[확률적분] 9. 일반적인 확률적분(2)

[확률적분] 9. 일반적인 확률적분(2) 

$f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))$라 하자. 그러면 $L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$상의 계단 확률과정열 $\{f_{n}(t)\}$가 존재해서 다음이 성립한다.

$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}}=0,\,\text{in probability}$$ 증명: 앞에서 $f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))$에 대해 $L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$에서의 수열 $\{g_{n}\}$이 존재해서 다음이 성립함을 보였다. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{|g_{n}(t)-g(t)|^{2}dt}}=0\,\text{in probability}$$ 다음으로 각 $g_{n}(t)$에 대해 $L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$상의 계단 확률과정열 $\{f_{n}(t)\}$가 존재해서 다음이 성립한다. $$E\left(\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}\right)<\frac{1}{n}$$ 부등식 $|u+v|^{2}\leq2(|u|^{2}+|v|^{2})$를 이용하여 임의의 $\epsilon>0$에 대해 다음의 포함관계에 의해 $$\begin{align*}&\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}>\epsilon\right\}\\&\subset\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-g_{n}(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon}{4}\right\}\cup\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|g_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon}{4}\right\}\end{align*}$$ 다음의 부등식이 성립한다. $$\begin{align*}&P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}>\epsilon\right\}\right)\\&\leq P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-g_{n}(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon}{4}\right\}\right)+P\left(\left\{\int_{a}^{b}{|g_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon}{4}\right\}\right)\end{align*}$$ 따라서 이 부등식에 체비셰프 부등식을 적용하면 $$P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}>\epsilon\right\}\right)\leq\frac{4}{\epsilon n}+P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|g_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon}{4}\right\}\right)$$ 이고 임의의 $\epsilon>0$에 대해 다음의 결과를 얻는다. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}>\epsilon\right\}\right)}=0$$ 이제 $f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))$에 대한 확률적분 $$\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}$$ 를 정의할 준비가 되었다. 앞 정리의 결과를 적용해서 $L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$에서의 계단 확률과정열 $\{f_{n}(t)\}$를 선택해서 다음이 성립한다고 하자. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}}=0\,\text{in probability}$$ 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대해 다음의 확률적분 $$I(f_{n})=\int_{a}^{b}{f_{n}(t)dB(t)}$$ 은 계단 확률과정열에 대한 확률적분이고, $f=f_{n}-f_{m}$, $\epsilon>0$, $\displaystyle C=\frac{\epsilon^{3}}{2}$라고 하면 다음의 부등식이 성립한다. $$\begin{align*}P(\{\omega\in\Omega\,|\,|I(f_{n})-I(f_{m})|>\epsilon\})\leq\frac{\epsilon}{2}+P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f_{m}(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon^{3}}{2}\right\}\right)\end{align*}$$ 부등식 $|u+v|^{2}\leq2(|u|^{2}+|v|^{2})$과 다음의 포함관계로부터 $$\begin{align*}&\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f_{m}(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon^{3}}{2}\right\}\\&\subset\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f_{m}(t)|^{2}dt}\right\}\cup\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{m}(t)-f_{n}(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon^{3}}{8}\right\}\end{align*}$$ 다음의 부등식이 성립한다. $$\begin{align*}&P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f_{m}(t)|^{2}dt}\right\}\right)\\&\leq P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon^{3}}{8}\right\}\right)+P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{m}(t)-f(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon^{3}}{8}\right\}\right)\end{align*}$$ 따라서 앞 정리의 결과로부터 다음의 식을 얻고 $$\lim_{m,\,n\,\rightarrow\,\infty}{P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f_{m}(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon^{3}}{2}\right\}\right)}=0$$ 따라서 $N>1$이 존재해 $n,\,m\geq N$일 때 다음의 부등식이 성립한다. $$P\left(\left\{\omega\in\Omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f_{m}(t)|^{2}dt}>\frac{\epsilon^{3}}{2}\right\}\right)<\frac{\epsilon}{2}$$ 그러면 앞의 결과로부터 $n,\,m\geq N$일 때 다음이 성립하고 $$P(\{\omega\in\Omega\,|\,|I(f_{n})-I(f_{m})|>\epsilon\})<\epsilon$$ 이것은 확률변수들의 수열 $\{I(f_{n})\}$이 확률수렴함을 보여준다. 따라서 다음과 같이 확률적분을 정의할 수 있다. $$\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{I(f_{n})},\,\text{in probability}$$ 이 식의 우변의 극한은 수열 $\{f_{n}\}$의 선택과 독립이고 따라서 이 확률적분은 잘 정의되고 그러므로 $f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))$를 다음과 같이 정의할 수 있다. $$\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}$$ $f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$이면, 앞의 정리에서 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대해 $f_{n}=f$라 할 수 있고, 극한으로 정의되는 확률적분은 앞에서 $f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$에 대한 확률적분의 정의와 같다. 따라서 $L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$에서 $\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))$로의 함수에 대해 적분할 수 있다. 

예: $f(t)=e^{\{B(t)\}^{2}}$라 하자. 그러면 $f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([0,\,1]))$이고 확률적분 $\displaystyle\int_{0}^{1}{e^{\{B(t)\}^{2}}dB(t)}$는 정의된다.    

$f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$이면, $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}\in L^{2}(\Omega)$이다. 그러나 $f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))$이면, $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}$는 단지 확률변수이고 일반적으로 유한한 기댓값을 갖지 않는다. 

$f$를 $\{\mathcal{F}_{t}\}-$가측 연속 확률과정이라고 하자. 그러면 $f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))$이고 다음이 성립하는데

$$\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}=\lim_{\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0}{\sum_{i=1}^{n}{f(t_{i-1})\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}}},\,\text{in probability}$$ 여기서 $\Delta_{n}=\{t_{0},\,t_{1},\,...,\,t_{n-1},\,t_{n}\}$은 유한 구간 $[a,\,b]$의 분할이고, $\displaystyle\|\Delta_{n}\|=\max_{1\leq i\leq n}{(t_{i}-t_{i-1})}$이다. 

증명: 먼저 $\theta\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))$가 다음과 같이 정의되었다면

$$\theta(t,\,\omega)=\sum_{i=1}^{n}{\xi_{i-1}(\omega)\mathbb{1}_{[t_{i-1},\,t_{i})}(t)}$$ 여기서 $\xi_{i-1}$는 $\mathcal{F}_{t_{i-1}}-$가측이고, 그러면 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{a}^{b}{\theta(t)dB(t)}=\sum_{i=1}^{n}{\xi_{i-1}\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}}$$ 이제 이 정리의 $f$와 분할 $\Delta_{n}$에 대해 $f_{n}(t)$를 다음과 같이 정의하자. $$f_{n}(t)=\sum_{i=1}^{n}{f(t_{i-1})\mathbb{1}_{[t_{i-1},\,t_{i})}(t)}$$ 그러면 $f$의 연속성으로부터 다음이 성립하고 $$\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)-f(t)|^{2}dt}\,\rightarrow\,0\,a.s.$$ 따라서 확률수렴한다. 반면에 앞의 결과로부터 $$\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}=\lim_{\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0}{\int_{a}^{b}{f_{n}(t)dB(t)}}\,\text{in probability}$$ 이고 게다가 $\theta=f_{n}$이라고 하면 다음을 얻고 $$\int_{a}^{b}{f_{n}(t)dB(t)}=\sum_{i=1}^{n}{f(t_{i-1})\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}}$$ 따라서 앞의 결과로부터 성립한다. 

참고자료: 

Introduction to Stochastic Integration, Hui-Hsiung Kuo, Springer