[일반물리학] 9. 고정축에 대한 강체의 회전 (1)

고정축에 대한 강체의 회전 (1)

바퀴처럼 부피를 갖는 물체가 한 축을 중심으로 회전할 때는 주어진 시간에서 물체의 각 부분들이 다른 선속도와 선가속도를 갖기 때문에 물체를 하나의 입자로 취급하여 그 운동을 분석할 수 없다. 그러나 부피를 갖는 물체를 각각의 선속도와 선가속도를 갖고있는 여러 입자의 모임으로 취급하여 이 운동을 분석할 수 있다.

\(r\)은 원점으로부터의 거리를 표시하고, \(\theta\)는 기준선에서 반시계방향으로 측정한다(\(r\)은 일정).

이때 \(s=r\theta\)이므로 \(\displaystyle\theta=\frac{s}{r}\)이고 이 값의 단위는 \(\text{rad}\)(라디안)이다.

\(\pi\text{rad}=180^{\circ}\)이므로 (rad)\(\displaystyle\theta=\frac{\pi}{180^{\circ}}\theta\)(deg)의 관계가 성립한다.

(\(\theta\)에 단위 라디안(rad)을 부여하며, 1라디안은 호의 길이가 호의 반지름과 같을 때의 각이다.)

강체의 입자가 기준선으로부터 각 \(\theta\)만큼 이동하면 강체에 속한 모든 다른 입자들도 같은 각도 \(\theta\)만큼 회전한다. 따라서 각 입자와 마찬가지로 전체 강체에 각 \(\theta\)를 부여할 수 있으므로 회전하는 강체의 각위치(angle position)를 정의할 수 있다.

각 위치(angle position): 강체 위의 기준선과 고정된 기준선(보통 \(x\)축)이 이루는 각 \(\theta\)로 정한다.

각 변위(angle displacement): 강체 의위 한 입자가 시간간격 \(\Delta t\) 동안 A에서 B로 이동할 때, 강체의 고정된 기준선은 각도 \(\Delta\theta=\theta_{f}-\theta_{i}\)만큼 돌아간다. \(\Delta\theta\)를 강체의 각 변위로 정의한다. 즉$$\Delta\theta=\theta_{f}-\theta_{i}$$

평균각속도, 순간각속도, 평균각가속도, 순간각가속도를 다음과 같이 정의할 수 있다.

평균각속도(Average angular velocity) \(\displaystyle\omega_{\text{avg}}=\frac{\theta_{f}-\theta_{i}}{t_{f}-t_{i}}=\frac{\Delta\theta}{\Delta t}\)

순간각속도(Instantaneous angular velocity) \(\displaystyle\omega=\lim_{\Delta t\,\rightarrow\,0}{\frac{\Delta\theta}{\Delta t}}=\frac{d\theta}{dt}\)

각속도의 단위는 \(\text{rad/s}\) 또는 \(s^{-1}\)(라디안은 차원이 없는 단위이다)이고 각속도의 크기를 각속력(angular speed)이라고 한다.

평균각가속도(Average angular acceleration) \(\displaystyle\alpha_{\text{avg}}=\frac{\omega_{f}-\omega_{i}}{t_{f}-t_{i}}=\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\)

순간각가속도(Instantaneous angular acceleration) \(\displaystyle\alpha=\lim_{\Delta t\,\rightarrow\,0}{\frac{\Delta\omega}{\Delta t}}=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}\)

각가속도의 단위는 \(\text{rad/s}^{2}\) 또는 \(s^{-2}\)이다.

반시계방향으로 회전하는 강체가 빨라지거나 시계방향으로 회전하는 강체가 느려질 때 \(\alpha\)는 양(+)의 값을 갖는다(보통 회전에서 반시계방향을 +, 시계방향을 -로 잡는다).

강체가 고정축에 대하여 회전할 때, 물체 위의 모든 입자는 주어진 시간간격동안에 같은 각만큼 회전하고 같은 각속도와 같은 각가속도를 갖는다.

고정축에 대한 회전에서는 회전축의 방향이 회전운동의 방향을 결정한다.

오른손법칙: 오른손의 네 손가락을 회전방향으로 감아 쥐었을 때 엄지손가락은 벡터 \(\vec{\omega}\)의 방향을 가리킨다.(위 그림 참고)

\(\vec{\alpha}\)의 방향은 \(\displaystyle\vec{\alpha}=\frac{d\vec{\omega}}{dt}\)의 정의로부터 정해진다.

각속도가 시간에 따라 증가하면 \(\vec{\omega}\)와 같은 방향이고 각속도가 시간에 따라 감소하면 \(\vec{\omega}\)와 반대방향이다.

강체가 고정축에 대해서 회전할 때 강체의 모든 입자들이 회전축을 중심으로 원운동을 한다는 점을 염두해 두어야 한다.

접선속도: \(\vec{v}\)(선속도벡터)이고 항상 원둘레의 접선방향이다.

접선속력: \(\displaystyle v=\frac{ds}{dt}\)(접선속도의 크기, \(|\vec{v}|\)), \(s\)는 원둘레 상에서 움직인 거리(반시계방향의 회전)

\(s=r\theta\)이고 \(r\)은 일정하므로 \(\displaystyle v=\frac{ds}{dt}=r\frac{d\theta}{dt}\)이고 따라서 \(v=r\omega\,\displaystyle\left(\frac{d\theta}{dt}=\omega\right)\)이다.

회전하는 강체에 있는 한 점의 접선속력은 회전축으로부터 그 점까지의 거리에 각속력을 곱한 것과 같다. 그러므로 강체 내의 모든 점의 각속력은 같아도, 반지름 \(r\)이 각 점마다 다르기 때문에 접선속력은 같지 않다. 따라서 회전체 내부에 있는 한 점의 접선속력은 그 점이 회전중심에서 멀어질 수록 커진다(예: 골프채를 휘두를 때, 바깥쪽 끝이 손잡이 부분보다 빠르게 움직인다).

접선가속도는 \(\displaystyle a_{t}=\frac{dv}{dt}=r\frac{d\omega}{dt}\)이므로 \(a_{t}=r\alpha\)이다.

회전체 내부에 있는 점 \(P\)에서는 \(v=r\omega\)이므로 구심가속도는 \(\displaystyle a_{c}=\frac{v^{2}}{r}=r\omega^{2}\)이고, \(P\)점에서 전체 가속도벡터는 \(\vec{a}=\vec{a_{t}}+\vec{a_{r}}\) (\(|\vec{a_{r}}|=a_{c}\))이다. 또한 회전강체에 있는 점 \(P\)에서의 가속도 \(\alpha\)의 크기는$$a=|\vec{a}|=\sqrt{|\vec{a_{t}}|^{2}+|\vec{a_{r}}|^{2}}=\sqrt{r^{2}\alpha^{2}+r^{2}\omega^{4}}=r\sqrt{\alpha^{2}+\omega^{4}}$$이다.

강체를 작은 입자들의 집합으로 생각하고, 이 강체가 고정된 \(z\)축을 중심으로 각속력 \(\omega\)로 회전한다고 가정하자.

(왼쪽의 그림은 회전체와 회전축으로부터 \(r_{i}\)만큼 떨어진 곳에 위치한 한 입자를 보여주고 있다.)

\(i\)번째 입자의 질량은 \(m_{i}\), 그리고 접선속력을 \(v_{i}\)라 하면, 이 입자의 운동에너지는 \(\displaystyle K_{i}=\frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{2}\)이다.

이들 각각의 접선속력은 회전축으로부터의 거리 \(r_{i}\)에 의존한다.(같은 각속력 \(\omega\)를 갖는다.)

회전강체의 전체운동에너지는 각 입자의 운동에너지의 합이다. 즉$$K_{R}=\sum_{i}{K_{i}}=\sum_{i}{\frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{2}}=\frac{1}{2}\sum_{i}{m_{i}v_{i}^{2}}$$이므로$$K_{R}=\frac{1}{2}\left(\sum_{i}{m_{i}r_{i}^{2}}\right)\omega^{2}$$(\(\omega^{2}\)는 모든 입자에 대하여 동일하다.)

위 식의 괄호 안의 양을 관성모멘트(moment of inertia) \(I\)로 정의하면 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다.

관성모멘트 \(\displaystyle I=\sum_{i}{m_{i}r_{i}^{2}}\) SI단위: \(\text{kg}\cdot\text{m}^{2}\) 차원: \(ML^{2}\)

이를 이용하여 \(K_{R}\)을 다시 쓰면 다음과 같다.

회전운동에너지(rotation kinetic energy) \(\displaystyle K_{R}=\frac{1}{2}I\omega^{2}\)

(관성모멘트는 물체가 자신의 회전운동을 유지하려는 정도를 나타내는 물리량이다.)

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning