[일반물리학] 7. 에너지보존

7. 에너지보존

입자로 모형화한 물체에 여러 힘이 작용할 때 입자의 운동에너지가 변화한다. 이러한 상황은 비고립계(Nonisolated system)모형의 예이다

다음은 계(system)의 내부 또는 외부로 에너지를 전달하는 몇 가지 방법들이다.

-일(work): 작용점에 변위를 동반하면서 계에 힘을 작용하여 계에 에너지를 전달하는 방법.

-역학적인 파동(mechanical waves): 요동(disturbance)을 공기나 다른 매질을 통해 전파하여 에너지를 전파하는 방법(음파, 지진파 등).

-열(heat): 온도 차이가 있는 두 개의 서로 다른 공간영역을 접촉시켜 에너지를 전달하는 방법.

-물질전달(matter transfer): 물질을 물리적으로 계의 경계를 넘게 하여 물체와 함께 직접적으로 에너지를 전달하는 방법(대류현상 등).

-전기송전(electrical transmission): 전류를 매개로 하여 에너지를 전달하는 방법.

-전자기복사(electromagnetic radiation): 빛, 마이크로파, 라디오파와 같은 전자기파를 매개로 하여 에너지를 전달하는 방법.

에너지는 생성되지도 안혹 소멸되지도 않아 항상 보존되고 계의 전체 에너지가 변하면, 그 이유는 오직 위에서 나열한 에너지 전달방법 중 하나와 같은 에너지 전달방식으로 에너지가 계의 경계를 넘기 때문이다.

에너지 보존 방정식(conservation of energy equation)은 $\Delta E_{\text{system}}=\sum{T}$로 나타내어지고 여기서 $E_{\text{system}}$은 계의 전체에너지 또는 계에 저장가능한 모든 에너지(운동에너지, 위치에너지, 내부에너지), $T$는 어떤 전달과정을 거쳐 계의 경계를 넘어 전달되는 에너지의 양이다.

$T_{\text{work}}=W$(한 일의 양), $T_{\text{heat}}=Q$(열에너지), $E_{\text{int}}$(내부에너지), $T_{\text{MW}}$(역학적 파동), $T_{\text{MT}}$(물질수송), $T_{\text{ET}}$(전기수송), $T_{\text{ER}}$(전자기 복사)라 하면 비고립계 모형(nonisolated system model)은 $\Delta K+\Delta U+\Delta E_{\text{int}}=W+Q+T_{\text{MW}}+T_{\text{MT}}+T_{\text{ET}}+T_{\text{ER}}$이다. 주어진 계에 대하여 에너지 보존 방정식의 우변의 모든 항들이 0인 경우, 그 계는 고립계이다. 고립계는 계의 경계를 넘는 어떠한 방식의 에너지 전달이 없다.

다음은 중력이 작용하는 상황을 나타낸 것이다.

(중력이 책에 한 일): $W_{\text{on book}}=(m\vec{g})\cdot\Delta\vec{\mathrm{r}}=(-mg\vec{j})\cdot[(y_{f}-y_{i})\vec{j}]=mgy_{i}-mgy_{f}$

일-운동에너지 정리로부터 $W_{\text{on book}}=\Delta K_{\text{book}}$이고

$\Delta K_{\text{book}}=mgy_{i}-mgy_{f}=-(mgy_{f}-mgy_{i})=-\Delta U_{g}$($\Delta U_{g}$는

중력위치에너지의 변화)

이 사실로부터 $\Delta K_{\text{book}}+\Delta U_{g}=0$이다.

한 고립계에 대하여 $\Delta K+\Delta U=0$, 즉 계의 역학적에너지는 운동에너지와 위치에너지의 합이며 그 값은 항상 일정하다. 이를 식으로 나타내면 $E_{\text{mech}}=K+U$이다. 계에 비보존력이 없으면 고립계에 대한 역학적에너지 보존(Conservation of mechanical energy)은 $\Delta E_{\text{mech}}=\Delta K+\Delta U=0$이다. 만약 계의 내부에서 작용하는 비보존력이 있으면 이 힘에 의한 역학적에너지는 내부에너지로 변환된다. 고립계 내부에서 작용하는 비보존력이 있으면 역학적에너지가 보존되지 않으나 계의 전체에너지는 보존된다($\Delta E_{\text{system}}=0$)

$\Delta K=K_{f}-K_{i},\,\Delta U=U_{f}-U_{i}$이므로 $K_{f}+U_{f}=K_{i}+U_{i}$이다.

마찰력이 존재할 때 뉴턴의 제 2법칙을 사용하고 운동마찰력이 하는 일을 도입하면 일-운동에너지 정리를 적용할 수 있다.

미시적 마찰력 외의 다른 힘들이 한 일은 $\displaystyle\small\sum{W_{\text{other forces}}}=\int{\left(\sum{\vec{F}_{\text{other forces}}}\right)\cdot d\vec{\mathrm{r}}}$ ($d\vec{\mathrm{r}}$은 물체의 변위이다.)

마찰력을 제외한 힘들이 물체를 변형시키지 않는다고 가정하면 물체의 변위는 이 힘들의 작용점의 변위와 같다.

$\displaystyle\small\sum{W_{\text{other forces}}}+\int{\vec{f}_{k}\cdot d\vec{\mathrm{r}}}=\int{\left(\sum{\vec{F}_{\text{other forces}}}\right)\cdot d\vec{\mathrm{r}}}+\int{\vec{f}_{k}\cdot d\vec{\mathrm{r}}}$ ($f_{k}$는 운동마찰력)

$\displaystyle\small\sum{\vec{F}_{\text{other forces}}}+\vec{f}_{k}=\sum{\vec{F}}$이므로 $\displaystyle\small\sum{W_{\text{other forces}}}+\int{\vec{f}_{k}\cdot d\vec{\mathrm{r}}}=\int{\left(\sum{\vec{F}}\right)\cdot d\vec{\mathrm{r}}}$이다.

뉴턴의 운동 제 2법칙인 $\displaystyle\small\sum{\vec{F}}=m\vec{a}$를 대입하면

$\displaystyle\small\sum{W_{\text{other forces}}}+\int{\vec{f}_{k}\cdot d\vec{\mathrm{r}}}=\int{m\vec{a}\cdot d\vec{r}}=\int{m\frac{d\vec{v}}{dt}\cdot d\vec{r}}=\int_{t_{i}}^{t_{f}}{m\frac{d\vec{v}}{dt}}\cdot\vec{v}dt$이다. ($d\vec{\mathrm{r}}=\vec{v}dt$)

이떄 $\frac{d}{dt}(\vec{v}\cdot\vec{v})=\frac{d\vec{v}}{dt}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\frac{d\vec{v}}{dt}=2\frac{d\vec{v}}{dt}\cdot\vec{v}$이므로 $\frac{d\vec{v}}{dt}\cdot\vec{v}=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}(\vec{v}\cdot\vec{v})=\frac{1}{2}\frac{dv^{2}}{dt}$이고 따라서 $\displaystyle\small\sum{W_{\text{other forces}}}+\int{\vec{f}_{k}\cdot d\vec{\mathrm{r}}}=\int_{t_{i}}^{t_{f}}{m\left(\frac{1}{2}\frac{dv^{2}}{dt}\right)}dt=\frac{1}{2}m\int_{v_{i}}^{v_{f}}{dv^{2}}=\frac{1}{2}mv_{f}^{2}-\frac{1}{2}mv_{i}^{2}=\Delta K$이다.

관성틀인 표면에서 볼 때 $\vec{f}_{k}$와 $d\vec{\mathrm{r}}$은 반대방향이다. 즉 $\vec{f}_{k}\cdot d\vec{\mathrm{r}}=-f_{k}dr$이므로 위의 식을 $\displaystyle\small\sum{W_{\text{other forces}}}-\int{f_{k}dr}=\Delta K$로 나타낼 수 있다. 운동마찰력의 크기 $f_{k}$는 일정하고 전체 경로가 $\displaystyle\small\int{dr}=d$이므로 $\displaystyle\small\sum{W_{\text{other forces}}}-f_{k}d=\Delta K$또는 $\displaystyle\small K_{f}=K_{i}-f_{k}d+\sum{W_{\text{other force}}}$이다. 이는 물체에 마찰력이 작용할 때 사용할 수 있는 확장된 일-운동에너지 정리이다.

마찰력만의 영향으로 감속하는 책과 표면으로 구성된 더 큰 계에서 $\Delta E_{\text{system}}=\Delta K+\Delta E_{\text{int}}=0$이고 이는 책-표면으로 구성된 계에서 계의 운동에너지의 변화량은 책만의 운동에너지의 변화량과 같다. 이때 $\Delta K=-f_{k}d$이므로 $-f_{k}d+\Delta E_{\text{int}}=0$이고 따라서 $\Delta E_{\text{int}}=f_{k}d$이다. 이는 계의 내부에너지의 증가량이 마찰력과 책이 이동한 경로의 길이의 곱과 같음을 나타낸다. 이 사실로부터 마찰력은 계의 내부에 있는 운동에너지를 내부에너지로 변환시킨다. 이때 계의 내부에너지의 증가량은 운동에너지의 감소량과 같다.

고립계 안에서 비보존력인 마찰력이 작용할 때 $\Delta E_{\text{mech}}=\Delta K+\Delta U=-f_{k}d$ ($\Delta U$: 모든 형태의 위치에너지의 변화량)

비고립계 안에서 다른 비보존력이 작용할 때 $\Delta E_{\text{mech}}=-f_{k}d+\displaystyle\small\sum{W_{\text{other forces}}}$ ($\sum{W_{\text{other forces}}}$: 마찰력 외의 비보존력이 한 일)

일률

에너지 전달의 시간에 대한 비율 $P=\displaystyle\small\lim_{\Delta t\,\rightarrow\,0}{\frac{\Delta W}{\Delta t}}=\frac{dW}{dt}$를 순간일률(instantaneous power)이라 한다. 이때 $dW$를 미소일(infinitesimal work)라 하고 $dW=\vec{F}\cdot d\vec{\mathrm{r}}$이 성립한다. 그러면 순간일률은 $P=\frac{dW}{dt}=\vec{F}\cdot\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{F}\cdot\vec{v}\,\left(\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}\right)$

평균일률(average power)은 $P_{\text{avg}}=\frac{W}{\Delta t}$이고 $W$는 $\Delta t$시간 동안 한 일이다.

일률의 SI단위는 초당 줄(J/s) 또는 와트(W)이고 $1\text{W}=1\text{J}/\text{s}=1\text{kg}\cdot\text{m}^{2}/\text{s}^{3}$이다.

1킬로와트-시(kWh)는 1kW=1000J/s인 일정한 일률로 한 시간 동안 전달된 에너지양으로 $1\text{kWh}=(10^{3}\text{W})(3600\text{s})=3.60\times10^{6}\text{J}$이다.(일률의 단위가 아닌 에너지단위이다.)

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning