[확률적분] 9. 일반적인 확률적분(2)

[확률적분] 9. 일반적인 확률적분(2) 

\(f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))\)라 하자. 그러면 \(L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)상의 계단 확률과정열 \(\{f_{n}(t)\}\)가 존재해서 다음이 성립한다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}}=0,\,\text{in probability}$$증명: 앞에서 \(f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))\)에 대해 \(L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)에서의 수열 \(\{g_{n}\}\)이 존재해서 다음이 성립함을 보였다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{|g_{n}(t)-g(t)|^{2}dt}}=0\,\text{in probability}$$다음으로 각 \(g_{n}(t)\)에 대해 \(L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)상의 계단 확률과정열 \(\{f_{n}(t)\}\)가 존재해서 다음이 성립한다.$$E\left(\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}\right)<\frac{1}{n}$$부등식 \(|u+v|^{2}\leq2(|u|^{2}+|v|^{2})\)를 이용하여 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 다음의 포함관계에 의해$$\begin{align*}&\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}>\epsilon\right\}\\&\subset\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-g_{n}(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon}{4}\right\}\cup\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|g_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon}{4}\right\}\end{align*}$$다음의 부등식이 성립한다.$$\begin{align*}&P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}>\epsilon\right\}\right)\\&\leq P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-g_{n}(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon}{4}\right\}\right)+P\left(\left\{\int_{a}^{b}{|g_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon}{4}\right\}\right)\end{align*}$$따라서 이 부등식에 체비셰프 부등식을 적용하면$$P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}>\epsilon\right\}\right)\leq\frac{4}{\epsilon n}+P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|g_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon}{4}\right\}\right)$$이고 임의의 \(\epsilon>0\)에 대해 다음의 결과를 얻는다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}>\epsilon\right\}\right)}=0$$이제 \(f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))\)에 대한 확률적분$$\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}$$를 정의할 준비가 되었다. 앞 정리의 결과를 적용해서 \(L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)에서의 계단 확률과정열 \(\{f_{n}(t)\}\)를 선택해서 다음이 성립한다고 하자.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}}=0\,\text{in probability}$$모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대해 다음의 확률적분$$I(f_{n})=\int_{a}^{b}{f_{n}(t)dB(t)}$$은 계단 확률과정열에 대한 확률적분이고, \(f=f_{n}-f_{m}\), \(\epsilon>0\), \(\displaystyle C=\frac{\epsilon^{3}}{2}\)라고 하면 다음의 부등식이 성립한다.$$\begin{align*}P(\{\omega\in\Omega\,|\,|I(f_{n})-I(f_{m})|>\epsilon\})\leq\frac{\epsilon}{2}+P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f_{m}(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon^{3}}{2}\right\}\right)\end{align*}$$부등식 \(|u+v|^{2}\leq2(|u|^{2}+|v|^{2})\)과 다음의 포함관계로부터$$\begin{align*}&\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f_{m}(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon^{3}}{2}\right\}\\&\subset\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f_{m}(t)|^{2}dt}\right\}\cup\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{m}(t)-f_{n}(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon^{3}}{8}\right\}\end{align*}$$다음의 부등식이 성립한다.$$\begin{align*}&P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f_{m}(t)|^{2}dt}\right\}\right)\\&\leq P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon^{3}}{8}\right\}\right)+P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{m}(t)-f(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon^{3}}{8}\right\}\right)\end{align*}$$따라서 앞 정리의 결과로부터 다음의 식을 얻고$$\lim_{m,\,n\,\rightarrow\,\infty}{P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f_{m}(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon^{3}}{2}\right\}\right)}=0$$따라서 \(N>1\)이 존재해 \(n,\,m\geq N\)일 때 다음의 부등식이 성립한다.$$P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f_{m}(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon^{3}}{2}\right\}\right)<\frac{\epsilon}{2}$$그러면 앞의 결과로부터 \(n,\,m\geq N\)일 때 다음이 성립하고$$P(\{\omega\in\Omega\,|\,|I(f_{n})-I(f_{m})|>\epsilon\})<\epsilon$$이것은 확률변수들의 수열 \(\{I(f_{n})\}\)이 확률수렴함을 보여준다. 따라서 다음과 같이 확률적분을 정의할 수 있다.$$\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{I(f_{n})},\,\text{in probability}$$이 식의 우변의 극한은 수열 \(\{f_{n}\}\)의 선택과 독립이고 따라서 이 확률적분은 잘 정의되고 그러므로 \(f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))\)를 다음과 같이 정의할 수 있다.$$\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}$$\(f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)이면, 앞의 정리에서 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대해 \(f_{n}=f\)라 할 수 있고, 극한으로 정의되는 확률적분은 앞에서 \(f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)에 대한 확률적분의 정의와 같다. 따라서 \(L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)에서 \(\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))\)로의 함수에 대해 적분할 수 있다. 

예: \(f(t)=e^{\{B(t)\}^{2}}\)라 하자. 그러면 \(f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([0,\,1]))\)이고 확률적분 \(\displaystyle\int_{0}^{1}{e^{\{B(t)\}^{2}}dB(t)}\)는 정의된다.    

\(f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)이면, \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}\in L^{2}(\Omega)\)이다. 그러나 \(f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))\)이면, \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}\)는 단지 확률변수이고 일반적으로 유한한 기댓값을 갖지 않는다. 

\(f\)를 \(\{\mathcal{F}_{t}\}-\)가측 연속 확률과정이라고 하자. 그러면 \(f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))\)이고 다음이 성립하는데$$\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}=\lim_{\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0}{\sum_{i=1}^{n}{f(t_{i-1})\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}}},\,\text{in probability}$$여기서 \(\Delta_{n}=\{t_{0},\,t_{1},\,...,\,t_{n-1},\,t_{n}\}\)은 유한 구간 \([a,\,b]\)의 분할이고, \(\displaystyle\|\Delta_{n}\|=\max_{1\leq i\leq n}{(t_{i}-t_{i-1})}\)이다. 

증명: 먼저 \(\theta\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))\)가 다음과 같이 정의되었다면$$\theta(t,\,\omega)=\sum_{i=1}^{n}{\xi_{i-1}(\omega)\mathbb{1}_{[t_{i-1},\,t_{i})}(t)}$$여기서 \(\xi_{i-1}\)는 \(\mathcal{F}_{t_{i-1}}-\)가측이고, 그러면 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{a}^{b}{\theta(t)dB(t)}=\sum_{i=1}^{n}{\xi_{i-1}\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}}$$이제 이 정리의 \(f\)와 분할 \(\Delta_{n}\)에 대해 \(f_{n}(t)\)를 다음과 같이 정의하자.$$f_{n}(t)=\sum_{i=1}^{n}{f(t_{i-1})\mathbb{1}_{[t_{i-1},\,t_{i})}(t)}$$그러면 \(f\)의 연속성으로부터 다음이 성립하고$$\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}\,\rightarrow\,0\,a.s.$$따라서 확률수렴한다. 반면에 앞의 결과로부터$$\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}=\lim_{\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0}{\int_{a}^{b}{f_{n}(t)dB(t)}}\,\text{in probability}$$이고 게다가 \(\theta=f_{n}\)이라고 하면 다음을 얻고$$\int_{a}^{b}{f_{n}(t)dB(t)}=\sum_{i=1}^{n}{f(t_{i-1})\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}}$$따라서 앞의 결과로부터 성립한다. 

참고자료: 

Introduction to Stochastic Integration, Hui-Hsiung Kuo, Springer