[일반물리학] 6. 계의 에너지 (1: 스칼라곱과 힘이 한 일)

6. 계의 에너지 (1: 스칼라곱과 힘이 한 일)

계(system) 모형에서는 우주의 작은 한 부분 (계: system)에 대하 관심을 집중하고 그 계를 제외한 우주의 나머지 부분에 대한 구체적인 사항은 무시한다.

계 모형을 문제에 적용함에 있어 핵심적인 기술은 계를 정의하는 것이다. 다음은 유효한 계이다.

-하나의 물체 또는 입자.

-물체나 입자들의 집합.

-공간의 일부 영역(예: 자동차 엔진의 실린더 내부).

-크기와 모양이 변할 수 있다(예: 고무공처럼 벽에 부딪치면 변형되는 것)

힘이 한 일을 정의하기 전에 두 벡터의 스칼라곱을 정의해야 한다.

두 벡터 $\vec{\mathrm{A}},\,\vec{\mathrm{B}}$의 스칼라곱(scalar product, 내적) $\vec{\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{B}}$은 $$\vec{\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{B}}=AB\cos\theta\,(A=|\vec{\mathrm{A}}|,\,B=|\vec{\mathrm{B}}|)$$ 로 정의되고 $\theta$는 두 벡터 $\vec{\mathrm{A}}$와 $\vec{\mathrm{B}}$가 이루는 예각이다.

스칼라곱은 교환법칙(commutative), 분배법칙(distributive law of multiplication)을 만족한다. 즉 $$\vec{\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{B}}=\vec{\mathrm{B}}\cdot\vec{\mathrm{A}},\,\vec{\mathrm{A}}\cdot(\vec{\mathrm{B}}+\vec{\mathrm{C}})=\vec{\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{B}}+\vec{\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{C}}$$ 가 성립한다. 또한 $\theta=90^{\circ}$일 때 $\vec{\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{B}}=0$이고, $\theta=180^{\circ}$일 때 $\vec{\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{B}}=-AB$, $\vec{\mathrm{A}}$또는 $\vec{\mathrm{B}}$가 $\vec{0}$이면 $\vec{\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{B}}=0$이다.

$x,\,y,\,z$방향의 단위벡터 $\vec{i},\,\vec{j},\,\vec{k}$에 대하여 $$\vec{i}\cdot\vec{i}=\vec{j}\cdot\vec{j}=\vec{k}\cdot\vec{k}=1,\,\vec{i}\cdot\vec{j}=\vec{j}\cdot\vec{k}=\vec{k}\cdot\vec{i}=0$$ 이다.

$\vec{\mathrm{A}}=A_{x}\vec{i}+A_{y}\vec{j}+A_{z}\vec{k}$, $\vec{\mathrm{B}}=B_{x}\vec{i}+B_{y}\vec{j}+B_{z}\vec{k}$일 때, $$\vec{\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{B}}=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}$$ 이고 $\vec{\mathrm{A}}=\vec{\mathrm{B}}$일 때 $$\vec{\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{B}}=A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}=A^{2}\,(A=|\vec{\mathrm{A}}|)$$

이제 물리학적인 일의 정의에 대해 알아보자.

어떤 계에 일정한 크기의 힘을 가하는 주체가 계에 한 일(work) $W$는 힘의 크기 $F$, 힘의 작용점의 변위크기 $\Delta r$, $\cos\theta$의 곱이다. 여기서 $\theta$는 힘과 변위벡터가 이루는 각도이다. 즉, $$W=\vec{\mathrm{F}}\cdot\Delta\vec{\mathrm{r}}=F\Delta r\cos\theta$$

SI단위는 줄($\mathrm{J}$)이고 $\mathrm{J}=\mathrm{N\cdot m}=\mathrm{Kg\cdot m^{2}/s^{2}}$이다.

일의 부호는 변위 $\Delta\vec{\mathrm{r}}$에 대한 $\vec{\mathrm{F}}$의 방향에 의존한다. 두 벡터의 방향이 같으면 (+), 서로 다른 방향이면 (-)의 값을 갖는다. 이때 힘 $\vec{\mathrm{F}}$가 물체의 위치를 바꾸지 못하거나 힘의 방향과 변위의 방향이 서로 수직($90^{\circ}$)이면 이 힘($\vec{\mathrm{F}}$)이 한 일은 $0$이다.

이 경우는 힘과 변위의 방향 중 적어도 하나가 변하는 경우이다.

입자가 $x_{i}$에서 $x_{f}$로 움직일 때 $F_{x}$가 한 일은 근사적으로 $W\approx\displaystyle\small\sum_{x_{i}}^{x_{f}}{F_{x}\Delta x}$이고 실제로는 $$W=\lim_{\Delta\,\rightarrow\,0}{\sum_{x_{i}}^{x_{f}}{F_{x}\Delta x}}=\int_{x_{i}}^{x_{f}}{F_{x}dx}$$ 이다.

$x$ 방향으로의 알짜힘을 $\displaystyle\small\sum{F_{x}}$라고 하면 입자가 $x_{i}$에서 $x_{f}$로 움직일 때의 알짜일은 $$\sum{W}=W_{\text{net}}=\int_{x_{i}}^{x_{f}}{\left(\sum{F_{x}}\right)dx}$$ 이고 알짜힘이 $\displaystyle\small\sum{\vec{\mathrm{F}}}$이고 그 크기와 방향이 바뀌는 경우에는 $$\sum{W}=W_{\text{net}}=\int{\left(\sum{\vec{\mathrm{F}}}\right)\cdot d\vec{\mathrm{r}}}$$ 이고 이는 입자가 공간에서 움직이는 경로에 대해 일을 구한 것이다.

용수철이 늘어나지 않은 상태(평형상태)에서 거리 $x$만큼 늘어나거나 줄어들면 용수철이 물체에 작용하는 힘은 $$F_{s}=-kx$$ 이고 이를 훅의 법칙(Hooke's law) 이라고 한다. 여기서 $x$는 평형상태($x=0$)에 대한 물체의 위치이고 $k$는 힘상수(Force constant) 또는 용수철 상수이며 단위는 $\mathrm{N/m}$, 용수철이 뻣뻣할수록 $k$의 값은 크고 연할수록 $k$의 값은 작다.

벡터를 이용하여 나타내면 $\vec{\mathrm{F}_{s}}=F_{s}\vec{i}=-kx\vec{i}$이다. 이때 음(-)의 부호는 용수철 힘이 항상 평형상태로부터의 변위에 반대방향이라는 것을 의미한다. 다시 말하자면 용수철 힘은 원래 길이로 돌아가기 위해 힘을 변위의 반대방향으로 작용한다.

용수철 힘은 항상 평형상태($x=0$)를 향하기 때문에 복원력(restoring force)이라고 한다. 물체만을 계라고 정하고 $x_{i}=-x_{\text{max}}$에서 $x_{f}=0$까지 물체가 움직일 때 용수철이 물체에 한 일은 $$W_{s}=\int{\vec{\mathrm{F}_{s}}\cdot d\vec{\mathrm{r}}}=\int_{x_{i}}^{x_{f}}{(-kx\vec{i})\cdot(dx\vec{i})}=\int_{-x_{\text{max}}}^{0}{(-kx)dx}=\frac{1}{2}kx_{\text{max}}^{2}$$ 이다.

물체가 $x=x_{i}$에서 $x=x_{f}$까지 임의의 변위를 가지고 움직인다면, 용수철 힘이 물체에 한 일은 $$W_{s}=\int_{x_{i}}^{x_{f}}{(-kx)dx}=\frac{1}{2}kx_{i}^{2}-\frac{1}{2}kx_{f}^{2}$$ 이다.

일-운동에너지 정리

물체의 움직이는 변위가 $\Delta\vec{\mathrm{r}}=\Delta x\vec{i}=(x_{f}-x_{i})\vec{i}$일 때, 알짜힘 $\displaystyle\small\sum{\vec{\mathrm{F}}}$가 한 일은 $$W_{\text{net}}=\int_{x_{i}}^{x_{f}}{\sum{\vec{\mathrm{F}}}dx}$$ 이고 이때 $\displaystyle\small\sum{F}=ma$이므로 $$W_{\text{net}}=\int_{x_{i}}^{x_{f}}{madx}=\int_{x_{i}}^{x_{f}}{m\frac{dv}{dt}dx}=\int_{x_{i}}^{x_{f}}{m\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}dx}=\int_{v_{i}}^{v_{f}}{mvdv}=\frac{1}{2}mv_{f}^{2}-\frac{1}{2}mv_{i}^{2}$$ 이다. 즉, $W_{\text{net}}=\frac{1}{2}mv_{f}^{2}-\frac{1}{2}mv_{i}^{2}$이고 알짜힘이 질량이 $m$인 입자에 한 일은 $\frac{1}{2}mv^{2}$의 처음값과 나중값의 차이와 같다. $K=\frac{1}{2}mv^{2}$는 입자의 운동과 관련된 에너지이고 이를 운동에너지(kinetic energy)라고 한다. 알짜힘 $\displaystyle\small\sum{\vec{\mathrm{F}}}$가 입자에 한 일은 입자의 운동에너지 변화와 같다. 이를 일-운동에너지 정리(work-kinetic energy theorem)이라고 한다. 즉 $W_{\text{net}}=K_{f}-K_{i}=\Delta K$이고 이는 어느 계에 일이 가해지고 그 계의 유일한 변화가 속력의 변화이면 알짜힘이 한 일은 그 계의 운동에너지의 변화와 같다는 것을 뜻한다. 어떤 계의 속력은 알짜일의 부호가 (+)이면 증가하고 (-)이면 감소한다.

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning