[확률적분] 3. 조건부기댓값, 마팅게일

[확률적분] 3. 조건부기댓값, 마팅게일

$(\Omega,\,\mathcal{F},\,P)$를 고정된 확률공간이라 하자. $1\leq p<\infty$에 대하여 $L^{p}(\Omega)$를 $E(|X|^{p})<\infty$인 확률변수 $X$들의 공간이라고 하면, 이 공간은 다음의 노름을 갖는 바나흐공간이다. $$\|X\|_{p}=\left(E(|X|^{p})\right)^{\frac{1}{p}}$$ 특히 $L^{2}(\Omega)$는 힐베르트공간이고, 여기서는 노름이 $\|X\|_{1}=E(|X|)$인 $L^{1}(\Omega)$공간에 대해 다룰 것이고, 가끔 $\sigma-$체 $\mathcal{F}$를 강조하기 위해 $L^{1}(X,\,\mathcal{F})$로 나타낼 것이다. 

$\mathcal{G}$를 $\mathcal{F}$의 부분 $\sigma-$체, $X\in L^{1}(\Omega)$라 하고, $\mathcal{G}$에서의 실함수 $\mu$를 다음과 같이 정의하자. $$\mu(A)=\int_{A}{X(\omega)dP(\omega)},\,A\in\mathcal{G}$$ 이때 모든 $A\in\mathcal{G}$에 대하여 $\displaystyle|\mu(A)|\leq\int_{A}{|X|dP}\leq\int_{\Omega}{|X|dP}=E(|X|)$이고 $\mu$는 다음의 세 조건들을 만족한다.

(a) $\mu(\phi)=0$ 

(b) 서로소인 $A_{n}\in\mathcal{G}\,(n\in\mathbb{N})$들에 대해 $\displaystyle\mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_{n}}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{\mu(A_{n})}$ 

(c) $P(A)=0$이고 $A\in\mathcal{G}$이면, $\mu(A)=0$이다.  

조건 (a), (b)를 만족하는 함수 $\mu:\mathcal{G}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$을 $(\Omega,\,\mathcal{G})$에서의 부호측도(signed measure)라고 한다. 부호측도 $\mu$가 $P$에 대해 절대연속(absolutely continuous)이라는 것은 조건 (c)가 성립하는 것이다. 그러므로 앞에서 정의된 함수 $\mu$는 $(\Omega,\,\mathcal{G})$에서 부호측도이고, $P$에 대해 절대연속이다. 

부호측도 $\mu$에 라돈-니코딤 정리를 적용하면 $\mathcal{G}-$ 가측함수 $Y$를 얻고 $E(|Y|)<\infty$이며 다음이 성립한다. $$\mu(A)=\int_{A}{Y(\omega)dP(\omega)},\,\forall A\in\mathcal{G}$$ $\tilde{Y}$를 또다른 이러한 확률변수라 하자. 즉 $\mathcal{G}-$가측이고 $E(|\tilde{Y}|)<\infty$이며 다음이 성립한다. $$\mu(A)=\int_{A}{\tilde{Y}(\omega)dP(\omega)},\,\forall A\in\mathcal{G}$$ 그러면 모든 $A\in\mathcal{G}$에 대하여 $\displaystyle\int_{A}{(Y-\tilde{Y})dP}=0$이고 이것은 $Y=\tilde{Y}\,a.s.$를 뜻한다. 

앞의 결과들은 조건부기댓값이 존재하고 유일함을 보여준다. 

$X\in L^{1}(\Omega,\,\mathcal{F})$, $\mathcal{G}$를 $\mathcal{F}$의 부분 $\sigma-$체 라고 하자. $\mathcal{G}$에서의 $X$의 조건부기댓값(conditional expectation)은 다음의 조건들을 만족하는 유일한 확률변수 $Y$로 정의된다. 

(1) $Y$는 $\mathcal{G}-$가측이다. 

(2) 모든 $A\in\mathcal{G}$에 대하여 $\displaystyle\int_{A}{XdP}=\int_{A}{YdP}$이다. 

$\mathcal{G}$에서의 $X$의 조건부기댓값을 $E(X|\mathcal{G})$로 나타낸다. 주의할 점은 $\mathcal{G}-$가측성인 조건 (1)은 중대한 필수조건이다. 만약 조건 (1)이 없다면 조건 (2)를 만족하는 $Y=X$를 선택할 수 있으나 앞의 정의가 의미없게 된다(지수함수의 밑이 1인 경우와 비슷하다). 조건부기댓값 $E(X|\mathcal{G})$는 주어진 정보 $\mathcal{G}$에서 $X$의 최선의 추측을 나타낸다. 

$\mathcal{G}=\{\emptyset,\,\Omega\}$, $X\in L^{1}(\Omega)$, $Y=E(X|\mathcal{G})$라 하자. $Y$가 $\mathcal{G}-$가측이므로 $Y$는 상수이어야 한다. 즉 $Y=c$라 하자. 그러면 조건부기댓값의 정의의 조건 (2)에서 $A=\Omega$라고 하면 $$\int_{\Omega}{XdP}=\int_{\Omega}{YdP}=c$$ 이어야 하고 따라서 $c=E(X)$이고 $E(X|\mathcal{G})=E(X)$이다. 이 결론은 직관적으로 분명한데 $\sigma-$체 $\mathcal{G}=\{\phi,\,\Omega\}$에는 정보가 없기 때문에 $X$의 최선의 추측은 그 기댓값이다.  

$\displaystyle\Omega=\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_{n}}$을 서로소인 합집합이고 $P(A_{n})>0$, $\mathcal{G}=\sigma\{A_{1},\,A_{2},\,...\}$ 즉 $A_{n}$들로 생성되는 $\sigma-$체, $X\in L^{1}(\Omega)$, $Y=E(X|\mathcal{G})$라 하자. $Y$는 $\mathcal{G}-$가측이므로 상수이어야 하고, 이를 $A_{n}$에서 $c_{n}$이라 하자. 조건부기댓값의 정의의 조건 (2)에서 $A=A_{n}$이라고 하면 $c_{n}$이 상수이므로 $\displaystyle c_{n}P(A_{n})=\int_{A_{n}}{XdP}$이고 따라서 $E(X|\mathcal{G})$는 다음과 같다. $$E(X|\mathcal{G})=\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{1}{P(A_{n})}\int_{A_{n}}{XdP}\right)\mathbb{1}_{A_{i}}}$$ 여기서 $\mathbb{1}_{A_{i}}$는 $A_{n}$의 특성함수이다.   

$Z$를 이산확률변수로 값 $a_{1},\,a_{2},\,...$를 갖는다고 하자. $\sigma(Z)$를 $Z$에 의해 생성되는 $\sigma-$체라고 하면 $$\sigma(Z)=\sigma(A_{1},\,A_{2},\,...)\,(A_{n}=\{\omega\,|\,Z(\omega)=a_{n}\})$$ 이고 $X\in L^{1}(\Omega)$라고 하자. 그러면 앞에서처럼 다음과 같이 나타낼 수 있고, $$E(X|\sigma(z))\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{1}{P(A_{n})}\int_{A_{n}}{XdP}\right)\mathbb{1}_{A_{n}}}$$ 이 것을 $E(X|\sigma(Z))=\theta(Z)$로 나타낼 수 있으며 $\theta$는 다음과 같이 정의되는 함수이다. $$\theta(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{1}{P(Z=a_{n})}\int_{\{\omega\,|\,Z(\omega)=a_{n}\}}{XdP}&\,(x=a_{n})\\0&\,(x\notin\{a_{1},\,a_{2},\,...\})\end{cases}$$ 조건부기댓값 $E(X|\mathcal{G})$는 확률변수이고, $E(X)$는 실수이다.       

