[일반물리학] 5. 원운동과 뉴턴 법칙의 응용

5. 원운동과 뉴턴 법칙의 응용

등속 원운동

왼쪽 그림은 등속원운동(Uniform Circular Motion)하는 모습을 나타낸 것이다. 물체를 연결한 실이 끊어지면 그 물체는 원(궤도)의 접선방향으로 운동한다.

구심가속도는 \(|\vec{a_{c}}|=a_{c}=\frac{v^{2}}{r}\)이고 방향이 접선방향인 속도 \(\vec{v}\)와 수직이다.

구심가속도를 일으키는 알짜힘은 \(\sum{F}=ma_{c}=m\frac{v^{2}}{r}\)이다. 이 힘은 원궤도의 중심을 향하여 작용하고 속도벡터의 방향을 변화시킨다.

왼쪽 그림은 질량이 \(m\)인 공이 회전하는 원뿔진자를 나타낸 것이다. 이 원뿔진자에 대한 운동방정식은 다음과 같다.

\(\sum{F_{y}}=T\cos\theta-mg=0\)

\(\sum{F_{x}}=T\sin\theta=ma_{c}=m\frac{v^{2}}{r}\)

그러면 \(mg=T\cos\theta\), \(m\frac{v^{2}}{r}=T\sin\theta\)이고 \(\tan\theta=\frac{v^{2}}{rg}\)이다. \(v=\sqrt{rg\tan\theta}\)이고 이때 \(r=L\sin\theta\)이므로 \(v=\sqrt{Lg\sin\theta\tan\theta}\)이다.

왼쪽 그림에서 질량이 \(m\)인 비행사가 제트 비행기로 왼쪽 그림과 같이 곡예비행을 하고 있다.

원의 밑부분에서의 운동방정식과 원의 윗부분에서의 운동방정식은 다음과 같다.

밑: \(\sum{F}=n_{\text{bot}}-mg=m\frac{v^{2}}{r}\)

위: \(\sum{F}=n_{\text{top}}+mg=m\frac{v^{2}}{r}\)

아래와 위에서 비행사에게 작용하는 수직항력은 각각$$n_{bot}=mg+m\frac{v^{2}}{r},\,n_{top}=m\frac{v^{2}}{r}-mg$$

비등속 원운동

왼쪽 그림은 비등속 원운동을 하는 물체를 나타낸 것이다. 전체 가속도는 \(\vec{a}=\vec{a_{r}}+\vec{a_{t}}\)이고 입자에 작용하는 전체 힘은 $$\sum{\vec{F}}=\sum{\vec{F_{r}}}+\vec{F_{t}}$$이다. 여기서 \(\sum{\vec{F_{r}}}\)은 원의 중심을 향하고, 구심가속도를 만드는 힘이고 \(\sum{\vec{F_{t}}}\)는 시간에 따른 입자의 속력변화를 나타내는 접선가속도를 만들어내는 힘이다.

왼쪽 그림은 비등속 원운동을 하는 물체의 운동을 나타낸 것이다.

\(\sum{F_{t}}=mg\sin\theta=ma_{t}\)에서 \(a_{t}=g\sin\theta\)

(여기서 \(\vec{T},\,\vec{a_{r}}\)은 원의 중심 \(O\)를 향한다.)

\(\sum{F_{r}}=T-mg\cos\theta=m\frac{v^{2}}{R}\)에서 \(T=mg\left(\frac{v^{2}}{Rg}+\cos\theta\right)\)

이 결과로부터

물체가 꼭대기에 있을 때의 장력: \(T_{top}=mg\left(\frac{v_{\text{top}}^{2}}{Rg}-1\right)\)

물체가 맨 밑에 있을 때의 장력: \(T_{bot}=mg\left(\frac{v_{\text{bot}}^{2}}{Rg}+1\right)\)

맨 꼭대기에서 줄의 장력이 순간적으로 없어진다면(0이 될 때) \(v_{\text{top}}=\sqrt{gR}\)

가속틀에서의 운동

어떤 물체에 실제 힘과 같은 방식으로 작용하는것 같이 보이는 힘을 겉보기 힘(fictitious force)이라 한다. 실제 힘은 항상 두 물체간의 상호작용이지만, 겉보기 힘에 대해서는 두 번째 물체를 찾을 수 없다.

승객이 문쪽으로 미끄러지는 것은 밖으로 향하는 힘 때문이 아니라 승객이 자동차를 따라 휘어진 궤도를 움직일 정도로 마찰력이 충분히 크지 않기 때문이다.

회전하는 좌표계에서 물체의 지름방향 위치가 변하여 나타나는 겉보기 힘을 코리올리힘 이라고 한다.

관성기준틀의 관찰자의 입장에서(열차 바깥에 있는 관찰자)

\(\sum{F_{x}}=T\sin\theta=ma\)

\(\sum{F_{y}}=T\cos\theta-mg=0\)

비관성기준틀 관찰자의 입장에서(열차 안에 있는 관찰자)

\(\sum{F_{x}'}=T\sin\theta-F_{\text{fictitious}}=0\)

\(\sum{F_{y}'}=T\cos\theta-mg=0\)

\(F_{\text{fictitious}}=ma\)라 하면 관성기준틀 관찰자의 알짜힘과 동등하다.

여기서 \(a\)는 관성틀 관찰자에 대한 가속도이다.

저항력을 받는 운동

매질을 뚫고 움직이는 물체에 저항력(resistive force) \(\vec{R}\)을 작용한다. 이때 \(\vec{R}\)의 크기는 물체의 속력과 같은 요소들에 의해 결정되며, \(\vec{R}\)의 방향은 항상 물체의 매질에 대한 상대적인 운동에 반대이다.

1. 물체의 속도에 비례하는 저항력

저항력을 \(\vec{R}=-k\vec{v}\)로 나타낼 수 있다. 여기서 음의 부호는 \(\vec{R}\)이 \(\vec{v}\)의 방향과 반대임을 뜻한다.

물 속 구에 작용하는 힘은 저항력 \(\vec{R}=-k\vec{v}\)과 중력 \(\vec{F_{g}}=m\vec{g}\)이다.

아랫방향을 \(+\)로 잡으면 \(\sum{F_{y}}=mg-kv\)이고$$mg-kv=ma=m\frac{dv}{dt}$$

이를 미분방정식으로 나타내면 $$\frac{dv}{dt}=-\frac{k}{m}v+g$$이고 초기(\(t=0\))에 \(v=0,\,|\vec{R}|=0,\,|\vec{a}|=g\)이다.

시간 \(t\)가 증가하면 저항력의 크기는 증가하고 가속도는 감소한다. 저항력의 크기가 구의 무게(중력)에 가까워지면 가속도는 0에 가까워진다. 가속도가 0이 됬을 때의 속력을 종단속력(terminal speed)이라 한다. 가속도가 0이면 \(mg-kv=0\)이므로 종단속력 \(v_{T}\)는 \(v_{T}=\frac{mg}{k}\). 시간 \(t\)에 따른 속력 \(v\)는 \(v=\frac{mg}{k}(1-e^{-\frac{k}{m}t})=v_{T}(1-e^{-\frac{t}{\tau}})\)이다. 여기서 \(\tau=\frac{m}{k}\)를 시간상수라 하고 \(e\)는 \(e=\displaystyle\small\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}\)이다.

2. 물체의 속력의 제곱에 비례하는 저항력

비행기, 스카이다이버, 자동차, 야구공 처럼 공기 속에서 빠른 속력으로 운동하는 물체들에 대해서는 저항력이 속력의 제곱에 비례하는 것으로 비교적 잘 모형화 할 수 있다.

즉, \(|\vec{R}|=\frac{1}{2}D\rho Av^{2}\)이다. 여기서 \(D\)는 끌림계수이고 경험적으로 얻어지는 수이다. 또한 \(\rho\)는 공기의 밀도, \(A\)는 운동방향에 수직인 평면에서 측정한 물체의 단면적이다.

이 물체에 작용하는 힘은 저항력과 중력뿐이다. 그러면

\(\sum{F}=mg-\frac{1}{2}D\rho Av^{2}=ma\)이고 \(a=g-\left(\frac{D\rho A}{2m}\right)v^{2}\)

가속도가 0일 때 \(g-\left(\frac{D\rho A}{2m}\right)v^{2}=0\)이고 이 때의 속력을 종단속력이라고 한다. 종단속력 \(v_{T}\)는 \(v_{T}=\sqrt{\frac{2mg}{D\rho A}}\)이다.

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning