[일반물리학] 3. 2차원 운동

3. 2차원 운동

$xy$평면에서 입자의 위치는 좌표계의 원점으로부터 입자까지 연결한 위치벡터(position vector) $\vec{r}$로 표시한다. 입자의 변위벡터(displacement vector) $\Delta\vec{r}$은 나중위치벡터 $\vec{r_{f}}$에서 처음위치벡터 $\vec{r_{i}}$를 뺀 것으로 정의한다. 즉 $$\Delta\vec{r}=\vec{r_{f}}-\vec{r_{i}}$$ 시간 $\Delta t=t_{f}-t_{i}$동안 입자의 평균속도(average velocity)는 $$\vec{v}_{\text{avg}}=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$$ 로 정의한다. 또한 순간속도(instantaneous velocity)는 $$\vec{v}=\lim_{\Delta t\,\rightarrow\,0}{\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}}=\frac{d\vec{r}}{dt}$$ 로 정의한다.

순간속도벡터 $\vec{v}$의 크기 $v=|\vec{v}|$를 속력(speed)이라고 하며 스칼라양이다.

평균가속도와 순간가속도를 다음과 같이 정의한다. $$\vec{a}_{\text{avg}}=\frac{\Delta{v}}{\Delta t},\,\vec{a}=\lim_{\Delta t\,\rightarrow\,0}{\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}}=\frac{d\vec{v}}{dt}$$

1. 일직선(1차원)운동에서와 같이 속도벡터의 크기(속력)는 시간에 따라 변할 수 있다.

2. 속도의 크기(속력)는 일정하더라도 굽은 경로(2차원) 운동에서처럼 속도와 방향이 변하기도 한다.

3. 속도와 크기와 방향이 모두 변할 수 있다.

포물체 운동(Projectile Motion)

먼저 다음과 같이 가정한다.

가정 1: 자유낙하가속도는 일정하고 아래로 향한다.

가정 2: 공기저항은 무시한다.

포물체 운동을 분석할 때, 이를 수평방향의 등속운동과 연직방향의 자유낙하

운동의 중첩으로 간주할 수 있다.(시간 $t$는 두 성분에 대해 공통성분이다.)

왼쪽 그림에서 $v_{xi}=v_{i}\cos\theta_{i}$, $v_{yi}=v_{i}\sin\theta_{i}$.

$y=v_{i}\sin\theta_{i}t-\frac{1}{2}gt^{2}$, $v_{y}=\frac{dy}{dt}=v_{yi}-gt=v_{i}\sin\theta_{i}-gt$이고 최대높이에서 $v_{y}=0$이므로 최고점 도달시간은 $t_{A}=\frac{v_{i}\sin\theta_{i}}{g}$, 최대높이는 $h=\frac{v_{i}^{2}\sin^{2}\theta_{i}}{2g}$, 수평도달거리는 $R=\frac{v_{i}^{2}\sin2\theta_{i}}{g}$이고 다시 땅으로 떨어질 때까지 걸리는 시간은 최고 높이에 도달하는데 걸린 시간의 두 배이다. 즉, $t_{B}=2t_{A}$. $\theta_{i}=45$º일 때 수평도달거리 $R$이 최대이다.

입자의 등속 원운동(The Particle in Uniform Circular Motion)

$\Delta\vec{v}=\vec{v}_{f}-\vec{v}_{i}$, 등속원운동이므로 $|\vec{v}_{f}|=|\vec{v}_{i}|=v$, $|\vec{r}_{i}|=|\vec{r}_{f}|=r$(원의 반지름)이다. 속도벡터와 위치벡터는 서로 수직이므로 두 위치벡터 $\vec{r}_{i}$, $\vec{r}_{f}$가 이루는 각 $\Delta\theta$는 속도벡터 $\vec{v}_{i}$, $\vec{v}_{f}$가 이루는 각과 같다. 따라서$\frac{|\Delta\vec{v}|}{v}=\frac{|\Delta\vec{r}|}{r}$이므로 $|\Delta\vec{v}|=\frac{|v|}{r}|\Delta\vec{r}|$이고 평균가속도는 $|\vec{a}_{\text{avg}}|=\frac{|\Delta\vec{v}|}{\Delta t}=\frac{v}{r}\frac{|\Delta\vec{r}|}{\Delta t}$이다. 이때 $\Delta t\,\rightarrow\,0$이면 $\displaystyle\small\lim_{\Delta t\,\rightarrow\,0}{\frac{|\Delta\vec{r}|}{\Delta t}}=v$이므로 구심가속도(centripental acceleration)는 $a_{c}=\frac{v^{2}}{r}$이다(원운동이여서 등속운동이나 가속도는 0이 아니다!).

한번 회전하는데 걸리는 시간을 주기(period)라고 한다. 한 주기 $T$ 동안 입자는 거리 $2\pi r$(원형경로의 원주)만큼 이동한다. 그러면 $v=\frac{2\pi r}{T}$이고 $T=\frac{2\pi r}{v}$.

접선 및 지름가속도(Tangent and Radial Acceleration)

지름성분 $a_{r}$은 원의 반지름 방향의 성분이고 접선성분 $a_{t}$는 반지름에 수직인 접선방향이다. $\vec{a}_{r}$과 $\vec{a}_{t}$는 서로 수직이므로 $\vec{a}=\vec{a}_{r}+\vec{a}_{t}$, $|\vec{a}|=\sqrt{a_{r}^{2}+a_{t}^{2}}$이다.

접선가속도 성분은 입자의 속력변화를 일으킨다. 순간속도에 평행하고 $a_{t}=\left|\frac{dv}{dt}\right|$. 지름가속도 성분은 속도벡터방향의 변화로 인해 생긴다. $a_{r}=-a_{c}=-\frac{v^{2}}{r}$($r$은 해당 점에서 경로의 곡률반지름이고 음의 부호가 붙은 것은 구심가속도 방향이 원의 중심을 향하고, 원의 중심에서 항상 밖을 향하는 지름단위벡터와 반대임을 나타낸다.)

주어진 속력에서 곡률반지름이 작을 때 $a_{r}$은 크고 곡률반지름이 클 때 $a_{r}$은 작다.

$\vec{a}$의 방향은 속력 $v$가 증가하면 $\vec{v}$와 같은 방향이고, $v$가 감소하면 $\vec{v}$와 반대방향이다.

속도 $v$가 상수인 등속원운동에서는 $a_{t}=0$이고, 가속도는 항상 지름방향이다.

$\vec{v}$의 방향이 변하지 않는다면 운동은 1차원적으로 변한다. ($a_{r}=0$이지만 $a_{t}\neq0$일 수도 있다.)

상대속도와 상대가속도(Relative Velocity and Relative Acceleration)

기준틀은 관찰자가 원점에 정지해 있는 직각좌표계이다.

관찰자 A는 지구에 대해 상대적으로 고정된 기준 틀 $S_{A}$에 있고, 관찰자 B는 $S_{A}$에 대해 상대적으로(따라서 지구에 대해 상대적으로) 오른쪽으로 일정한 속도 $\vec{v}_{BA}$를 갖고 이동하는 기준틀 $S_{B}$에 있다. $\vec{v}_{BA}$는 A가 측정하는 B(기준틀 $S_{B}$)의 속도를 의미한다$\vec{v}_{BA}=-\vec{v}_{AB}$.

(갈릴레이 변환식) $\vec{r}_{PA}=\vec{r}_{PB}+\vec{v}_{BA}t$

(Galilean transfor- $\frac{d\vec{r}_{PA}}{dt}=\frac{d\vec{r}_{PB}}{dt}+\frac{d}{dt}(\vec{v}_{BA}t)$

mation equations) $\vec{v}_{BA}=\vec{v}_{PA}-\vec{v}_{PB}$ ($\vec{v}_{PA}$: A가 측정한 P점에 있는 입자의 속도, $\vec{v}_{PB}$: B가 측정한 P점에 있는 입자의 속도.)

비록 두 기준 틀에서 관찰자들이 입자의 속도를 다르게 측정하더라도 $\vec{v}_{BA}$가 일정하면 동일한 가속도를 측정하게 된다.

$\frac{d}{dt}(\vec{v}_{BA})=\frac{d}{dt}(\vec{v}_{PA})-\frac{d}{dt}(\vec{v}_{PB})$이고 $\vec{v}_{BA}$가 일정하기 때문에 $\frac{d}{dt}(\vec{v}_{BA})=\vec{0}$이다. 따라서 $\vec{a}_{PA}=\vec{a}_{PB}$라고 결론내릴 수 있다.

즉, 한 기준틀에 있는 관찰자가 측정한 입자의 가속도는 그 기준틀에 대해 등속도로 상대운동을 하는 다른 관찰자가 측정한 가속도와 같다.

참고자료:

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning