[일반물리학] 6. 계의 에너지 (1: 스칼라곱과 힘이 한 일)

6. 계의 에너지 (1: 스칼라곱과 힘이 한 일)

계(system) 모형에서는 우주의 작은 한 부분 (계: system)에 대하 관심을 집중하고 그 계를 제외한 우주의 나머지 부분에 대한 구체적인 사항은 무시한다.

계 모형을 문제에 적용함에 있어 핵심적인 기술은 계를 정의하는 것이다. 다음은 유효한 계이다.

-하나의 물체 또는 입자.

-물체나 입자들의 집합.

-공간의 일부 영역(예: 자동차 엔진의 실린더 내부).

-크기와 모양이 변할 수 있다(예: 고무공처럼 벽에 부딪치면 변형되는 것)

힘이 한 일을 정의하기 전에 두 벡터의 스칼라곱을 정의해야 한다.

두 벡터 \(\vec{\mathrm{A}},\,\vec{\mathrm{B}}\)의 스칼라곱(scalar product, 내적) \(\vec{\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{B}}\)은$$\vec{\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{B}}=AB\cos\theta\,(A=|\vec{\mathrm{A}}|,\,B=|\vec{\mathrm{B}}|)$$로 정의되고 \(\theta\)는 두 벡터 \(\vec{\mathrm{A}}\)와 \(\vec{\mathrm{B}}\)가 이루는 예각이다.

스칼라곱은 교환법칙(commutative), 분배법칙(distributive law of multiplication)을 만족한다. 즉$$\vec{\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{B}}=\vec{\mathrm{B}}\cdot\vec{\mathrm{A}},\,\vec{\mathrm{A}}\cdot(\vec{\mathrm{B}}+\vec{\mathrm{C}})=\vec{\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{B}}+\vec{\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{C}}$$가 성립한다. 또한 \(\theta=90^{\circ}\)일 때 \(\vec{\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{B}}=0\)이고, \(\theta=180^{\circ}\)일 때 \(\vec{\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{B}}=-AB\), \(\vec{\mathrm{A}}\)또는 \(\vec{\mathrm{B}}\)가 \(\vec{0}\)이면 \(\vec{\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{B}}=0\)이다.

\(x,\,y,\,z\)방향의 단위벡터 \(\vec{i},\,\vec{j},\,\vec{k}\)에 대하여$$\vec{i}\cdot\vec{i}=\vec{j}\cdot\vec{j}=\vec{k}\cdot\vec{k}=1,\,\vec{i}\cdot\vec{j}=\vec{j}\cdot\vec{k}=\vec{k}\cdot\vec{i}=0$$이다.

\(\vec{\mathrm{A}}=A_{x}\vec{i}+A_{y}\vec{j}+A_{z}\vec{k}\), \(\vec{\mathrm{B}}=B_{x}\vec{i}+B_{y}\vec{j}+B_{z}\vec{k}\)일 때,$$\vec{\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{B}}=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}$$이고 \(\vec{\mathrm{A}}=\vec{\mathrm{B}}\)일 때$$\vec{\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{B}}=A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}=A^{2}\,(A=|\vec{\mathrm{A}}|)$$

이제 물리학적인 일의 정의에 대해 알아보자.

어떤 계에 일정한 크기의 힘을 가하는 주체가 계에 한 일(work) \(W\)는 힘의 크기 \(F\), 힘의 작용점의 변위크기 \(\Delta r\), \(\cos\theta\)의 곱이다. 여기서 \(\theta\)는 힘과 변위벡터가 이루는 각도이다. 즉,$$W=\vec{\mathrm{F}}\cdot\Delta\vec{\mathrm{r}}=F\Delta r\cos\theta$$

SI단위는 줄(\(\mathrm{J}\))이고 \(\mathrm{J}=\mathrm{N\cdot m}=\mathrm{Kg\cdot m^{2}/s^{2}}\)이다.

일의 부호는 변위 \(\Delta\vec{\mathrm{r}}\)에 대한 \(\vec{\mathrm{F}}\)의 방향에 의존한다. 두 벡터의 방향이 같으면 (+), 서로 다른 방향이면 (-)의 값을 갖는다. 이때 힘 \(\vec{\mathrm{F}}\)가 물체의 위치를 바꾸지 못하거나 힘의 방향과 변위의 방향이 서로 수직(\(90^{\circ}\))이면 이 힘(\(\vec{\mathrm{F}}\))이 한 일은 \(0\)이다.

이 경우는 힘과 변위의 방향 중 적어도 하나가 변하는 경우이다.

입자가 \(x_{i}\)에서 \(x_{f}\)로 움직일 때 \(F_{x}\)가 한 일은 근사적으로 \(W\approx\displaystyle\small\sum_{x_{i}}^{x_{f}}{F_{x}\Delta x}\)이고 실제로는$$W=\lim_{\Delta\,\rightarrow\,0}{\sum_{x_{i}}^{x_{f}}{F_{x}\Delta x}}=\int_{x_{i}}^{x_{f}}{F_{x}dx}$$이다.

\(x\) 방향으로의 알짜힘을 \(\displaystyle\small\sum{F_{x}}\)라고 하면 입자가 \(x_{i}\)에서 \(x_{f}\)로 움직일 때의 알짜일은$$\sum{W}=W_{\text{net}}=\int_{x_{i}}^{x_{f}}{\left(\sum{F_{x}}\right)dx}$$이고 알짜힘이 \(\displaystyle\small\sum{\vec{\mathrm{F}}}\)이고 그 크기와 방향이 바뀌는 경우에는$$\sum{W}=W_{\text{net}}=\int{\left(\sum{\vec{\mathrm{F}}}\right)\cdot d\vec{\mathrm{r}}}$$이고 이는 입자가 공간에서 움직이는 경로에 대해 일을 구한 것이다.

용수철이 늘어나지 않은 상태(평형상태)에서 거리 \(x\)만큼 늘어나거나 줄어들면 용수철이 물체에 작용하는 힘은$$F_{s}=-kx$$이고 이를 훅의 법칙(Hooke's law) 이라고 한다. 여기서 \(x\)는 평형상태(\(x=0\))에 대한 물체의 위치이고 \(k\)는 힘상수(Force constant) 또는 용수철 상수이며 단위는 \(\mathrm{N/m}\), 용수철이 뻣뻣할수록 \(k\)의 값은 크고 연할수록 \(k\)의 값은 작다.

벡터를 이용하여 나타내면 \(\vec{\mathrm{F}_{s}}=F_{s}\vec{i}=-kx\vec{i}\)이다. 이때 음(-)의 부호는 용수철 힘이 항상 평형상태로부터의 변위에 반대방향이라는 것을 의미한다. 다시 말하자면 용수철 힘은 원래 길이로 돌아가기 위해 힘을 변위의 반대방향으로 작용한다.

용수철 힘은 항상 평형상태(\(x=0\))를 향하기 때문에 복원력(restoring force)이라고 한다. 물체만을 계라고 정하고 \(x_{i}=-x_{\text{max}}\)에서 \(x_{f}=0\)까지 물체가 움직일 때 용수철이 물체에 한 일은$$W_{s}=\int{\vec{\mathrm{F}_{s}}\cdot d\vec{\mathrm{r}}}=\int_{x_{i}}^{x_{f}}{(-kx\vec{i})\cdot(dx\vec{i})}=\int_{-x_{\text{max}}}^{0}{(-kx)dx}=\frac{1}{2}kx_{\text{max}}^{2}$$이다.

물체가 \(x=x_{i}\)에서 \(x=x_{f}\)까지 임의의 변위를 가지고 움직인다면, 용수철 힘이 물체에 한 일은$$W_{s}=\int_{x_{i}}^{x_{f}}{(-kx)dx}=\frac{1}{2}kx_{i}^{2}-\frac{1}{2}kx_{f}^{2}$$이다.

일-운동에너지 정리

물체의 움직이는 변위가 \(\Delta\vec{\mathrm{r}}=\Delta x\vec{i}=(x_{f}-x_{i})\vec{i}\)일 때, 알짜힘 \(\displaystyle\small\sum{\vec{\mathrm{F}}}\)가 한 일은$$W_{\text{net}}=\int_{x_{i}}^{x_{f}}{\sum{\vec{\mathrm{F}}}dx}$$이고 이때 \(\displaystyle\small\sum{F}=ma\)이므로$$W_{\text{net}}=\int_{x_{i}}^{x_{f}}{madx}=\int_{x_{i}}^{x_{f}}{m\frac{dv}{dt}dx}=\int_{x_{i}}^{x_{f}}{m\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}dx}=\int_{v_{i}}^{v_{f}}{mvdv}=\frac{1}{2}mv_{f}^{2}-\frac{1}{2}mv_{i}^{2}$$이다. 즉, \(W_{\text{net}}=\frac{1}{2}mv_{f}^{2}-\frac{1}{2}mv_{i}^{2}\)이고 알짜힘이 질량이 \(m\)인 입자에 한 일은 \(\frac{1}{2}mv^{2}\)의 처음값과 나중값의 차이와 같다. \(K=\frac{1}{2}mv^{2}\)는 입자의 운동과 관련된 에너지이고 이를 운동에너지(kinetic energy)라고 한다. 알짜힘 \(\displaystyle\small\sum{\vec{\mathrm{F}}}\)가 입자에 한 일은 입자의 운동에너지 변화와 같다. 이를 일-운동에너지 정리(work-kinetic energy theorem)이라고 한다. 즉 \(W_{\text{net}}=K_{f}-K_{i}=\Delta K\)이고 이는 어느 계에 일이 가해지고 그 계의 유일한 변화가 속력의 변화이면 알짜힘이 한 일은 그 계의 운동에너지의 변화와 같다는 것을 뜻한다. 어떤 계의 속력은 알짜일의 부호가 (+)이면 증가하고 (-)이면 감소한다.

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning