[일반물리학] 8. 선운동량과 충돌 (1)

8. 선운동량과 충돌 (1)

움직이는 물체를 기술하기 위하여 운동량(Momentum)이라는 개념을 도입한다.

계는 고립되어 있기 때문에 어떤 한 입자에 작용하는 유일한 힘은 다른 입자로부터 오는 힘(뉴턴의 운동 제 3법칙)이다. 왼쪽 그림에 있는 고립계의 두 입자는 뉴턴의 운동 제 3법칙인 작용-반작용 법칙에 따라 $\vec{F_{12}}=-\vec{F_{21}}$이다. 그러므로 $$\vec{F_{12}}+\vec{F_{21}}=\vec{0}$$ 이고 $$m_{1}\vec{a_{1}}+m_{2}\vec{a_{2}}=m_{1}\frac{d\vec{v_{1}}}{dt}+m_{2}\frac{d\vec{v_{2}}}{dt}=\vec{0}$$ 시간에 대한 $m_{1}\vec{v_{1}}+m_{2}\vec{v_{2}}$의 도함수가 $\vec{0}$이므로, 이 합이 일정해야 한다. $m\vec{v}$를 선운동량이라 하며 고립계에서 각 입자에 대한 선운동량의 합은 보존된다.

속도 $\vec{v}$로 움직이는 질량이 $m$인 물체의 입자 또는 물체의 선운동량(Linear momentum) $\vec{p}$를 질량과 속도의 곱으로 정의한다. 즉 $\vec{p}=m\vec{v}$이고 방향은 $\vec{v}$방향이고 SI단위는 $\textrm{kg}\cdot\textrm{m/s}$이다.

입자의 선운동량과 그 입자에 작용하는 합력 사이의 관계식은 $\sum{\vec{F}}=m\vec{a}=\frac{d(m\vec{v})}{dt}=\frac{d\vec{p}}{dt}$이다. 즉 입자의 선운동량의 시간에 대한 변화율이 그 입자에 작용하는 전체합력(알짜힘)과 같다.

어떤 물체 1과 물체 2의 선운동량을 각각 $\vec{p_{1}},\,\vec{p_{2}}$라고 하면 전체운동량 $\vec{p_{\text{tot}}}=\vec{p_{1}}+\vec{p_{2}}$를 시간에 대해 미분한 값은 $\vec{0}$이다. 즉 $\frac{d\vec{p_{\text{tot}}}}{dt}=\frac{d}{dt}(\vec{v_{1}}+\vec{v_{2}})=\vec{0}$이다. 이는 전체 운동량 $\vec{p_{\text{tot}}}$가 일정하다는 것을 뜻하고 $\vec{p_{i1}}$과 $\vec{p_{i2}}$를 각각 물체 1과 물체 2의 초기 선운동량, $\vec{p_{f1}}$과 $\vec{p_{f2}}$를 각각 물체 1과 물체 2의 나중 선운동량이라고 할 때 $\vec{p_{i1}}+\vec{p_{i2}}=\vec{p_{f1}}+\vec{p_{f2}}$가 성립함을 뜻한다. 또한 $x,\,y,\,z$방향에 따른 성분들의 운동량이 각각 독립적으로 보존된다. 주의할 점은 작용하는 힘들이 계의 내부에서 작용해야 한다.

왼쪽의 그래프는 시간에 따른 알짜힘의 크기를 나타내는 그래프이다.

왼쪽 그래프에서 면적은 시간간격 $\Delta t=t_{f}-t_{i}$동안 입자에 작용한 알짜힘 $\sum{\vec{F}}$의 충격량(Impulse)을 나타낸다.

$d\vec{p}=\sum{\vec{F}}dt$이므로 운동량의 변화량 $\Delta\vec{p}$는 $\Delta{p}=\vec{p_{f}}-\vec{p_{i}}=\displaystyle\small\int_{t_{i}}^{t_{f}}{\left(\sum{\vec{F}}\right)dt}$이고 이는 충격량과 같다. 즉 입자의 운동량의 변화는 입자에 작용하는 알짜힘의 충격량과 같다. 이 결과를 충격량-운동량 정리(impulse-momentum theorem)이라 하고 $\vec{I}=\Delta\vec{p}$의 관계가 성립한다.

두 입자가 짧은 시간동안 작용하여 서로에게 힘으로 상호작용하는 경우를 충돌(collision)이라 한다. 왼쪽 그림에서 위의 그림은 두 물체가 직접 접촉해서 일어나는 충돌을 나타낸 것이고 아래의 그림은 전하의 부호가 같은 대전된 두 입자간의 충돌을 나타낸 것이다. 아래의 그림에서 작용한 충격력은 전자기력이다. 운동에너지가 보존되면 탄성충돌(Elastic collision), 보존되지 않으면 비탄성충돌(Inelastic collision)으로 구분한다.

두 물체 사이의 탄성충돌은 계의 전체운동량 뿐만 아니라 전체운동에너지가 충돌 전과 후가 서로 같다. 반면 비탄성 충돌은 계의 전체운동량은 보존되나 전체운동에너지가 충돌 전과 후가 서로 같지 않은 경우이다. 운동에너지의 손실만 있는 경우를 비탄성충돌, 두 개의 물체가 충돌하여 서로 붙는 경우를 완전비탄성충돌이라고 한다.

완전비탄성충돌(Perfectly inelastic collision) 위의 그림에서 왼쪽은 충돌 전을, 오른쪽은 충돌 후 한 덩어리가 되어 운동하는 것을 나타낸 것이다. 운동량 보존법칙으로부터 $m_{1}\vec{v_{1i}}+m_{2}\vec{v_{2i}}=(m_{1}+m_{2})\vec{v_{f}}$이고 따라서 $\vec{v_{f}}=\frac{m_{1}\vec{v_{1i}}+m_{2}\vec{v_{2i}}}{m_{1}+m_{2}}$이다.

탄성충돌(Elastic collision) 위의 그림에서 왼쪽은 충돌 전을, 오른쪽은 충돌 후를 나타낸 것이다. 운동량 보존법칙으로부터 $m_{1}v_{1i}+m_{2}v_{2i}=m_{1}v_{1f}+m_{2}v_{2f}$이고 탄성충돌은 운동에너지가 보존되기 때문에 $\frac{1}{2}m_{1}v_{1i}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2i}^{2}=\frac{1}{2}m_{1}v_{1f}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2f}^{2}$이다. 이 두 결과를 종합하면 $v_{1f}=\left(\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)v_{1i}+\left(\frac{2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)v_{2i}$, $v_{2f}=\left(\frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)v_{1i}+\left(\frac{m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)v_{2i}$이다.

왼쪽 그림은 실로 매달려 있는 다섯개의 공 들 중에서 한개를 충돌시키는 것을 나타낸 것이다. 여기서 일어나는 충돌은 탄성충돌이다. 위와 아래의 그림에서 위의 그림(This can happen)은 가능한 경우를 나타낸 것이나 아래의 그림은 불가능한 경우를 나타낸 것이다. 위의 그림은 운동량과 운동에너지가 보존되었기 때문에 탄성충돌이다. 아래의 그림(This cannot happen)은 운동량은 보존되었으나 운동에너지가 보존되지 않는다.

다음은 2차원 충돌을 나타낸 것이다. 2차원 충돌은 속도를 $x,\,y$축으로 분해해서 각각의 경우에 대해 1차원 충돌처럼 분석한다.

$x$성분: $m_{1}v_{1ix}+m_{2}v_{2ix}=m_{1}v_{1fx}+m_{2}v_{2fx}$

$y$성분: $m_{1}v_{1iy}+m_{2}v_{2iy}=m_{1}v_{1fy}+m_{2}v_{2fy}$

 이때 $v_{1ix}=v_{1i}$ $v_{1iy}=0$, $v_{2ix}=v_{2iy}=0$, $v_{1fx}=v_{1f}\cos\theta$, $v_{2fx}=v_{2f}\cos\phi$, $v_{1fy}=v_{1f}\sin\theta$, $v_{2fy}=v_{2f}\sin\phi$이므로

$x$성분: $m_{1}v_{1i}=m_{1}v_{1f}\cos\theta+m_{2}v_{2f}\cos\phi$

$y$성분: $0=m_{1}v_{1f}\sin\theta-m_{2}v_{2f}\sin\phi$

이다. 탄성충돌일때 $\frac{1}{2}m_{1}v_{1i}^{2}=\frac{1}{2}m_{1}v_{1f}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}v_{2f}^{2}$이고 비탄성충돌일 때는 운동에너지가 보존되지 않기 때문에 이 식을 사용할 수 없다.

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning