[확률적분] 13. 이토 공식(1)

[확률적분] 13. 이토 공식(1)

함수 $f$와 $g$가 미분가능하면, 그 합성함수 $f(g(t))$도 미분가능하고 그 도함수는 다음과 같다. $$\frac{d}{dt}f(g(t))=f'(g(t))g'(t)$$ 미적분학의 기본정리로부터 다음의 등식이 성립한다. $$f(g(t))-f(g(a))=\int_{a}^{t}{f'(g(s))g(s)ds}$$ 브라운운동 $B(t)$는 연속이지만 미분가능하지 않기 때문에 미적분학의 기본정리를 적용할 수 없다. 

이토적분 $\displaystyle\int_{a}^{t}{f'(B(t))dB(s)}$는 $f'(B(t))$가 $L_{ad}^{2}([a,\,b]\times\Omega)$에 속하는지 또는 $\mathcal{L}_{ad}(\Omega,\,L^{2}([a,\,b]))$에 속하는지에 따라 결과가 달라진다. 예를들어 $f(x)=x^{2}$라고 하면 $$\{B(t)\}^{2}-\{B(a)\}^{2}-(t-a)=2\int_{a}^{t}{B(s)dB(s)}$$ 이므로 무작정(?) 미적분학의 기본정리를 적용한 결과와 다르게 나온다.

구간 $[a,\,t]$의 분할을 $\Delta_{n}=\{t_{0},\,t_{1},\,...,\,t_{n-1},\,t_{n}\}$이라 하면 다음이 성립한다. $$f(B(t))-f(B(a))=\sum_{i=1}^{n}{\{f(B(t_{i}))-f(B(t_{i-1}))\}}$$ $f$를 $C^{(2)}$함수(두 번 미분가능하고, 그 이계도함수가 연속인 함수)라고 하자. 그러면 다음의 테일러 전개를 얻고, $$f(x)-f(x_{0})=f'(x_{0})(x-x_{0})+\frac{1}{2}f''(x_{0}+\lambda(x-x_{0}))(x-x_{0})^{2}\,(0<\lambda<1)$$ 다음의 식이 성립한다. $$f(B(t))-f(B(a))=\sum_{i=1}^{n}{f'(B_{t_{i-1}})(B_{t_{i}}-B_{t_{i-1}})}+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}{f''(B_{t_{i-1}}+\lambda_{i}(B_{t_{i-1}}-B_{t_{i-1}}))(B_{t_{i}}-B_{t_{i}})^{2}}$$ 여기서 $0<\lambda_{i}<1$이고 $B_{t}=B(t)$이다. 위 식에서 첫번째 합은 다음과 같고 $$\lim_{\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0}{\sum_{i=1}^{n}{f'(B_{t_{i-1}})}(B_{t_{i}}-B_{t_{i-1}})}=\int_{a}^{t}{f'(B(s))dB(s)}\,\text{in probability}$$ 두번째 합은 $\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0$일 때 다음과 같이 수렴한다. $$\sum_{i=1}^{n}{f''(B_{t_{i-1}}+\lambda_{i}(B_{t_{i}}-B_{t_{i-1}}))(B_{t_{i}}-B_{t_{i-1}})^{2}}\,\rightarrow\,\int_{a}^{t}{f''(B(s))ds}$$ 여기서 $f''$가 유계인지를 확인해야 한다. 위의 두번째 합이 리만합으로 수렴하는것은 쉽게 보일 수 있으나 일반적으로 $f''$이 유계가 아닐 수 있다. 

앞의 결과들을 종합하면 다음의 정리를 얻는다(이 정리는 이토 키요시가 증명했다).

$f(x)$를 $C^{(2)}$함수라 하자. 그러면 다음의 등식이 성립한다. $$f(B(t))-f(B(a))=\int_{a}^{t}{f'(B(s))dB(s)}+\frac{1}{2}\int_{a}^{t}{f''(B(s))ds}$$ 위 식에서 첫 번째 적분은 이토적분이고, 두 번째 적분은 $B(s)$의 각 경로에 대한 리만적분이다. 

앞에서 함수 $f(x)=x^{2}$에 대해 다음의 등식이 성립함을 보였다. $$\{B(t)\}^{2}-\{B(a)\}^{2}=2\int_{a}^{t}{B(s)dB(s)}+(t-a)$$ 위의 식에서 $t=b$이면 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\int_{a}^{b}{B(t)dB(t)}=\frac{1}{2}(\{B(b)\}^{2}-\{B(a)\}^{2}-(b-a))$$ 반면에 $a=0$이면 다음의 식을 얻고 $$\{B(t)\}^{2}=2\int_{0}^{t}{B(s)dB(s)}+t$$ 이 식은 열마팅게일 $\{B(t)\}^{2}$의 둡-마이어 분해이다.    

$f(x)=x^{4}$일 때 다음의 식을 얻고 $$\{B(t)\}^{4}=\left(\{B(a)\}^{4}+4\int_{a}^{t}{\{B(s)\}^{3}dB(s)}\right)+6\int_{a}^{t}{\{B(s)\}^{2}ds}$$ 이것은 열마팅게일 $\{B(t)\}^{4}$의 둡-마이어 분해이고, 이 식으로부터 다음의 식을 얻는다. $$\int_{a}^{t}{\{B(s)\}^{3}dB(s)}=\frac{1}{4}(\{B(t)\}^{4}-\{B(a)\}^{4})-\frac{3}{2}\int_{a}^{t}{\{B(s)\}^{2}ds}$$ $f(x)=e^{x}$일 때 다음의 식을 얻고 $$e^{B(t)}=\left(e^{B(a)}+\int_{a}^{t}{e^{B(s)}dB(s)}\right)+\frac{1}{2}\int_{a}^{t}{e^{B(s)}ds}$$ 이것은 열마팅게일 $e^{B(t)}$의 둡-마이어 분해이고, 이 식으로부터 다음의 식을 얻는다. $$\int_{a}^{t}{e^{B(s)}dB(s)}=e^{B(t)}-e^{B(a)}-\frac{1}{2}\int_{a}^{t}{e^{B(s)}ds}$$ $f(x,\,t)$가 연속함수이고 연속 편도함수 $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial t},\,\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}$를 갖는다고 하자. 그러면 테일러 정리에 의해 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\begin{align*}f(t,\,x)-f(s,\,x_{0})&=\{f(t,\,x)-f(s,\,x)\}+\{f(s,\,x)-f(s,\,x_{0})\}\\&=\frac{\partial f}{\partial t}(s+\rho(t-s),\,x)(t-s)+\frac{\partial f}{\partial x}(s,\,x_{0})(x-x_{0})\\&+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(s,\,x_{0}+\lambda(x-x_{0}))(x-x_{0})^{2}\end{align*}$$ 여기서 $0<\rho<1,\,0<\lambda<1$이다. 그러면 이 방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있고, $$f(t,\,B_{t})-f(a,\,B_{a})=\sum_{i=1}^{n}{\{f(t_{i},\,B_{t_{i}})-f(t_{i-1},\,B_{t_{i-1}})\}}$$ $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial t}(t,\,x)$와 브라운운동 $B(t)$의 연속성에 의해 $\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0$일 때 다음이 성립한다. $$\sum_{i=1}^{n}{\frac{\partial f}{\partial t}(t_{i-1}+\rho(t_{i}-t_{i-1}),\,B_{t_{i-1}})(t_{i}-t_{i-1})}\,\rightarrow\,\int_{a}^{t}{\frac{\partial f}{\partial t}(s,\,B(s))ds}\,a.s.$$ 반면에 분할 $\{\Delta_{n}\}$의 부분수열 $\{\Delta_{n_{k}}\}$가 존재해 $\|\Delta_{n_{k}}\|\,\rightarrow\,0$일 때 $$\begin{align*}\sum_{i=1}^{n}{\frac{\partial f}{\partial x}(t_{i-1},\,B_{t_{i}})(B_{t_{i}}-B_{t_{i-1}})}&\,\rightarrow\,\int_{a}^{t}{\frac{\partial f}{\partial x}(s,\,B(s))dB(s)}\,a.s.\\ \sum_{i=1}^{n}{\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(t_{i-1},\,B_{t_{i-1}}+\lambda(B_{t_{i}}-B_{t_{i-1}}))(B_{t_{i}}-B_{t_{i-1}})^{2}}&\,\rightarrow\,\int_{a}^{t}{\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(s,\,B(s))ds}\,a.s.\end{align*}$$ 따라서 다음의 이토 공식(Ito's formula)을 얻는다.

$f(t,\,x)$가 연속함수이고 연속 편도함수 $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial t},\,\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}$를 갖는다고 하자. 그러면 다음의 식이 성립한다. $$f(t,\,B(t))=f(a,\,B(a))+\int_{a}^{t}{\frac{\partial f}{\partial x}(s,\,B(s))dB(s)}+\int_{a}^{t}{\left(\frac{\partial f}{\partial t}(s,\,B(s))+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(s,\,B(s))\right)ds}$$ $f(t,\,x)=tx^{2}$라고 하자. 그러면 $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial t}=x^{2},\,\frac{\partial f}{\partial x}=2tx,\,\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=2t$이므로 다음의 식을 얻는다. $$t\{B(t)\}^{2}=2\int_{0}^{t}{sB(s)dB(s)}+\left(\int_{0}^{t}{\{B(s)\}^{2}ds}+\frac{1}{2}t^{2}\right)$$ $t\{B(t)\}^{2}$가 열마팅게일임을 조건부기댓값을 이용하여 보일 수 있고, 다음의 이토적분을 얻는다. $$\int_{0}^{t}{sB(s)dB(s)}=\frac{1}{2}t\{B(t)\}^{2}-\frac{1}{4}t^{2}-\frac{1}{2}\int_{0}^{t}{\{B(s)\}^{2}ds}$$ 확률과정 $M(t)=\{B(t)\}^{2}-t$는 마팅게일이다. 이토 공식을 이용하여 $\{M(t)\}^{2}$의 보상자를 구하자. $f(t,\,x)=(x^{2}-t)^{2}$라고 하면 $$\frac{\partial f}{\partial t}=-2(x^{2}-t),\,\frac{\partial f}{\partial x}=4x(x^{2}-t),\,\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=4(x^{2}-t)+8x^{2}$$ 이므로 이토 공식에 의해 $$\{M(t)\}^{2}=(\{B(t)\}^{2}-t)^{2}=4\int_{0}^{t}{B(s)(\{B(s)\}^{2}-s)dB(s)}+4\int_{0}^{t}{\{B(s)\}^{2}ds}$$ 이고 이 식의 첫 번째 적분은 마팅게일, 두 번째 적분은 증가과정이다. 따라서 둡-마이어 분해정리에 의해 $\{M(t)\}^{2}$의 보상자는 다음과 같다. $$\langle M\rangle_{t}=4\int_{0}^{t}{\{B(s)\}^{2}ds}$$ 고정된 상수 $c$에 대해 $f(t,\,x)=e^{cx-\frac{1}{2}c^{2}t}$라 하자. 그러면 $$e^{cB(t)-\frac{1}{2}c^{2}t}=1+c\int_{0}^{t}{e^{cB(s)+\frac{1}{2}c^{2}s}dB(s)}$$ 이므로 $M(t)=e^{cB(t)-\frac{1}{2}c^{2}t}$는 임의의 상수 $c$에 대해 마팅게일이다. $\{M(t)\}^{2}$에 대한 보상자를 찾기 위해 함수 $f(t,\,x)=e^{2cx-c^{2}t}$를 이용하면 $$\{M(t)\}^{2}=1+2c\int_{0}^{t}{e^{2cB(s)-c^{2}s}dB(s)}+c^{2}\int_{0}^{t}{e^{2cB(s)-c^{2}s}ds}$$ 이므로 $\{M(t)\}^{2}$의 보상자는 다음과 같다. $$\langle M\rangle_{t}=c^{2}\int_{0}^{t}{e^{2cB(s)-c^{2}s}ds}$$ $f(t,\,x)=e^{x^{2}-t}$라고 하면 $$\frac{\partial f}{\partial t}=-f(t,\,x),\,\frac{\partial f}{\partial x}=2xf(t,\,x),\,\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=(1+2x^{2})2f(t,\,x)$$ 이므로 이토 공식으로부터 다음의 식을 얻는다. $$e^{\{B(t)\}^{2}-t}=1+2\int_{0}^{t}{B(s)e^{\{B(s)\}^{2}-s}dB(s)}+2\int_{0}^{t}{\{B(s)\}^{2}e^{\{B(s)\}^{2}-s}ds}$$ 위의 식에서 첫 번째 적분은 국소 마팅게일이고, 두 번째 적분은 증가하는 확률과정이다. 이것은 열마팅게일에 대한 둡-마이어 분해와 비슷하다. 

참고자료:

Introduction to Stochastic Integration, Hui-Hsiung Kuo, Springer