[일반물리학] 2. 벡터

2. 벡터

왼쪽 좌표를 직각좌표(rectangular coordinate) 또는 카테시안 좌표(Cartesian coordinate)라고 한다. 평면상의 한 점을 표시하는 데 경우에 따라 극좌표(polar coordinate, 가운데 좌표) \((r,\,\theta)\)를 사용하는 것이 편리할 때도 있다. 극좌표에서 \(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\), \(x=r\sin\theta\), \(y=r\cos\theta\)이고 이 식을 이용하여 극좌표에서 직각좌표로 바꿀 수 있다.

적절한 물리적 단위를 가지나 방향이 없는 단순한 수치(value)를 갖는 양을 스칼라양(scalar quantity)이라고 한다. 스칼라를 다룰 때는 보통의 산술규칙을 사용한다. 부피, 질량, 속력, 시간간격은  방향이 없기 때문에 스칼라양이다.

스칼라양처럼 적절한 물리단위를 가지며, 크기와 방향을 동시에 갖는 양을 벡터량(vector quantity)이라고 한다. 벡터의 크기는 항상 양수이고 변위, 속도, 운동량, 힘, 전기장, 자기장은 방향이 있기 때문에 벡터이다. 벡터를 \(\vec{A}\)로 나타내며 그 크기를 \(A\) 또는 \(|\vec{A}|\)로 나타낸다.

왼쪽 그림에 있는 두 벡터 \(\vec{A}\)와 \(\vec{B}\)는 서로 크기가 같고 방향도 같다. 이 두 벡터 \(\vec{A}\)와 \(\vec{B}\)가 서로 같다는 것은 크기가 같고 방향이 같음을 의미한다. 또한 벡터는 평행이동이 가능하다.

벡터의 덧셈의 결과는 합벡터(resultant vector) \(\vec{R}=\vec{A}+\vec{B}\)으로써,

벡터 \(\vec{A}\)의 꼬리에서 벡터 \(\vec{B}\)의 머리까지 연결한 벡터이다.

왼쪽의 첫 번째, 두 번째 그림에서 벡터 \(\vec{R}\)은 처음 벡터의 꼬리에서 마지막 벡터의 머리부분까지 연결한 벡터이다

두 벡터를 더할 때, 그 합은 덧셈의 순서에 무관하다(덧셈의 교환법칙), 셋 또는 그 이상의 벡터를 더할 때, 그 합은 어느 두 벡터를 먼저 더하는 것과 전혀 무관하다(덧셈의 결합법칙). 벡터량은 크기와 방향 두 가지를 가진다.

왼쪽 그림에서 벡터 \(\vec{B}\)의 음의 벡터는 \(\vec{B}\)에 더했을 때 그 합이 \(\vec{0}\)(영벡터)가 되는 벡터이다. 벡터 \(\vec{B}\)와 \(-\vec{B}\)는 크기는 같지만 서로 반대방향을 가리킨다. 벡터의 뺄셈은 음의 벡터를 이용하여 구한다. 연산 \(\vec{A}-\vec{B}\)는 벡터 \(\vec{A}\)에 음의 벡터 \(\vec{B}\)를 더하여 구한다. 즉, \(\vec{A}+(-\vec{B})=\vec{A}-\vec{B}\).

벡터 \(\vec{A}\)에 양의 스칼라양 \(m\)을 곱하면, 그 곱\(m\vec{A}\)는 \(\vec{A}\)와 같은 방향을 갖고 크기가 \(m|\vec{A}|\)인 벡터이다. 벡터 \(\vec{A}\)에 음\((-)\)dml 스칼라양 \(-m\)을 곱하면 그 곱인 \(-m\vec{A}\)는 벡터 \(\vec{A}\)와 방향이 반대이다.

벡터의 각 좌표축에 대한 투영을 그 벡터의 성분(components) 또는 직각성분(rectangular components)이라고 한다.

\(\cos\theta=\frac{|\vec{A}_{x}|}{|\vec{A}|}\), \(\sin\theta=\frac{|\vec{A}_{y}|}{|\vec{A}|}\)이므로

\(|\vec{A}_{x}|=|\vec{A}|\cos\theta\), \(|\vec{A}_{y}|=|\vec{A}|\sin\theta\)이고 \(|\vec{A}|=\sqrt{|\vec{A}_{x}|^{2}+|\vec{A}_{y}|^{2}}\), \(\tan\theta=\frac{|\vec{A}_{y}|}{|\vec{A}_{x}|}\)

(성분 \(\vec{A}_{x}\)와 \(\vec{A}_{y}\)의 부호는 각 \(\theta\)에 의해 결정된다. 아래를 참고할 것.)

 

 

차원이 없고 크기가 \(1\)인 벡터를 단위벡터(unit vector)라고 한다. 직각좌표의 단위벡터인 \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\)는 각각 양\((+)\)의 \(x,\,y,\,z\)축 방향을 나타내는데 사용한다.

 

                                                                   \(\vec{A}=A_{x}\vec{i}+A_{y}\vec{j}\)            \(\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}\)

(※때로는 벡터 \(\vec{i},\,\vec{j},\,\vec{k}\)를 \(\hat{i},\,\hat{j},\,\hat{k}\)로 나타내기도 한다. 이 둘 다 같은 의미를 갖는다.)

 

2차원   \(\vec{A}=A_{x}\vec{i}+A_{y}\vec{j}\), \(\vec{B}=B_{x}\vec{i}+B_{y}\vec{j}\) \(\vec{R}=\vec{A}+\vec{B}=(A_{x}\vec{i}+A_{y}\vec{j})+(B_{x}\vec{i}+B_{y}\vec{j})\\=(A_{x}+B_{x})\vec{i}+(A_{y}+B_{y})\vec{j}=R_{x}\vec{i}+R_{y}\vec{j}\)   합벡터의 성분: \(R_{x}=A_{x}+B_{x}\), \(R_{y}=A_{y}+B_{y}\) \(|\vec{R}|=\sqrt{R_{x}^{2}+R_{y}^{2}}=\sqrt{(A_{x}+B_{x})^{2}+(A_{y}+B_{y})^{2}}\) \(\tan\theta=\frac{A_{y}+B_{y}}{A_{x}+B_{x}}\) (\(\theta\)는 \(\vec{R}\)과 \(x\)축 사이의 각)

3차원   \(\vec{A}=A_{x}\vec{i}+A_{y}\vec{j}+A_{z}\vec{k}\), \(\vec{B}=B_{x}\vec{i}+B_{y}\vec{j}+B_{z}\vec{k}\) \(\vec{R}=\vec{A}+\vec{B}=(A_{x}+B_{x})\vec{i}+(A_{y}+B_{y})\vec{j}+(A_{z}+B_{z})\vec{k}\)   합벡터의 성분: \(R_{x}=A_{x}+B_{x}\), \(R_{y}=A_{y}+B_{y}\), \(R_{z}=A_{z}+B_{z}\) \(|\vec{R}|=\sqrt{R_{x}^{2}+R_{y}^{2}+R_{z}^{2}}\) \(\cos\theta_{x}=\frac{R_{x}}{|\vec{R}|}\), \(\cos\theta_{y}=\frac{R_{y}}{|\vec{R}|}\), \(\cos\theta_{z}=\frac{R_{z}}{|\vec{R}|}\) (\(\theta_{x},\,\theta_{y},\,\theta_{z}\)는 \(\vec{R}\)이 \(x,\,y,\,z\)축과 이루는 각)

 

참고자료:

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning