[확률적분] 6. 몇 가지 확률적분의 예, 둡의 열마팅게일 부등식

[확률적분] 6. 몇 가지 확률적분의 예, 둡의 열마팅게일 부등식

1. $\displaystyle\int_{a}^{b}{B(t)dB(t)}=\frac{1}{2}(\{B(b)\}^{2}-\{B(a)\}^{2}-(b-a))$ 

$\displaystyle L_{n}=\sum_{i=1}^{n}{B(t_{i-1})\{B(t_{i}-B(t_{i-1}))\}}$이라고 하면 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 다음 등식이 성립한다. $$\int_{a}^{b}{B(t)dB(t)}=\frac{1}{2}(\{B(b)\}^{2}-\{B(a)\}^{2}-(b-a))$$ 이 식이 앞에서 다루었던 확률적분의 정의를 이용하여 구한 것과 같은가?라는 의문이 든다. $E(B(t)B(s))=\min\{t,\,s\}$는 $t$와 $s$의 연속함수이고 구간 $[a,\,b]$의 분할 $\Delta_{n}=\{t_{0},\,t_{1},\,...,\,t_{n-1},\,t_{n}\}$에 대해 확률과정 $f_{n}(t,,\,\omega)$를 다음과 같이 정의하자. $$f_{n}(t,\,\omega)=B(t_{i-1},\,\omega),\,t_{i-1}<t\leq t_{i}$$ 그러면 확률적분 $\displaystyle\int_{a}^{b}{B(t)dB(t)}$는 다음과 같이 $L^{2}(\Omega)$에서의 극한으로 나타낼 수 있고, $$\int_{a}^{b}{B(t)dB(t)}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{I(f_{n})}$$ 여기서 $I(f_{n})$은 다음과 같다. $$I(f_{n})=\sum_{i=1}^{n}{B(t_{i-1})\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}}$$ 이것은 $L_{n}$의 식과 같고 따라서 확률적분의 정의를 이용해 구한 것과 같다. 

2. $\displaystyle\int_{a}^{b}{\{B(t)\}^{2}dB(t)}=\frac{1}{3}(\{B(b)\}^{3}-\{B(a)\}^{3})-\int_{a}^{b}{B(t)dt}$

위 식의 우변에 있는 적분은 거의 모든 $\omega\in\Omega$에 대한 $B(t,\,\omega)$의 리만적분이고, 다음이 성립한다. $$\begin{align*}E(\{B(t)\}^{2}\{B(s)\}^{2})&=E(\{(B(t)-B(s))+B(s)\}^{2}\{B(s)\}^{2})\\&=E(\{(B(t)-B(s))^{2}+2B(s)(B(t)-B(s))+(B(s))^{2}\}\{B(s)\}^{2})\\&=(t-s)s+3s^{2}\\&=ts+2s^{2}\end{align*}$$ 이것은 $E(\{B(t)\}^{2}\{B(s)\}^{2})$가 $t$와 $s$에 대한 연속함수임을 보여주고, 따라서 구간 $[a,\,b]$의 분할 $\Delta_{n}=\{t_{0},\,t_{1},\,...\,t_{n-1},\,t_{n}\}$에 대해 확률과정 $f_{n}(t,\,\omega)$를 다음과 같이 정의하면 $$f_{n}(t,\,\omega)=B(t_{i-1},\,\omega),\,t_{i-1}<t\leq t_{i-1}$$ 확률적분 $\displaystyle\int_{a}^{b}{\{B(t)\}^{2}dB(t)}$는 다음과 같고 $$\int_{a}^{b}{\{B(t)\}^{2}dB(t)}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{i=1}^{n}{\{B(t_{i-1})\}^{2}\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}}}$$ 여기서의 급수는 $L^{2}(\Omega)$에서의 수렴이다. 이때 다음의 등식이 성립하고 $$\begin{align*}&3\sum_{i=1}^{n}{\{B(t_{i-1})\}\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}}\\&=\{B(b)\}^{3}-\{B(a)\}^{3}-\sum_{i=1}^{n}{\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}^{3}}-3\sum_{i=1}^{n}{B(t_{i-1})\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}^{2}}\end{align*}$$ 식 $E(|B(t)-B(s)|^{6})=15|t-s|^{3}$으로부터 다음의 부등식이 성립하고 $$\begin{align*}E\left(\left|\sum_{i=1}^{n}{\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}^{3}}\right|^{2}\right)&=15\sum_{i=1}^{n}{(t_{i}-t_{i-1})^{3}}\\&\leq\|\Delta_{n}\|^{2}(b-a)\,\rightarrow\,0\end{align*}$$ 이것은 다음과 같이 위 등식의 우변의 첫 번째 급수가 $L^{2}(\Omega)$에서 0으로 수렴함을 뜻한다. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}^{3}}=0$$ 또한 다음의 부등식이 성립하고 $$\begin{align*}&E\left(\left|\sum_{i=1}^{n}{B(t_{i-1})\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}^{2}}-\sum_{i=2}^{n}{B(t_{i-1})(t_{i}-t_{i-1})}\right|^{2}\right)\\&=\sum_{i=1}^{n}{2t_{i-1}(t_{i}-t_{i-1})}\leq2b(b-a)\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0\end{align*}$$ 이것은 다음과 같이 위 등식의 우변의 두 번째 급수가 $\displaystyle\int_{a}^{b}{B(t)dt}$로 수렴함을 뜻한다. 따라서 다음의 결과를 얻는다. $$\int_{a}^{b}{\{B(t)\}^{3}dB(t)}=\frac{1}{3}(\{B(b)\}^{3}-\{B(a)\}^{3})-\int_{a}^{b}{B(t)dt}$$ 이 결과를 다음과 같이 나타내자. $$X_{t}=\int_{0}^{t}{\{B(u)\}^{2}dB(u)}=\frac{1}{3}\{B(t)\}^{3}-\int_{0}^{t}{B(u)du},\,t\geq0$$ $\{B(t)\}^{3}$을 다음과 같이 나타낼 수 있고, $$\{B(t)-B(s)\}^{3}+3\{B(t)-B(s)\}^{2}B(s)+3\{B(t)-B(s)\}\{B(s)\}^{2}+\{B(s)\}^{3}$$ 이 식으로부터 $\{B(t)\}^{3}$의 조건부기댓값은 다음과 같다. $$E(\{B(t)\}^{3}|\mathcal{F}_{s})=3(t-s)B(s)+\{B(s)\}^{3}$$ 게다가 다음의 등식이 성립하므로 $$\begin{align*}E\left(\int_{0}^{t}{B(u)du}|\right)&=\int_{0}^{s}{B(u)du}+\int_{s}^{t}{E(B(u)|\mathcal{F}_{s})du}\\&=\int_{0}^{s}{B(u)du}+B(s)(t-s)\end{align*}$$ 다음의 등식이 성립하고 $$\begin{align*}E(X_{t}|\mathcal{F}_{s})&=\left((t-s)B(s)+\frac{1}{3}\{B(s)\}^{3}\right)-\left(\int_{0}^{s}{B(u)du}+B(s)(t-s)\right)\\&=\frac{1}{3}\{B(s)\}^{3}-\int_{0}^{s}{B(u)du}\\&=X_{s}\end{align*}$$ 따라서 $E(X_{t}|\mathcal{F}_{s})=X_{s}$이므로, $X_{t}$는 마팅게일이다.

$X_{t}\,(a\leq t\leq b)$를 마팅게일 확률과정, $\varphi$를 볼록함수이고 $\varphi(X_{t})$가 $t\in[a,\,b]$에 대해 적분가능하다고 하자. 그러면 조건부 젠센 부등식에 의해 $\varphi(X_{t})$는 열마팅게일이다. 

확률과정 $Y(t)\,(a\leq t\leq b)$가 우연속(right continuous)이라는 것은 거의 모든 표본경로들이 $[a,\,b]$에서 연속인 것이다.  

둡의 열마팅게일 부등식(Doob submartingale inequality)

$Y(t),\,(a\leq t\leq b)$를 우연속 열마팅게일이라 하자. 그러면 임의의 $\epsilon>0$에 대해 다음의 부등식이 성립한다. $$P\left(\sup_{a\leq t\leq b}{Y(t)}\geq\epsilon\right)\leq\frac{1}{\epsilon}B(Y(b)^{+})$$ 여기서 $Y(b)^{+}$는 $Y(b)$의 양의 부분, 즉 $Y(b)^{+}=\max\{Y(b),\,0\}$이고, 특히 $X_{t}$가 우연속 마팅게일이면, 임의의 $\epsilon>0$에 대해 다음의 부등식이 성립한다. $$P\left(\sup_{a\leq t\leq b}{|X_{t}|}\geq\epsilon\right)\leq\frac{1}{\epsilon}E(|X_{b}|)$$ 증명은 생략하겠다. 

$(C,\,\mu)$를 위너공간이라 하자. 이 공간에서의 브라운 운동 $B(t,\,\omega)=\omega(t),\,(0\leq t\leq 1,\,\omega\in C)$는 마팅게일이다. $X_{t}=B(t)$에 둡의 열마팅게일 부등식을 적용하면 다음의 부등식을 얻는다. $$P\left(\sup_{0\leq t\leq1}{|B(t)|\geq\epsilon}\right)\leq\frac{1}{\epsilon}E(|B(1)|)$$ 위의 부등식의 좌변을 다음과 같이 위너측도 $\mu$로 나타낼 수 있고, $$P\left(\sup_{0\leq t\leq1}{|B(t)|}\geq\epsilon\right)=\mu\left(\sup_{0\leq t\leq1}{|\omega(t)|}\geq\epsilon\right)=\mu(\{\omega\in C\,|\,\|\omega\|_{\infty}\geq\epsilon\})$$ $B(1)$은 정규분포를 따르는 확률변수이므로 $$E(|B(1)|)=\int_{\mathbb{R}}{|x|\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}dx}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}$$ 이고 따라서 다음의 부등식을 얻는다. $$\mu(\{\omega\in C\,|\,\|\omega\|_{\infty}\geq\epsilon\})\leq\frac{1}{\epsilon}\sqrt{\frac{2}{\pi}}$$ 이 부등식은 중심이 0이고 반지름이 $\epsilon$인 공의 바깥영역에 대한 위너측도값을 추정할 수 있게 한다. 

참고자료:

Introduction to Stochastic Integration, Hsi-Hsiung Kuo, Springer