[일반물리학] 3. 2차원 운동

3. 2차원 운동

\(xy\)평면에서 입자의 위치는 좌표계의 원점으로부터 입자까지 연결한 위치벡터(position vector) \(\vec{r}\)로 표시한다. 입자의 변위벡터(displacement vector) \(\Delta\vec{r}\)은 나중위치벡터 \(\vec{r_{f}}\)에서 처음위치벡터 \(\vec{r_{i}}\)를 뺀 것으로 정의한다. 즉$$\Delta\vec{r}=\vec{r_{f}}-\vec{r_{i}}$$시간 \(\Delta t=t_{f}-t_{i}\)동안 입자의 평균속도(average velocity)는$$\vec{v}_{\text{avg}}=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$$로 정의한다. 또한 순간속도(instantaneous velocity)는$$\vec{v}=\lim_{\Delta t\,\rightarrow\,0}{\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}}=\frac{d\vec{r}}{dt}$$로 정의한다.

순간속도벡터 \(\vec{v}\)의 크기 \(v=|\vec{v}|\)를 속력(speed)이라고 하며 스칼라양이다.

평균가속도와 순간가속도를 다음과 같이 정의한다.$$\vec{a}_{\text{avg}}=\frac{\Delta{v}}{\Delta t},\,\vec{a}=\lim_{\Delta t\,\rightarrow\,0}{\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}}=\frac{d\vec{v}}{dt}$$

1. 일직선(1차원)운동에서와 같이 속도벡터의 크기(속력)는 시간에 따라 변할 수 있다.

2. 속도의 크기(속력)는 일정하더라도 굽은 경로(2차원) 운동에서처럼 속도와 방향이 변하기도 한다.

3. 속도와 크기와 방향이 모두 변할 수 있다.

포물체 운동(Projectile Motion)

먼저 다음과 같이 가정한다.

가정 1: 자유낙하가속도는 일정하고 아래로 향한다.

가정 2: 공기저항은 무시한다.

포물체 운동을 분석할 때, 이를 수평방향의 등속운동과 연직방향의 자유낙하

운동의 중첩으로 간주할 수 있다.(시간 \(t\)는 두 성분에 대해 공통성분이다.)

왼쪽 그림에서 \(v_{xi}=v_{i}\cos\theta_{i}\), \(v_{yi}=v_{i}\sin\theta_{i}\).

\(y=v_{i}\sin\theta_{i}t-\frac{1}{2}gt^{2}\), \(v_{y}=\frac{dy}{dt}=v_{yi}-gt=v_{i}\sin\theta_{i}-gt\)이고 최대높이에서 \(v_{y}=0\)이므로 최고점 도달시간은 \(t_{A}=\frac{v_{i}\sin\theta_{i}}{g}\), 최대높이는 \(h=\frac{v_{i}^{2}\sin^{2}\theta_{i}}{2g}\), 수평도달거리는 \(R=\frac{v_{i}^{2}\sin2\theta_{i}}{g}\)이고 다시 땅으로 떨어질 때까지 걸리는 시간은 최고 높이에 도달하는데 걸린 시간의 두 배이다. 즉, \(t_{B}=2t_{A}\). \(\theta_{i}=45\)º일 때 수평도달거리 \(R\)이 최대이다.

입자의 등속 원운동(The Particle in Uniform Circular Motion)

\(\Delta\vec{v}=\vec{v}_{f}-\vec{v}_{i}\), 등속원운동이므로 \(|\vec{v}_{f}|=|\vec{v}_{i}|=v\), \(|\vec{r}_{i}|=|\vec{r}_{f}|=r\)(원의 반지름)이다. 속도벡터와 위치벡터는 서로 수직이므로 두 위치벡터 \(\vec{r}_{i}\), \(\vec{r}_{f}\)가 이루는 각 \(\Delta\theta\)는 속도벡터 \(\vec{v}_{i}\), \(\vec{v}_{f}\)가 이루는 각과 같다. 따라서\(\frac{|\Delta\vec{v}|}{v}=\frac{|\Delta\vec{r}|}{r}\)이므로 \(|\Delta\vec{v}|=\frac{|v|}{r}|\Delta\vec{r}|\)이고 평균가속도는 \(|\vec{a}_{\text{avg}}|=\frac{|\Delta\vec{v}|}{\Delta t}=\frac{v}{r}\frac{|\Delta\vec{r}|}{\Delta t}\)이다. 이때 \(\Delta t\,\rightarrow\,0\)이면 \(\displaystyle\small\lim_{\Delta t\,\rightarrow\,0}{\frac{|\Delta\vec{r}|}{\Delta t}}=v\)이므로 구심가속도(centripental acceleration)는 \(a_{c}=\frac{v^{2}}{r}\)이다(원운동이여서 등속운동이나 가속도는 0이 아니다!).

한번 회전하는데 걸리는 시간을 주기(period)라고 한다. 한 주기 \(T\) 동안 입자는 거리 \(2\pi r\)(원형경로의 원주)만큼 이동한다. 그러면 \(v=\frac{2\pi r}{T}\)이고 \(T=\frac{2\pi r}{v}\).

접선 및 지름가속도(Tangent and Radial Acceleration)

지름성분 \(a_{r}\)은 원의 반지름 방향의 성분이고 접선성분 \(a_{t}\)는 반지름에 수직인 접선방향이다. \(\vec{a}_{r}\)과 \(\vec{a}_{t}\)는 서로 수직이므로 \(\vec{a}=\vec{a}_{r}+\vec{a}_{t}\), \(|\vec{a}|=\sqrt{a_{r}^{2}+a_{t}^{2}}\)이다.

접선가속도 성분은 입자의 속력변화를 일으킨다. 순간속도에 평행하고 \(a_{t}=\left|\frac{dv}{dt}\right|\). 지름가속도 성분은 속도벡터방향의 변화로 인해 생긴다. \(a_{r}=-a_{c}=-\frac{v^{2}}{r}\)(\(r\)은 해당 점에서 경로의 곡률반지름이고 음의 부호가 붙은 것은 구심가속도 방향이 원의 중심을 향하고, 원의 중심에서 항상 밖을 향하는 지름단위벡터와 반대임을 나타낸다.)

주어진 속력에서 곡률반지름이 작을 때 \(a_{r}\)은 크고 곡률반지름이 클 때 \(a_{r}\)은 작다.

\(\vec{a}\)의 방향은 속력 \(v\)가 증가하면 \(\vec{v}\)와 같은 방향이고, \(v\)가 감소하면 \(\vec{v}\)와 반대방향이다.

속도 \(v\)가 상수인 등속원운동에서는 \(a_{t}=0\)이고, 가속도는 항상 지름방향이다.

\(\vec{v}\)의 방향이 변하지 않는다면 운동은 1차원적으로 변한다. (\(a_{r}=0\)이지만 \(a_{t}\neq0\)일 수도 있다.)

상대속도와 상대가속도(Relative Velocity and Relative Acceleration)

기준틀은 관찰자가 원점에 정지해 있는 직각좌표계이다.

관찰자 A는 지구에 대해 상대적으로 고정된 기준 틀 \(S_{A}\)에 있고, 관찰자 B는 \(S_{A}\)에 대해 상대적으로(따라서 지구에 대해 상대적으로) 오른쪽으로 일정한 속도 \(\vec{v}_{BA}\)를 갖고 이동하는 기준틀 \(S_{B}\)에 있다. \(\vec{v}_{BA}\)는 A가 측정하는 B(기준틀 \(S_{B}\))의 속도를 의미한다\(\vec{v}_{BA}=-\vec{v}_{AB}\).

(갈릴레이 변환식) \(\vec{r}_{PA}=\vec{r}_{PB}+\vec{v}_{BA}t\)

(Galilean transfor- \(\frac{d\vec{r}_{PA}}{dt}=\frac{d\vec{r}_{PB}}{dt}+\frac{d}{dt}(\vec{v}_{BA}t)\)

mation equations) \(\vec{v}_{BA}=\vec{v}_{PA}-\vec{v}_{PB}\) (\(\vec{v}_{PA}\): A가 측정한 P점에 있는 입자의 속도, \(\vec{v}_{PB}\): B가 측정한 P점에 있는 입자의 속도.)

비록 두 기준 틀에서 관찰자들이 입자의 속도를 다르게 측정하더라도 \(\vec{v}_{BA}\)가 일정하면 동일한 가속도를 측정하게 된다.

\(\frac{d}{dt}(\vec{v}_{BA})=\frac{d}{dt}(\vec{v}_{PA})-\frac{d}{dt}(\vec{v}_{PB})\)이고 \(\vec{v}_{BA}\)가 일정하기 때문에 \(\frac{d}{dt}(\vec{v}_{BA})=\vec{0}\)이다. 따라서 \(\vec{a}_{PA}=\vec{a}_{PB}\)라고 결론내릴 수 있다.

즉, 한 기준틀에 있는 관찰자가 측정한 입자의 가속도는 그 기준틀에 대해 등속도로 상대운동을 하는 다른 관찰자가 측정한 가속도와 같다.

참고자료:

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning