[확률적분] 10. 정지시간

[확률적분] 10. 정지시간

확률변수 \(\tau:\Omega\,\rightarrow\,[a,\,b]\)가 여과 \(\{\mathcal{F}_{t},\,a\leq t\leq b\}\)에 대해 정지시간(stopping time)이라는 것은 모든 \(t\in[a,\,b]\)에 대해 \(\{\omega\,|\,\tau(\omega\leq t)\}\in\mathcal{F}_{t}\)가 성립하는 것이다. 

이때 \(b\)는 \(\infty\)가 될 수 있다. 직관적으로 말하자면 \(\tau\)를 실행중인 한 게임을 정지하는 시간이라고 생각할 수 있다. \(\tau\)가 정지시간이 되기 위한 조건은 게임을 실행하기 이전 또는 시간 \(t\)에서 게임을 정지하는 결정이 \(\mathcal{F}_{t}\)에 의해 제공된 정보로 측정되어져야 함을 뜻한다. 

여과 \(\{\mathcal{F}_{t},\,a\leq t\leq b\}\)가 우연속(right continuous)이라는 것은 임의의 \(t\in[a,\,b)\)에 대해 다음의 조건이 성립하는 것이고$$\mathcal{F}_{t}=\bigcap_{n=1}^{\infty}{\mathcal{F}_{t+\frac{1}{n}}}$$\(t>b\)일 때 \(\mathcal{F}_{t}=\mathcal{F}_{b}\)이다. 

때때로 사건 \(\{\omega\,|\,\tau(\omega)\leq t\}\)보다 사건 \(\{\omega\in\Omega\,|\,\tau(\omega)<t\}\)가 다루기 편리하다. 이때 다음의 사실이 유용하다.

\(\{\mathcal{F}_{t},\,a\leq t\leq b\}\)를 우연속 여과라 하자. 그러면 확률변수 \(\tau:\Omega\,\rightarrow\,[a,\,b]\)가 여과 \(\{\mathcal{F}_{t},\,a\leq t\leq b\}\)에 대해 정지시간이 될 필요충분조건은 모든 \(t\in[a,\,b]\)에 대해 \(\{\omega\,|\,\tau(\omega)<t\}\in\mathcal{F}_{t}\)가 성립하는 것이다. 

이 사실을 검증하기 위해, \(\tau\)를 정지시간이라고 하자. 그러면 임의의 \(t\in(a,\,b]\)에 대해 다음이 성립하고$$\left\{\omega\,|\,\tau(\omega)<t\right\}=\bigcup_{n=1}^{\infty}{\left\{\omega\,|\,t-\frac{1}{n}\right\}}\in\mathcal{F}_{t}$$\(t=a\)에 대해 \(\{\omega\,|\,\tau(\omega)<a\}=\emptyset\in\mathcal{F}_{t}\)이다. 역으로 모든 \(t\in[a,\,b]\)에 대해 \(\{\omega\,|\,\tau(\omega)<t\}\in\mathcal{F}_{t}\)라 하고 여과 \(\mathcal{F}_{t}\)는 우연속이라 하자. 그러면 임의의 \(t\in[a,\,b)\)에 대해$$\{\omega\,|\,\tau(\omega)\leq t\}=\bigcap_{n=1}^{\infty}{\left\{\omega\,|\,\tau(\omega)<t+\frac{1}{n}\right\}}\in\bigcap_{n=1}^{\infty}{\mathcal{F}_{t+\frac{1}{n}}}=\mathcal{F}_{t}$$이므로 따라서 \(\tau\)는 정지시간이다. 

분명히 \(t\)가 \([a,\,b]\)에서 상수 \(c\)의 값을 가지면, \(\tau\)는 정지시간이다. 

예: \(B(t)\)를 브라운 운동, \(\{\mathcal{F}_{t}\}=\{\mathcal{F}_{t},\,0\leq t\leq\infty\}\)를 여과라 하자.$$\tau(\omega)=\inf\{t>0\,|\,|B(t,\,\omega)|>1\}$$라고 하면, 확률변수 \(\tau\)는 구간 \([-1,\,1]\)에서의 브라운 운동이 처음으로 탈출하는 시간이다. \(B(t)\)의 연속성에 의해$$\{\omega\,|\,\tau(\omega)<t\}=\bigcup_{0<r<t,\,r\in\mathbb{Q}}{\{\omega\,|\,|B(r)|>1\}}$$이므로 모든 \(t>0\)에 대해 \(\{\omega\,|\,\tau(\omega)<t\}\)이다. \(t=0\)에 대해 \(\{\omega\,|\,\tau(\omega)<0\}=\emptyset\in\mathcal{F}_{0}\)이고 따라서 \(\tau\)는 정지시간이다. 

예: \(f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))\)라 하고, 고정된 \(n\)에 대하여 \(\tau_{n}\)을 다음과 같이 정의하자.$$\begin{align*}\tau_{n}(\omega)&=\begin{cases}\displaystyle\inf\left\{t\,|\,\int_{a}^{t}{|f(s,\,\omega)|^{2}ds}>n\right\}&\,(\{t\,|\,\cdots\}\neq\emptyset)\\b&\,(\{t\,|\,\cdots\}=\emptyset)\end{cases}\\&\{t\,|\,\cdots\}=\left\{t\,|\,\int_{a}^{t}{|f(s,\,\omega)|^{2}ds}>n\right\}\end{align*}$$분명히 이 확률변수는 다음의 확률변수와 같고$$\tau_{n}(t)=\sup\left\{t\,|\,\int_{a}^{t}{|f(s,\,\omega)|^{2}ds}\right\}$$임의의 \(t\in(a,\,b]\)에 대해 다음이 성립한다.$$\{\omega\,|\,\tau_{n}(\omega)<t\}=\bigcup_{a<r<t,\,r\in\mathbb{Q}}{\left\{\omega\,|\,\int_{a}^{r}{|f(s,\,\omega)|^{2}ds}>n\right\}}\in\mathcal{F}_{t}$$\(t=a\)에 대해 \(\{\omega\,|\,\tau_{n}(\omega)<a\}=\emptyset\in\mathcal{F}_{a}\)이고 따라서 \(\tau_{n}\)은 정지시간이다.             

\(f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))\)라 하자. 그러면 임의의 \(t\in[a,\,b]\)에 대해 \(f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,t]))\)이고 다음의 확률과정을 얻는다.$$X_{t}=\int_{a}^{t}{f(s)dB(s)},\,a\leq t\leq b$$일반적으로 \(X_{t}\)는 유한한 기댓값을 갖지 않으므로 마팅게일이라고 할 수 없다. \(X_{t}\)가 유한한 기댓값을 갖지 않는 상황을 극복하기 위한 마팅게일의 개념을 제시할 것이다. 이를 위해 정지시간의 개념이 필요하다. 계산에서의 혼동을 막기 위해 앞에서의 확률과정 \(X_{t}\)를 다음과 같이 나타낸다.$$X_{t}=\int_{a}^{t}{f(s)dB(s)}=\int_{a}^{b}{\mathbb{1}_{[a,\,b]}(s)f(s)dB(s)},\,a\leq t\leq b$$여기서 임의의 \(t\in[a,\,b]\)에 대해 \(\mathbb{1}_{[a,\,t]}(s)f(s,\,\omega)\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))\)이다. 

각 \(n\)에 대해 확률과정 \(f_{n}\)을 다음과 같이 정의하자.$$f_{n}(t,\,\omega)=\begin{cases}f(t,\,\omega)&\,\left(\int_{a}^{t}{|f(s,\,\omega)|^{2}ds}\leq n\right)\\0&\,(\text{otherwise})\end{cases}$$\(\tau_{n}\)을 앞의 두 번째 예의 정지시간이라 하자. \(X_{t}\)에 대한 식에서 \(t\)를 \(t\wedge\tau_{n}=\min\{t,\,\tau_{n}\}\)로 대치하면 다음의 확률과정을 얻는다.$$X_{t\wedge\tau_{n}}=\int_{a}^{t\wedge\tau_{n}}{f(s)dB(s)}=\int_{a}^{b}{1_{[a,\,t\wedge\tau_{n}]}(s)f(s)dB(s)},\,a\leq t\leq b$$이때 거의 모든 \(\omega\)에 대해다음이 성립하므로$$1_{[a,\,t\wedge\tau_{n}(\omega)]}(s)f(s,\,\omega)=1_{[a,\,t]}(s)f(s,\,\omega)$$따라서 다음이 성립한다.$$X_{t\wedge\tau_{n}}=\int_{a}^{t\wedge\tau_{n}}{f(s)dB(s)}=\int_{a}^{t}{f_{n}(s)dB(s)},\,a\leq t\leq b$$\(\displaystyle\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)|^{2}dt}\leq\,a.s.\)이면 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{E(|f_{n}(t)|^{2})dt}\leq n\)이고 따라서 \(f_{n}\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)이고 확률과정 \(X_{t\wedge\tau_{n}}\)은 각 \(n\)에 대해 마팅게일이다. 이때 수열 \(\{\tau_{n}\}\)은 단조증가하고 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(\tau_{n}\,\rightarrow\,b\,a.s.\)이다. 

     

\(\{\mathcal{F}_{t}\}-\)적합한 확률과정 \(X_{t},\,a\leq t\leq b\)가 \(\{\mathcal{F}_{t}\}\)에 대해 국소 마팅게일(local martingale)이라는 것은 정지시간열 \(\{\tau_{n}\}\)이 존재해서 다음이 성립하는 것이다. 

(1) \(\tau_{n}\)은 단조증가하고 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(b\)로 거의 확실히 수렴한다.  

(2) 각 \(n\in\mathbb{N}\)에 대해, \(X_{t\wedge\tau_{n}}\)은 \(\{\mathcal{F}_{t},\,a\leq t\leq b\}\)에 대해 마팅게일이다.  

분명히 마팅게일은 국소 마팅게일인데 그 이유는 모든 \(n\)에 대해 \(\tau_{n}=b\)라고 할 수 있기 때문이다. 그러나 국소 마팅게일은 마팅게일이 아닐 수 있는데 그 이유는 적분가능하지 않은 확률과정이 존재하기 때문이다. \(X_{t}\)의 적분가능성이 없이는 \(X_{t}\)의 조건부기댓값을 정의할 수 없고 \(X_{t}\)가 마팅게일이라고도 할 수 없다. 이 사실을 다음과 같이 정리할 수 있다.

\(f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))\)라 하자. 그러면 다음의 확률과정은$$X_{t}=\int_{a}^{t}{f(s)dB(s)},\,a\leq t\leq b$$여과 \(\{\mathcal{F}_{t},\,a\leq t\leq b\}\)에 대해 국소 마팅게일이고, \(B(t)\)는 \(\mathcal{F}_{t}-\)가측, 모든 \(s\leq t\)에 대해 확률변수 \(B(t)-B(s)\)는 \(\mathcal{F}_{s}\)와 독립이다. 

예: \(f(t)=e^{\{B(t)\}^{2}}\)는 \(\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))\)의 원소이고 따라서 앞의 정리에 의해 다음의 확률과정은$$X_{t}=\int_{a}^{t}{e^{\{B(s)\}^{2}}dB(s)},\,a\leq t\leq b$$국소 마팅게일인 반면에 다음의 확률과정은$$Y_{t}=\int_{0}^{t}{e^{\{B(s)\}^{2}}dB(s)},\,0\leq t\leq\frac{1}{4}$$적분가능하므로 마팅게일이다. 

\(f,\,g\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\), \(A\)를 다음과 같이 정의된 사건이라 하자.$$A=\{\omega\,|\,f(t,\,\omega)=g(t,\,\omega)\,\text{for all}\,t\in[a,\,b]\}$$그러면 다음의 등식이 성립한다.$$\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}=\int_{a}^{b}{g(t)dB(t)},\,a.s.\,\text{on}\,A$$증명: 일반성을 잃지 않고 모든 \(t\)와 \(\omega\)에 대해 \(g(t,\,\omega)=0\)이라고 할 수 있다. \(\tau\)를 다음과 같이 정의하자.$$\tau(\omega)=\begin{cases}\inf\{t\,|\,f(t,\,\omega)\neq0\}&\,(\{t\,|\,f(t,\,\omega)\neq0\}\neq\emptyset)\\b&\,(\{t\,|\,f(t,\,\omega)\neq0\}=\emptyset)\end{cases}$$그러면 \(\tau\)는 정지시간이고 다음의 확률변수를 고려하자.$$Y(\tau)=\int_{a}^{\tau}{f(s)dB(s)}=\int_{a}^{b}{1_{[a,\,\tau]}(s)f(s)dB(s)}$$이때 \(1_{[a,\,\tau]}(s)f(s)\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)이고 이 확률적분은 정의된다. 게다가 모든 \(\omega\)에 대해$$1_{[a,\,\tau(\omega)]}(s)|f(s,\,\omega)|^{2}=1_{\{\tau(\omega)\}}(s)|f(\tau(\omega),\,s)|^{2}$$이므로$$\int_{a}^{b}{1_{[a,\,\tau]}|f(t)|^{2}dt}=0\,a.s.$$이다. 그러면 다음이 성립하고$$E(|Y(\tau)|^{2})=E\left(\int_{a}^{b}{1_{[a,\,\tau]}(t)|f(t)|^{2}dt}\right)=0$$따라서 \(Y(\tau)=0\,a.s.\)이다. \(\omega\in A\)이면 \(\tau(\omega)=b\)이고$$Y(\tau(\omega))=\int_{a}^{b}{f(s)dB(s)}$$이므로 이것은 사건 \(A\)에서 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(s)dB(s)}=0\,a.s.\)를 뜻한다. 

\(f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))\)라 하자. 그러면 다음의 확률과정은$$X_{t}=\int_{a}^{t}{f(s)dB(s)},\,a\leq t\leq b$$연속 실제화를 갖는다. 

증명: 각 \(n\)에 대해 \(f_{n}\)을 다음과 같이 정의된 확률과정이라 하고$$f_{n}(t,\,\omega)=\begin{cases}f(t,\,\omega)&\,\left(\int_{a}^{t}{|f(s,\,\omega)|^{2}ds}\leq n\right)\\0&\,(\text{otherwise})\end{cases}$$\(X_{t}^{(n)}\)을 다음과 같이 정의하자.$$X_{t}^{(n)}=\int_{a}^{b}{f_{n}(s)dB(s)},\,a\leq t\leq b$$그러면 \(X_{t}^{(n)}\)은 연속 확률변수이다. 사건 \(A_{n}\)을 다음과 같이 정의하자.$$A_{n}=\left\{\omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f(t,\,\omega)|^{2}dt}\leq n\right\}$$그러면 \(A_{n}\subset A_{n+1}\)이고 \(\displaystyle A=\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_{n}}\)라고 하면 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{|f(t)|^{2}dt}<\infty\,a.s.\)이므로 \(P(A)=1\)이다. \(\omega\in A_{n}\)이면, 모든 \(m\geq n\)과 \(t\in[a,\,b]\)에 대해$$f_{n}(t,\,\omega)=f_{m}(t,\,\omega)$$이고 앞의 정리에 의해 거의 모든 \(\omega\in A_{n}\)와 모든 \(m\geq n\)과 \(t\in[a,\,b]\)에 대해 다음이 성립한다.$$X_{t}^{(m)}=X_{t}^{(n)}$$\(\displaystyle A=\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_{n}}\)이므로 앞의 등식은 거의 모든 \(\omega\in A\)와 모든 \(t\in[a,\,b]\)에 대해 다음의 극한이 존재함을 뜻한다.$$\lim_{m\,\rightarrow\,\infty}{X_{t}^{(m)}(\omega)}$$확률과정 \(Y_{t}(\omega)\)를 다음과 같이 정의하자.$$Y_{t}(\omega)=\begin{cases}\displaystyle\lim_{m\,\rightarrow\,\infty}{X_{t}^{(m)}(\omega)}&\,(\omega\in A)\\0&\,(\omega\notin A)\end{cases}$$그러면 \(Y_{t}(\omega)\)는 연속 확률과정이고 \(f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))\)에 대한 확률적분의 정의에 의해 다음이 성립한다.$$X_{t}=\lim_{m\,\rightarrow\,\infty}{X_{t}^{(m)}}\,\text{in probability}$$그러므로 각 \(t\in[a,\,b]\)에 대해 \(X_{t}=Y_{t}\,a.s.\)이고 따라서 \(Y_{t}\)는 \(X_{t}\)의 연속 실제화이다. 

참고자료:

Introduction to Stochastic Integration, Hui-Hsiung Kuo, Springer