[확률적분] 9. 일반적인 확률적분(2)
f∈Lad(Ω,L2([a,b]))라 하자. 그러면 L2ad([a,b]×Ω)상의 계단 확률과정열 {fn(t)}가 존재해서 다음이 성립한다.lim증명: 앞에서 f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))에 대해 L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)에서의 수열 \{g_{n}\}이 존재해서 다음이 성립함을 보였다.\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{|g_{n}(t)-g(t)|^{2}dt}}=0\,\text{in probability}다음으로 각 g_{n}(t)에 대해 L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)상의 계단 확률과정열 \{f_{n}(t)\}가 존재해서 다음이 성립한다.E\left(\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}\right)<\frac{1}{n}부등식 |u+v|^{2}\leq2(|u|^{2}+|v|^{2})를 이용하여 임의의 \epsilon>0에 대해 다음의 포함관계에 의해\begin{align*}&\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}>\epsilon\right\}\\&\subset\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-g_{n}(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon}{4}\right\}\cup\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|g_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon}{4}\right\}\end{align*}다음의 부등식이 성립한다.\begin{align*}&P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}>\epsilon\right\}\right)\\&\leq P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-g_{n}(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon}{4}\right\}\right)+P\left(\left\{\int_{a}^{b}{|g_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon}{4}\right\}\right)\end{align*}따라서 이 부등식에 체비셰프 부등식을 적용하면P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}>\epsilon\right\}\right)\leq\frac{4}{\epsilon n}+P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|g_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon}{4}\right\}\right)이고 임의의 \epsilon>0에 대해 다음의 결과를 얻는다.\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}>\epsilon\right\}\right)}=0이제 f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))에 대한 확률적분\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}를 정의할 준비가 되었다. 앞 정리의 결과를 적용해서 L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)에서의 계단 확률과정열 \{f_{n}(t)\}를 선택해서 다음이 성립한다고 하자.\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}}=0\,\text{in probability}모든 n\in\mathbb{N}에 대해 다음의 확률적분I(f_{n})=\int_{a}^{b}{f_{n}(t)dB(t)}은 계단 확률과정열에 대한 확률적분이고, f=f_{n}-f_{m}, \epsilon>0, \displaystyle C=\frac{\epsilon^{3}}{2}라고 하면 다음의 부등식이 성립한다.\begin{align*}P(\{\omega\in\Omega\,|\,|I(f_{n})-I(f_{m})|>\epsilon\})\leq\frac{\epsilon}{2}+P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f_{m}(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon^{3}}{2}\right\}\right)\end{align*}부등식 |u+v|^{2}\leq2(|u|^{2}+|v|^{2})과 다음의 포함관계로부터\begin{align*}&\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f_{m}(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon^{3}}{2}\right\}\\&\subset\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f_{m}(t)|^{2}dt}\right\}\cup\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{m}(t)-f_{n}(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon^{3}}{8}\right\}\end{align*}다음의 부등식이 성립한다.\begin{align*}&P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f_{m}(t)|^{2}dt}\right\}\right)\\&\leq P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon^{3}}{8}\right\}\right)+P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{m}(t)-f(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon^{3}}{8}\right\}\right)\end{align*}따라서 앞 정리의 결과로부터 다음의 식을 얻고\lim_{m,\,n\,\rightarrow\,\infty}{P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f_{m}(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon^{3}}{2}\right\}\right)}=0따라서 N>1이 존재해 n,\,m\geq N일 때 다음의 부등식이 성립한다.P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f_{m}(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon^{3}}{2}\right\}\right)<\frac{\epsilon}{2}그러면 앞의 결과로부터 n,\,m\geq N일 때 다음이 성립하고P(\{\omega\in\Omega\,|\,|I(f_{n})-I(f_{m})|>\epsilon\})<\epsilon이것은 확률변수들의 수열 \{I(f_{n})\}이 확률수렴함을 보여준다. 따라서 다음과 같이 확률적분을 정의할 수 있다.\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{I(f_{n})},\,\text{in probability}이 식의 우변의 극한은 수열 \{f_{n}\}의 선택과 독립이고 따라서 이 확률적분은 잘 정의되고 그러므로 f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))를 다음과 같이 정의할 수 있다.\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)이면, 앞의 정리에서 모든 n\in\mathbb{N}에 대해 f_{n}=f라 할 수 있고, 극한으로 정의되는 확률적분은 앞에서 f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)에 대한 확률적분의 정의와 같다. 따라서 L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)에서 \mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))로의 함수에 대해 적분할 수 있다.
예: f(t)=e^{\{B(t)\}^{2}}라 하자. 그러면 f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([0,\,1]))이고 확률적분 \displaystyle\int_{0}^{1}{e^{\{B(t)\}^{2}}dB(t)}는 정의된다.
f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)이면, \displaystyle\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}\in L^{2}(\Omega)이다. 그러나 f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))이면, \displaystyle\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}는 단지 확률변수이고 일반적으로 유한한 기댓값을 갖지 않는다.
f를 \{\mathcal{F}_{t}\}-가측 연속 확률과정이라고 하자. 그러면 f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))이고 다음이 성립하는데\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}=\lim_{\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0}{\sum_{i=1}^{n}{f(t_{i-1})\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}}},\,\text{in probability}여기서 \Delta_{n}=\{t_{0},\,t_{1},\,...,\,t_{n-1},\,t_{n}\}은 유한 구간 [a,\,b]의 분할이고, \displaystyle\|\Delta_{n}\|=\max_{1\leq i\leq n}{(t_{i}-t_{i-1})}이다.
증명: 먼저 \theta\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))가 다음과 같이 정의되었다면\theta(t,\,\omega)=\sum_{i=1}^{n}{\xi_{i-1}(\omega)\mathbb{1}_{[t_{i-1},\,t_{i})}(t)}여기서 \xi_{i-1}는 \mathcal{F}_{t_{i-1}}-가측이고, 그러면 다음의 등식이 성립한다.\int_{a}^{b}{\theta(t)dB(t)}=\sum_{i=1}^{n}{\xi_{i-1}\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}}이제 이 정리의 f와 분할 \Delta_{n}에 대해 f_{n}(t)를 다음과 같이 정의하자.f_{n}(t)=\sum_{i=1}^{n}{f(t_{i-1})\mathbb{1}_{[t_{i-1},\,t_{i})}(t)}그러면 f의 연속성으로부터 다음이 성립하고\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}\,\rightarrow\,0\,a.s.따라서 확률수렴한다. 반면에 앞의 결과로부터\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}=\lim_{\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0}{\int_{a}^{b}{f_{n}(t)dB(t)}}\,\text{in probability}이고 게다가 \theta=f_{n}이라고 하면 다음을 얻고\int_{a}^{b}{f_{n}(t)dB(t)}=\sum_{i=1}^{n}{f(t_{i-1})\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}}따라서 앞의 결과로부터 성립한다.
참고자료:
Introduction to Stochastic Integration, Hui-Hsiung Kuo, Springer
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