각운동량
강체 위의 벡터위치 →r인 곳에 작용하는 힘 →F를 생각하자. 원점을 통과하는 축에 대하여 이 힘에 의한 토크의 크기는 rFsinϕ이고 ϕ는 →r과 →F가 이루는 사이각이다.
→F에 의해 나타나는 회전축은 →r과 →F가 이루는 평면에 수직이다.
토크 →τ를 벡터곱(vector product, 외적) 또는 크로스 곱(cross product)이라 하는 수학적 연산
→τ=→r×→F(|→τ|=|→r||→F|sinϕ)
을 이용하여 →τ, →r, →F사이의 수학적 관계를 확립할 수 있다.
→C=→A×→B, C=ABsinθ (C=|→C|,A=|→A|,B=|→B|,θ: →A와 →B의 사이각)
→A×→B를 "A크로스 B"라고 읽는다. →C의 방향은 →A와 →B가 만드는 평면에 수직이고 오른손 법칙으로 결정한다.
오른손법칙: 오른손의 네 손가락을 →A로 향하게 한 다음, 각 θ를 지나 →B를 향하여 감아쥔다. 바로 선 엄지손가락의 방향이 →A×→B=→C의 방향이다.
벡터곱의 성질
1. 벡터곱에서는 두 벡터를 곱하는 순서가 중요하다. →A×→B=−→B×→A이므로 벡터곱에서 벡터의 순서를 바꾸면 반드시 부호도 바꾸어야 한다. (오른손 법칙으로 확인)
2. →A와 →B가 나란하면(θ=0∘ 또는 θ=180∘), →A×→B=→0이다. 따라서 →A×→A=→0
3. →A가 →B에 수직이면, |→A×→B|=AB(A=|→A|,B=|→B|)이다.
4. 벡터곱은 분배법칙을 만족한다. 즉, →A×(→B+→C)=→A×→B+→A×→C
5. 벡터곱의 미분은 다음과 같다.
ddt(→A×→B)=d→Adt×→B+→A×d→Bdt
6. 직각 좌표계의 단위벡터 →i,→j,→k에 대하여
→i×→i=→j×→j=→k×→k=→0, →i×→j=−→j×→i=→k, →j×→k=−→k×→j=→i, →k×→i=−→i×→k=→j
7, 벡터곱에서 부호는 교환할 수 있다. (예: →A×(−→B)=−→A×→B, →i×(−→j)=−→i×→j
임의의 두 벡터 →A=Ax→i+Ay→j+Az→k,→B=Bx→i+By→j+Bz→k의 벡터곱은 다음과 같은 행렬식 형태로 표현이 가능하다.→A×→B=|→i→j→kAxAyAzBxByBz|=|AyAzByBz|→i−|AxAzByBz|→j+|AxAyBxBy|→k
행렬식을 전개해서 나타내면 →A×→B=(AyBz−AzBy)→i−(AxBz−AzBx)→j+(AxBy−AyBx)→k이다.
각운동량
위치 →r에서 선운동량 →p를 갖고 움직이는 질량이 m인 입자의 알짜힘은 ∑→F=d→pdt이므로 이 입자의 토크는 ∑→τ=→r×∑→F=→r×d→pdt이다. 이때 d→rdt=→v,→p=m→v이므로 d→rdt×→p=→v×(m→v)=→0이다. 위 식의 우변에 →0=d→rdt×→p를 더하면∑→τ=→r×d→pdt+d→rdt×→p=ddt(→r×→p)가 되고 이 물리량을 입자의 각운동량(angular momentum)이라고 한다.
원점 O에 대한 입자의 순간 각운동량 →L은 입자의 순간위치벡터 →r과 순간선운동량 →p의 벡터곱으로 정의된다. 즉 →L=→r×→p이고 SI단위는 kg⋅m2/s이다.(각운동량 →L의 크기는 L=mvrsinϕ)
참고: →L의 크기와 방향은 원점을 어디로 선택하느냐에 따라 달라진다.
하나의 입자에 대한 뉴턴의 제 2 법칙은 ∑→Fext=d→ptotdt(입자계로 확대 가능) 이고 어떤 점에 대한 입자계 전체 각운동량은 개별입자의 각운동량의 벡터합으로 정의된다. 즉 →Ltot=∑i→Li이고 이때 ∑i→τ=∑id→Lidt=d→ptotdt이다.
모든 내력과 관련된 알짜토크는 →0이고(뉴턴의 제 3 법칙에 따르면, 내력은 크기가 같고 방향이 정반대인 짝으로 나타난다) 오로지 외력에 의한 알짜토크가 계에 작용할 때에만 계의 전체 각운동량이 시간에 따라 변한다고 말할 수 있다. 그러므로 ∑→τext=d→Ltotdt이다.
계에 작용하는 알짜토크가 있는 점에서 계가 고립되어 있지 않다면, 토크는 각운동량의 시간변화율과 같다.(질량중심을 지나는 축에 대하여 토크와 각운동량을 계산한다면, 이 정리는 질량중심이 가속되고 있을 때에도 적용할 수 있다)
질량이 mi인 입자의 z축에 대한 각운동량의 크기는 Li=miviri=mir2iω(vi=riω)이고
물체를 구성하는 모든 입자의 z축에 대한 각운동량의 크기는 Lz=∑iLi=∑imir2iω=(∑imir2i)ω이다. 그러면 Lz=Iω이고(오직 z성분만 갖고 있다) 여기서 I=∑imir2i는 z축에 대한 강체의 관성모멘트이다.
강체에서는 I가 상수이므로 dLzdt=Idωdt=Iα (α는 회전축에 대한 각가속도의 크기)이고 이 값은 알짜외부토크와 같으므로 ∑τext=Iα이다.
이는 고정축 주위로 회전하는 강체에 작용하는 알짜외부토크는 회전축에 대한 관성모멘트와 그 축에 대한 물체의 각가속도의 곱과 같다. 만약 움직이는 축이 질량중심을 지나고 대칭축이라면, 움직이는 축 주위로 회전하는 강체에도 성립한다.
만약 대칭적인 물체가 질량중심을 지나는 고정축 주위로 회전한다면, →L=I→ω와 같이 벡터형태로 쓸 수 있다. (→L은 회전축에 대하여 측정된 물체의 전체 각운동량이다.)
또한 →L이 회전축에 대한 각운동량 성분을 나타낸다면, 이 식은 물체의 대칭성과 무관하게 모든 물체에 대해 성립한다.
계에 작용하는 알짜토크가 →0일 때, 즉 계가 고립되어 있으면 계의 전체 각운동량은 크기와 방향 모두 일정하다. 즉, ∑→τext=d→Ltotdt=→0이면 →Ltot는 상수이거나 각운동량의 초기벡터와 나중벡터가 같다. 즉 →Li=→Lf. 이를 각운동량 보존(conservation of angular momentum)이라고 한다. 많은 입자로 이루어진 고립계의 경우 →Ltot=∑→Ln은 상수벡터이다(n은 계의 n번째 입자를 나타낸다).
만약 고립된 회전계의 질량이 변하면, 계의 관성모멘트가 변하게 된다. 따라서 고립계에서 관성모멘트 I가 변하면, ω도 변하게 된다.
Iiωi=Ifωf=상수 (I(↑)ω(↓)=I(↓)ω(↑)=상수)
질량 m이 일정할 때 I=mr2이므로
mr2iωi=mr2fωf=상수 (mr2(↑)ω(↓)=mr2(↓)ω(↑)=상수)
이 식은 고정축에 대한 회전이나, 움직이는 계의 질량중심을 지나는 축(축의 방향은 변하지 않아야 한다)에 대한 회전에 대하여 모두 성립한다. 다만 알짜외부토크가 →0이 되어야 성립한다.
고립된 계에서는 에너지, 선운동량, 각운동량 모두가 보존된다. 즉, 고립계에서 에너지 전달이 없으면 Ei=Ef, 알짜외력이 0이면 →pi=→pf, 알짜 외부토크가 0이면 →Li=→Lf이다.
참고자료
대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐
Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning
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