다음은 조건부기댓값의 성질들이다. 

(1) $E(E(X|\mathcal{G}))=E(X)$  

(2) $X$가 $\mathcal{G}-$가측이면, $E(X|\mathcal{G})=X$이다.   

(3) $X$와 $\mathcal{G}$가 독립이면, $E(X|\mathcal{G})=E(X)$이다.  

(4) $Y$가 $\mathcal{G}-$가측이고 $E(|XY|)<\infty$이면, $E(XY|\mathcal{G})=YE(X|\mathcal{G})$이다. 

(5) $\mathcal{H}$가 $\mathcal{G}$의 부분 $\sigma-$체 이면, $E(X|\mathcal{H})=E(E(X|\mathcal{G})|\mathcal{H})$이다.   

증명: 

(1): 정의에 의해 다음으로부터 성립한다. $$E(E(X|\mathcal{G}))=\int_{\Omega}{E(X|\mathcal{G})dP}=\int_{\Omega}{XdP}=E(X)$$ (2): $X$를 $\mathcal{G}-$가측이라 하자. $X$와 $E(X|\mathcal{G})$가 $\mathcal{G}-$가측이고, 모든 $G\in\mathcal{G}$에 대해 다음이 성립하면, $$\int_{G}{E(X|\mathcal{G})dP}=\int_{G}{XdP}$$ 이 두 피적분함수들은 a.s 같고, 따라서 $E(X|\mathcal{G})=X$이다. 

(3): $X$를 $\mathcal{G}$와 독립이라고 하자. 임의의 $G\in\mathcal{G}$에 대하여 $\mathbb{1}_{G}$와 $X$는 서로 독립인 확률변수이고 $$\int_{G}{XdP}=E(X\mathbb{1}_{G})=E(X)E(\mathbb{1}_{G})=\int_{G}{E(X)dP}$$ 이므로 $E(X|\mathcal{G})=E(X)$이고 이때 $E(X)$는 상수이다.   

(4): 적당한 $E\in\mathcal{G}$에 대해 $Y=\mathbb{1}_{G}$라고 하자. 그러면 임의의 $G\in\mathcal{G}$에 대해 $$\int_{G}{\mathbb{1}_{E}E(X|\mathcal{G})dP}=\int_{E\cap G}{E(X|\mathcal{G})dP}=\int_{E\cap G}{XdP}=\int_{G}{\mathbb{1}_{E}XdP}$$ 이므로 $\mathbb{1}_{E}E(X|\mathcal{G})$는 이 조건을 만족하고 따라서 $Y=\mathbb{1}_{E}\,(E\in\mathcal{G})$일 때 $E(XY|\mathcal{G})=YE(X|\mathcal{G})$가 성립한다. 일반적인 경우, $Y=Y^{+}-Y^{-}\,(Y^{+},\,Y^{-}\geq0)$이고, $Y^{+}$와 $Y^{-}$를 계단함수열의 극한으로 정의할 수 있으므로 이 성질은 일반적인 경우에 대해서도 성립한다.  

(5): 모든 $G\in\mathcal{G}$에 대하여 $\displaystyle\int_{G}{E(X|\mathcal{G})dP}=\int_{G}{XdP}$이고 모든 $H\in\mathcal{H}\subset\mathcal{G}$에 대하여 $\displaystyle\int_{H}{E(X|\mathcal{H})dP}=\int_{H}{XdP}$이므로 $H\in\mathcal{H}$에 대해 $\displaystyle\int_{H}{E(X|\mathcal{G})dP}=\int_{H}{E(X|\mathcal{H})dP}$이다. 따라서 $E(X|\mathcal{H})$는 $\mathcal{H}$에서의 $E(X|\mathcal{G})$의 조건부기댓값이고 $E(X|\mathcal{H})=E(E(X|\mathcal{G})|\mathcal{H})$이다.

조건부기댓값은 적분으로 정의되고, 적분의 성질로부터 다음의 성질들이 성립한다.

(6) $X,\,Y\in L^{1}(\Omega)$이고 $X\leq Y$이면, $E(X|\mathcal{G})\leq E(Y|\mathcal{G})$이다.   

(7) $|E(X|\mathcal{G})|\leq E(|X|\,|\mathcal{G})$ 

(8) 모든 $a,\,b\in\mathbb{R}$와 $X,\,Y\in L^{1}(\Omega)$이면, $E(aX+bY|\mathcal{G})=aE(X|\mathcal{G})+bE(Y|\mathcal{G})$이다.  

* 성질 (7)과 (8)로부터 조건부기댓값 $E(\cdot|\mathcal{G})$는 $L^{1}(\Omega,\,\mathcal{F})$에서 $L^{1}(\Omega,\,\mathcal{G})$로의 유계 선형연산자임을 알 수 있다. 

(9) (조건부 파투의 보조정리) $X_{n}(\geq0)\in L^{1}(\Omega)\,(n\in\mathbb{N})$, $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{X_{n}}\in L^{1}(\Omega)$라 하자. 그러면 다음의 부등식이 성립한다. $$E\left(\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf X_{n}}\mid\,\mathcal{G}\right)\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\inf E(X_{n}|\mathcal{G})}$$ (10) (조건부 단조수렴정리) $0\leq X_{1}\leq X_{2}\leq\cdots\leq X_{n}\leq\cdots$, $\displaystyle X=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{X_{n}}\in L^{1}(\Omega)$라 하자. 그러면 다음이 성립한다. $$E(X|\mathcal{G})=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{E(X_{n}|\mathcal{G})}$$ (11) (조건부 르베그 지배수렴정리) $|X_{n}|\leq Y$, $Y\in L^{1}(\Omega)$, $\displaystyle X=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{X_{n}}$이 a.s. 존재한다고 하자. 그러면 다음이 성립한다. $$E(X|\mathcal{G})=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{E(X_{n}|\mathcal{G})}$$ (12) (조건부 젠센 부등식) $X\in L^{1}(\Omega)$, $\phi$를 $\mathbb{R}$상의 볼록함수($x,\,y\in\mathbb{R}$와 $0\leq\lambda\leq1$에 대해 $\phi(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq\lambda\phi(x)+(1-\lambda)\phi(y)$), $\phi(X)\in L^{1}(\Omega)$라고 하자. 그러면 다음의 부등식이 성립한다. $$\phi(E(X|\mathcal{G}))\leq E(\phi(X)|\mathcal{G})$$ $f\in L^{2}([a,\,b])$라 하고 다음의 확률과정을 고려하자. $$M_{t}=\int_{a}^{t}{f(s)dB(s)}\,a\leq t\leq b$$ $M_{t}$는 마팅게일임을 보일 것이고, $T$를 실수 구간 또는 양의 정수들의 집합이라고 하겠다. 

$T$에서의 여과(filtration)는 $\sigma-$체의 증가집합족 $\{\mathcal{F}_{t}\,|\,t\in T\}$이다. 확률과정 $X_{t},\,t\in T$가 $\{\mathcal{F}_{t}\,|\,t\in T\}$에 적합(adapted)하다는 것은 모든 $t$에 대하여 $X_{t}$가 $\mathcal{F}_{t}-$가측인 것이다.

$\sigma-$체 $\mathcal{F}$가 완비(complete)라는 것은 $A\in\mathcal{F}$이고 $P(A)=0$이면, 임의의 $B\subset A$에 대해 $B\in\mathcal{F}$가 성립하는 것이다.  

$X_{t}$가 여과 $\{\mathcal{F}_{t}\}$에 적합한 확률과정이고 모든 $t\in T$에 대해 $E(|X_{t}|)<\infty$라 하자. $X_{t}$가 $\{\mathcal{F}_{t}\}$에 대해 마팅게일(martingale)이라는 것은 $T$에서의 임의의 $s\leq t$에 대해 다음이 성립하는 것이다. $$E(X_{t}|\mathcal{F}_{s})=X_{s}\,a.s.$$ 여기서의 여과는 구체적으로 정의되지 않았고, $\mathcal{F}_{t}=\sigma(X_{s},\,s\leq t)$라고 하면 된다. 

마팅게일의 개념은 평균이 0인 독립동일분포열 $\{X_{n}\}$들의 부분합의 열의 일반화이다. $S_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}$이라 하자. 그러면 $\{S_{n}\}$은 마팅게일이다. 

열마팅게일(submartingale)과 우마팅게일(supermartingale)은 마팅게일의 정의에서 각각 부등호 $\geq$, $\leq$로 대체한 것이다. 즉 $T$상의 임의의 $s\leq t$에 대해 $$\begin{align*}E(X_{t}|\mathcal{F}_{s})&\geq X_{s}\,a.s.\,(\text{submartingale})\\E(X_{t}|\mathcal{F}_{s})&\leq X_{s}\,a.s.\,(\text{supermartingale})\end{align*}$$ $\{X_{n}\}$을 유한한 기댓값을 갖는 독립동일분포 확률변수들의 열이라 하고 $S_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}$이라 하자. 그러면 $E(X_{1})\geq0$일 때 $\{S_{n}\}$은 열마팅게일이고, $E(X_{1})\leq0$일 때 $\{S_{n}\}$은 우마팅게일이다. 

브라운 운동 $B(t)$는 마팅게일이다. $\mathcal{F}_{t}=\sigma(B(s),\,s\leq t)$라 하자. 그러면 임의의 $s\leq t$에 대하여 $$E(B(t)|\mathcal{F}_{s})=E(B(t)-B(s)|\mathcal{F}_{s})+E(B(s)|\mathcal{F}_{s})$$ 이고 $B(t)-B(s)$는 $\mathcal{F}_{s}$와 독립이므로 $E(B(t)-B(s)|\mathcal{F}_{s})=E(B(t)-B(s))$이다. 그러나 임의의 $t$에 대하여 $E(B(t))=0$이므로 $E(B(t)-B(s)|\mathcal{F}_{s})=0$이고 반면에 $B(s)$는 $\mathcal{F}_{s}-$가측이므로 $E(B(s)|\mathcal{F}_{s})=B(s)$이다. 따라서 임의의 $s\leq t$에 대해 $E(B(t)|\mathcal{F}_{s})=B(s)$이고 이것은 $B(t)$가 마팅게일임을 입증한다. 

$f\in L^{2}([a,\,b])$라 하자. 그러면 확률과정 $$M_{t}=\int_{a}^{t}{f(s)dB(s)}\,a\leq t\leq b$$ 는 $\mathcal{F}_{t}=\sigma(B(s),\,s\leq t)$에 대해 마팅게일이다. 

증명: $M_{t}$의 조건부기댓값을 정의하기 위해 모든 $t\in[a,\,b]$에 대해 $E(|M_{t}|)<\infty$임을 보여야 한다. $$E(|M_{t}|^{2})=\int_{a}^{t}{|f(s)|^{2}ds}\leq\int_{a}^{b}{|f(s)|^{2}ds}$$ 이므로 $E(|M_{t}|)\leq\sqrt{E(|M_{t}|^{2})}<\infty$이다. 다음으로 모든 $s\leq t$에 대하여 $E(M_{t}|\mathcal{F}_{s})=M_{s}$가 성립함을 보여야 한다. $$M_{t}=M_{s}+\int_{s}^{t}{f(u)dB(u)}$$ 이고 $M_{s}$는 $\mathcal{F}_{s}-$마팅게일이다. 따라서 $$E(M_{t}|\mathcal{F}_{s})=M_{s}+E\left(\int_{s}^{t}{f(u)dB(u)}|\,\mathcal{F}_{s}\right)$$ 이고 따라서 임의의 $s\leq t$에 대해 다음이 성립함을 보이면 된다. $$E\left(\int_{s}^{t}{f(u)dB(u)}|\mathcal{F}_{s}\right)=0$$ $f$를 계단함수 $\displaystyle f=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\mathbb{1}_{[t_{i-1},\,t_{i})}}\,(t_{0}=s,\,t_{n}=t)$라 하자. 이 경우 $$\int_{s}^{t}{f(u)dB(u)}=\sum_{i=1}^{n}{a_{i}\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}}$$ $B(t_{i})-B(t_{i-1})\,(i=1,\,...,\,n)$들은 모두 $\sigma-$체 $\mathcal{F}_{s}$와 독립이고 따라서 모든 $i$에 대해 $E(B(t_{i})-B(t_{i-1})|\mathcal{F}_{s})=0$이므로 $f$가 계단함수일 때 성립한다.

다음으로 $f\in L^{2}([a,\,b])$라 하자. $L^{2}([a,\,b])$에서 $f$로 수렴하는 계단함수열 $\{f_{n}\}$을 고르자. 그러면 조건부 젠센 부등식에서 $\phi(x)=x^{2}$라 하면 다음의 부등식을 얻고 $$|E(X|\mathcal{F})|\leq E(X^{2}|\mathcal{F})$$ 이 부등식은 다음을 뜻한다. $$\left|E\left(\int_{s}^{t}{\{f_{n}(u)-f(u)\}dB(u)}\right)|\mathcal{F}_{s}\right|\leq E\left(\left(\int_{s}^{t}{\{f_{n}(u)-f(u)\}dB(u)}\right)^{2}|\mathcal{F}_{s}\right)$$ 다음으로 조건부기댓값의 성질 $E(E(X|\mathcal{F}))=E(X)$을 이용하면 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 다음이 성립한다. $$\begin{align*}E\left(\left|E\left(\int_{s}^{t}{\{f_{n}(u)-f(u)\}dB(u)}|\mathcal{F}_{s}\right)\right|^{2}\right)&\leq\int_{s}^{t}{\{f_{n}(u)-f(u)\}^{2}du}\\&\leq\int_{a}^{b}{\{f_{n}(u)-f(u)\}^{2}du}\\&\,\rightarrow\,0\end{align*}$$ 따라서 확률변수열 $\displaystyle E\left(\int_{s}^{t}{f_{n}(u)dB(u)}|\mathcal{F}_{s}\right)$은 $L^{2}(\Omega)$에서 $\displaystyle E\left(\int_{s}^{t}{f(u)dB(u)}|\mathcal{F}_{s}\right)$로 수렴한다. $L^{2}(\Omega)$에서 수렴하면 확률수렴하고, 거의 확실히 수렴하는 부분수열이 존재함을 뜻한다. 따라서 부분수열을 선택함으로써 확률 1로 다음이 성립한다고 할 수 있다. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{E\left(\int_{s}^{t}{f_{n}(u)dB(u)}|\mathcal{F}_{s}\right)}=E\left(\int_{s}^{t}{f(u)dB(u)}|\mathcal{F}_{s}\right)$$ $f_{n}$이 계단함수이므로 $\displaystyle E\left(\int_{s}^{t}{f_{n}(u)dB(u)}|\mathcal{F}_{s}\right)=0$이고 따라서 모든 $f\in L^{2}([a,\,b])$에 대해 다음이 성립한다. $$E\left(\int_{s}^{t}{f(u)dB(u)}|\mathcal{F}_{s}\right)=0$$

참고자료:

Introduction to Stochastic Integration, Hui-Hsiung Kuo, Springer 

Measure, Integral and Probability, Capinski, Kopp, Springer