물리학에서의 측정: 차원, 단위, 유효숫자

물리학에서의 측정: 차원, 단위, 유효숫자

1. 차원분석(Dimension analysis)

길이, 질량, 시간의 차원(dimension)은 기호로 각각 L, M, T(Length, Mass, Time)이고 물리량의 차원을 표시하기 위해 괄호 []를 사용한다.

예: 속력을 나타내는 기호는 \(v\)이고 속력의 차원은 \([v]=\mathrm{L/T}\)이며 면적 \(A\)의 차원은 \([A]=\mathrm{L/T^{2}}\)이다.

물리 실험이나 이론으로부터 방정식이 유도되거나 점검할 때 유도 과정에 도움이 되거나 마지막 식(표현)을 점검하는데 차원분석(dimension analysis)이라는 유용한 방법을 쓸 수 있다. 차원분석은 차원을 대수적인 양으로 취급할 수 있다는 점을 이용한다. 즉, 물리적인 양은 같은 차원일 때만 더하거나 뺄 수 있으며, 방정식에서 양변의 항들은 같은 차원을 가져야 한다.

정지하고 있던 자동차가 등가속도 \(a\)로 움직이기 시작하여 시간 \(t\)초 동안 이동한 거리 \(x\)는 \(x=\frac{1}{2}at^{2}\)로 표현되고 \(x\)의 차원은 \(\mathrm{L}\)이고 가속도의 차원은 \(\mathrm{L/T^{2}}\), 시간의 차원은 \(\mathrm{T}\)이므로 \([x]=\mathrm{L/T^{2}}\times\mathrm{T}^{2}=L\)이고 따라서 식 \(x=\frac{1}{2}at^{2}\)은 타당한 식이다.

좀 더 일반적인 차원분석의 과정은 \(x\)∝\(a^{m}t^{n}\)와 같은 형태의 식을 만드는 것이다. 여기서 \(m\)과 \(n\)은 구하는 지수이고 ∝은 비례관계를 나타낸다. 양쪽의 차원이 같을 때, 이 관계식이 성립한다. 가속도의 차원이 \(\mathrm{L/T^{2}}\)이고 시간의 차원은 \(\mathrm{T}\)이므로 \((\mathrm{L/T^{2}})^{m}\mathrm{T}^{n}=\mathrm{L}^{1}\mathrm{T}^{0}\)이고 \(\mathrm{L}^{n}\mathrm{T}^{m-2n}\)=\(\mathrm{L^{1}T^{0}}\)이다. 그러면 \(n=1\)이고 \(m-2n=m-2=0\)이므로 \(m=2\)이다. 그러면 \(x\)∝\(at^{2}\)이고 이는 타당하다.

2. 단위의 환산(Conversion of Units)

길이	m	cm	km
1meter	\(1\)	\(10^{2}\)	\(10^{-3}\)
1centimeter	\(10^{-2}\)	\(1\)	\(10^{-5}\)
1kilometer	\(10^{3}\)	\(10^{5}\)	\(1\)

질량	kg	g
1kilogram	\(1\)	\(10^{3}\)
1gram	\(10^{-3}\)	\(1\)

시간	s	min	h	day	yr
1second	\(1\)	\(1.667\times10^{-2}\)	\(2.778\times10^{-4}\)	\(1.157\times10^{-5}\)	\(3.169\times10^{-8}\)
1minute	\(60\)	\(1\)	\(1.667\times10^{-2}\)	\(6.994\times10^{-4}\)	\(1.901\times10^{-6}\)
1hour	\(3600\)	\(60\)	\(1\)	\(4.167\times10^{-2}\)	\(1.141\times10^{-4}\)
1day	\(8.640\times10^{4}\)	\(1440\)	\(24\)	\(1\)	\(2.738\times10^{-3}\)
1year	\(3.156\times10^{7}\)	\(5.259\times10^{5}\)	\(8.766\times10^{3}\)	\(365.2\)	\(1\)

3. 추정 및 크기의 정도 계산(Estimates and Order-of-Magnitude Calculations)

1과 10 사이의 수에 10의 멱(거듭제곱 지수)를 곱하여 나타내는 방법을 과학적 표기법이라고 하고 앞으로 물리학을 포함한 모든 과학에서 수치를 나타낼 때, 과학적 표기법으로 나타낸다.

예: \(1600=1.6\times10^{3}\), \(0.0021=2.1\times10^{-3}\)

 

어떤 값의 크기의 정도를 나타낼 때 기호 ‘~’를 다음과 같이 사용한다(반올림을 생각하라).

\(0.0086\mathrm{m}\sim10^{-2}\mathrm{m}\), \(0.0021\mathrm{m}\sim10^{-3}\mathrm{m}\), \(720\mathrm{m}\sim10^{3}\mathrm{m}\)

4. 유효숫자(Significant figures)

어떤 양을 측정할 때, 측정값은 실험적 오차 범위 내에서만 의미를 갖는 값이다. 측정에서 유효숫자의 개수는 불확실한 정도를 표현하는데 사용된다.

0이 아닌 모든 숫자(123)와 0이 아닌 숫자 사이에 있는 0(2001, 1.03), 소수 뒤에 있는 0(2.640)은 유효숫자이나 소수에서 자릿수를 나타내는 0은 유효숫자가 아니다(0.0060의 유효숫자는 6과 6 오른쪽에 있는 0). 정수의 끝에 있는 0(100, 450)은 유효숫자인지 아닌지 알 수 없다. 이러한 불확실성을 제거하기 위해, 유효숫자의 수를 확실하게 나타내는 과학적 표기법을 사용한다. 어떤 물체의 질량이 1500g이고 유효숫자가 두 개이면 1.5×10³g, 세 개이면 1.50×10³g, 네 개이면 1.500×10³g이다. 1보다 적은 숫자에도 같은 규칙이 적용된다. \(2.3\times10^{-2}\)(또는 0.023)의 유효숫자는 2, 3 두 개이고 \(2.30\times10^{-2}\)(또는 0.0230)의 유효숫자는 2, 3, 0 세 개 이다.

 

숫자를 더하거나 뺄 때, 결과값에서 소수점 이하 자릿수는 계산 과정에 포함된 숫자 중 소수점 이하 자릿수가 가장 작은 것과 같아야 한다. 덧셈이나 뺄셈의 결과에서 유효숫자의 수를 줄여야 하는 경우에는 반올림(버리는 수가 5보다 같거나 크면 남아있는 마지막 수에 1을 더하고, 5보다 작으면 그대로 둔다)을 한다. 예를 들어 123+5.35를 계산할 때, 답은 128.35가 아니라 128이다(123, 5.35 모두 유효숫자가 3개). 또한 4.5+0.3352를 계산할 때, 답은 4.8352가 아니라 4.8이다(4.5의 유효숫자는 2개, 4.8352의 유효숫자는 5개).

 

곱셈의 경우에도 결과 값의 유효 숫자 수는 곱하는 수 중 가장 작은 유효숫자 수와 같다. 나눗셈 또한 마찬가지이다. 예를 들어 4.5와 0.3352의 곱은 1.50840이 아니라 1.5이다(4.5의 유효숫자는 2개, 4.8352의 유효숫자는 5개).