[일반물리학] 6. 계의 에너지 (2: 위치에너지와 보존력)

6. 계의 에너지 (2: 위치에너지와 보존력)

왼쪽 그림에서 책을 높이 $\Delta\vec{\mathrm{r}}=(y_{f}-y_{i})\vec{j}$로 들어올리면 계에 일을 한 것이 된다. 책은 일을 하기 전에도 정지상태이고 일을 한 다음에도 정지상태이다. 이 사실로부터 계의 운동에너지가 변하지 않음을 알 수 있다.

 계의 에너지 변화가 운동에너지 변화가 아니기 때문에 책을 들어올린 후 놓으면 책은 낙하하면서 운동에너지를 갖는다. 다시 말해서 책이 가장 높은 위치에 있을 때, 계에는 운동에너지로 바뀔 수 있는 에너지가 있고 이러한 에너지를 위치에너지(potential energy)라고 한다. 위치에너지의 크기는 계의 구성원들의 배열상태에 따라 결정된다.

질량이 $m$, 기준점에서 높이 $y$위에 있는 물체의 중력에 의한 위치에너지 $U_{g}=mgy$를 중력위치에너지(gravitational potential energy)라 하고 단위는 에너지와 같은 줄($\mathrm{J}$)이다.

어떤 물체의 처음 위치가 $y_{i}$, 나중 위치가 $y_{f}$일 때, 이 물체의 위치에너지는 $$W_{\text{net}}=mgy_{f}-mgy_{i}=\Delta U_{g}$$ 이고 중력위치에너지가 지표면 위의 물체의 연직높이에만 의존함을 알 수 있다. 중력위치에너지를 구할 때, 문제의 상황에 따라 사용할 기준점을 선택한다. 처음위치와 나중위치가 중요한 게 아니라 위치에너지의 차이가 중요하다!

어떤 물체에 용수철 상수가 $k$인 용수철을 연결해 길이 $x$만큼 늘였을 때, 이 물체에 작용하는 용수철 힘은 $F_{s}=-kx$이다. 이 때, 이 물체가 받는 위치에너지는 $U_{s}=\frac{1}{2}kx^{2}$이고 이 에너지를 탄성위치에너지(elastic potential energy)(변형된 용수철에 저장된 에너지) 라고 한다.

계의 온도와 연관된 에너지를 내부에너지(internal energy)라고 한다. 힘은 크게 보존력 또는 비보존력으로 나뉘게 된다. 보존력(conservative force)의 정의는 다음과 같다.

1. 두 점 사이를 이동하는 입자에 보존력이 한 일은 이동경로와 무관하다.

2. 폐경로(출발점과 도착점이 같은 경로)를 따라 이동하는 입자에 보존력이 한 일은 0이다.

중력과 용수철힘은 보존력이다. 보존력이 한 일은 $W_{c}=U_{i}-U_{f}=-\Delta U$이다.

보존력의 성질 1, 2 중 하나라도 만족하지 못하는 힘을 비보존력(nonconservative force) 이라고 한다. 예를 들어 운동마찰력은 비보존력이다. 이유는 운동하는 입자에 마찰력이 한 일은 이동경로에 비례하기 때문이다($W_{f}=\mu mgs$). ($\mu$:운동마찰계수, $m$:입자의 질량, $g$: 중력가속도, $s$: 이동경로의 길이)

계의 운동에너지와 위치에너지의 합을 역학적에너지(mechanical energy) 라고 한다. $$E_{\text{mech}}=K+U$$ 계의 내부에서 작용하는 비보존력은 역학적에너지의 변화를 초래한다.

운동마찰력은 계의 역학적에너지를 내부에너지로 변환(열을 발생시킴)하므로 비보존력이다.

위의 그림에서 A경로가 B경로보다 길기 때문에 마찰력이 한 일이 큰 경우는 A경로로 움직일 때 이다.

보존력이 계 내부에서 한 일과 위치에너지의 감소가 같도록 위치에너지 함수(Potential energy function) $U$를 정의할 수 있다.

입자가 $x$축을 따라 움직이는 동안 보존력 $\vec{\mathrm{F}}$가 한 일은 $$W_{c}=\int_{x_{i}}^{x_{f}}{F_{x}dx}=-\Delta U$$

($F_{x}$는 $\vec{\mathrm{F}}$의 변위방향 성분이다.)이다. 2, 3차원일 때 $$W_{c}=\int{\vec{\mathrm{F}}\cdot d\vec{\mathrm{r}}}=U_{i}-U_{f}$$ 로 나타낸다.

따라서 위치에너지의 변화는 다음과 같다. $$\Delta U=U_{f}-U_{i}=-\int_{x_{i}}^{x_{f}}{F_{x}dx}$$ ($F_{x}$와 $dx$가 같은 방향일 때, $\Delta U$의 부호는 음(-) 이다.) 물리적으로 의미를 갖는 것은 위치에너지의 변화이다.

보존력과 위치에너지 함수와의 관계는 $$F_{x}=-\frac{dU}{dx}$$ 이다. 2, 3차원일 때는 $$\vec{\mathrm{F}}=-\nabla U=-\left(\frac{\partial U}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial U}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial U}{\partial z}\vec{k}\right)$$ 이다.

계 내부의 한 물체에 작용하는 보존력의 $x$성분은 위치에너지의 $x$에 대한 미분값에 음(-)의 부호를 붙인 것과 같다.

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning