[확률적분] 4.확률적분의 배경, 브라운운동의 여과

[확률적분] 4.확률적분의 배경, 브라운운동의 여과

\(B(t)\)를 브라운 운동, \(f(t)\)를 \(L^{2}([a,\,b])\)에서 결정적인(\(\omega\)의 영향을 받지않는) 함수라 하자. 다음의 확률과정은 마팅게일이고$$M_{t}=\int_{a}^{t}{f(s)dB(s)},\,a\leq t\leq b$$다음과 같은 문제에 의문을 갖게 된다.

확률과정 \(f(t,\,\omega)\)에 대한 확률적분 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(t,\,\omega)dB(t,\,\omega)}\)형태로 정의된 다음의 확률과정은 마팅게일인가?$$M_{t}=\int_{a}^{t}{f(s,\,\omega)dB(s,\,\omega)},\,a\leq t\leq b$$이 질문에 대한 답을 얻기 위해 \(f(t)=B(t)\)라 하여 질문의 적분을 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{B(t)dB(t)}\)로 나타나게 하자. 그러면$$\begin{align*}L_{n}&=\sum_{i=1}^{n}{B(t_{i-1})\{B(t_{i}-B(t_{i-1}))\}}\\R_{n}&=\sum_{i=1}^{n}{B(t_{i})\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}}\end{align*}$$이고 다음이 성립한다.$$R_{n}-L_{n}=\sum_{i=1}^{n}{\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}^{2}}$$따라서 극한 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{(R_{n}-L_{n})}\)이 존재한다면, 브라운 운동 \(B(t)\)의 이차변동이다. 다음의 정리는 \(B(t)\)의 변동이 심해서 이차변동이 0이 아님을 보여주는 정리이다. 

\(\Delta_{n}=\{a=t_{0},\,t_{1},\,...,\,t_{n-1},\,t_{n}\}\)을 유한구간 \([a,\,b]\)의 분할이라 하자. 그러면 \(L^{2}(\Omega)\)에서 \(\displaystyle\|\Delta_{n}\|=\max_{1\leq i\leq n}{(t_{i}-t_{i-1})}\,\rightarrow\,0\)일 때 다음이 성립한다.$$\sum_{i=1}^{n}{\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}^{2}}\,\rightarrow\,b-a$$다음의 두 사실에 주목하자: (1) \(L^{2}(\Omega)\)수렴하면 확률수렴한다. (2) 수열이 확률수렴하면, 적당한 부분수열이 존재해서 a.s.수렴한다. 따라서 \(\{\Delta_{n}\}\)의 부분수열 \(\{\tilde{\Delta}_{n}\}\)이 존재해서 \(\|\tilde{\Delta}_{n}\|\,\rightarrow\,0\)일 때, 브라운 운동의 이차변동이 a.s. 수렴한다. 실제로 \(\{\Delta_{n}\}\)이 다음 조건을 만족하면$$\Delta_{1}\subset\Delta_{2}\subset\cdots\Delta_{n}\subset\cdots$$브라운 운동의 이차변동의 a.s. 수렴이 보장된다. 또한 \(\{\Delta_{n}\}\)이 조건 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\|\Delta_{n}\|}<\infty\)이면, a.s.수렴은 보장된다.

증명: \(\displaystyle b-a=\sum_{i=1}^{n}{(t_{i}-t_{i-1})}\)이고 여기서$$\Phi_{n}=\sum_{i=1}^{n}{(\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}^{2}-(t_{i}-t_{i-1}))}=\sum_{i=1}^{n}{X_{i}}$$여기서 \(X_{i}=\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}^{2}-(t_{i}-t_{i-1})\)이다. 그러면$$\Phi_{n}^{2}=\sum_{i,\,j=1}^{n}{X_{i}X_{j}}$$이고 \(i\neq j\)에 대하여 \(E(X_{i}X_{j})=0\)인데 그 이유는 \(B(t)\)가 독립증분을 갖고 \(E(\{B(t)-B(s)\}^{2})=t-s\)가 성립하기 때문이다. 반면에 \(E(\{B(t)-B(s)\}^{4})=3(t-s)^{2}\)이고 \(\Phi_{n}^{2}\)식에서 \(i=j\)일 때 다음 식이 성립한다.$$\begin{align*}E(X_{i}^{2})&=E(\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}^{4}-2(t_{i}-t_{i-1})\{B(t_{i}-B(t_{i-1})\}+(t_{i}-t_{i-1})^{2})\\&=3(t_{i}-t_{i-1})^{2}-2(t_{i}-t_{i-1})^{2}+(t_{i}-t_{i-1})^{2}\\&=2(t_{i}-t_{i-1})^{2}\end{align*}$$그러므로 \(\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0\)일 때 다음이 성립하고$$\begin{align*}E(\Phi_{n}^{2})=\sum_{i=1}^{n}{2(t_{i}-t_{i-1})^{2}}\leq2\|\Delta_{n}\|\sum_{i=1}^{n}{(t_{i}-t_{i-1})}=2(b-a)\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0\end{align*}$$이다. 이것은 \(\Phi_{n}\)이 \(L^{2}(\Omega)\)가 0으로 수렴함을 뜻하고 따라서 식 \(\Phi_{n}\)에 의해 브라운 운동의 이차변동이 \(b-a\)로 수렴한다. 

이 정리를 적용해서 \(L^{2}(\Omega)\)에서 다음의 결과를 얻고$$\lim_{\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0}{(R_{n}-L_{n})}=b-a$$따라서 \(\displaystyle\lim_{\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0}{R_{n}}\neq\lim_{\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0}{L_{n}}\)인데 각각의 극한은 어떻게 될까? 이 답을 찾기 위해 다음에 주목하자.$$\begin{align*}R_{n}+L_{n}&=\sum_{i=1}^{n}{\{B(t_{i})+B(t_{i-1})\}\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}}\\&=\sum_{i=1}^{n}{(\{B(t_{i})\}^{2}-\{B(t_{i-1})\}^{2})}=\{B(t_{n})\}^{2}-\{B(t_{0})\}^{2}\\&=\{B(b)\}^{2}-\{B(a)\}^{2}\end{align*}$$위의 식으로부터 \(R_{n}\)과 \(L_{n}\)을 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\begin{align*}R_{n}&=\frac{1}{2}\left(\{B(b)\}^{2}-\{B(a)\}^{2}+\sum_{i=1}^{n}{\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}^{2}}\right)\\L_{n}&=\frac{1}{2}\left(\{B(b)\}^{2}-\{B(a)\}^{2}-\sum_{i=1}^{n}{\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}^{2}}\right)\end{align*}$$\(R_{n}\)과 \(L_{n}\)에 대해 \(L^{2}(\Omega)\)에서의 극한을 적용하면 다음의 결과를 얻는다.$$\begin{align*}\lim_{\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0}{R_{n}}&=\frac{1}{2}(\{B(b)\}^{2}-\{B(a)\}^{2}+(b-a))\\ \lim_{\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0}{L_{n}}&=\frac{1}{2}(\{B(b)\}^{2}-\{B(a)\}^{2}-(b-a))\end{align*}$$위의 두 식 중에서 어떤 게 적분 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{B(t)dB(t)}\)과 같아야 하는가? 말 그대로, 어느 끝 점(왼쪽 또는 오른쪽)을 선택해야 적분이 되는가? 

이 질문에 답을 하기 위해 \(L_{n}\)과 \(R_{n}\)에 대한 \(L^{2}(\Omega)\)상의 극한식에서 \(a=0\), \(b=t\)라 하고, 다음의 확률과정을 정의하자.$$R(t)=\frac{1}{2}(\{B(t)\}^{2}+t),\,L(t)=\frac{1}{2}(\{B(t)\}^{2}-t)$$\(E(R(t))=t\)이므로 \(R(t)\)는 마팅게일이 아닌데 그 이유는 \(E(M(t))\)가 임의의 마팅게일 \(M(t)\)에 대해 상수이어야 하기 때문이다. 반면에 \(L(t)\)는 마팅게일인데 다음과 같이 보일 수 있다. \(\mathcal{F}_{t}=\sigma(B(s),\,s\leq t)\)라 하자. 그러면 임의의 \(s\leq t\)에 대해 다음이 성립한다.$$E(L(t)|\mathcal{F}_{s})=\frac{1}{2}E(\{B(t)\}^{2}|\mathcal{F}_{s})-\frac{1}{2}t$$조건부기댓값은 다음의 성질들을 갖는다.      

(a) \(X\)와 \(\mathcal{F}\)가 독립이면, \(E(X|\mathcal{F})=E(X)\)이다. 

(b) \(X\)가 \(\mathcal{F}-\)가측이면, \(E(XY|\mathcal{F})=XE(Y|\mathcal{F})\)이고, 특히 \(E(X|\mathcal{F})=X\)이다.  

모든 \(u\leq s\)에 대하여 \(B(t)-B(s)\)와 \(B(u)\)는 독립이므로 \(B(t)-B(s)\)와 \(\mathcal{F}_{s}\)는 독립이다. 그러므로$$\begin{align*}E(\{B(t)\}^{2}|\mathcal{F}_{s})&=E(\{B(t)-B(s)+B(s)\}^{2}|\mathcal{F}_{s})\\&=E(\{B(t)-B(s)\}^{2}+2B(s)\{B(t)-B(s)\}+\{B(s)\}^{2}|\mathcal{F})\\&=E(\{B(t)-B(s)\}^{2})+2B(s)E(\{B(t)-B(s)\})+\{B(s)\}^{2}\\&=t-s+\{B(s)\}^{2}\end{align*}$$따라서 \(E(\{B(t)\}^{2}|\mathcal{F}_{s})=t-s+\{B(s)\}^{2}\)이고, 모든 \(s\leq t\)에 대하여 다음 식이 성립한다.$$E(L(t)|\mathcal{F}_{s})=L(s)$$이 식은 \(L(t)\)가 마팅게일임을 뜻하고, 다음의 중요한 결론을 내릴 수 있다. 

확률적분 \(\displaystyle\int_{a}^{t}{f(s)dB(s)}\)를 정의하기 위해 마팅게일 성질을 얻기 원하면, 왼쪽 끝 점을 선택해야 한다.  

게다가 다음의 예에서$$X(t)=\int_{0}^{t}{B(1)dB(s)},\,0\leq t\leq1$$직관적으로 \(X(t)=B(1)B(t)\)임을 알 수 있고, \(E(B(1)B(t))=\min\{1,\,t\}=t\)는 상수가 아니므로 \(X(t)\)는 마팅게일이 아니다. 따라서 마팅게일 과정을 얻기 위해서라면 \(X(t)\)는 정의하고자 예상한 것이 아니다. 이러한 단순적분이 정의되지 않는(마팅게일을 얻고자 한 이유) 이유는 피적분함수 \(B(1)\)이 여과 \(\sigma(B(s),\,s\leq t),\,0\leq t\leq1\)에 적합하지 않기 때문이다. 따라서 마팅게일 성질을 얻기 위한 피적분함수의 조건은 다음과 같다.

확률적분 \(\displaystyle\int_{a}^{t}{f(s)dB(s)}\)가 정의되기 위해 마팅게일 성질을 얻으려면 피적분함수가 여과 \(\{\mathcal{F}_{t}\}\)에 적합해야 한다. 

일반적으로 \(\{\mathcal{F}_{t}\}\)가 브라운 운동에 의한 여과보다 더 크다고 할 것이다. 즉, 모든 \(t\)에 대하여 \(\mathcal{F}_{t}\supset\sigma(B(s),\,s\leq t)\)

확률과정 \(\displaystyle X_{t}=\int_{a}^{t}{f(s)dB(s)},\,a\leq t\leq b\)는 여과 \(\mathcal{F}_{t}^{B}=\sigma(B(s),\,s\leq t)\)에 대해 마팅게일이다. \(B(t)\)는 증대집합족이고 이 성질은 \(B(t)\)가 여과 \(\{\mathcal{F}_{t}^{B}\}\)에 대해 마팅게일임을 뜻한다. 

\(W(t)\,(t\geq0)\)가 \(\{\mathcal{F}_{t}\}-\)적합한 확률과정으로 임의의 \(s\leq t\)에 대해 \(W(t)-W(s)\)가 \(\mathcal{F}_{s}\)와 독립이라 하자. 그러면 확률과정 \(W(t)\)는 독립증분을 갖는다. 

증명: \(0\leq t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{n}\)이라 하자. 임의의 \(\lambda_{k}\in\mathbb{R}(1\leq k\leq n)\)에 대하여 가정과 조건부기댓값의 성질들에 의해 다음이 성립한다.$$\begin{align*}E\left(e^{i\sum_{k=1}^{n}{\lambda_{k}\{W(t_{k})-W(t_{k-1})\}}}\right)&=E\left(E\left(e^{i\sum_{k=1}^{n}{\lambda_{k}\{W(t_{k})-W(t_{k-1})\}}}|\mathcal{F}_{t_{n-1}}\right)\right)\\&=E\left(e^{i\sum_{k=1}^{n-1}{\lambda_{k}\{W(t_{k})-W(t_{k-1})\}}}E\left(e^{i\lambda_{n}\{W(t_{n})-W(t_{n-1})\}}|\mathcal{F}_{t_{n-1}}\right)\right)\\&=E\left(e^{i\lambda_{n}\{W(t_{n})-W(t_{n-1})\}}\right)E\left(e^{i\sum_{k=1}^{n-1}{\lambda_{k}\{W(t_{k})-W(t_{k-1})\}}}\right)\end{align*}$$여기서 \(t_{0}=0\)이다. 이 과정을 반복하면 귀납법으로부터 다음의 등식이 성립한다.$$E\left(e^{i\sum_{k=1}^{n}{\lambda_{k}\{W(t_{k})-W(t_{k-1})\}}}\right)=\prod_{k=1}^{n}{E\left(e^{i\lambda_{k}\{W(t_{k})-W(t_{k-1})\}}\right)}$$위의 방정식이 성립할 필요충분조건은 확률변수 \(W(t_{k})-W(t_{k-1})\,(1\leq k\leq n)\)가 독립인 것이다. 따라서 확률과정 \(W(t)\)는 독립증분을 갖는다. 

\(B(t)\)를 브라운 운동의 조건 (1), (2), (4)를 만족하는 확률과정이라 하고, 여과 \(\{\mathcal{F}_{t},\,t\geq0\}\)가 존재해서 \(B(t)\)가 앞 정리의 가정들을 만족한다고 하자. 즉 \(B(t)\)는 \(\{\mathcal{F}_{t}\}-\)적합이고, 임의의 \(s\leq t\)에 대해 \(B(t)-B(s)\)는 \(\mathcal{F}_{s}\)와 독립이라고 하자. 그러면 확률과정 \(B(t)\)는 독립증분을 갖는다. 즉 브라운 운동의 조건 (3)을 만족한다. 그러므로 \(B(t)\)는 브라운 운동이고 따라서 \(B(t)\)가 (1), (2), (4)를 만족하면, 여과 \(\{\mathcal{F}_{t},\,t\geq0\}\)에 대한 브라운 운동이라고 한다.

\(B(t)\)를 여과 \(\{\mathcal{F}_{t},\,t\geq0\}\)에 대한 브라운 운동, \(\{\mathcal{G}_{t},\,t\geq0\}\)를 다른 여과로 모든 \(t\geq0\)에 대해 \(\mathcal{F}_{t}\subset\mathcal{G}_{t}\)라 하자. 일반적으로 \(B(t)\)는 \(\{\mathcal{G}_{t},\,t\geq0\}\)에 대한 브라운운동이라고 할 수 없다. 그 이유는 다음과 같다.

\(B(t)\)를 브라운 운동이라 하자. 그러면 \(B(t)\)는 여과 \(\mathcal{F}_{t}^{B}=\sigma(B(s),\,s\leq t)\)에 대해 브라운 운동이다. 여과 \(\{\mathcal{G}_{t},\,t\geq0\}\)에 대해 \(\mathcal{G}_{t}\)가 \(B(1)\)과 \(\mathcal{F}_{t}^{B}\,(t\geq0)\)에 의해 생성된 \(\sigma-\)체라 하자. 그러면 \(B(t)\)는 여과 \(\{\mathcal{G}_{t},\,t\geq0\}\)에 대해 브라운 운동이 아니다. 이를 확인하기 위해 임의의 \(0<t<1\)에 대해 다음이 성립한다.$$E(B(1)|\mathcal{G}_{t})=B(1)\neq B(t)$$따라서 \(B(t)\)는 여과 \(\{\mathcal{G}_{t},\,t\geq0\}\)에 대해 마팅게일이 아니고 따라서 \(B(t)\)는 여과 \(\{\mathcal{G}_{t},\,t\geq0\}\)에 대한 브라운 운동이 아니다. 

반면에 여과 \(\{\mathcal{H}_{t},\,t\geq0\}\)가 \(\{\mathcal{F}_{t}^{B},\,t\geq0\}\)과 독립이라 하자. 즉 \(\mathcal{H}_{t}\)와 \(\mathcal{F}_{s}^{B}\)는 모든 \(t\)와 \(s\)에 대해 독립이다. \(\mathcal{F}_{t}\)를 \(\mathcal{H}_{t}\)와 \(\mathcal{F}_{t}^{B}\,(t\geq0)\)에 의해 생성되는 \(\sigma-\)체라 하자. 이것은 \(B(t)\)가 앞 정리의 가정들을 만족한다는 것이고 따라서 \(B(t)\)는 여전히 여과 \(\{\mathcal{F}_{t},\,t\geq0\}\)에 대해 브라운 운동이고, 이 여과는 \(\{\mathcal{F}_{t}^{B},\,t\geq0\}\)보다 큰 여과이다. 

참고자료:

Introduction to Stochastic Integration, Hui-Hsiung Kuo, Springer