[확률적분] 10. 정지시간

[확률적분] 10. 정지시간

확률변수 $\tau:\Omega\,\rightarrow\,[a,\,b]$가 여과 $\{\mathcal{F}_{t},\,a\leq t\leq b\}$에 대해 정지시간(stopping time)이라는 것은 모든 $t\in[a,\,b]$에 대해 $\{\omega\,|\,\tau(\omega\leq t)\}\in\mathcal{F}_{t}$가 성립하는 것이다. 

이때 $b$는 $\infty$가 될 수 있다. 직관적으로 말하자면 $\tau$를 실행중인 한 게임을 정지하는 시간이라고 생각할 수 있다. $\tau$가 정지시간이 되기 위한 조건은 게임을 실행하기 이전 또는 시간 $t$에서 게임을 정지하는 결정이 $\mathcal{F}_{t}$에 의해 제공된 정보로 측정되어져야 함을 뜻한다. 

여과 $\{\mathcal{F}_{t},\,a\leq t\leq b\}$가 우연속(right continuous)이라는 것은 임의의 $t\in[a,\,b)$에 대해 다음의 조건이 성립하는 것이고 $$\mathcal{F}_{t}=\bigcap_{n=1}^{\infty}{\mathcal{F}_{t+\frac{1}{n}}}$$ $t>b$일 때 $\mathcal{F}_{t}=\mathcal{F}_{b}$이다. 

때때로 사건 $\{\omega\,|\,\tau(\omega)\leq t\}$보다 사건 $\{\omega\in\Omega\,|\,\tau(\omega)<t\}$가 다루기 편리하다. 이때 다음의 사실이 유용하다.

$\{\mathcal{F}_{t},\,a\leq t\leq b\}$를 우연속 여과라 하자. 그러면 확률변수 $\tau:\Omega\,\rightarrow\,[a,\,b]$가 여과 $\{\mathcal{F}_{t},\,a\leq t\leq b\}$에 대해 정지시간이 될 필요충분조건은 모든 $t\in[a,\,b]$에 대해 $\{\omega\,|\,\tau(\omega)<t\}\in\mathcal{F}_{t}$가 성립하는 것이다. 

이 사실을 검증하기 위해, $\tau$를 정지시간이라고 하자. 그러면 임의의 $t\in(a,\,b]$에 대해 다음이 성립하고 $$\left\{\omega\,|\,\tau(\omega)<t\right\}=\bigcup_{n=1}^{\infty}{\left\{\omega\,|\,t-\frac{1}{n}\right\}}\in\mathcal{F}_{t}$$ $t=a$에 대해 $\{\omega\,|\,\tau(\omega)<a\}=\emptyset\in\mathcal{F}_{t}$이다. 역으로 모든 $t\in[a,\,b]$에 대해 $\{\omega\,|\,\tau(\omega)<t\}\in\mathcal{F}_{t}$라 하고 여과 $\mathcal{F}_{t}$는 우연속이라 하자. 그러면 임의의 $t\in[a,\,b)$에 대해 $$\{\omega\,|\,\tau(\omega)\leq t\}=\bigcap_{n=1}^{\infty}{\left\{\omega\,|\,\tau(\omega)<t+\frac{1}{n}\right\}}\in\bigcap_{n=1}^{\infty}{\mathcal{F}_{t+\frac{1}{n}}}=\mathcal{F}_{t}$$ 이므로 따라서 $\tau$는 정지시간이다. 

분명히 $t$가 $[a,\,b]$에서 상수 $c$의 값을 가지면, $\tau$는 정지시간이다. 

예: $B(t)$를 브라운 운동, $\{\mathcal{F}_{t}\}=\{\mathcal{F}_{t},\,0\leq t\leq\infty\}$를 여과라 하자. $$\tau(\omega)=\inf\{t>0\,|\,|B(t,\,\omega)|>1\}$$ 라고 하면, 확률변수 $\tau$는 구간 $[-1,\,1]$에서의 브라운 운동이 처음으로 탈출하는 시간이다. $B(t)$의 연속성에 의해 $$\{\omega\,|\,\tau(\omega)<t\}=\bigcup_{0<r<t,\,r\in\mathbb{Q}}{\{\omega\,|\,|B(r)|>1\}}$$ 이므로 모든 $t>0$에 대해 $\{\omega\,|\,\tau(\omega)<t\}$이다. $t=0$에 대해 $\{\omega\,|\,\tau(\omega)<0\}=\emptyset\in\mathcal{F}_{0}$이고 따라서 $\tau$는 정지시간이다. 

예: $f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))$라 하고, 고정된 $n$에 대하여 $\tau_{n}$을 다음과 같이 정의하자. $$\begin{align*}\tau_{n}(\omega)&=\begin{cases}\displaystyle\inf\left\{t\,|\,\int_{a}^{t}{|f(s,\,\omega)|^{2}ds}>n\right\}&\,(\{t\,|\,\cdots\}\neq\emptyset)\\b&\,(\{t\,|\,\cdots\}=\emptyset)\end{cases}\\&\{t\,|\,\cdots\}=\left\{t\,|\,\int_{a}^{t}{|f(s,\,\omega)|^{2}ds}>n\right\}\end{align*}$$ 분명히 이 확률변수는 다음의 확률변수와 같고 $$\tau_{n}(t)=\sup\left\{t\,|\,\int_{a}^{t}{|f(s,\,\omega)|^{2}ds}\right\}$$ 임의의 $t\in(a,\,b]$에 대해 다음이 성립한다. $$\{\omega\,|\,\tau_{n}(\omega)<t\}=\bigcup_{a<r<t,\,r\in\mathbb{Q}}{\left\{\omega\,|\,\int_{a}^{r}{|f(s,\,\omega)|^{2}ds}>n\right\}}\in\mathcal{F}_{t}$$ $t=a$에 대해 $\{\omega\,|\,\tau_{n}(\omega)<a\}=\emptyset\in\mathcal{F}_{a}$이고 따라서 $\tau_{n}$은 정지시간이다.             

$f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))$라 하자. 그러면 임의의 $t\in[a,\,b]$에 대해 $f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,t]))$이고 다음의 확률과정을 얻는다. $$X_{t}=\int_{a}^{t}{f(s)dB(s)},\,a\leq t\leq b$$ 일반적으로 $X_{t}$는 유한한 기댓값을 갖지 않으므로 마팅게일이라고 할 수 없다. $X_{t}$가 유한한 기댓값을 갖지 않는 상황을 극복하기 위한 마팅게일의 개념을 제시할 것이다. 이를 위해 정지시간의 개념이 필요하다. 계산에서의 혼동을 막기 위해 앞에서의 확률과정 $X_{t}$를 다음과 같이 나타낸다. $$X_{t}=\int_{a}^{t}{f(s)dB(s)}=\int_{a}^{b}{\mathbb{1}_{[a,\,b]}(s)f(s)dB(s)},\,a\leq t\leq b$$ 여기서 임의의 $t\in[a,\,b]$에 대해 $\mathbb{1}_{[a,\,t]}(s)f(s,\,\omega)\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))$이다. 

각 $n$에 대해 확률과정 $f_{n}$을 다음과 같이 정의하자. $$f_{n}(t,\,\omega)=\begin{cases}f(t,\,\omega)&\,\left(\int_{a}^{t}{|f(s,\,\omega)|^{2}ds}\leq n\right)\\0&\,(\text{otherwise})\end{cases}$$ $\tau_{n}$을 앞의 두 번째 예의 정지시간이라 하자. $X_{t}$에 대한 식에서 $t$를 $t\wedge\tau_{n}=\min\{t,\,\tau_{n}\}$로 대치하면 다음의 확률과정을 얻는다. $$X_{t\wedge\tau_{n}}=\int_{a}^{t\wedge\tau_{n}}{f(s)dB(s)}=\int_{a}^{b}{1_{[a,\,t\wedge\tau_{n}]}(s)f(s)dB(s)},\,a\leq t\leq b$$ 이때 거의 모든 $\omega$에 대해다음이 성립하므로 $$1_{[a,\,t\wedge\tau_{n}(\omega)]}(s)f(s,\,\omega)=1_{[a,\,t]}(s)f(s,\,\omega)$$ 따라서 다음이 성립한다. $$X_{t\wedge\tau_{n}}=\int_{a}^{t\wedge\tau_{n}}{f(s)dB(s)}=\int_{a}^{t}{f_{n}(s)dB(s)},\,a\leq t\leq b$$ $\displaystyle\int_{a}^{b}{|f_{n}(t)|^{2}dt}\leq\,a.s.$이면 $\displaystyle\int_{a}^{b}{E(|f_{n}(t)|^{2})dt}\leq n$이고 따라서 $f_{n}\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$이고 확률과정 $X_{t\wedge\tau_{n}}$은 각 $n$에 대해 마팅게일이다. 이때 수열 $\{\tau_{n}\}$은 단조증가하고 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $\tau_{n}\,\rightarrow\,b\,a.s.$이다. 

     

$\{\mathcal{F}_{t}\}-$적합한 확률과정 $X_{t},\,a\leq t\leq b$가 $\{\mathcal{F}_{t}\}$에 대해 국소 마팅게일(local martingale)이라는 것은 정지시간열 $\{\tau_{n}\}$이 존재해서 다음이 성립하는 것이다. 

(1) $\tau_{n}$은 단조증가하고 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $b$로 거의 확실히 수렴한다.  

(2) 각 $n\in\mathbb{N}$에 대해, $X_{t\wedge\tau_{n}}$은 $\{\mathcal{F}_{t},\,a\leq t\leq b\}$에 대해 마팅게일이다.  

분명히 마팅게일은 국소 마팅게일인데 그 이유는 모든 $n$에 대해 $\tau_{n}=b$라고 할 수 있기 때문이다. 그러나 국소 마팅게일은 마팅게일이 아닐 수 있는데 그 이유는 적분가능하지 않은 확률과정이 존재하기 때문이다. $X_{t}$의 적분가능성이 없이는 $X_{t}$의 조건부기댓값을 정의할 수 없고 $X_{t}$가 마팅게일이라고도 할 수 없다. 이 사실을 다음과 같이 정리할 수 있다.

$f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))$라 하자. 그러면 다음의 확률과정은 $$X_{t}=\int_{a}^{t}{f(s)dB(s)},\,a\leq t\leq b$$ 여과 $\{\mathcal{F}_{t},\,a\leq t\leq b\}$에 대해 국소 마팅게일이고, $B(t)$는 $\mathcal{F}_{t}-$가측, 모든 $s\leq t$에 대해 확률변수 $B(t)-B(s)$는 $\mathcal{F}_{s}$와 독립이다. 

예: $f(t)=e^{\{B(t)\}^{2}}$는 $\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))$의 원소이고 따라서 앞의 정리에 의해 다음의 확률과정은 $$X_{t}=\int_{a}^{t}{e^{\{B(s)\}^{2}}dB(s)},\,a\leq t\leq b$$ 국소 마팅게일인 반면에 다음의 확률과정은 $$Y_{t}=\int_{0}^{t}{e^{\{B(s)\}^{2}}dB(s)},\,0\leq t\leq\frac{1}{4}$$ 적분가능하므로 마팅게일이다. 

$f,\,g\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$, $A$를 다음과 같이 정의된 사건이라 하자. $$A=\{\omega\,|\,f(t,\,\omega)=g(t,\,\omega)\,\text{for all}\,t\in[a,\,b]\}$$ 그러면 다음의 등식이 성립한다. $$\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}=\int_{a}^{b}{g(t)dB(t)},\,a.s.\,\text{on}\,A$$ 증명: 일반성을 잃지 않고 모든 $t$와 $\omega$에 대해 $g(t,\,\omega)=0$이라고 할 수 있다. $\tau$를 다음과 같이 정의하자. $$\tau(\omega)=\begin{cases}\inf\{t\,|\,f(t,\,\omega)\neq0\}&\,(\{t\,|\,f(t,\,\omega)\neq0\}\neq\emptyset)\\b&\,(\{t\,|\,f(t,\,\omega)\neq0\}=\emptyset)\end{cases}$$ 그러면 $\tau$는 정지시간이고 다음의 확률변수를 고려하자. $$Y(\tau)=\int_{a}^{\tau}{f(s)dB(s)}=\int_{a}^{b}{1_{[a,\,\tau]}(s)f(s)dB(s)}$$ 이때 $1_{[a,\,\tau]}(s)f(s)\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)$이고 이 확률적분은 정의된다. 게다가 모든 $\omega$에 대해 $$1_{[a,\,\tau(\omega)]}(s)|f(s,\,\omega)|^{2}=1_{\{\tau(\omega)\}}(s)|f(\tau(\omega),\,s)|^{2}$$ 이므로 $$\int_{a}^{b}{1_{[a,\,\tau]}|f(t)|^{2}dt}=0\,a.s.$$ 이다. 그러면 다음이 성립하고 $$E(|Y(\tau)|^{2})=E\left(\int_{a}^{b}{1_{[a,\,\tau]}(t)|f(t)|^{2}dt}\right)=0$$ 따라서 $Y(\tau)=0\,a.s.$이다. $\omega\in A$이면 $\tau(\omega)=b$이고 $$Y(\tau(\omega))=\int_{a}^{b}{f(s)dB(s)}$$ 이므로 이것은 사건 $A$에서 $\displaystyle\int_{a}^{b}{f(s)dB(s)}=0\,a.s.$를 뜻한다. 

$f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))$라 하자. 그러면 다음의 확률과정은 $$X_{t}=\int_{a}^{t}{f(s)dB(s)},\,a\leq t\leq b$$ 연속 실제화를 갖는다. 

증명: 각 $n$에 대해 $f_{n}$을 다음과 같이 정의된 확률과정이라 하고 $$f_{n}(t,\,\omega)=\begin{cases}f(t,\,\omega)&\,\left(\int_{a}^{t}{|f(s,\,\omega)|^{2}ds}\leq n\right)\\0&\,(\text{otherwise})\end{cases}$$ $X_{t}^{(n)}$을 다음과 같이 정의하자. $$X_{t}^{(n)}=\int_{a}^{b}{f_{n}(s)dB(s)},\,a\leq t\leq b$$ 그러면 $X_{t}^{(n)}$은 연속 확률변수이다. 사건 $A_{n}$을 다음과 같이 정의하자. $$A_{n}=\left\{\omega\,|\,\int_{a}^{b}{|f(t,\,\omega)|^{2}dt}\leq n\right\}$$ 그러면 $A_{n}\subset A_{n+1}$이고 $\displaystyle A=\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_{n}}$라고 하면 $\displaystyle\int_{a}^{b}{|f(t)|^{2}dt}<\infty\,a.s.$이므로 $P(A)=1$이다. $\omega\in A_{n}$이면, 모든 $m\geq n$과 $t\in[a,\,b]$에 대해 $$f_{n}(t,\,\omega)=f_{m}(t,\,\omega)$$ 이고 앞의 정리에 의해 거의 모든 $\omega\in A_{n}$와 모든 $m\geq n$과 $t\in[a,\,b]$에 대해 다음이 성립한다. $$X_{t}^{(m)}=X_{t}^{(n)}$$ $\displaystyle A=\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_{n}}$이므로 앞의 등식은 거의 모든 $\omega\in A$와 모든 $t\in[a,\,b]$에 대해 다음의 극한이 존재함을 뜻한다. $$\lim_{m\,\rightarrow\,\infty}{X_{t}^{(m)}(\omega)}$$ 확률과정 $Y_{t}(\omega)$를 다음과 같이 정의하자. $$Y_{t}(\omega)=\begin{cases}\displaystyle\lim_{m\,\rightarrow\,\infty}{X_{t}^{(m)}(\omega)}&\,(\omega\in A)\\0&\,(\omega\notin A)\end{cases}$$ 그러면 $Y_{t}(\omega)$는 연속 확률과정이고 $f\in\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))$에 대한 확률적분의 정의에 의해 다음이 성립한다. $$X_{t}=\lim_{m\,\rightarrow\,\infty}{X_{t}^{(m)}}\,\text{in probability}$$ 그러므로 각 $t\in[a,\,b]$에 대해 $X_{t}=Y_{t}\,a.s.$이고 따라서 $Y_{t}$는 $X_{t}$의 연속 실제화이다. 

참고자료:

Introduction to Stochastic Integration, Hui-Hsiung Kuo, Springer