic Integration, Hui-Hsiung, Kuo, Springer