[일반물리학] 4. 운동의법칙 (2: 응용)

4. 운동의법칙 (2: 응용)

뉴턴의 운동법칙을 적용할 때는 오직 물체에 작용하는 외력에만 관심을 갖는다.

평형 상태의 물체(The Particle in Equilibrium)

입자로 볼 수 있는 물체의 가속도가 0이면 물체는 평형상태(particle in equilibrium)에 있다고 한다. 이러한 모형에서 물체에 작용하는 알짜힘은 0이다. 즉 \(\sum{\vec{F}}=\vec{0}\).

왼쪽의 그림은 정지한 물체를 나타낸 것이다. \(\vec{T''}=\vec{T}=-\vec{T'}\)이다. 정지해 있기 때문에 \(\sum{F_{x}}=0\), \(\sum{F_{y}}=T-F_{g}=0\)이다. 그러므로 \(T=F_{g}\)\((|\vec{T}|=T, |\vec{F_{g}}|=F_{g})\), \(\vec{T}=-\vec{T'}\)(작용 반작용)

\(\vec{F_{g}}\): 중력, \(\vec{T}\): 줄에 의해 작용하는 힘(장력), \(\vec{T'}\): 등에 의해 작용하는 힘, \(\vec{T''}\): 천장에 의해 작용하는 힘

무게가 \(122\mathrm{N}\)인 신호등이 세 줄에 의해 매달려 있는데 장력이 \(T_{3}\)인 연직줄은 튼튼하나 장력이 \(T_{1},\,T_{2}\)인 줄은 그렇지 않아서 장력이 \(100\mathrm{N}\)을 초과하면 이 줄은 끊어진다. 신호등은 정지상태에 있고 중력이 지면방향으로 작용하고 장력이 윗 방향으로 작용한다. 그러면 \(T_{3}=122\mathrm{N}\)이고 또한 세 줄은 평형상태에 있다. 그러면

\(\sum{F_{x}}=-T_{1}\cos37.0^{\circ}+T_{2}\cos53.0^{\circ}=0\)

\(\sum{F_{y}}=T_{1}\sin37.0^{\circ}+T_{2}\sin53.0^{\circ}-122=0\)

이고 이 식을 연립해서 풀면 \(T_{1}=73.4\mathrm{N},\,T_{2}=97.4\mathrm{N}\)을 얻는다. 두 줄의 장력이 \(100\mathrm{N}\)보다 작기 때문에 줄은 안 끊어진다.

알짜힘을 받는 입자(The Particle under a Net Force)

왼쪽 그림에서 사람이 상자를 줄에 묶어서 오른쪽으로 끌고 가고 있다(지면의 마찰력은 없다고 가정). 운동방향이 오른쪽이기 때문에

\(\sum{F_{x}}=T=ma_{x}\)

\(\sum{F_{y}}=n-F_{g}=0\)

이고,

그러면 \(a_{x}=\frac{T}{m}\), \(n=F_{g}\)이다.

왼쪽 그림은 손으로 책을 누르는 모습을 나타낸 것이다(정지상태). 힘은 아랫방향으로 작용하고 중력 또한 아랫방향으로 작용한다. 정지상태이기 때문에 책의 수직항력은 누르는 힘의 크기와 중력의 크기를 더한 값과 같다.

즉 \(|\vec{n}|=|\vec{F}|+m|\vec{g}|\)

왼쪽 그림에서 정지 상태에 있던 자동차가 움직인다. 이때 지면의 마찰은 없다고 한다. 그러면

\(\sum{F_{x}}=mg\sin\theta=ma_{x}\)

\(\sum{F_{y}}=n-mg\cos\theta=0\)

이고 \(a_{x}=g\sin\theta\), \(n=mg\cos\theta\)이다.(\(n=|\vec{n}|\))

자동차의 앞 범퍼에서 비탈 맨 아래까지의 거리를 \(d\)라고 할 때 앞 범퍼가 비탈 맨 아래에 도착하는데 걸리는 시간 \(t\)와 그 지점에서 자동차의 속력을 구하면

\(d=\frac{1}{2}a_{x}t^{2}\)에서 \(t=\sqrt{\frac{2d}{a_{x}}}=\sqrt{\frac{2d}{g\sin\theta}}\)이고 \(v=a_{x}t=a_{x}\sqrt{\frac{2d}{g\sin\theta}}=\sqrt{2gd\sin\theta}\)이다.

＊\(\theta=90^{\circ}\)이면 자동차는 자유낙하하고(\(a_{x}=g\)), 이 때 자동차는 평면과 접촉하지 않는다.

엘리베이터가 가속운동할 때

\(\sum{F_{y}}=T-mg=ma_{y}\)

이고

\(T=ma_{y}+mg=mg\left(\frac{a_{y}}{g}+1\right)=F_{g}\left(\frac{a_{y}}{g}+1\right)\)

이다.

엘리베이터가 위로 가속할 때: 용수철 저울의 눈금>물고기의 실제무게

엘리베이터가 아래로 가속할 때: 용수철 저울의 눈금<물고기의 실제무게

줄이 끊어져서 자유낙하 하면(\(\vec{a}=\vec{0}\), 용수철 저울의 눈금은 0이고 \(\sum{F_{y}}=T-F_{g}=0\), \(T=mg\).

왼쪽 그림은 도르래와 줄 양끝에 두 개의 물체가 연결되어 있는 것을 나타낸 것이다(이를 애트우드 기계(Atwood machine)라고 한다)(도르래의 질량과 마찰은 무시한다)

질량이 \(m_{1},\,m_{2}\)인 물체에 대한 운동방정식을 세우면

\(\sum{F_{y}}=T-m_{1}g=m_{1}a_{y}\)

\(\sum{F_{y}}=m_{2}g-T=m_{2}a_{y}\)

이고 이를 풀면 \(a_{y}=\left(\frac{m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)g,\,T=ma_{y}+mg=mg\left(\frac{a_{y}}{g}+1\right)\)

\(m_{1}=m_{2}\)이면 \(a_{y}=0\), 즉 가속도는 0이고

\(m_{1}\gg m_{2}\)(\(m_{1}\)이 \(m_{2}\)보다 엄청 크다)이면 \(a_{y}=-g\)이다.

(왼쪽 그림에서 도르래의 질량과 모든 마찰은 무시한다)

물체 1의 운동방정식은

\(\sum{F_{x}}=0,\,\sum{F_{y}}=T-m_{1}g=m_{1}a\)이고

물체 2의 운동방정식은

\(\sum{F_{x'}}=m_{2}g\sin\theta=m_{2}a,\,\sum{F_{y'}}=n-mg\cos\theta=0\)

이다. \(T=m_{1}(g+a),\,m_{2}g\sin\theta-m_{1}(g+a)=m_{2}a\)이고 \(a=\frac{m_{2}g\sin\theta-m_{1}g}{m_{1}+m_{2}},\,T=\frac{m_{1}m_{2}g(\sin\theta+1)}{m_{1}+m_{2}}\).

이번에는 마찰이 있는 경우를 다루도록 하겠다.

이 물체가 움직이지 않을 때 정지마찰력을 \(f_{s}\)라고 하면 운동방정식은

\(\sum{F_{x}}=mg\sin\theta-f_{s}=0\)

\(\sum{F_{y}}=n-mg\cos\theta=0\)

이고 \(n=mg\cos\theta,\,f_{s}=mg\sin\theta=n\tan\theta\)이다.

이 비탈면의 경사를 블록이 미끄러지기 시작할 때의 각도를 \(\theta_{c}\)라고 하면

최대정지마찰력\(=f_{s\text{Max}}=\mu_{s}n=n\tan\theta_{c}\)이고 정지마찰계수는 \(\mu_{s}=\tan\theta_{c}\)이다.

여기서 \(\theta\)를 다시 \(\theta_{c}\)이하로 줄여나가면 블록이 등속운동하는 각 \(\theta_{c}\,'\)를 구할 수 있다. 이때의 운동마찰력\(=f_{k}=\mu_{k}n=n\tan\theta_{c}\,'\)이고 운동마찰계수는 \(\mu_{k}=\tan\theta_{c}\,'\)이다. 이때 \(\theta_{c}\,'<\theta_{c}\)이다.

왼쪽 그림에서 실과 연결된 블록(물체 1)은 마찰이 있는 면 위에 있고 구(물체 2)는 블록이 연결된 실에 매달려 있다. 블록과 구에 대한 운동방정식을 세우면(블록과 구를 한 덩어리로 하여 그 가속도를 \(a\)라고 한다.) 블록에 대한 운동방정식은

\(\sum{F_{x}}=F\cos\theta-f_{k}-T=m_{1}a\)

\(\sum{F_{y}}=n+F\sin\theta-m_{1}g=0\)

구에 대한 운동방정식은

\(\sum{F_{y}}=T-m_{2}g=m_{2}a\)

이다. 그러면 물체 1의 수직항력은 \(n=m_{1}g-F\sin\theta\)이고 이 물체가 받는 운동마찰력은 \(f_{k}=\mu_{k}n=\mu_{k}(m_{1}g-F\sin\theta)\)이다. 또한 \(F\cos\theta-\mu_{k}(m_{1}g-F\sin\theta)-m_{2}(a+g)=m_{1}a\)이고 가속도는 \(a=\frac{F(\cos\theta+\mu_{k}\sin\theta)-(m_{2}+\mu_{k}m_{1})g}{m_{1}+m_{2}}\)이다.

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning