[일반물리학] 9. 고정축에 대한 강체의 회전 (3: 토크, 강체의 굴림운동)

고정축에 대한 강체의 회전 (3: 토크, 강체의 굴림운동)

어떤 축에 대하여 물체를 회전시키고자 하는 힘의 능률을 토크(돌림힘, torque)라고 한다.

힘 \(\vec{\mathrm{F}}\)에 의한 토크의 크기는 다음과 같이 정의한다.

\(\tau=rF\sin\phi=Fd\,(d=r\sin\phi)\)  SI단위: \(\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}(\neq\mathrm{J})\)

(\(r\)은 회전축과 \(\vec{\mathrm{F}}\)의 작용점 사이의 거리이고, \(d\)는 회전축과 \(\vec{\mathrm{F}}\)의 작용선 사이의 수직거리이다.)

\(d\)를 힘 \(\vec{\mathrm{F}}\)의 모멘트 팔(moment arm)이라 한다.

문을 열 때, 경첩에서 가까운 곳 보다 손잡이를 미는 것이 더 쉽다. \(\mathrm{O}\)를 지나는 축에 대해서 회전을 일으키지 않는다. 될수 있는 대로 \(\phi\)가 \(90^{\circ}\)가 되도록 수직으로 힘을 가한다. 손잡이를 옆으로 밀어서는(\(\phi=0\)) 문을 회전시킬 수 없다.

두 가지 또는 그 이상의 힘이 물체에 작용할 때

돌리려 하는 힘의 방향이 반시계방향이면, 힘에 의한 토크의 부호는 양(+)이고, 시계방향이면 음(-)이다.

힘 \(\vec{\mathrm{F}_{1}}\)의 방향은 반시계방향이므로 이 힘에 의한 토크는 \(\tau_{1}=F_{1}d_{1}\)이고

힘 \(\vec{\mathrm{F}}_{2}\)의 방향은 시계방향이므로 이 힘에 의한 토크는 \(\tau_{2}=-F_{2}d_{2}\)이다.

따라서 \(\mathrm{O}\)를 지나는 축에 대한 알짜토크는 \(\displaystyle\sum{\tau}=\tau_{1}+\tau_{2}=F_{1}d_{1}-F_{2}d_{2}\)이다.

접선방향의 힘은 접선가속도 \(\vec{a_{t}}\)를 만들고 \(\displaystyle\sum{F_{t}}={ma_{t}}\)이다. 그러면 원의 중심을 지나는 축에 대하여 입자에 작용하는 \(\displaystyle\sum{\vec{\mathrm{F}}}\)에 의한 알짜 토크의 크기는 \(\displaystyle\sum{\tau}=\sum{F_{t}r}=(ma_{t})r\)이다.

접선가속도와 각가속도의 관계는 \(a_{t}=r\alpha\)이므로 알짜토크는 \(\displaystyle\sum{\tau}=(mr\alpha)r=(mr^{2})\alpha\)이고 여기서 \(mr^{2}\)는 원점을 지나는 \(z\)축에 대한 관성모멘트이므로 \(\displaystyle\sum{\tau}=I\alpha\)이다.

즉 입자에 작용하는 알짜토크는 각가속도에 비례하고, 그 비례상수는 관성모멘트이다.

고정축을 중심으로 회전하는 임의의 모양의 광체에 관해서 강체는 아주 작은 크기의 질량요소 \(dm\)이 무한히 많이 모여있는 것으로 생각할 수 있다. 물체에 직각좌표계를 적용하면, 각각의 질량요소는 원점을 중심으로 원운동을 하며, 외부접선방향의 힘 \(d\vec{\textrm{F}_{t}}\)에 의해 접선가속도 \(\vec{a_{t}}\)를 갖는다.

주어진 질량요소에 대하여 뉴턴의 제 2 법칙을 적용하면 \(dF_{t}=(dm)a_{t}\)를 얻는다. 원점을 지나는 축에 대해, 힘 \(d\vec{\mathrm{F_{t}}}\)에 의한 토크 \(d\tau\)는$$d\tau=rdF_{t}=a_{t}r^{2}dm=\alpha r^{2}dm\,(a_{t}=r\alpha)$$이다.

강체의 알짜토크는$$\sum{\tau}=\int{\alpha r^{2}dm}=\alpha\int{r^{2}dm}$$이므로$$\sum{\tau}=I\alpha\,\left(I=\int{r^{2}dm}\right)$$이다.

참고: \(\displaystyle\sum{\tau}=I\alpha\)의 결과는 지름성분의 힘에도 적용된다, 모든 지름성분의 작용선이 회전축을 통과하기 때문이며 따라서 모든 지름 성분이 그 축에 대해 만들어내는 토크는 \(0\)이다.

단일 외력 \(\vec{\mathrm{F}}\)가 점 \(\mathrm{P}\)에 작용한다고 하자. 물체가 작은 거리 \(ds=rd\theta\)를 회전할 때, \(\vec{\mathrm{F}}\)가 물체에 한 일은 \(dW=\vec{\mathrm{F}}\cdot d\vec{\mathrm{s}}=(F\sin\phi)rd\theta\)이다. (\(F\sin\phi\)는 \(\vec{\mathrm{F}}\)의 접선성분 또는 힘의 변위방향 성분이다.)

\(\vec{\mathrm{F}}\)의 지름성분벡터는 \(\vec{\mathrm{F}}\)의 작용점의 변위에 수직이기 때문에 물체에 일을 하지 않는다.

\(\tau=rF\sin\phi\)이므로, 작은 회전동안 한 일은 \(dW=rd\theta\)이다.

시간 간격(\(dt\))동안 고정축에 대해 물체가 \(d\theta\)만큼 회전하는 동안에 \(\vec{\mathrm{F}}\)가 한 일률은 \(\displaystyle\frac{dW}{dt}=\tau\frac{d\theta}{dt}\)로 주어진다.

\(\displaystyle\frac{dW}{dt}\)는 힘이 전달된 순간인 일률 \(P\)이고 \(\displaystyle\frac{d\theta}{dt}=\omega\)이므로 \(\displaystyle P=\frac{dW}{dt}=\tau\omega\)

 대칭성 있는 물체가 고정축에 대해 회전할 때, 외부힘이 한 일의 회전운동에너지의 변화와 같다. 이를 증명하면

$$\sum{\tau}=I\alpha=I\frac{d\omega}{dt}=I\frac{d\omega}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=I\omega\frac{d\omega}{dt}$$이고 \(\displaystyle\sum{\tau d\theta}=dW\)이므로, \(\displaystyle\sum{\tau d\theta}=dW=I\omega d\omega\)이다.

이 식을 적분하면 외부 알짜힘이 회전계에 대해 한 전체 일을 구할 수 있다.$$\sum{W}=\int_{\omega_{i}}^{\omega_{f}}{I\omega d\omega}=\frac{1}{2}I\omega_{f}^{2}-\frac{1}{2}I\omega_{i}^{2}$$

여기서 각속력은 \(\omega_{i}\)에서 \(\omega_{f}\)로 변한다. 이 식은 회전운동에 대한 일-에너지 정리(Work-Kinetic energy theorem for rotational motion)이다.

원통이 회전축 방향을 일정하게 유지하면서 똑바른 경로를 따라 굴러갈 때 표면의 한 점은 사이클로이드(cycloid)라는 궤적을 그리고 질량중심은 직선을 따라 움직인다. 위의 그림에서 빨간색 곡선이 사이클로이드 궤적이고, 연두색 선은 질량중심의 궤적이다.

위 처럼 원통과 같은 물체가 표면에서 미끄러지지 않고 굴러가는 운동을 순수굴림운동(pure rolling motion)이라 한다. 순수굴림운동에서 반지름의 길이가 \(R\)인 원통이 각 \(\theta\)만큼 돌아가면 중심은 \(s=R\theta\)의 직선거리를 움직인다.

순수굴림운동에서 질량중심의 선속력은 \(\displaystyle v_{\text{CM}}=\frac{ds}{dt}=R\frac{d\theta}{dt}=R\omega\)(\(\omega\)는 원통의 각속력)이다.(이 식은 원통이나 구가 미끄러지지 않고 굴러갈 때, 항상 성립한다.)

순수굴림운동의 조건(condition for pure rolling motion)은 \(v_{\text{CM}}=R\omega\)이다. 이때 질량중심의 선가속도는 \(\displaystyle a_{\text{CM}}=\frac{dv_{\text{CM}}}{dt}=R\frac{d\omega}{dt}=R\alpha\)(\(\alpha\)는 원통의 각가속도)이다.

위의 그림에서 왼쪽 그림은 순수회전운동, 가운데는 순수병진운동, 오른쪽은 순수회전운동과 순수병진운동의 합을 나타낸 것이다.

\(P\)점에서 전체운동에너지는 \(\displaystyle K=\frac{1}{2}I_{p}\omega^{2}\)(\(I_{p}\)는 \(P\)를 지나는 축에 대한 관성모멘트)인데 회전운동물체의 운동은 실제 구르는 물체와 같기 때문이다.

평행축 정리를 적용하여 \(\displaystyle K=\frac{1}{2}I_{p}\omega^{2}\)에 \(I_{p}=I_{\text{CM}}+MR^{2}\)를 대입하고 \(v_{\text{CM}}=R\omega\)를 사용하면 구르는 물체의 전체운동에너지가 구해지는데 구르는 물체의 전체운동에너지는 질량중심에 대한 회전운동에너지와 질량중심의 병진운동에너지의 합이다. 즉$$K=\frac{1}{2}I_{\text{CM}}\omega^{2}+\frac{1}{2}Mv_{\text{CM}}^{2}$$이고 여기서 \(\displaystyle\frac{1}{2}I_{\text{CM}}\omega^{2}\)는 원통의 질량중심에 대한 회전운동에너지, \(\displaystyle\frac{1}{2}Mv_{\text{CM}}^{2}\)는 회전없이 공간을 병진이동했을 경우에 대한 원통의 운동에너지이다.

왼쪽의 그림은 경사면에서 정지상태에서 미끄러지지 않고 구르는 구를 나타낸 것이다.

가속되며 구르는 운동은 구와 경사면 사이에 마찰력이 있어 질량중심에 대한 알짜토크가 만들어져야 가능하다. 그런데 마찰이 있는데도 접촉점은 매 순간표면에 대해 정지하기 때문에, 물체의 변형이 무시될 때 역학적에너지 손실이 없다.(미끄러지면 운동마찰력에 의해 역학적에너지가 감소한다)

굴림마찰: 역학적에너지가 내부에너지로 전환되는 원인(구르는 물체와 면의 변형이 원인이다.)

순수굴림운동에 대하여 \(v_{\text{CM}}=R\omega\)을 사용하면

\(\displaystyle K=\frac{1}{2}I_{\text{CM}}\left(\frac{v_{\text{CM}}}{R}\right)^{2}+\frac{1}{2}Mv_{\text{CM}}^{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{I_{\text{CM}}}{R^{2}}+M\right)v_{\text{CM}}^{2}\)

 이고 구-지구 계에서 구가 경사면 바같에 있을 때, 중력위치에너지가 \(0\)이라고 하자. 역학적에너지 보존에 따라

\(\displaystyle K_{f}+U_{f}=K_{i}+U_{i}\)이므로 \(\displaystyle\frac{1}{2}\left(\frac{I_{\text{CM}}}{R^{2}}+M\right)v_{\text{CM}}^{2}+0=0+Mgh\)이고 따라서$$v_{\text{CM}}=\sqrt{\frac{2gh}{1+\frac{I_{\text{CM}}}{MR^{2}}}}$$이다.

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning