[일반물리학] 8. 선운동량과 충돌 (2: 질량중심)

선운동량과 충돌 (2: 질량중심)

위 그림에서 (+)는 물체의 질량중심을 나타낸 것이다. (a)는 힘이 질량중심과 가벼운 입자사이에 작용하는 모습이고 시계방향으로 회전하게 된다. (b)는 힘이 질량중심과 무거운 입자사이에 작용하는 모습이고 반시계방향으로 회전하게 된다. (c)는 힘이 질량중심에 작용하는 모습이고 회전하지 않고 힘의 방향(직선)으로 움직인다.

(i) 두 입자에 대한 질량중심

$(m_{1}+m_{2})x_{\text{cm}}=m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}$이고 따라서 질량중심은 $$x_{\text{cm}}=\frac{m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}}$$ 이다. 만약 두 물체의 질량이 같으면 $$x_{\text{cm}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$$ 이다.

(ii) 3차원에서 질량이 $m_{i}$인 $n$개의 입자들이 있을 때의 질량중심

$x_{\text{cm}}=\frac{m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}+\cdots+m_{n}x_{n}}{m_{1}+m_{2}+\cdots+m_{n}}=\displaystyle\small\frac{\sum{m_{i}x_{i}}}{\sum{m_{i}}}=\frac{1}{M}\sum_{i}{m_{i}x_{i}}$이고 여기서 $M=\displaystyle\small\sum_{i}{m_{i}}$이다. 이와 같은 방법으로 $y,\,z$축의 질량중심을 구하면 $y_{\text{cm}}=\frac{1}{M}\displaystyle\small\sum_{i}{m_{i}y_{i}}$, $z_{\text{cm}}=\frac{1}{M}\displaystyle\small\sum_{i}{m_{i}x_{i}}$이다. 벡터를 이용하여 나타내면 $$\vec{r_{\text{cm}}}=x_{\text{cm}}\vec{i}+y_{\text{cm}}\vec{j}+z_{\text{cm}}\vec{k}=\displaystyle\small\frac{1}{M}\sum_{i}{x_{i}m_{i}}\vec{i}+\frac{1}{M}\sum_{i}{m_{i}y_{i}}\vec{j}+\frac{1}{M}\sum_{i}{m_{i}z_{i}}\vec{k}=\frac{1}{M}\sum_{i}{m_{i}\vec{r_{i}}}$$ 이다. 여기서 $\vec{r_{i}}$는 $i$번째 입자의 위치벡터이고 $\vec{r_{i}}=x_{i}\vec{i}+y_{i}\vec{j}+z_{i}\vec{k}$이다.

(iii) 크기가 있는 물체의 질량중심

크기가 있는 물체는 아주 많은 입자들로 구성된 계 라고 볼 수 있다. 그러나 입자사이의 간격이 매우 작으므로 물체의 질량분포가 연속적인 것으로 간주할 수 있다. $$x_{\text{cm}}\approx\frac{1}{M}\sum_{i}{m_{i}x_{i}},\,y_{\text{cm}}\approx\frac{1}{M}\sum_{i}{m_{i}y_{i}},\,z_{\text{cm}}\approx\frac{1}{M}\sum_{i}{m_{i}z_{i}}$$ 이고 $n\,\rightarrow\,\infty,\,\Delta m_{i}\,\rightarrow\,0$이면 질량중심은 정확하게 주어진다. 이때 합은 적분으로, $\Delta m_{i}$는 $dm_{i}$로 바뀐다. $$x_{\text{cm}}=\frac{1}{M}\lim_{\Delta m_{i}\,\rightarrow\,0}{\sum_{i}{m_{i}x_{i}}}=\frac{1}{M}\int{xdx},\,y_{\text{cm}}=\frac{1}{M}\lim_{\Delta m_{i}\,\rightarrow\,0}{\sum_{i}{m_{i}y_{i}}}=\frac{1}{M}\int{ydm},\\z_{\text{cm}}=\frac{1}{M}\lim_{\Delta x_{i}\,\rightarrow\,0}{\sum_{i}{m_{i}z_{i}}}=\frac{1}{M}\int{zdm}$$ 이고 이를 벡터로 나타내면 $$\vec{r_{\text{cm}}}=\frac{1}{M}\int{\vec{r}}dm$$ 이고 이는 크기가 있는 질량중심의 위치벡터이다. 여기서 $\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$이다.

대칭성을 갖고 있는 물체의 질량중심은 대칭축과 대칭면 위에 놓인다. 이는 밀도가 균일한 물체에 대해서만 성립한다.

물체의 모양이 불규칙한 경우, 예를들어 렌치의 경우는

1. 렌치를 두 개의 다른 점(A, C)에 걸어 자유롭게 매단다.

2. AB와 CD의 교차점이 질량중심이다.

(일반적으로 렌치가 임의의 점으로부터 자유롭게 매달려 있으면, 이 점을 지나는 수직선은 반드시 질량중심을 지난다.)

크기가 있는 물체는 질량이 연속적으로 분포되어 있어서 각각의 작은 질량요소에 중력이 작용한다. 이들 힘의 알짜효과는 무게중심(center of gravity)이라 하는 한 점에 작용하는 단일 힘 $M\vec{g}$의 효과와 같다. 만일 $\vec{g}$가 위치에 관계없이 일정하면 무게중심은 질량중심과 일치한다. 크기를 가진 물체를 무게중심 위에다 받쳐 세우면, 물체는 어떤 자세로도 균형을 이룬다.

왼쪽 그림의 막대는 질량이 $M$이고 길이가 $L$인 단위길이당 질량(선밀도)이 균일한 막대의 질량중심은 양 끝 사이의 중간에 있다.

균일한 막대의 단위길이당 질량(선밀도)은 $\lambda=\frac{M}{L}$이고 막대를 길이가 $dx$인 조각으로 나누면 각 조각의 질량은 $dm=\lambda dx$이다. 따라서 이 경우의 막대의 질량중심은 $$x_{\text{cm}}=\frac{1}{M}\int{xdm}=\frac{1}{M}\int_{0}^{L}{x\lambda dx}=\frac{\lambda}{2}\frac{L^{2}}{M}=\frac{L}{2}$$ 이다.

막대가 균일하지 않아 선밀도가 $\lambda=\alpha x$ ($\alpha$는 상수)로 변할 때 $\lambda=\frac{dm}{dx}$이므로 $dm=\lambda dx$이고 $$x_{\text{cm}}=\frac{1}{M}\int{xdm}=\frac{1}{M}\int_{0}^{L}{x\lambda dx}=\frac{\alpha}{M}\int_{0}^{L}{x^{2}dx}=\frac{\alpha L^{3}}{3M}$$ 이고 막대의 전체질량이 $$M=\int{dm}=\int_{0}^{L}{\lambda dx}=\frac{1}{2}\alpha L^{2}$$ 이므로 따라서 질량중심은 $x_{\text{cm}}=\frac{2}{3}L$이다.

입자계에서 질량 $M$이 일정하면(입자들이 계로 들어가거나 나오지 않으면) 그 계에서 질량중심의 속도는 $$\vec{v_{\text{cm}}}=\frac{d\vec{r_{\text{cm}}}}{dt}=\frac{1}{M}\sum_{i}{m_{i}\frac{d\vec{r_{i}}}{dt}}=\frac{1}{M}\sum_{i}{m_{i}\vec{v_{i}}}$$ 이다. 또한 계의 질량중심의 운동량은 전체질량에 질량중심의 속도를 곱한 것과 같고, 즉 $$M\vec{v_{\text{cm}}}=\sum_{i}{m_{i}\vec{v_{i}}}=\sum_{i}{\vec{p_{i}}}=\vec{p_{\text{tot}}}$$ 계의 질량중심의 가속도는 $$\vec{a_{\text{cm}}}=\frac{d\vec{v_{\text{cm}}}}{dt}=\frac{1}{M}\sum_{i}{m_{i}\frac{d\vec{r_{i}}}{dt}}=\frac{1}{M}\sum_{i}{m_{i}\vec{a_{i}}}$$ 이다. 이때$\displaystyle\small M\vec{a_{\text{cm}}}=\sum_{i}{m_{i}\vec{a_{i}}}=\sum_{i}{\vec{F_{i}}}$이므로 계에 작용하는 알짜힘은 단지 외력에 의한 것 뿐이다(내력은 서로 상쇄됨). 즉 $$\displaystyle\small\sum{\vec{F_{\text{ext}}}}=M\vec{a_{\text{cm}}}$$ 입자계에 작용하는 알짜외력은 계의 전체질량에 질량중심의 가속도를 곱한 것과 같다.

알짜외력을 받아 운동하는 전체질량이 $M$인 계의 질량중심의 궤적은 같은 힘을 받는 질량이 $M$인 입자 한 개의 궤적과 동일하다.

또한 $$\int{\left(\sum{\vec{F_{\text{ext}}}}\right)dt}=\int{M\vec{a_{\text{cm}}}dt}=\int{M\frac{d\vec{r_{\text{cm}}}}{dt}dt}=M\int{d\vec{v_{\text{cm}}}}=M\Delta\vec{v_{\text{cm}}}$$ 이고 외력에 의해 계에 가해진 충격량 $\vec{I}$와 계의 운동량 $\vec{p_{\text{tot}}}$에 대하여 $\vec{I}=\Delta\vec{p_{\text{tot}}}$이다.

계에 작용하는 알짜 외력이 $\vec{0}$이면 $\displaystyle\small M\vec{a_{\text{cm}}}=M\frac{d\vec{v_{\text{cm}}}}{dt}=\vec{0}$이고 따라서 $M\vec{v_{\text{cm}}}=\vec{p_{\text{tot}}}$는 일정하다($\sum{\vec{F_{\text{ext}}}}=\vec{0}$).

입자계에 작용하는 알짜외력이 없으면 입자계의 전체 선운동량은 보존되고 따라서 고립된 입자계에 대하여 전체운동량과 질량숭심의 속도 모두 시간에 대해 일정하다(다입자계에 대한 운동량 보존법칙의 일반화).

둘 또는 그 이상의 물체로 이루어진 고립계가 정지해 있을 때, 이러한 계의 질량중심은 외력이 작용하지 않는 한 계속 정지한다.

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning