[확률적분] 1. 적분과 랜덤워크

[확률적분] 1. 적분과 랜덤워크

적분

유한 닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 유계함수 \(f\)가 리만적분 가능하다(Riemann integrable)는 것은 다음의 극한이 존재하는 것이다.$$\int_{a}^{b}{f(t)dt}=\lim_{\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\tau_{i})(t_{i}-t_{i-1})}}$$여기서 \(\Delta_{n}=\{t_{0},\,t_{1},\,...,\,t_{n-1},\,t_{n}\}\)은 \([a,\,b]\)의 분할로 다음이 성립하고$$a=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n-1}<t_{n}=b$$\(\displaystyle\|\Delta_{n}\|=\max_{1\leq i\leq n}{(t_{i}-t_{i-1})}\), \(\tau_{i}\)는 구간 \([t_{i-1},\,t_{i}]\)에서의 한 점이다. \(f\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 연속이면, 이 함수는 리만적분 가능하다. 게다가 구간 \([a,\,b]\)에서 유계인 함수가 리만적분 가능할 필요충분조건은 르베그적분에 대해 거의(almost everywhere) 연속인 것이다. 

\(g\)를 유한 닫힌구간 \([a,\,b]\)에서 단조증가함수라고 하자. 구간 \([a,\,b]\)에서 정의된 유계함수 \(f\)가 \(g\)에 대해 리만-스틸체스 적분가능(Riemann-Stieltjes integrable)하다는 것은 다음의 극한이 존재하는 것이다.$$\int_{a}^{b}{f(t)dg(t)}=\lim_{\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\tau_{i})(g(t_{i})-g(t_{i-1}))}}$$구간 \([a,\,b]\)에서 연속인 함수는 구간 \([a,\,b]\)에서 단조증가하는 함수에 대해 리만-스틸체스 적분가능하다. 

\(f\)를 단조증가연속, \(g\)를 연속이라고 하자. 그러면 다음의 식을 정의하기 위한 부분적분을 적용할 수 있다.$$\int_{a}^{b}{f(t)dg(t)}=\left[f(t)g(t)\right]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}{g(t)df(t)}$$이 식은 다음의 질문을 유도한다.

구간 \([a,\,b]\)에서 연속인 임의의 함수 \(f\), \(g\)에 대해 리만-스틸체스 적분의 정의대로 적분 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(t)dg(t)}\)를 정의할 수 있는가? 

\(f=g\)인 특수한 경우를 고려하자. 그러면 리만-스틸체스 적분은 다음과 같게 된다.$$\int_{a}^{b}{f(t)df(t)}$$\(\Delta_{n}=\{t_{0},\,t_{1},\,...,\,t_{n}\}\)를 구간 \([a,\,b]\)의 분할, \(L_{n}\)과 \(R_{n}\)을 각각 \(\tau_{i}=t_{i-1}\), \(\tau_{i}=t_{i}\)에 대응되는 리만합으로 다음과 같다고 하자.$$\begin{align*}L_{n}&=\sum_{i=1}^{n}{f(t_{i-1})(f(t_{i})-f(t_{i-1}))}\\R_{n}&=\sum_{i=1}^{n}{f(t_{i})(f(t_{i})-f(t_{i-1}))}\end{align*}$$\(\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0\)일 때 식 \(\displaystyle\lim_{\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0}{L_{n}}=\lim_{\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0}{R_{n}}\)이 성립하는가? 다음의 식으로부터$$\begin{align*}R_{n}-L_{n}&=\sum_{i=1}^{n}{(f(t_{i})-f(t_{i-1}))^{2}}\\R_{n}+L_{n}&=\sum_{i=1}^{n}{(\{f(t_{i})\}^{2}-\{f(t_{i-1})\}^{2})}=\{f(b)\}^{2}-\{f(a)\}^{2}\end{align*}$$그러므로 \(R_{n}\)과 \(L_{n}\)은 다음과 같고$$\begin{align*}R_{n}&=\frac{1}{2}\left(\{f(b)\}^{2}-\{f(a)\}^{2}+\sum_{i=1}^{n}{(f(t_{i})-f(t_{i-1}))^{2}}\right)\\L_{n}&=\frac{1}{2}\left(\{f(b)\}^{2}-\{f(a)\}^{2}-\sum_{i=1}^{n}{(f(t_{i})-f(t_{i-1}))^{2}}\right)\end{align*}$$위 식에 있는 식 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{(f(t_{i})-f(t_{i-1}))^{2}}\)이 \(\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0\)일 때 극한이 존재하면 이것을 \([a,\,b]\)에서 \(f\)의 이차변동(quadratic variation)이라고 한다. 따라서 식 \(\displaystyle\lim_{\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0}{R_{n}}=\lim_{\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0}{L_{n}}\)이 성립할 필요충분조건은 함수 \(f\)의 이차변동이 0이 되는 것이다. 

다음의 두 가지 예를 살펴보자

1. \(f\)를 \(C^{(1)}\)함수라고 하자. 이것은 \(f'(t)\)가 연속함수임을 뜻한다. 그러면 평균값정리에 의해 \(\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0\)일 때 다음이 성립하고$$\begin{align*}|R_{n}-L_{n}|&=\sum_{i=1}^{n}{\{f'(t_{i}^{*})(t_{i}-t_{i-1})\}^{2}}\\&\leq\sum_{i=1}^{n}{\|f'\|^{2}_{\infty}(t_{i}-t_{i-1})^{2}}\\&\leq\|f'\|^{2}_{\infty}\|\Delta_{n}\|\sum_{i=1}^{n}{(t_{i}-t_{i-1})}\\&=\|f'\|^{2}_{\infty}\|\Delta_{n}\|(b-a)\,\rightarrow\,0\end{align*}$$여기서 \(t_{i-1}<t_{i}^{*}<t_{i}\), \(\|\cdot\|_{\infty}\)는 최소상계노름이다. 따라서 \(\displaystyle\lim_{\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0}{L_{n}}=\lim_{\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0}{R_{n}}\)이고 다음이 성립한다.$$\lim_{\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0}{L_{n}}=\lim_{\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0}{R_{n}}=\frac{1}{2}(\{f(b)\}^{2}-\{f(a)\}^{2})$$반면에 이러한 \(C^{(1)}\)함수 \(f\)에 대해 적분 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(t)df(t)}\)는 다음과 같이 정의할 수 있고$$\int_{a}^{b}{f(t)df(t)}=\int_{a}^{b}{f(t)f'(t)dt}$$미적분학의 기본정리로부터 다음이 성립한다.$$\int_{a}^{b}{f(t)df(t)}=\int_{a}^{b}{f(t)f'(t)dt}=\frac{1}{2}(\{f(b)\}^{2}-\{f(a)\}^{2})$$2. \(f\)를 다음의 조건을 만족하는 연속함수라 하자.$$|f(t)-f(s)|\approx|t-s|^{\frac{1}{2}}$$이 경우, 다음이 성립하고$$0\leq R_{n}-L_{n}\approx\sum_{i=1}^{n}{(t_{i}-t_{i-1})}=b-a$$따라서 \(a\neq b\)일 때 \(\displaystyle\lim_{\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0}{R_{n}}\neq\lim_{\|D_{n}\|\,\rightarrow\,0}{L_{n}}\)이다. 결과적으로 적분 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(t)df(t)}\)를 정의할 수 없다. 이 함수의 이차변동이 \(b-a\)임에 유의하자. 이 예로부터 다음의 질문을 할 수 있다.

다음의 조건을 만족하는 연속함수 \(f\)가 존재하는가?$$|f(t)-f(s)|\approx|t-s|^{\frac{1}{2}}$$이 질문에 대한 답을 찾기 위해서 랜덤워크와 적합한 극한이 필요하다. 

랜덤워크(random walk)는 무작위 걸음이다. 0에서 시작해 시간 \(\delta,\,2\delta,\,...\)에서 \(h\)와 \(-h\)로 점프(jump, 도약)하는 랜덤워크를 고려하자. 여기서 \(\delta\)와 \(h\)는 양수이다. \(\{X_{n}\}\)을 독립동일분포 확률변수들의 열로 다음을 만족한다고 하자.$$P(X_{j}=h)=P(X_{j}=-h)=\frac{1}{2}$$\(Y_{\delta,\,h}(0)=0\)이라 하고$$Y_{\delta,\,h}(n\delta)=X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n}$$이라 하자. \(t>0\) 에 대하여 \(Y_{\delta,\,h}(t)\)를 선형화를 함으로써 정의하자. 즉 \(n\delta<t<(n+1)\delta\)에 대하여 다음과 같이 정의하자.$$Y_{\delta,\,h}(t)=\frac{(n+1)\delta-t}{\delta}Y_{\delta,\,h}(n\delta)+\frac{t-n\delta}{\delta}Y_{\delta,\,h}((n+1)\delta)$$\(Y_{\delta,\,h}(t)\)를 시간 \(t\)에서의 랜덤워크의 위치라고 생각할 수 있다. 특히 \(X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n}\)은 시간 \(n\delta\)에서의 랜덤워크의 위치이다. 이때 다음의 질문을 얻는다.

\(\delta,\,h\,\rightarrow\,0\)일 때 랜덤워크 \(Y_{\delta,\,h}\)의 극한은 어떻게 되는가? 

이 질문에 대한 답을 찾기위해 \(Y_{\delta,\,h}(t)\)의 특성함수의 극한을 계산하자.$$\lim_{\delta,\,h\,\rightarrow\,0}{E(e^{i\lambda Y_{\delta,\,h}(t)})}$$여기서 \(\lambda\in\mathbb{R}\)는 고정된 수이다. \(t=n\delta\)라고 하면 \(\displaystyle n=\frac{t}{\delta}\)이고 다음을 얻는다.$$\begin{align*}E(e^{i\lambda Y_{\delta,\,h}(t)})&=\prod_{i=1}^{n}{E(e^{i\lambda X_{i}})}=(E(e^{i\lambda X_{1}})^{n})\\&=\left(\frac{1}{2}e^{i\lambda h}+\frac{1}{2}e^{-i\lambda h}\right)^{n}=(\cos(\lambda h))^{n}\\&=(\cos(\lambda h))^{\frac{t}{\delta}}\end{align*}$$분명히 고정된 \(\lambda\)와 \(t\)에 대해 극한 \(\displaystyle\lim_{\delta,\,h\,\rightarrow\,0}{e^{i\lambda Y_{\delta,\,h}(t)}}\)은 존재하지 않는다. 따라서 이 극한이 존재하기 위해서는 \(\delta\)와 \(h\)의 관계를 찾아야 한다. 

\(\displaystyle u=(\cos(\lambda h))^{\frac{1}{\delta}}\)라 하자. 그러면 \(\displaystyle\ln u=\frac{1}{\delta}\ln\cos(\lambda h)\)이고 충분히 작은 \(h\)에 대해 다음이 성립한다.$$\cos(\lambda h)\approx1-\frac{1}{2}\lambda^{2}h^{2}$$충분히 작은 \(x\)에 대해 \(\ln(1+x)\approx x\)이므로 따라서$$\ln\cos(\lambda h)\approx\ln\left(1-\frac{1}{2}\lambda^{2}h^{2}\right)\approx-\frac{1}{2}\lambda^{2}h^{2}$$그러므로 충분히 작은 \(\delta\)와 \(h\)에 대해 \(\displaystyle\ln u\approx-\frac{1}{2\delta}\lambda^{2}h^{2}\)이고 다음이 성립한다.$$u\approx e^{-\frac{1}{2\delta}\lambda^{2}h^{2}}$$그러면$$E(e^{i\lambda Y_{\delta,\,h}(t)})\approx e^{-\frac{1}{2\delta}t\lambda^{2}h^{2}}$$이고 특히 \(\delta\)와 \(h\)의 관계가 \(h^{2}=\delta\)이면, 다음이 성립한다.$$\lim_{\delta\,\rightarrow\,0}{E(e^{i\lambda Y_{\delta,\,h}(t)})}=e^{-\frac{1}{2}t\lambda^{2}}\,(\lambda\in\mathbb{R})$$따라서 랜덤워크 \(Y_{\delta,\,h}\)의 \(\delta,\,h\,\rightarrow\,0\)일 때의 극한은 \(h^{2}=\delta\)일 때 존재하고 다음과 같이 정리할 수 있다. 

\(Y_{\delta,\,h}(t)\)를 0에서 시작해 시간 \(\delta,\,2\delta,\,3\delta,\,...\)에서 \(h\)와 \(-h\)로 점프하는 랜덤워크라 하고 \(h^{2}=\delta\)라 하자. 그러면 \(t\geq0\)에 대해 극한$$B(t)=\lim_{\delta\,\rightarrow\,0}{Y_{\delta,\,h}(t)}$$은 이 분포에서 존재한다. 게다가 다음을 얻는다.$$E(e^{i\lambda B(t)})=e^{-\frac{1}{2}t\lambda^{2}}\,(\lambda\in\mathbb{R})$$앞의 결과들을 종합하면 확률과정 \(B(t)\)가 다음의 성질들을 가짐을 기대할 수 있다.

(1) 각 시간에서 \(Y_{\delta,\,h}\)의 기울기의 절댓값은 \(\delta\,\rightarrow\,0\)일 때 \(\frac{h}{\delta}=\frac{1}{\sqrt{\delta}}\,\rightarrow\,\infty\)이다. 따라서 모든 브라운 경로(Brownian path) \(B(t)\)는 어느 점에서 미분가능하지 않다. \(\delta=|t-s|\)라고 하면 다음이 성립한다.$$|B(t)-B(s)|\approx\frac{1}{\sqrt{\delta}}|t-s|=|t-s|^{\frac{1}{2}}$$(2) 거의 모든 \(B(t)\)의 표본경로들은 연속이다. 

(3) \(t\)에 대하여 \(B(t)\)는 평균이 0이고, 분산이 \(t\)인 가우시안 확률변수이다. 이것은 \(E(e^{i\lambda B(t)})=e^{-\frac{1}{2}t\lambda^{2}}\)로부터 얻은 결과이다.  

(4) 확률과정 \(B(t)\)는 독립증분(independent increments)을 갖는다. 즉 임의의 \(0\leq t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{n}\)에 대해 확률변수$$B(t_{1}),\,B(t_{2})-B(t_{1}),\,...,\,B(t_{n})-B(t_{n-1})$$들은 독립이다. 

위의 성질 (2), (3), (4)는 브라운 운동(Brownian motion)이라고 불리는 기본적인 확률과정을 특징짓는다. 

참고자료:

Introduction to Stochastic Integration, Hui-Hsiung Kuo, Springer