[일반물리학] 10. 각운동량

각운동량

강체 위의 벡터위치 \(\vec{\mathrm{r}}\)인 곳에 작용하는 힘 \(\vec{\mathrm{F}}\)를 생각하자. 원점을 통과하는 축에 대하여 이 힘에 의한 토크의 크기는 \(rF\sin\phi\)이고 \(\phi\)는 \(\vec{\mathrm{r}}\)과 \(\vec{\mathrm{F}}\)가 이루는 사이각이다.

\(\vec{\mathrm{F}}\)에 의해 나타나는 회전축은 \(\vec{\mathrm{r}}\)과 \(\vec{\mathrm{F}}\)가 이루는 평면에 수직이다.

토크 \(\vec{\tau}\)를 벡터곱(vector product, 외적) 또는 크로스 곱(cross product)이라 하는 수학적 연산

$$\vec{\tau}=\vec{\mathrm{r}}\times\vec{\mathrm{F}}\,(|\vec{\tau}|=|\vec{\mathrm{r}}||\vec{\mathrm{F}}|\sin\phi)$$

을 이용하여 \(\vec{\tau}\), \(\vec{\mathrm{r}}\), \(\vec{\mathrm{F}}\)사이의 수학적 관계를 확립할 수 있다.

\(\vec{\mathrm{C}}=\vec{\mathrm{A}}\times\vec{\mathrm{B}}\), \(C=AB\sin\theta\) (\(C=|\vec{\mathrm{C}}|,\,A=|\vec{\mathrm{A}}|,\,B=|\vec{\mathrm{B}}|,\,\theta\): \(\vec{\mathrm{A}}\)와 \(\vec{\mathrm{B}}\)의 사이각)

\(\vec{\mathrm{A}}\times\vec{\mathrm{B}}\)를 "\(A\)크로스 \(B\)"라고 읽는다. \(\vec{\mathrm{C}}\)의 방향은 \(\vec{\mathrm{A}}\)와 \(\vec{\mathrm{B}}\)가 만드는 평면에 수직이고 오른손 법칙으로 결정한다.

오른손법칙: 오른손의 네 손가락을 \(\vec{\mathrm{A}}\)로 향하게 한 다음, 각 \(\theta\)를 지나 \(\vec{\mathrm{B}}\)를 향하여 감아쥔다. 바로 선 엄지손가락의 방향이 \(\vec{\mathrm{A}}\times\vec{\mathrm{B}}=\vec{\mathrm{C}}\)의 방향이다.

벡터곱의 성질

1. 벡터곱에서는 두 벡터를 곱하는 순서가 중요하다. \(\vec{\mathrm{A}}\times\vec{\mathrm{B}}=-\vec{\mathrm{B}}\times\vec{\mathrm{A}}\)이므로 벡터곱에서 벡터의 순서를 바꾸면 반드시 부호도 바꾸어야 한다. (오른손 법칙으로 확인)

2. \(\vec{\mathrm{A}}\)와 \(\vec{\mathrm{B}}\)가 나란하면(\(\theta=0^{\circ}\) 또는 \(\theta=180^{\circ}\)), \(\vec{\mathrm{A}}\times\vec{\mathrm{B}}=\vec{0}\)이다. 따라서 \(\vec{\mathrm{A}}\times\vec{\mathrm{A}}=\vec{0}\)

3. \(\vec{\mathrm{A}}\)가 \(\vec{\mathrm{B}}\)에 수직이면, \(|\vec{\mathrm{A}}\times\vec{\mathrm{B}}|=AB\,(A=|\vec{\mathrm{A}}|,\,B=|\vec{\mathrm{B}}|)\)이다.

4. 벡터곱은 분배법칙을 만족한다. 즉, \(\vec{\mathrm{A}}\times(\vec{\mathrm{B}}+\vec{\mathrm{C}})=\vec{\mathrm{A}}\times\vec{\mathrm{B}}+\vec{\mathrm{A}}\times\vec{\mathrm{C}}\)

5. 벡터곱의 미분은 다음과 같다.

\(\displaystyle\frac{d}{dt}(\vec{\mathrm{A}}\times\vec{\mathrm{B}})=\frac{d\vec{\mathrm{A}}}{dt}\times\vec{\mathrm{B}}+\vec{\mathrm{A}}\times\frac{d\vec{\mathrm{B}}}{dt}\)

6. 직각 좌표계의 단위벡터 \(\vec{i},\,\vec{j},\,\vec{k}\)에 대하여

\(\vec{i}\times\vec{i}=\vec{j}\times\vec{j}=\vec{k}\times\vec{k}=\vec{0}\), \(\vec{i}\times\vec{j}=-\vec{j}\times\vec{i}=\vec{k}\), \(\vec{j}\times\vec{k}=-\vec{k}\times\vec{j}=\vec{i}\), \(\vec{k}\times\vec{i}=-\vec{i}\times\vec{k}=\vec{j}\)

7, 벡터곱에서 부호는 교환할 수 있다. (예: \(\vec{\mathrm{A}}\times(-\vec{\mathrm{B}})=-\vec{\mathrm{A}}\times\vec{\mathrm{B}}\), \(\vec{i}\times(-\vec{j})=-\vec{i}\times\vec{j}\)

임의의 두 벡터 \(\vec{\mathrm{A}}=A_{x}\vec{i}+A_{y}\vec{j}+A_{z}\vec{k},\,\vec{\mathrm{B}}=B_{x}\vec{i}+B_{y}\vec{j}+B_{z}\vec{k}\)의 벡터곱은 다음과 같은 행렬식 형태로 표현이 가능하다.$$\vec{\mathrm{A}}\times\vec{\mathrm{B}}=\left|\begin{matrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\\B_{x}&B_{y}&B_{z}\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}A_{y}&A_{z}\\B_{y}&B_{z}\end{matrix}\right|\vec{i}-\left|\begin{matrix}A_{x}&A_{z}\\B_{y}&B_{z}\end{matrix}\right|\vec{j}+\left|\begin{matrix}A_{x}&A_{y}\\B_{x}&B_{y}\end{matrix}\right|\vec{k}$$

행렬식을 전개해서 나타내면 \(\vec{\mathrm{A}}\times\vec{\mathrm{B}}=(A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y})\vec{i}-(A_{x}B_{z}-A_{z}B_{x})\vec{j}+(A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x})\vec{k}\)이다.

각운동량

위치 \(\vec{\mathrm{r}}\)에서 선운동량 \(\vec{\mathrm{p}}\)를 갖고 움직이는 질량이 \(m\)인 입자의 알짜힘은 \(\displaystyle\sum{\vec{\mathrm{F}}}=\frac{d\vec{\mathrm{p}}}{dt}\)이므로 이 입자의 토크는 $$\sum{\vec{\tau}}=\vec{\mathrm{r}}\times\sum{\vec{\mathrm{F}}}=\vec{\mathrm{r}}\times\frac{d\vec{\mathrm{p}}}{dt}$$이다. 이때 \(\displaystyle\frac{d\vec{\mathrm{r}}}{dt}=\vec{\mathrm{v}},\,\vec{\mathrm{p}}=m\vec{\mathrm{v}}\)이므로 \(\displaystyle\frac{d\vec{\mathrm{r}}}{dt}\times\vec{\mathrm{p}}=\vec{\mathrm{v}}\times(m\vec{\mathrm{v}})=\vec{0}\)이다. 위 식의 우변에 \(\vec{0}=\frac{d\vec{\mathrm{r}}}{dt}\times\vec{\mathrm{p}}\)를 더하면$$\sum{\vec{\tau}}=\vec{\mathrm{r}}\times\frac{d\vec{\mathrm{p}}}{dt}+\frac{d\vec{\mathrm{r}}}{dt}\times\vec{\mathrm{p}}=\frac{d}{dt}(\vec{\mathrm{r}}\times\vec{\mathrm{p}})$$가 되고 이 물리량을 입자의 각운동량(angular momentum)이라고 한다.

원점 \(\mathrm{O}\)에 대한 입자의 순간 각운동량 \(\vec{\mathrm{L}}\)은 입자의 순간위치벡터 \(\vec{\mathrm{r}}\)과 순간선운동량 \(\vec{\mathrm{p}}\)의 벡터곱으로 정의된다. 즉 \(\vec{\mathrm{L}}=\vec{\mathrm{r}}\times\vec{\mathrm{p}}\)이고 SI단위는 \(\text{kg}\cdot\text{m}^{2}/\text{s}\)이다.(각운동량 \(\vec{\mathrm{L}}\)의 크기는 \(L=mvr\sin\phi\))

참고: \(\vec{\mathrm{L}}\)의 크기와 방향은 원점을 어디로 선택하느냐에 따라 달라진다.

하나의 입자에 대한 뉴턴의 제 2 법칙은 \(\displaystyle\sum{\vec{\mathrm{F}}_{\text{ext}}}=\frac{d\vec{\mathrm{p}_{\text{tot}}}}{dt}\)(입자계로 확대 가능) 이고 어떤 점에 대한 입자계 전체 각운동량은 개별입자의 각운동량의 벡터합으로 정의된다. 즉 \(\vec{\mathrm{L}_{\text{tot}}}=\sum_{i}{\vec{\mathrm{L}_{i}}}\)이고 이때 \(\displaystyle\sum_{i}{\vec{\tau}}=\sum_{i}{\frac{d\vec{\mathrm{L_{i}}}}{dt}}=\frac{d\vec{\mathrm{p}_{\text{tot}}}}{dt}\)이다.

모든 내력과 관련된 알짜토크는 \(\vec{0}\)이고(뉴턴의 제 3 법칙에 따르면, 내력은 크기가 같고 방향이 정반대인 짝으로 나타난다) 오로지 외력에 의한 알짜토크가 계에 작용할 때에만 계의 전체 각운동량이 시간에 따라 변한다고 말할 수 있다. 그러므로 \(\displaystyle\sum{\vec{\tau}_{\text{ext}}}=\frac{d\vec{\mathrm{L}_{\text{tot}}}}{dt}\)이다.

계에 작용하는 알짜토크가 있는 점에서 계가 고립되어 있지 않다면, 토크는 각운동량의 시간변화율과 같다.(질량중심을 지나는 축에 대하여 토크와 각운동량을 계산한다면, 이 정리는 질량중심이 가속되고 있을 때에도 적용할 수 있다)

질량이 \(m_{i}\)인 입자의 \(z\)축에 대한 각운동량의 크기는 \(L_{i}=m_{i}v_{i}r_{i}=m_{i}r_{i}^{2}\omega\,(v_{i}=r_{i}\omega)\)이고

물체를 구성하는 모든 입자의 \(z\)축에 대한 각운동량의 크기는 \(\displaystyle L_{z}=\sum_{i}{L_{i}}=\sum_{i}{m_{i}r_{i}^{2}\omega}=\left(\sum_{i}{m_{i}r_{i}^{2}}\right)\omega\)이다. 그러면 \(L_{z}=I\omega\)이고(오직 \(z\)성분만 갖고 있다) 여기서 \(\displaystyle I=\sum_{i}{m_{i}r_{i}^{2}}\)는 \(z\)축에 대한 강체의 관성모멘트이다.

강체에서는 \(I\)가 상수이므로 \(\displaystyle\frac{dL_{z}}{dt}=I\frac{d\omega}{dt}=I\alpha\) (\(\alpha\)는 회전축에 대한 각가속도의 크기)이고 이 값은 알짜외부토크와 같으므로 \(\displaystyle\sum{\tau_{\text{ext}}}=I\alpha\)이다.

이는 고정축 주위로 회전하는 강체에 작용하는 알짜외부토크는 회전축에 대한 관성모멘트와 그 축에 대한 물체의 각가속도의 곱과 같다. 만약 움직이는 축이 질량중심을 지나고 대칭축이라면, 움직이는 축 주위로 회전하는 강체에도 성립한다.

만약 대칭적인 물체가 질량중심을 지나는 고정축 주위로 회전한다면, \(\vec{\mathrm{L}}=I\vec{\omega}\)와 같이 벡터형태로 쓸 수 있다. (\(\vec{\mathrm{L}}\)은 회전축에 대하여 측정된 물체의 전체 각운동량이다.)

또한 \(\vec{\mathrm{L}}\)이 회전축에 대한 각운동량 성분을 나타낸다면, 이 식은 물체의 대칭성과 무관하게 모든 물체에 대해 성립한다.

계에 작용하는 알짜토크가 \(\vec{0}\)일 때, 즉 계가 고립되어 있으면 계의 전체 각운동량은 크기와 방향 모두 일정하다. 즉, \(\displaystyle\sum{\vec{\tau}_{\text{ext}}}=\frac{d\vec{\mathrm{L}_{\text{tot}}}}{dt}=\vec{0}\)이면 \(\vec{\mathrm{L}_{\text{tot}}}\)는 상수이거나 각운동량의 초기벡터와 나중벡터가 같다. 즉 \(\vec{\mathrm{L}_{i}}=\vec{\mathrm{L}_{f}}\). 이를 각운동량 보존(conservation of angular momentum)이라고 한다. 많은 입자로 이루어진 고립계의 경우 \(\vec{\mathrm{L}_{\text{tot}}}=\sum{\vec{\mathrm{L}_{n}}}\)은 상수벡터이다(\(n\)은 계의 \(n\)번째 입자를 나타낸다).

만약 고립된 회전계의 질량이 변하면, 계의 관성모멘트가 변하게 된다. 따라서 고립계에서 관성모멘트 \(I\)가 변하면, \(\omega\)도 변하게 된다.

\(I_{i}\omega_{i}=I_{f}\omega_{f}=\)상수 (\(I\)(↑)\(\omega\)(↓)\(=I\)(↓)\(\omega\)(↑)=상수)

질량 \(m\)이 일정할 때 \(I=mr^{2}\)이므로

\(mr_{i}^{2}\omega_{i}=mr_{f}^{2}\omega_{f}=\)상수 (\(mr^{2}\)(↑)\(\omega\)(↓)\(=mr^{2}\)(↓)\(\omega\)(↑)=상수)

이 식은 고정축에 대한 회전이나, 움직이는 계의 질량중심을 지나는 축(축의 방향은 변하지 않아야 한다)에 대한 회전에 대하여 모두 성립한다. 다만 알짜외부토크가 \(\vec{0}\)이 되어야 성립한다.

고립된 계에서는 에너지, 선운동량, 각운동량 모두가 보존된다. 즉, 고립계에서 에너지 전달이 없으면 \(E_{i}=E_{f}\), 알짜외력이 \(0\)이면 \(\vec{\mathrm{p}_{i}}=\vec{\mathrm{p}_{f}}\), 알짜 외부토크가 \(0\)이면 \(\vec{\mathrm{L}}_{i}=\vec{\mathrm{L}_{f}}\)이다.

참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning