[확률적분] 12. 둡-마이어 분해정리

[확률적분] 12. 둡-마이어 분해정리

$\{X_{n}\}_{n\geq0}$을 여과 $\{\mathcal{F}_{n}\}_{n\geq0}$에 대한 열마팅게일이라 하자. 확률변수열 $\{A_{n}\}_{n\geq0}$을 $A_{0}=0$이고 $n\geq1$일 때 다음과 같이 정의하자. $$A_{n}=\sum_{i=1}^{n}{\left\{E(X_{i}|\mathcal{F}_{i-1})-X_{i-1}\right\}}$$ $A_{n}$은 $\mathcal{F}_{n-1}-$가측이고 $\{X_{n}\}$이 열마팅게일이므로 $E(X_{i}|\mathcal{F}_{i-1})-X_{i-1}\geq0\,a.s.$이다. 따라서 $\{A_{n}\}$은 a.s. 증가수열이다. $M_{n}=X_{n}-A_{n}$이라 하자. 그러면 $\{M_{n}\}$은 마팅게일이고 따라서 다음의 둡 분해(Doob decomposition)를 얻는다. $$X_{n}=M_{n}+A_{n},\,n\geq0$$ 열마팅게일의 마팅게일과 적합 증가수열의 합으로써의 분해는 '$A_{0}=0$'과 '$A_{n}$이 $\mathcal{F}_{n-1}-$가측이다' 라는 조건이 있으면 유일하다. 

연속시간의 경우에 대해서는 좀 더 복잡해지고 이때의 분해를 둡-마이어 분해(Doob-Meyer decomposition)라고 한다. 

여기서의 모든 확률과정 $X(t)$는 좌극한 우연속이다. 

$X(t),\,a\leq t\leq b$를 우연속 여과 $\{\mathcal{F}_{t},\,a\leq t\leq b\}$에 대해 열마팅게일이라 하자. $X(t)$가 특정 조건들을 만족하면, 분해를 다음과 같이 유일하게 나타낼 수 있고 $$X(t)=M(t)+C(t),\,a\leq t\leq b$$ 여기서 $M(t),\,a\leq t\leq b$는 여과 $\{\mathcal{F}_{t}\}$에 대한 마팅게일, $C(t)$는 예측가능하고 우연속 a.s. 증가하며 모든 $t\in[a,\,b]$에 대해 $E(C(t))<\infty$, $C(a)=0$인 확률변수이다. 게다가 $C(t)$가 특정한 추가조건들을 만족시킨다면 이 분해는 유일하다.(여기서 둡-마이어 분해정리를 증명하지 않겠다) 

둡-마이어 분해식에서의 확률과정 $C(t)$를 열마팅게일 $X(t)$의 보상자(compensator)라고 한다.  

$M(t)$가 제곱적분가능한 마팅게일이면, $E(\{M(t)\}^{2})<\infty$이고 조건부 젠센부등식을 적용해 $\{M(t)\}^{2}$가 열마팅게일임을 확인할 수 있다. 

$M(t),\,a\leq t\leq b$를 좌극한 우연속, 제곱적분가능한 마팅게일이라 하자. 그러면 유일한 분해가 다음과 같이 존재하고 $$\{M(t)\}^{2}=L(t)+A(t),\,a\leq t\leq b$$ 여기서 $L(t)$는 좌극한 우연속 마팅게일, $A(t)$는 예측가능한 우연속, 증가과정이고 $A(a)=0$이며 모든 $t\in[a,\,b]$에 대해 $E(A(t))<\infty$이다. 

편의를 위해 $\{M(t)\}^{2}$의 보상자 $A(t)$를 $\langle M\rangle_{t}$로 나타낸다.

반면에 이 정리에서의 마팅게일 $M(t)$에 대해 다음의 극한이 존재한다. $$[M]_{t}=\lim_{\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0}{\sum_{i=1}^{n}{\{M(t_{i})-M(t_{i-1})\}^{2}}},\,\text{in probability}$$ 여기서 $\Delta_{n}=\{t_{0},\,t_{1},\,...,\,t_{n-1},\,t_{n}\}$은 구간 $[a,\,t]$의 분할이고, $\displaystyle\|\Delta_{n}\|=\max_{1\leq i\leq n}{(t_{i}-t_{i-1})}$이다. 극한 $[M]_{t}$를 $M(t)$의 이차변동과정(quadratic variation process)이라고 하고 $\{M(t)\}^{2}-[M]_{t}$는 마팅게일이다. 

일반적으로 $M(t)$의 이차변동과정 $[M]_{t}$는 $\{M(t)\}^{2}$의 보상자 $\langle M\rangle_{t}$와 같지 않고 따라서 $[M]_{t}-\langle M\rangle_{t}$도 마팅게일이다. 그러므로 $\langle M\rangle_{t}$는 확률과정 $[M]_{t}$의 유일한 예측가능한 보상자이다.              

예: 브라운 운동 $B(t)$를 고려하자. 구간 $[0,\,t]$에서 $B(t)$의 이차변동과정은 $[B]_{t}=t$로 주어지고 $\{B(t)\}^{2}-t$는 마팅게일이므로 따라서 $\{B(t)\}^{2}$에 대한 둡-마이어 분해를 다음과 같이 얻는다. $$\{B(t)\}^{2}=(\{B(t)\}^{2}-t)+t$$ 따라서 $\{B(t)\}^{2}$의 보상자는 $\langle B\rangle_{t}=t$로 주어지고 $[B]_{t}=\langle B\rangle_{t}$이다.  

예: 마팅게일 $M(t)=\{B(t)\}^{2}-t$를 고려하자. $\{\mathcal{F}_{t}\}$를 다음의 조건들을 만족하는 여과라 하자.

(a) 각 $t$에 대하여 $B(t)$는 $\mathcal{F}_{t}-$가측이다.   

(b) 임의의 $s\leq t$에 대해 확률변수 $B(t)-B(s)$는 $\sigma-$체 $\mathcal{F}_{s}$와 독립이다. 

그러면 임의의 $s<t$에 대하여 다음이 성립한다. $$\begin{align*}E(\{B(t)\}^{4}|\mathcal{F}_{s})&=\{B(s)\}^{4}+6(t-s)\{B(s)\}^{2}+3(t-s)^{2}\\E(\{B(t)\}^{2}|\mathcal{F}_{s})=\{B(s)\}^{2}+(t-s)\end{align*}$$ $\{M(t)\}^{2}=\{B(t)\}^{4}-2t\{B(t)\}^{2}+t^{2}$이므로 다음이 성립한다. $$E(\{M(t)\}^{2}|\mathcal{F}_{s})=\{B(s)\}^{4}+(4t-6s)\{B(s)\}^{2}+2(t-s)^{2}+s^{2}$$ 반면에 $\{M(t)\}^{2}=L(t)+A(t)$를 $\{M(t)\}^{2}$의 둡-마이어 분해라고 하자. 그러면 다음의 식을 얻고, $$\begin{align*}E(\{M(t)\}^{2}|\mathcal{F}_{s})&=L(s)+E(A(t)|\mathcal{F}_{s})\\&=\{M(s)\}^{2}-A(s)+E(A(t)|\mathcal{F}_{s})\\&=\{B(s)\}^{4}-2s\{B(s)\}^{2}+s^{2}+E(A(t)-A(s)|\mathcal{F}_{s})\end{align*}$$ 다음의 식이 성립한다. $$E(A(t)-A(s)|\mathcal{F}_{s})=4(t-s)\{B(s)\}^{2}+2(t-s)^{2}$$ 앞의 식으로부터 다음이 성립하고 $$\begin{align*}E\left(\int_{s}^{t}{\{B(u)\}^{2}du}|\mathcal{F}_{s}\right)&=\int_{s}^{t}{E(\{B(u)\}^{2}|\mathcal{F}_{s})}\\&=\int_{s}^{t}{(\{B(s)\}^{2}+u-s)du}\\&=(t-s)\{B(s)\}^{2}+\frac{1}{2}(t-s)^{2}\end{align*}$$ 따라서 다음의 식을 얻는다. $$A(t)=4\int_{0}^{t}{\{B(u)\}^{2}du}$$ 그러므로 $\{M(t)\}^{2}=(\{B(t)\}^{2}-t)^{2}$의 보상자는 다음과 같고 $$\langle M\rangle_{t}=4\int_{0}^{t}{\{B(u)\}^{2}du}$$ 따라서 다음의 확률과정은 마팅게일이다. $$(\{B(t)\}^{2}-t)^{2}-4\int_{0}^{t}{\{B(u)\}^{2}du}$$ $M(t)=\{B(t)\}^{2}-t$의 이차변동과정은 $\displaystyle4\int_{0}^{t}{\{B(u)\}^{2}du}$이고 따라서 $[M]_{t}=\langle M\rangle_{t}$이다.    

예: $[0,\,t]$에서의 포아송 과정 $N(t)$를 고려하자. 보상 포아송 과정 $\tilde{N}(t)=N(t)-\lambda t$는 마팅게일이고 $\tilde{N}(t)$의 이차변동과정은 $[\tilde{N}]_{t}=\lambda t+\tilde{N}(t)$이다. $\{\tilde{N}(t)\}^{2}$의 보상자 $\langle\tilde{N}\rangle_{t}$는 다음과 같이 구할 수 있다. 

임의의 $0\leq s<t$에 대해 다음의 식이 성립하고 $$E(\{N(t)\}^{2}|\mathcal{F}_{s})=\lambda^{2}(t-s)^{2}+\lambda(t-s)+2\lambda(t-s)N(s)+\{N(s)\}^{2}$$ 이고 따라서 다음의 식이 성립한다. $$E(\{\tilde{N}(t)\}^{2}-\lambda t|\mathcal{F}_{s})=\{\tilde{N}(t)\}^{2}-\lambda s$$ 따라서 $\{\tilde{N}(t)\}^{2}-\lambda t$는 마팅게일이고, 다음의 $\{\tilde{N}(t)\}^{2}$에 대한 둡-마이어 분해를 얻는다. $$\{\tilde{N}(t)\}^{2}=(\{\tilde{N}(t)\}^{2}-\lambda t)+\lambda t$$ 따라서 $\{\tilde{N}(t)\}$의 보상자는 $\langle\tilde{N}\rangle_{t}=\lambda t$이고 $[\tilde{N}]_{t}\neq\langle\tilde{N}\rangle_{t}$이다. 

$[\tilde{N}]_{t}=\lambda t+\tilde{N}(t)$는 점프를 포함하고, $\lambda=1$일 때 $\{\tilde{N}(t)\}^{2}$의 보상자는 $\{B(t)\}^{2}$의 보상자와 같다.     

예: 마팅게일 $M(t)=B(t)+\tilde{N}(t)$를 고려하고, $B(t)$와 $\tilde{N}(t)$는 독립이라 하자. 그러면 임의의 $s\leq t$에 대해 다음이 성립하고 $$\begin{align*}E(B(t)\tilde{N}(t)|\mathcal{F}_{s})&=E((\{B(t)-B(s)\}+B(s))(\{\tilde{N}(t)-\tilde{N}(s)\}+\tilde{N}(s))|\mathcal{F}_{s})\\&=B(s)\tilde{N}(s)\end{align*}$$ 따라서 $B(t)\tilde{N}(t)$는 마팅게일이다. 이 사실로부터 다음의 확률과정은 마팅게일이고 $$\{B(t)+\tilde{N}(t)\}^{2}-(t+\lambda t)=(\{B(t)\}^{2}-t)+2B(t)\tilde{N}(t)+(\{\tilde{N}(t)\}^{2}-\lambda t)$$ 이것은 $\langle M_{t}\rangle=(1+\lambda)t$를 뜻하고 $B(t)$와 $\tilde{N}(t)$는 독립이므로 다음의 식이 성립한다. $$[M]_{t}=[B]_{t}+[\tilde{N}]_{t}=(1+\lambda)t+\tilde{N}(t)$$

참고자료:

Introduction to Stochastic Integration, Hui-Hsiung Kuo, Springer