[확률적분] 12. 둡-마이어 분해정리

[확률적분] 12. 둡-마이어 분해정리

\(\{X_{n}\}_{n\geq0}\)을 여과 \(\{\mathcal{F}_{n}\}_{n\geq0}\)에 대한 열마팅게일이라 하자. 확률변수열 \(\{A_{n}\}_{n\geq0}\)을 \(A_{0}=0\)이고 \(n\geq1\)일 때 다음과 같이 정의하자.$$A_{n}=\sum_{i=1}^{n}{\left\{E(X_{i}|\mathcal{F}_{i-1})-X_{i-1}\right\}}$$\(A_{n}\)은 \(\mathcal{F}_{n-1}-\)가측이고 \(\{X_{n}\}\)이 열마팅게일이므로 \(E(X_{i}|\mathcal{F}_{i-1})-X_{i-1}\geq0\,a.s.\)이다. 따라서 \(\{A_{n}\}\)은 a.s. 증가수열이다. \(M_{n}=X_{n}-A_{n}\)이라 하자. 그러면 \(\{M_{n}\}\)은 마팅게일이고 따라서 다음의 둡 분해(Doob decomposition)를 얻는다.$$X_{n}=M_{n}+A_{n},\,n\geq0$$열마팅게일의 마팅게일과 적합 증가수열의 합으로써의 분해는 '\(A_{0}=0\)'과 '\(A_{n}\)이 \(\mathcal{F}_{n-1}-\)가측이다' 라는 조건이 있으면 유일하다. 

연속시간의 경우에 대해서는 좀 더 복잡해지고 이때의 분해를 둡-마이어 분해(Doob-Meyer decomposition)라고 한다. 

여기서의 모든 확률과정 \(X(t)\)는 좌극한 우연속이다. 

\(X(t),\,a\leq t\leq b\)를 우연속 여과 \(\{\mathcal{F}_{t},\,a\leq t\leq b\}\)에 대해 열마팅게일이라 하자. \(X(t)\)가 특정 조건들을 만족하면, 분해를 다음과 같이 유일하게 나타낼 수 있고$$X(t)=M(t)+C(t),\,a\leq t\leq b$$여기서 \(M(t),\,a\leq t\leq b\)는 여과 \(\{\mathcal{F}_{t}\}\)에 대한 마팅게일, \(C(t)\)는 예측가능하고 우연속 a.s. 증가하며 모든 \(t\in[a,\,b]\)에 대해 \(E(C(t))<\infty\), \(C(a)=0\)인 확률변수이다. 게다가 \(C(t)\)가 특정한 추가조건들을 만족시킨다면 이 분해는 유일하다.(여기서 둡-마이어 분해정리를 증명하지 않겠다) 

둡-마이어 분해식에서의 확률과정 \(C(t)\)를 열마팅게일 \(X(t)\)의 보상자(compensator)라고 한다.  

\(M(t)\)가 제곱적분가능한 마팅게일이면, \(E(\{M(t)\}^{2})<\infty\)이고 조건부 젠센부등식을 적용해 \(\{M(t)\}^{2}\)가 열마팅게일임을 확인할 수 있다. 

\(M(t),\,a\leq t\leq b\)를 좌극한 우연속, 제곱적분가능한 마팅게일이라 하자. 그러면 유일한 분해가 다음과 같이 존재하고$$\{M(t)\}^{2}=L(t)+A(t),\,a\leq t\leq b$$여기서 \(L(t)\)는 좌극한 우연속 마팅게일, \(A(t)\)는 예측가능한 우연속, 증가과정이고 \(A(a)=0\)이며 모든 \(t\in[a,\,b]\)에 대해 \(E(A(t))<\infty\)이다. 

편의를 위해 \(\{M(t)\}^{2}\)의 보상자 \(A(t)\)를 \(\langle M\rangle_{t}\)로 나타낸다.

반면에 이 정리에서의 마팅게일 \(M(t)\)에 대해 다음의 극한이 존재한다.$$[M]_{t}=\lim_{\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0}{\sum_{i=1}^{n}{\{M(t_{i})-M(t_{i-1})\}^{2}}},\,\text{in probability}$$여기서 \(\Delta_{n}=\{t_{0},\,t_{1},\,...,\,t_{n-1},\,t_{n}\}\)은 구간 \([a,\,t]\)의 분할이고, \(\displaystyle\|\Delta_{n}\|=\max_{1\leq i\leq n}{(t_{i}-t_{i-1})}\)이다. 극한 \([M]_{t}\)를 \(M(t)\)의 이차변동과정(quadratic variation process)이라고 하고 \(\{M(t)\}^{2}-[M]_{t}\)는 마팅게일이다. 

일반적으로 \(M(t)\)의 이차변동과정 \([M]_{t}\)는 \(\{M(t)\}^{2}\)의 보상자 \(\langle M\rangle_{t}\)와 같지 않고 따라서 \([M]_{t}-\langle M\rangle_{t}\)도 마팅게일이다. 그러므로 \(\langle M\rangle_{t}\)는 확률과정 \([M]_{t}\)의 유일한 예측가능한 보상자이다.              

예: 브라운 운동 \(B(t)\)를 고려하자. 구간 \([0,\,t]\)에서 \(B(t)\)의 이차변동과정은 \([B]_{t}=t\)로 주어지고 \(\{B(t)\}^{2}-t\)는 마팅게일이므로 따라서 \(\{B(t)\}^{2}\)에 대한 둡-마이어 분해를 다음과 같이 얻는다.$$\{B(t)\}^{2}=(\{B(t)\}^{2}-t)+t$$따라서 \(\{B(t)\}^{2}\)의 보상자는 \(\langle B\rangle_{t}=t\)로 주어지고 \([B]_{t}=\langle B\rangle_{t}\)이다.  

예: 마팅게일 \(M(t)=\{B(t)\}^{2}-t\)를 고려하자. \(\{\mathcal{F}_{t}\}\)를 다음의 조건들을 만족하는 여과라 하자.

(a) 각 \(t\)에 대하여 \(B(t)\)는 \(\mathcal{F}_{t}-\)가측이다.   

(b) 임의의 \(s\leq t\)에 대해 확률변수 \(B(t)-B(s)\)는 \(\sigma-\)체 \(\mathcal{F}_{s}\)와 독립이다. 

그러면 임의의 \(s<t\)에 대하여 다음이 성립한다.$$\begin{align*}E(\{B(t)\}^{4}|\mathcal{F}_{s})&=\{B(s)\}^{4}+6(t-s)\{B(s)\}^{2}+3(t-s)^{2}\\E(\{B(t)\}^{2}|\mathcal{F}_{s})=\{B(s)\}^{2}+(t-s)\end{align*}$$\(\{M(t)\}^{2}=\{B(t)\}^{4}-2t\{B(t)\}^{2}+t^{2}\)이므로 다음이 성립한다.$$E(\{M(t)\}^{2}|\mathcal{F}_{s})=\{B(s)\}^{4}+(4t-6s)\{B(s)\}^{2}+2(t-s)^{2}+s^{2}$$반면에 \(\{M(t)\}^{2}=L(t)+A(t)\)를 \(\{M(t)\}^{2}\)의 둡-마이어 분해라고 하자. 그러면 다음의 식을 얻고,$$\begin{align*}E(\{M(t)\}^{2}|\mathcal{F}_{s})&=L(s)+E(A(t)|\mathcal{F}_{s})\\&=\{M(s)\}^{2}-A(s)+E(A(t)|\mathcal{F}_{s})\\&=\{B(s)\}^{4}-2s\{B(s)\}^{2}+s^{2}+E(A(t)-A(s)|\mathcal{F}_{s})\end{align*}$$다음의 식이 성립한다.$$E(A(t)-A(s)|\mathcal{F}_{s})=4(t-s)\{B(s)\}^{2}+2(t-s)^{2}$$앞의 식으로부터 다음이 성립하고$$\begin{align*}E\left(\int_{s}^{t}{\{B(u)\}^{2}du}|\mathcal{F}_{s}\right)&=\int_{s}^{t}{E(\{B(u)\}^{2}|\mathcal{F}_{s})}\\&=\int_{s}^{t}{(\{B(s)\}^{2}+u-s)du}\\&=(t-s)\{B(s)\}^{2}+\frac{1}{2}(t-s)^{2}\end{align*}$$따라서 다음의 식을 얻는다.$$A(t)=4\int_{0}^{t}{\{B(u)\}^{2}du}$$그러므로 \(\{M(t)\}^{2}=(\{B(t)\}^{2}-t)^{2}\)의 보상자는 다음과 같고$$\langle M\rangle_{t}=4\int_{0}^{t}{\{B(u)\}^{2}du}$$따라서 다음의 확률과정은 마팅게일이다.$$(\{B(t)\}^{2}-t)^{2}-4\int_{0}^{t}{\{B(u)\}^{2}du}$$\(M(t)=\{B(t)\}^{2}-t\)의 이차변동과정은 \(\displaystyle4\int_{0}^{t}{\{B(u)\}^{2}du}\)이고 따라서 \([M]_{t}=\langle M\rangle_{t}\)이다.    

예: \([0,\,t]\)에서의 포아송 과정 \(N(t)\)를 고려하자. 보상 포아송 과정 \(\tilde{N}(t)=N(t)-\lambda t\)는 마팅게일이고 \(\tilde{N}(t)\)의 이차변동과정은 \([\tilde{N}]_{t}=\lambda t+\tilde{N}(t)\)이다. \(\{\tilde{N}(t)\}^{2}\)의 보상자 \(\langle\tilde{N}\rangle_{t}\)는 다음과 같이 구할 수 있다. 

임의의 \(0\leq s<t\)에 대해 다음의 식이 성립하고$$E(\{N(t)\}^{2}|\mathcal{F}_{s})=\lambda^{2}(t-s)^{2}+\lambda(t-s)+2\lambda(t-s)N(s)+\{N(s)\}^{2}$$이고 따라서 다음의 식이 성립한다.$$E(\{\tilde{N}(t)\}^{2}-\lambda t|\mathcal{F}_{s})=\{\tilde{N}(t)\}^{2}-\lambda s$$따라서 \(\{\tilde{N}(t)\}^{2}-\lambda t\)는 마팅게일이고, 다음의 \(\{\tilde{N}(t)\}^{2}\)에 대한 둡-마이어 분해를 얻는다.$$\{\tilde{N}(t)\}^{2}=(\{\tilde{N}(t)\}^{2}-\lambda t)+\lambda t$$따라서 \(\{\tilde{N}(t)\}\)의 보상자는 \(\langle\tilde{N}\rangle_{t}=\lambda t\)이고 \([\tilde{N}]_{t}\neq\langle\tilde{N}\rangle_{t}\)이다. 

\([\tilde{N}]_{t}=\lambda t+\tilde{N}(t)\)는 점프를 포함하고, \(\lambda=1\)일 때 \(\{\tilde{N}(t)\}^{2}\)의 보상자는 \(\{B(t)\}^{2}\)의 보상자와 같다.     

예: 마팅게일 \(M(t)=B(t)+\tilde{N}(t)\)를 고려하고, \(B(t)\)와 \(\tilde{N}(t)\)는 독립이라 하자. 그러면 임의의 \(s\leq t\)에 대해 다음이 성립하고$$\begin{align*}E(B(t)\tilde{N}(t)|\mathcal{F}_{s})&=E((\{B(t)-B(s)\}+B(s))(\{\tilde{N}(t)-\tilde{N}(s)\}+\tilde{N}(s))|\mathcal{F}_{s})\\&=B(s)\tilde{N}(s)\end{align*}$$따라서 \(B(t)\tilde{N}(t)\)는 마팅게일이다. 이 사실로부터 다음의 확률과정은 마팅게일이고$$\{B(t)+\tilde{N}(t)\}^{2}-(t+\lambda t)=(\{B(t)\}^{2}-t)+2B(t)\tilde{N}(t)+(\{\tilde{N}(t)\}^{2}-\lambda t)$$이것은 \(\langle M_{t}\rangle=(1+\lambda)t\)를 뜻하고 \(B(t)\)와 \(\tilde{N}(t)\)는 독립이므로 다음의 식이 성립한다.$$[M]_{t}=[B]_{t}+[\tilde{N}]_{t}=(1+\lambda)t+\tilde{N}(t)$$

참고자료:

Introduction to Stochastic Integration, Hui-Hsiung Kuo, Springer