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4. 운동의법칙 (2: 응용)


뉴턴의 운동법칙을 적용할 때는 오직 물체에 작용하는 외력에만 관심을 갖는다.


평형 상태의 물체(The Particle in Equilibrium)


입자로 볼 수 있는 물체의 가속도가 0이면 물체는 평형상태(particle in equilibrium)에 있다고 한다. 이러한 모형에서 물체에 작용하는 알짜힘은 0이다. 즉 F=0.



왼쪽의 그림은 정지한 물체를 나타낸 것이다. T이다. 정지해 있기 때문에 \sum{F_{x}}=0, \sum{F_{y}}=T-F_{g}=0이다. 그러므로 T=F_{g}(|\vec{T}|=T, |\vec{F_{g}}|=F_{g}), \vec{T}=-\vec{T'}(작용 반작용)


\vec{F_{g}}: 중력, \vec{T}: 줄에 의해 작용하는 힘(장력), \vec{T'}: 등에 의해 작용하는 힘, \vec{T''}: 천장에 의해 작용하는 힘



무게가 122\mathrm{N}인 신호등이 세 줄에 의해 매달려 있는데 장력이 T_{3}인 연직줄은 튼튼하나 장력이 T_{1},\,T_{2}인 줄은 그렇지 않아서 장력이 100\mathrm{N}을 초과하면 이 줄은 끊어진다. 신호등은 정지상태에 있고 중력이 지면방향으로 작용하고 장력이 윗 방향으로 작용한다. 그러면 T_{3}=122\mathrm{N}이고 또한 세 줄은 평형상태에 있다. 그러면


\sum{F_{x}}=-T_{1}\cos37.0^{\circ}+T_{2}\cos53.0^{\circ}=0

\sum{F_{y}}=T_{1}\sin37.0^{\circ}+T_{2}\sin53.0^{\circ}-122=0


이고 이 식을 연립해서 풀면 T_{1}=73.4\mathrm{N},\,T_{2}=97.4\mathrm{N}을 얻는다. 두 줄의 장력이 100\mathrm{N}보다 작기 때문에 줄은 안 끊어진다.


알짜힘을 받는 입자(The Particle under a Net Force)


왼쪽 그림에서 사람이 상자를 줄에 묶어서 오른쪽으로 끌고 가고 있다(지면의 마찰력은 없다고 가정). 운동방향이 오른쪽이기 때문에


\sum{F_{x}}=T=ma_{x}

\sum{F_{y}}=n-F_{g}=0


이고,


그러면 a_{x}=\frac{T}{m}, n=F_{g}이다.




왼쪽 그림은 손으로 책을 누르는 모습을 나타낸 것이다(정지상태). 힘은 아랫방향으로 작용하고 중력 또한 아랫방향으로 작용한다. 정지상태이기 때문에 책의 수직항력은 누르는 힘의 크기와 중력의 크기를 더한 값과 같다.


|\vec{n}|=|\vec{F}|+m|\vec{g}|





왼쪽 그림에서 정지 상태에 있던 자동차가 움직인다. 이때 지면의 마찰은 없다고 한다. 그러면


\sum{F_{x}}=mg\sin\theta=ma_{x}

\sum{F_{y}}=n-mg\cos\theta=0


이고 a_{x}=g\sin\theta, n=mg\cos\theta이다.(n=|\vec{n}|)


자동차의 앞 범퍼에서 비탈 맨 아래까지의 거리를 d라고 할 때 앞 범퍼가 비탈 맨 아래에 도착하는데 걸리는 시간 t와 그 지점에서 자동차의 속력을 구하면


d=\frac{1}{2}a_{x}t^{2}에서 t=\sqrt{\frac{2d}{a_{x}}}=\sqrt{\frac{2d}{g\sin\theta}}이고 v=a_{x}t=a_{x}\sqrt{\frac{2d}{g\sin\theta}}=\sqrt{2gd\sin\theta}이다.


\theta=90^{\circ}이면 자동차는 자유낙하하고(a_{x}=g), 이 때 자동차는 평면과 접촉하지 않는다.


엘리베이터가 가속운동할 때


\sum{F_{y}}=T-mg=ma_{y}


이고


T=ma_{y}+mg=mg\left(\frac{a_{y}}{g}+1\right)=F_{g}\left(\frac{a_{y}}{g}+1\right)


이다.


엘리베이터가 위로 가속할 때: 용수철 저울의 눈금>물고기의 실제무게

엘리베이터가 아래로 가속할 때: 용수철 저울의 눈금<물고기의 실제무게


줄이 끊어져서 자유낙하 하면(\vec{a}=\vec{0}, 용수철 저울의 눈금은 0이고 \sum{F_{y}}=T-F_{g}=0, T=mg.


왼쪽 그림은 도르래와 줄 양끝에 두 개의 물체가 연결되어 있는 것을 나타낸 것이다(이를 애트우드 기계(Atwood machine)라고 한다)(도르래의 질량과 마찰은 무시한다)


질량이 m_{1},\,m_{2}인 물체에 대한 운동방정식을 세우면


\sum{F_{y}}=T-m_{1}g=m_{1}a_{y}

\sum{F_{y}}=m_{2}g-T=m_{2}a_{y}


이고 이를 풀면 a_{y}=\left(\frac{m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)g,\,T=ma_{y}+mg=mg\left(\frac{a_{y}}{g}+1\right)


m_{1}=m_{2}이면 a_{y}=0, 즉 가속도는 0이고

m_{1}\gg m_{2}(m_{1}m_{2}보다 엄청 크다)이면 a_{y}=-g이다.


(왼쪽 그림에서 도르래의 질량과 모든 마찰은 무시한다)

물체 1의 운동방정식은


\sum{F_{x}}=0,\,\sum{F_{y}}=T-m_{1}g=m_{1}a이고


물체 2의 운동방정식은


\sum{F_{x'}}=m_{2}g\sin\theta=m_{2}a,\,\sum{F_{y'}}=n-mg\cos\theta=0


이다. T=m_{1}(g+a),\,m_{2}g\sin\theta-m_{1}(g+a)=m_{2}a이고 a=\frac{m_{2}g\sin\theta-m_{1}g}{m_{1}+m_{2}},\,T=\frac{m_{1}m_{2}g(\sin\theta+1)}{m_{1}+m_{2}}.


이번에는 마찰이 있는 경우를 다루도록 하겠다.


이 물체가 움직이지 않을 때 정지마찰력을 f_{s}라고 하면 운동방정식은


\sum{F_{x}}=mg\sin\theta-f_{s}=0

\sum{F_{y}}=n-mg\cos\theta=0


이고 n=mg\cos\theta,\,f_{s}=mg\sin\theta=n\tan\theta이다.


이 비탈면의 경사를 블록이 미끄러지기 시작할 때의 각도를 \theta_{c}라고 하면

최대정지마찰력=f_{s\text{Max}}=\mu_{s}n=n\tan\theta_{c}이고 정지마찰계수는 \mu_{s}=\tan\theta_{c}이다.


여기서 \theta를 다시 \theta_{c}이하로 줄여나가면 블록이 등속운동하는 각 \theta_{c}\,'를 구할 수 있다. 이때의 운동마찰력=f_{k}=\mu_{k}n=n\tan\theta_{c}\,'이고 운동마찰계수는 \mu_{k}=\tan\theta_{c}\,'이다. 이때 \theta_{c}\,'<\theta_{c}이다.


왼쪽 그림에서 실과 연결된 블록(물체 1)은 마찰이 있는 면 위에 있고 구(물체 2)는 블록이 연결된 실에 매달려 있다. 블록과 구에 대한 운동방정식을 세우면(블록과 구를 한 덩어리로 하여 그 가속도를 a라고 한다.) 블록에 대한 운동방정식은

\sum{F_{x}}=F\cos\theta-f_{k}-T=m_{1}a

\sum{F_{y}}=n+F\sin\theta-m_{1}g=0


구에 대한 운동방정식은

\sum{F_{y}}=T-m_{2}g=m_{2}a

이다. 그러면 물체 1의 수직항력은 n=m_{1}g-F\sin\theta이고 이 물체가 받는 운동마찰력은 f_{k}=\mu_{k}n=\mu_{k}(m_{1}g-F\sin\theta)이다. 또한 F\cos\theta-\mu_{k}(m_{1}g-F\sin\theta)-m_{2}(a+g)=m_{1}a이고 가속도는 a=\frac{F(\cos\theta+\mu_{k}\sin\theta)-(m_{2}+\mu_{k}m_{1})g}{m_{1}+m_{2}}이다.


참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning

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Posted by skywalker222