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각운동량




강체 위의 벡터위치 r인 곳에 작용하는 힘 F를 생각하자. 원점을 통과하는 축에 대하여 이 힘에 의한 토크의 크기는 rFsinϕ이고 ϕrF가 이루는 사이각이다.

F에 의해 나타나는 회전축은 rF가 이루는 평면에 수직이다.

토크 τ를 벡터곱(vector product, 외적) 또는 크로스 곱(cross product)이라 하는 수학적 연산

τ=r×F(|τ|=|r||F|sinϕ)

을 이용하여 τ, r, F사이의 수학적 관계를 확립할 수 있다.




C=A×B, C=ABsinθ (C=|C|,A=|A|,B=|B|,θ: AB의 사이각)


A×B를 "A크로스 B"라고 읽는다. C의 방향은 AB가 만드는 평면에 수직이고 오른손 법칙으로 결정한다.


오른손법칙: 오른손의 네 손가락을 A로 향하게 한 다음, 각 θ를 지나 B를 향하여 감아쥔다. 바로 선 엄지손가락의 방향이 A×B=C의 방향이다.


벡터곱의 성질


1. 벡터곱에서는 두 벡터를 곱하는 순서가 중요하다. A×B=B×A이므로 벡터곱에서 벡터의 순서를 바꾸면 반드시 부호도 바꾸어야 한다. (오른손 법칙으로 확인)

2. AB가 나란하면(θ=0 또는 θ=180), A×B=0이다. 따라서 A×A=0

3. AB에 수직이면, |A×B|=AB(A=|A|,B=|B|)이다.

4. 벡터곱은 분배법칙을 만족한다. 즉, A×(B+C)=A×B+A×C

5. 벡터곱의 미분은 다음과 같다.

ddt(A×B)=dAdt×B+A×dBdt

6. 직각 좌표계의 단위벡터 i,j,k에 대하여

i×i=j×j=k×k=0, i×j=j×i=k, j×k=k×j=i, k×i=i×k=j

7, 벡터곱에서 부호는 교환할 수 있다. (예: A×(B)=A×B, i×(j)=i×j


임의의 두 벡터 A=Axi+Ayj+Azk,B=Bxi+Byj+Bzk의 벡터곱은 다음과 같은 행렬식 형태로 표현이 가능하다.A×B=|ijkAxAyAzBxByBz|=|AyAzByBz|i|AxAzByBz|j+|AxAyBxBy|k

행렬식을 전개해서 나타내면 A×B=(AyBzAzBy)i(AxBzAzBx)j+(AxByAyBx)k이다.


각운동량


위치 r에서 선운동량 p를 갖고 움직이는 질량이 m인 입자의 알짜힘은 F=dpdt이므로 이 입자의 토크는 τ=r×F=r×dpdt이다. 이때 drdt=v,p=mv이므로 drdt×p=v×(mv)=0이다. 위 식의 우변에 0=drdt×p를 더하면τ=r×dpdt+drdt×p=ddt(r×p)가 되고 이 물리량을 입자의 각운동량(angular momentum)이라고 한다.


원점 O에 대한 입자의 순간 각운동량 L은 입자의 순간위치벡터 r과 순간선운동량 p의 벡터곱으로 정의된다. 즉 L=r×p이고 SI단위는 kgm2/s이다.(각운동량 L의 크기는 L=mvrsinϕ)

참고: L의 크기와 방향은 원점을 어디로 선택하느냐에 따라 달라진다.


하나의 입자에 대한 뉴턴의 제 2 법칙은 Fext=dptotdt(입자계로 확대 가능) 이고 어떤 점에 대한 입자계 전체 각운동량은 개별입자의 각운동량의 벡터합으로 정의된다. 즉 Ltot=iLi이고 이때 iτ=idLidt=dptotdt이다.


모든 내력과 관련된 알짜토크는 0이고(뉴턴의 제 3 법칙에 따르면, 내력은 크기가 같고 방향이 정반대인 짝으로 나타난다) 오로지 외력에 의한 알짜토크가 계에 작용할 때에만 계의 전체 각운동량이 시간에 따라 변한다고 말할 수 있다. 그러므로 τext=dLtotdt이다.

계에 작용하는 알짜토크가 있는 점에서 계가 고립되어 있지 않다면, 토크는 각운동량의 시간변화율과 같다.(질량중심을 지나는 축에 대하여 토크와 각운동량을 계산한다면, 이 정리는 질량중심이 가속되고 있을 때에도 적용할 수 있다)


질량이 mi인 입자의 z축에 대한 각운동량의 크기는 Li=miviri=mir2iω(vi=riω)이고

물체를 구성하는 모든 입자의 z축에 대한 각운동량의 크기는 Lz=iLi=imir2iω=(imir2i)ω이다. 그러면 Lz=Iω이고(오직 z성분만 갖고 있다) 여기서 I=imir2iz축에 대한 강체의 관성모멘트이다.


강체에서는 I가 상수이므로 dLzdt=Idωdt=Iα (α는 회전축에 대한 각가속도의 크기)이고 이 값은 알짜외부토크와 같으므로 τext=Iα이다.

이는 고정축 주위로 회전하는 강체에 작용하는 알짜외부토크는 회전축에 대한 관성모멘트와 그 축에 대한 물체의 각가속도의 곱과 같다. 만약 움직이는 축이 질량중심을 지나고 대칭축이라면, 움직이는 축 주위로 회전하는 강체에도 성립한다.

만약 대칭적인 물체가 질량중심을 지나는 고정축 주위로 회전한다면, L=Iω와 같이 벡터형태로 쓸 수 있다. (L은 회전축에 대하여 측정된 물체의 전체 각운동량이다.)

또한 L이 회전축에 대한 각운동량 성분을 나타낸다면, 이 식은 물체의 대칭성과 무관하게 모든 물체에 대해 성립한다.


계에 작용하는 알짜토크가 0일 때, 즉 계가 고립되어 있으면 계의 전체 각운동량은 크기와 방향 모두 일정하다. 즉, τext=dLtotdt=0이면 Ltot는 상수이거나 각운동량의 초기벡터와 나중벡터가 같다. 즉 Li=Lf. 이를 각운동량 보존(conservation of angular momentum)이라고 한다. 많은 입자로 이루어진 고립계의 경우 Ltot=Ln은 상수벡터이다(n은 계의 n번째 입자를 나타낸다).


만약 고립된 회전계의 질량이 변하면, 계의 관성모멘트가 변하게 된다. 따라서 고립계에서 관성모멘트 I가 변하면, ω도 변하게 된다.

Iiωi=Ifωf=상수 (I(↑)ω(↓)=I(↓)ω(↑)=상수)

질량 m이 일정할 때 I=mr2이므로

mr2iωi=mr2fωf=상수 (mr2()ω()=mr2()ω()=상수)


이 식은 고정축에 대한 회전이나, 움직이는 계의 질량중심을 지나는 축(축의 방향은 변하지 않아야 한다)에 대한 회전에 대하여 모두 성립한다. 다만 알짜외부토크가 0이 되어야 성립한다.


고립된 계에서는 에너지, 선운동량, 각운동량 모두가 보존된다. 즉, 고립계에서 에너지 전달이 없으면 Ei=Ef, 알짜외력이 0이면 pi=pf, 알짜 외부토크가 0이면 Li=Lf이다.


참고자료

대학물리학, 대학물리학교재편찬위원회, 북스힐

Physics for scientists and engineering with modern physics, Serway, Jewett, Cengage Learning

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Posted by skywalker222